數(shù)學(xué)史融入高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的行動(dòng)研究

數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)行動(dòng)研究PAGE2PAGE5附件1：全國(guó)優(yōu)秀教育碩士專(zhuān)業(yè)學(xué)位論文推薦表單位名稱(chēng)：首都師范大學(xué)填表日期：2011年12月20日論文題目數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的行動(dòng)研究作者姓名論文答辯日期學(xué)科專(zhuān)業(yè)方向雷曉莉2008，5，12學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）攻碩期間及獲得碩士學(xué)位后一年內(nèi)獲得與碩士學(xué)位論文有關(guān)的成果發(fā)表學(xué)術(shù)論文(題目，刊名,時(shí)間，社會(huì)影響)HPM視角下兩角和與差教學(xué)的四次實(shí)踐與調(diào)整，中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2007，（7）將數(shù)學(xué)史引入“等差數(shù)列前n和”的教學(xué)實(shí)錄，數(shù)學(xué)通訊，2007，（19）同課異構(gòu)的比較與反思—從“二分法”的三節(jié)課說(shuō)起，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008，（4）一節(jié)以函數(shù)歷史發(fā)展為主線的函數(shù)概念探究課，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009，（1，2）教什么比怎么教更有用，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009，（3）論文所產(chǎn)生的實(shí)際影響(對(duì)作者工作及所在單位工作)一、創(chuàng)新論文將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)看成是一種教育現(xiàn)象，采用行動(dòng)研究的理論，從六個(gè)方面進(jìn)行了系統(tǒng)的案例研究，為理論研究奠定了基礎(chǔ)。論文落實(shí)了數(shù)學(xué)文化理念，具有很強(qiáng)的實(shí)效性。二、應(yīng)用論文成果已在多個(gè)學(xué)校進(jìn)行實(shí)施和反思，許多教師已經(jīng)把它作為一種自覺(jué)行為，把文化理念融入課堂教學(xué)中。論文一部分成果發(fā)表在核心期刊上，對(duì)全國(guó)數(shù)學(xué)教師落實(shí)文化理念也產(chǎn)生了積極的影響。另外該論文的成果也通過(guò)講座、教材培訓(xùn)、研討會(huì)、研究課的形式進(jìn)行了廣泛地推廣和使用。出版專(zhuān)著(名稱(chēng)、出版社、出版時(shí)間)《新思維九年級(jí)總復(fù)習(xí)用書(shū)》，北京教育出版社，2009.03獲獎(jiǎng)項(xiàng)目(名稱(chēng)、等級(jí)及時(shí)間）2008年，論文《同課異構(gòu)的比較與反思》獲北京論文一等獎(jiǎng)2011年，論文《課堂教學(xué)的隨機(jī)調(diào)整原則》獲北京市基礎(chǔ)教育課程教材改革實(shí)驗(yàn)第十屆論文評(píng)比一等獎(jiǎng)2011年，論文《基于課堂教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上對(duì)“新課引入”的理性思考》獲北京市教學(xué)優(yōu)秀論文二等獎(jiǎng)中文論文摘要(論文選題的意義,論文運(yùn)用的主要研究方法,主要研究成果,主要參考文獻(xiàn))數(shù)學(xué)史的研究由來(lái)已久，數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的研究國(guó)內(nèi)、國(guó)外都有一些學(xué)者、教師在研究，但數(shù)學(xué)史如何融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的研究缺乏理論與實(shí)踐的結(jié)合。本研究將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)看成是一種教育現(xiàn)象，采用行動(dòng)研究的理論探討解決這種教育現(xiàn)象。在研究的過(guò)程中，以改進(jìn)實(shí)際工作為首要目標(biāo)，注重研究的過(guò)程與行動(dòng)過(guò)程結(jié)合，注重研究者與行動(dòng)者之間的合作，注重對(duì)研究和行動(dòng)的反思。本研究結(jié)合八個(gè)案例，從概念教學(xué)、定理教學(xué)、公式教學(xué)、起始課教學(xué)、數(shù)學(xué)名題教學(xué)、方法教學(xué)六個(gè)方面進(jìn)行了數(shù)學(xué)史融入中學(xué)課堂教學(xué)的行動(dòng)研究。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)史融入中學(xué)課堂教學(xué)的行動(dòng)研究有利于教師對(duì)文化理念的落實(shí)，并在一定程度上促進(jìn)了教師對(duì)教育目標(biāo)的認(rèn)識(shí)和理解，同時(shí)進(jìn)一步加深了教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的研究和理解，提高了教師對(duì)教育理論的應(yīng)用。在研究的基礎(chǔ)上，對(duì)于如何將數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，也提出了一些想法和建議，這些將促進(jìn)后續(xù)的研究，也使得后續(xù)研究在繼承的基礎(chǔ)上繼續(xù)深入和創(chuàng)新。專(zhuān)家推薦理由數(shù)學(xué)史融入到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的研究在數(shù)學(xué)教育和數(shù)學(xué)史研究中是一個(gè)重要的課題，并且，其理論方面的研究已經(jīng)具有了一定的基礎(chǔ)。但是，如何將理論成果結(jié)合到實(shí)際課堂中的研究正是目前學(xué)術(shù)界和實(shí)際教學(xué)中所普遍關(guān)注的研究課題。該論文采用數(shù)學(xué)教育的行動(dòng)研究理論和方法，從數(shù)學(xué)課堂的概念教學(xué)，定理教學(xué)，公式教學(xué)，起始課教學(xué)，數(shù)學(xué)名題教學(xué)和方法教學(xué)等重要方面中選擇案例進(jìn)行了教學(xué)實(shí)踐研究和推廣。作者結(jié)合理論研究和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行了的行動(dòng)研究，直接參與到了數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)之中，并發(fā)表了一系列的研究論文，主持和參加了相關(guān)的課題。研究所獲得的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)是本課題理論研究的依據(jù)，其研究案例對(duì)于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)具有實(shí)際意義。該研究在教學(xué)實(shí)踐中具有一定影響力。綜上所述，該論文的研究與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育實(shí)踐緊密相關(guān)，研究方法規(guī)范，理論聯(lián)系實(shí)際，進(jìn)行了大量的教學(xué)實(shí)踐推廣，因此是一篇優(yōu)秀的教育碩士論文。專(zhuān)家簽字：?jiǎn)挝煌扑]意見(jiàn)學(xué)位評(píng)定委員會(huì)分會(huì)主席（簽章）：?jiǎn)挝还履暝氯照f(shuō)明：學(xué)科專(zhuān)業(yè)方向包括教育管理、教育技術(shù)、小學(xué)教育和學(xué)科教學(xué)，其中學(xué)科教學(xué)要說(shuō)明具體方向，如學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。本表可復(fù)印、附頁(yè)。一、近幾年發(fā)表的文章：1．高三數(shù)學(xué)最后階段復(fù)習(xí)思考，中國(guó)考試，2006，（5）2．概率試題中的數(shù)學(xué)思想和方法，中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2006，（5）3．函數(shù)的單調(diào)性，中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2006，（6）4．充分發(fā)揮高三模擬試卷的功效，數(shù)學(xué)，2006，（6）5．HPM視角下兩角和與差教學(xué)的四次實(shí)踐與調(diào)整，中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2007，（7）6.將數(shù)學(xué)史引入“等差數(shù)列前n和”的教學(xué)實(shí)錄，數(shù)學(xué)通訊，2007，（19）7．研究高考“課本類(lèi)型題”，有效進(jìn)行課堂教學(xué)，中小學(xué)數(shù)學(xué),2008,（3）8．同課異構(gòu)的比較與反思—從“二分法”的三節(jié)課說(shuō)起，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008，（4）.9．背景新穎，適度綜合，考查能力，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2008，（12）10．一堂有深度的數(shù)學(xué)課—正弦定理，中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2008，（11）11．一節(jié)以函數(shù)歷史發(fā)展為主線的函數(shù)概念探究課，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009，（1，2）12．注重概念、突出本質(zhì)、引領(lǐng)教學(xué)，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009，（1，2）13．教什么比怎么教更有用，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009，（3）14．2009高考數(shù)學(xué)模擬試題（二），中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2009，（3）15．有效運(yùn)用概念和性質(zhì)，提高解題的質(zhì)量和效益，中小學(xué)數(shù)學(xué),2009,（3）16．“函數(shù)”概念引入有效性反思，中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2009，（5）17．?dāng)?shù)學(xué)起始課教學(xué)認(rèn)識(shí)的偏差，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010，（7）18．反比例函數(shù)圖象生成的教學(xué)反思，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010，（8）19．對(duì)“用頻率估計(jì)概率”教學(xué)中幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2010，（7-8）20．新課引入的教學(xué)研究，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011，（3）21．“抽樣調(diào)查”定義的教學(xué)，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011，（9）22．體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)學(xué)科特點(diǎn)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011，（9）23．?dāng)?shù)學(xué)教育論文寫(xiě)作的選題與實(shí)踐，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011，（11）二、近幾年獲獎(jiǎng)?wù)撐?．2007年北京市優(yōu)秀論文《在高三復(fù)習(xí)中如何充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模擬試卷的功效》二等獎(jiǎng)。2．2008年《同課異構(gòu)的比較與反思》獲北京課程改革論文一等獎(jiǎng)。3．2008年《新課程背景下中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)目標(biāo)規(guī)范化研究》獲北京課程改革論文二等獎(jiǎng)。4．2008年《數(shù)學(xué)史滲透在起始課“圖形認(rèn)識(shí)初步”教學(xué)中的嘗試》獲北京市首屆“智慧教師”征文三等獎(jiǎng)。5．2009年《“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法及其教學(xué)設(shè)計(jì)研究”課題教學(xué)設(shè)計(jì)案例—平方差公式》獲北京市2008年度基礎(chǔ)教育科學(xué)研究?jī)?yōu)秀論文三等獎(jiǎng)。6.2011年，論文《基于課堂教學(xué)實(shí)踐的基礎(chǔ)上對(duì)“新課引入”的理性思考》在北京市中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)優(yōu)秀論文評(píng)選中獲得二等獎(jiǎng)。7.2011年9月，論文《課堂教學(xué)的隨機(jī)調(diào)整原則》獲北京市基礎(chǔ)教育課程教材改革實(shí)驗(yàn)第十屆論文評(píng)比一等獎(jiǎng)。三、近幾年研究的課題1.2007-2010年，主持北京市東城區(qū)課題“數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的行動(dòng)研究”。2.2007-2010年，參與北京市課題“新課程背景下中學(xué)教師課堂教學(xué)行為規(guī)范化研究”，是該課題的核心成員。3.2007-2010年，參與教育部國(guó)家級(jí)重點(diǎn)課題“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法及其教學(xué)設(shè)計(jì)理論與實(shí)踐”，是該課題的核心成員，該課題在全國(guó)數(shù)學(xué)教育界產(chǎn)生了廣泛地影響。4.2010年至今，參與教育部國(guó)家級(jí)重點(diǎn)課題“中學(xué)數(shù)學(xué)核心課程及教學(xué)設(shè)計(jì)的理論與實(shí)踐”，是該課題的核心成員。5.2010年至今，參與北師大數(shù)學(xué)學(xué)院課題“國(guó)際比較研究，LPS（TheLearner’sPerspectiveStudy）”。四、近幾年在全國(guó)各地的講學(xué)情況1.2007年7月在湖北武漢對(duì)高中數(shù)學(xué)教師做“數(shù)學(xué)試題命制的規(guī)律與方法”的講座。2.2007年9月在廣西貴港對(duì)高中數(shù)學(xué)教師做“有效復(fù)習(xí)”的講座。3.2008年3月在貴陽(yáng)對(duì)高中數(shù)學(xué)教師做“研究高考試題，探索復(fù)習(xí)規(guī)律”的講座。4.2008年4月在鄭州對(duì)高中數(shù)學(xué)教師做“認(rèn)真研究，科學(xué)決策”的講座。5.2009年4月在武漢對(duì)高中數(shù)學(xué)教師做“新課程的實(shí)踐與建議”的講座。6.2009年4月在北京對(duì)初中數(shù)學(xué)教師做“數(shù)學(xué)文化融入課堂教學(xué)”的講座。7.2010年5月在蘭州對(duì)初中數(shù)學(xué)教師做“數(shù)學(xué)教學(xué)幾個(gè)問(wèn)題的理解與認(rèn)識(shí)”的講座。8.2010年11月在青島對(duì)初中數(shù)學(xué)教師做“數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與評(píng)價(jià)”的講座。9.2011年3月在山東對(duì)高中學(xué)生做“數(shù)學(xué)自主招生試題分析”的講座。10.2011年9月在太原對(duì)高中數(shù)學(xué)教師做“高效復(fù)習(xí)課堂”的系列講座。五、近幾年指導(dǎo)的青年教師獲獎(jiǎng)情況1.2008年，指導(dǎo)北京5中分校曹自由、北京22中范立軍、北京景山學(xué)校郝麗萍三位青年教師參加基本功比賽，獲北京市一等獎(jiǎng)。2.2008年，指導(dǎo)北京東直門(mén)中學(xué)杜開(kāi)龍、北京國(guó)子監(jiān)劉嵩老師撰寫(xiě)論文，獲北京市一等獎(jiǎng)。3.2009年，指導(dǎo)北京東直門(mén)中學(xué)胥世菊老師撰寫(xiě)課例論文《圖形面積與代數(shù)恒等式》，獲全國(guó)一等獎(jiǎng)。4.2010年，指導(dǎo)北京65中宮穎老師課例《勾股定理1》，在北京市青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課評(píng)比中獲得一等獎(jiǎng)。5.2010年，指導(dǎo)北京171中薛佳妮老師課例《探索數(shù)的乘方規(guī)律》，在北京市青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課評(píng)比中獲得一等獎(jiǎng)。6.2010年，指導(dǎo)北京171中王芳老師全國(guó)展示課《單項(xiàng)式》。7.2010年，指導(dǎo)5中分校曹自由老師全國(guó)展示課《解二元一次方程》。8.2010年，指導(dǎo)65中張韜老師全國(guó)展示課《抽樣調(diào)查》。六、參加支教活動(dòng)情況：1.2008年，到陜西合陽(yáng)支教2.2009年，到河北沽源支教3.2010年，到延慶支教4.2011年，到西藏支教，培訓(xùn)骨干教師10天分類(lèi)號(hào)：G40密級(jí)：?jiǎn)挝淮a：10028學(xué)號(hào)：2050508023首都師范大學(xué)碩士學(xué)位論文論文題目數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的行動(dòng)研究研究生：雷曉莉指導(dǎo)教師：姚芳學(xué)科專(zhuān)業(yè)：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）學(xué)科方向：數(shù)學(xué)教育2008年3月8日首都師范大學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，獨(dú)立進(jìn)行研究工作所取得的成果.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的作品成果.對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明.本人完全意識(shí)到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔(dān).學(xué)位論文作者簽名：雷曉莉日期：2008年3月8日首都師范大學(xué)位論文授權(quán)使用聲明本人完全了解首都師范大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，學(xué)校有權(quán)保留學(xué)位論文并向國(guó)家主管部門(mén)或其指定機(jī)構(gòu)送交論文的電子版和紙質(zhì)版.有權(quán)將學(xué)位論文用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文進(jìn)入學(xué)校圖書(shū)館被查閱.有權(quán)將學(xué)位論文的內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索.有權(quán)將學(xué)位論文的標(biāo)題和摘要匯編出版.保密的學(xué)位論文在解密后適用本規(guī)定.學(xué)位論文作者簽名：雷曉莉日期：2008年3月8日摘要數(shù)學(xué)史的研究由來(lái)已久，數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的研究國(guó)內(nèi)、國(guó)外都有一些學(xué)者、教師在研究，但數(shù)學(xué)史如何融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的研究缺乏理論與實(shí)踐的結(jié)合.本研究將數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)看成是一種教育現(xiàn)象，采用行動(dòng)研究的理論探討解決這種教育現(xiàn)象.在研究的過(guò)程中，以改進(jìn)實(shí)際工作為首要目標(biāo)，注重研究的過(guò)程與行動(dòng)過(guò)程結(jié)合，注重研究者與行動(dòng)者之間的合作，注重對(duì)研究和行動(dòng)的反思.本研究結(jié)合八個(gè)案例，從概念教學(xué)、定理教學(xué)、公式教學(xué)、起始課教學(xué)、數(shù)學(xué)名題教學(xué)、方法教學(xué)六個(gè)方面進(jìn)行了數(shù)學(xué)史融入中學(xué)課堂教學(xué)的行動(dòng)研究.研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)史融入中學(xué)課堂教學(xué)的行動(dòng)研究有利于教師對(duì)文化理念的落實(shí)，并在一定程度上促進(jìn)了教師對(duì)教育目標(biāo)的認(rèn)識(shí)和理解，同時(shí)進(jìn)一步加深了教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的研究和理解，提高了教師對(duì)教育理論的應(yīng)用.在研究的基礎(chǔ)上，對(duì)于如何將數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，也提出了一些想法和建議，這些將促進(jìn)后續(xù)的研究，也使得后續(xù)研究在繼承的基礎(chǔ)上繼續(xù)深入和創(chuàng)新.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史、行動(dòng)研究、案例ABSTRACTThehistoryofmathematicsresearchislong-standing,thehistoryofmathematicsintegratestheclassroominstructiontheresearchdomestic,overseastohavesomescholars,theteacherintheresearch,buthowdoesthehistoryofmathematicsintegratethemiddleschoolmathematicsclassroominstructiontheresearchtolackthetheoryandthepracticeunion.Thisresearchintegratesthehistoryofmathematicstheclassroominstructiontoregardasisonekindofeducationphenomenon,usestheactionresearchthetheorylawdiscussiontosolvethiskindofeducationphenomenon.Intheresearchprocess,takeimprovesthepracticalworkastheprioritytarget,paysgreatattentionprocesswhichandactionunionstudies,paysgreatattentionbetweentheresearcherandmover'scooperation,paysgreatattentiontostudywiththemotionresonsideration.Thisresearchunifieseightcases,fromtheconceptteaching,thetheoremteaching,theformulateaching,theoutsetclassteaching,thenumbersystematicnametopicteaching,themethodteachingsixaspectscarriedonthehistoryofmathematicstointegratethemiddleschoolclassroominstructiontheactionresearch.Thefindingsdiscovered:Thehistoryofmathematicsintegratesthemiddleschoolclassroominstructiontheactionresearchtobeadvantageoustotheteachertoculturalidearealization,andpromotedtheteachertoacertainextenttotheeducationalgoalunderstandingandtheunderstanding,simultaneouslyfurtherdeepenedtheteachertothecoursecontentresearch,enhancedtheteachertoeducatethetheorytheapplication.Intheresearchfoundation,howregardingtointegratethehistoryofmathematicsthemiddleschoolmathematicsclassroominstruction,alsoproposedsomeideasandthesuggestion,thesewillpromotethefollowingresearch,alsocausesthefollowingresearchinthefoundationwhichinheritstocontinuethoroughandtheinnovation.Keywords:HistoryofMathematics，actionresearch，case目錄引言……………….…………….7第一章：理論依據(jù)……….….……10行動(dòng)研究的理論……………10數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的行動(dòng)研究的理由.………11數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)行動(dòng)研究的條件…………………13第二章：文獻(xiàn)綜述………………152.1國(guó)外的研究成果…………….152.2國(guó)內(nèi)的研究成果……………17第三章：數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)行動(dòng)研究..…………………193.1研究模式………………………193.2研究方法………………………193.3研究案例………………………193.3.1概念教學(xué)案例…………21課題：變量與函數(shù)……………………22課題：平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算率…………………273.3.2定理教學(xué)案例……...…………………37課題：正弦定理………383.3.3公式教學(xué)案例..………………….….…43課題：兩角和與差的三角函數(shù)………43課題：等差數(shù)列前n項(xiàng)和…..…………533.3.4起始課教學(xué)案例………………...……59課題：圖形認(rèn)識(shí)初步………………...………………603.3.5數(shù)學(xué)名題教學(xué)案例……………………68課題：一次不定方程、方程組的解法………………683.3.6方法教學(xué)案例…………78課題：一元二次方程的解法（配方法）……………..78第四章：研究結(jié)論與研究建議……………………84參考文獻(xiàn)…………………….…………….………88附錄………..……92致謝………..……93引言人們對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的研究可以追溯到18世紀(jì)，法國(guó)實(shí)證主義哲學(xué)家、社會(huì)學(xué)創(chuàng)始人孔德(A.Comte,1798-1857)提出，對(duì)孩子的數(shù)學(xué)教育在方式和順序上都必須符合歷史上人類(lèi)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的規(guī)律,因?yàn)閭€(gè)體知識(shí)的發(fā)生與歷史上人類(lèi)知識(shí)的發(fā)生是具有相似的一面，這種理念使后世數(shù)學(xué)教育家相信：數(shù)學(xué)史對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)就是一種十分有效、不可或缺的工具[21].1855年，法國(guó)數(shù)學(xué)家泰爾凱（O.Terquem,1782-1862）在他創(chuàng)辦的《新數(shù)學(xué)年刊》后增加附錄《數(shù)學(xué)歷史、傳記與文獻(xiàn)通報(bào)》，極大地增加了法國(guó)人對(duì)數(shù)學(xué)史的研究興趣，泰爾凱認(rèn)為，數(shù)學(xué)家的傳記、逸聞、故事可以啟發(fā)學(xué)生的人格成長(zhǎng).泰爾凱也十分關(guān)注與數(shù)學(xué)教學(xué)密切相關(guān)的數(shù)學(xué)史專(zhuān)題，如圓錐曲線的歷史、指數(shù)的歷史、負(fù)數(shù)的歷史等等.英國(guó)的數(shù)學(xué)家得摩根（A.DeMorgan,1806-1871）不僅強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)研究的重要性，而且也強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)遵循歷史順序，他認(rèn)為在教代數(shù)時(shí)不要把新符號(hào)都解釋給學(xué)生，而應(yīng)該像最初發(fā)明這些符號(hào)的人那樣從完全的書(shū)寫(xiě)方法到簡(jiǎn)寫(xiě)的順序?qū)W習(xí)符號(hào)[21].法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊(H.Poincare,1854-1912)在1908年的《科學(xué)與方法》（ScienceetMethode）中認(rèn)為數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容應(yīng)完全按照數(shù)學(xué)史上同樣內(nèi)容的發(fā)展順序展現(xiàn)給學(xué)生.著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞（G.Polya,1887-1985）也持有龐加萊類(lèi)似的觀點(diǎn)[28].在美國(guó),早在19世紀(jì)末就有人提倡將數(shù)學(xué)史作為教學(xué)工具引入數(shù)學(xué)教學(xué)之中.美國(guó)著名數(shù)學(xué)史家、歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)史教授卡約黎(F.Cajori,1859-1930)在出版于1893年的《數(shù)學(xué)史》前言中強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要價(jià)值:如果用歷史回顧和歷史軼事點(diǎn)綴枯燥的問(wèn)題求解和幾何證明，學(xué)生的興趣就會(huì)大大增加[29].美國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家M.克萊因（MorrisKline,1908─1992）十分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的重要價(jià)值，認(rèn)為“每一位中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該知道數(shù)學(xué)史，有許多理由，但最重要的一條理由或許是：數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南”.在克萊因眼里，數(shù)學(xué)史的重要程度可謂無(wú)以復(fù)加.克萊因堅(jiān)信，歷史上數(shù)學(xué)家曾經(jīng)遇到過(guò)的困難，課堂上，學(xué)生同樣會(huì)遇到，因而歷史對(duì)于課堂教學(xué)具有重要的借鑒作用.M.克萊因指出：“數(shù)學(xué)絕對(duì)不是課程中或教科書(shū)里所指的那種膚淺觀察和尋常詮釋.換言之，它并不僅僅是從顯明敘述的公理推演出無(wú)庸置疑的結(jié)論來(lái)”[12].荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾(H.Freudenthal,1905-1990)則批評(píng)那種過(guò)于注重邏輯嚴(yán)密性、沒(méi)有絲毫歷史感的教材乃是“把火熱的發(fā)明變成了冷冰冰的美麗”,認(rèn)為數(shù)學(xué)史應(yīng)該是數(shù)學(xué)教師用于數(shù)學(xué)教學(xué)的必備知識(shí)[13].蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾說(shuō)過(guò):“數(shù)學(xué)發(fā)展史提供了關(guān)于數(shù)學(xué)概念、方法、語(yǔ)言發(fā)展的歷史道路的重要信息,它常常指示我們?cè)趯W(xué)校教學(xué)中形成和發(fā)展這些概念、方法、語(yǔ)言的途徑.”同樣,英國(guó)數(shù)學(xué)家格雷舍也說(shuō):“任何企圖將一種科目和它的歷史割裂開(kāi)來(lái),我確信,沒(méi)有哪一種科目比數(shù)學(xué)的損失更大.”因此,數(shù)學(xué)教師要了解數(shù)學(xué)史,并在教學(xué)中利用數(shù)學(xué)史的科學(xué)性、啟發(fā)性、系統(tǒng)性及趣味性搞好教學(xué)[27].我國(guó)張奠宙教授認(rèn)為數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要作用在于培養(yǎng)人的才、學(xué)、識(shí).現(xiàn)在的教育重視“學(xué)”，即學(xué)知識(shí)，也強(qiáng)調(diào)“才”，即能力，但對(duì)“識(shí)”重視不夠.“識(shí)”即見(jiàn)識(shí)，是引導(dǎo)知識(shí)和能力走向何方的根本性問(wèn)題，屬于對(duì)知識(shí)融會(huì)貫通之后的個(gè)人見(jiàn)解，其背后的支撐是世界觀、人生觀.數(shù)學(xué)史的作用恰恰在這方面有所體現(xiàn)[30].到20世紀(jì)70年代，數(shù)學(xué)史對(duì)數(shù)學(xué)教育的意義已經(jīng)是許多數(shù)學(xué)教育家的共識(shí)：利用它可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、培養(yǎng)學(xué)生的理性精神、啟發(fā)學(xué)生的人格成長(zhǎng)、預(yù)見(jiàn)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展、指導(dǎo)并豐富教師的課堂教學(xué)、促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解和對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí)、構(gòu)筑數(shù)學(xué)與人文之間的橋梁，等等.1972年，在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上，成立了數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國(guó)際研究小組HPM（InternationalStudyGroupontheRelationsBetweenHistoryandPedagogyofMathematics），這標(biāo)志著數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育的關(guān)系已經(jīng)作為一個(gè)學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域.HPM研究的目標(biāo)是通過(guò)數(shù)學(xué)史的運(yùn)用，提高數(shù)學(xué)教育水平，其關(guān)注的內(nèi)容有數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系、多元文化的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展、數(shù)學(xué)史與發(fā)生教學(xué)法、數(shù)學(xué)史與學(xué)生的困難、數(shù)學(xué)原始文獻(xiàn)在教學(xué)中的應(yīng)用等等.國(guó)際HPM的主旨不僅僅是將數(shù)學(xué)史運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，以提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效和教學(xué)品質(zhì)，而且要樹(shù)立數(shù)學(xué)的新觀念：數(shù)學(xué)是一門(mén)活的科學(xué).意味著具備開(kāi)放性，包含兩個(gè)要素：①歷史性——一門(mén)有悠久歷史的科學(xué)；②發(fā)展觀——生機(jī)蓬勃的現(xiàn)在、前途無(wú)量的未來(lái).相應(yīng)地，數(shù)學(xué)教育中既要求了解數(shù)學(xué)知識(shí)的背景又要把握數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性、連貫性；既要有數(shù)學(xué)知識(shí)的理論基礎(chǔ)，又要有應(yīng)用數(shù)學(xué)的實(shí)踐理念.因此，數(shù)學(xué)史的教育意義不是教條式的理論論證，而在具體的實(shí)踐開(kāi)發(fā)中[15].由于社會(huì)在發(fā)展，數(shù)學(xué)在發(fā)展，數(shù)學(xué)教育在發(fā)展，數(shù)學(xué)史如何融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)也在發(fā)展.關(guān)于數(shù)學(xué)史如何融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有不少的學(xué)者、教師進(jìn)行過(guò)研究，但數(shù)學(xué)史如何融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)缺乏理論與實(shí)踐的結(jié)合，因此把數(shù)學(xué)史融入到數(shù)學(xué)教學(xué)看成一種教育現(xiàn)象，采用行動(dòng)研究共同解決這個(gè)教育問(wèn)題，共同提高研究者和實(shí)踐者具有一定的現(xiàn)實(shí)意義.第一章：理論依據(jù)1.1行動(dòng)研究的理論1.1.1行動(dòng)研究的起源與定義行動(dòng)研究是20世紀(jì)40年代美國(guó)社會(huì)心理學(xué)家?guī)於亍けR因(kurtLewin)與他的學(xué)生在對(duì)不同人種之間的人際關(guān)系進(jìn)行研究時(shí)提出來(lái)的.庫(kù)而特·盧因于1949年提出的行動(dòng)研究是“將科學(xué)研究者與實(shí)際工作者之智慧與能力，結(jié)合于一件合作事業(yè)之上的方法[11].1963年佛羅里達(dá)州布萊伐縣教育局研究部主任H.H.麥克阿斯本(H.H.Mcasban)說(shuō)“行動(dòng)研究法是一種在實(shí)際工作中解決問(wèn)題的方法，通常是由教師、行政人員及其它教育工作人員加以應(yīng)用，以提高教育者的素質(zhì)，其主要目的是創(chuàng)造最好的教育環(huán)境，運(yùn)用妥善的學(xué)習(xí)方法，讓學(xué)生獲得最可靠的生長(zhǎng)[11].”臺(tái)灣李祖壽認(rèn)為：“行動(dòng)研究法是現(xiàn)代教育研究的方法之一，也是任何領(lǐng)域謀求革新的方法之一.它也是一種團(tuán)體法.注重團(tuán)體歷程、團(tuán)體活動(dòng)，特別重視行動(dòng).尤其注重實(shí)際工作人員一面行動(dòng)，一面研究，從行動(dòng)中解決問(wèn)題，驗(yàn)證真理，謀求進(jìn)步.它是教育行政、課程、教學(xué)各方面謀求革新的重要方法[11].”朱永詳在《國(guó)外教育研究方法論的發(fā)展趨勢(shì)》一文中認(rèn)為，行動(dòng)研究是“一種以合作的方式，使研究者與實(shí)際工作者的角色合一，來(lái)解決此時(shí)此地教育教學(xué)實(shí)際問(wèn)題的研究模式，稱(chēng)為行動(dòng)模式”[11].1.1.2行動(dòng)研究的特點(diǎn)1．行動(dòng)研究以提高行動(dòng)質(zhì)量，改進(jìn)實(shí)際工作為首要目標(biāo)；2．行動(dòng)研究強(qiáng)調(diào)研究過(guò)程與行動(dòng)過(guò)程的結(jié)合，注重研究者與行動(dòng)者的合作；3．行動(dòng)研究要求行動(dòng)者參與研究，對(duì)自己從事的實(shí)際工作進(jìn)行反思.1.1.3行動(dòng)研究的步驟關(guān)于行動(dòng)研究的程序，有著種種不同的認(rèn)識(shí)，其表述各不相同.這其中，以凱米斯（S.Kemmis）提出的實(shí)施程序影響最大，凱米斯認(rèn)為，行動(dòng)研究是一個(gè)螺旋式加深的發(fā)展過(guò)程，每一個(gè)螺旋發(fā)展圈又都包括著四個(gè)相互聯(lián)系、相互依賴的環(huán)節(jié)：計(jì)劃、行動(dòng)、考察和反思[11].1.2數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的行動(dòng)研究的理由1.2.1數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)行動(dòng)研究的必要性2001年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《初中新課標(biāo)》)正式頒布，初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的六條基本理念，其中第二條的內(nèi)容為：“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動(dòng)和學(xué)習(xí)必不可少的工具,能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進(jìn)行計(jì)算、推理和證明，數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象；數(shù)學(xué)為其他科學(xué)提供了語(yǔ)言、思想和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和創(chuàng)造力等方面有著獨(dú)特的作用；數(shù)學(xué)是人類(lèi)的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語(yǔ)言是現(xiàn)代文明的重要組成部分.[2]”2003年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》(以下簡(jiǎn)稱(chēng)《高中新課標(biāo)》)正式頒布，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的十條基本理念是：課程的基礎(chǔ)性；課程的多樣性與選擇性；倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式；提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力；發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；雙基認(rèn)識(shí)的與時(shí)俱進(jìn)；強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化；體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值；注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合；建立合理、科學(xué)的評(píng)價(jià)體系.雖然在課標(biāo)的實(shí)施中存在一些問(wèn)題和困難，但我認(rèn)為這些理念是非常好的，尤其課標(biāo)指出“數(shù)學(xué)在形成人類(lèi)理性思維和促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的過(guò)程中發(fā)揮著獨(dú)特的、不可替代的作用.數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素質(zhì)是公民所必須具備的一種基本素質(zhì)”；“數(shù)學(xué)教育作為教育的組成部分,在發(fā)展和完善人的教育活動(dòng)中、在形成人們認(rèn)識(shí)世界的態(tài)度和思想方法方面、在推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展的進(jìn)程中起著重要的作用；是公民進(jìn)一步深造的基礎(chǔ),是終身發(fā)展的需要；使學(xué)生表達(dá)清晰、思考有條理，使學(xué)生具有實(shí)事求是的態(tài)度、鍥而不舍的精神，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思考方式解決問(wèn)題、認(rèn)識(shí)世界”[1].這些理念強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的重要性,是對(duì)我國(guó)長(zhǎng)期以來(lái)數(shù)學(xué)教育正反兩方面經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)的反思和數(shù)學(xué)在現(xiàn)代社會(huì)中作用的認(rèn)識(shí).表明當(dāng)代數(shù)學(xué)教育遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是單純的某一學(xué)科的知識(shí)傳授,而是一種重要的文化傳承,涵蓋了科學(xué)教育與人文教育[1].《高中新課標(biāo)》把素質(zhì)教育的核心人的全面發(fā)展，著重賦予數(shù)學(xué)教育，是基礎(chǔ)教育課程改革的顯著特點(diǎn).《高中新課標(biāo)》又提出:“數(shù)學(xué)是人類(lèi)文化的重要組成部分.數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)反映數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢(shì)，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神.數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類(lèi)文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀.在《高中新課標(biāo)》中，數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展觀念已經(jīng)成為整個(gè)數(shù)學(xué)課程的一個(gè)基本理念，數(shù)學(xué)發(fā)展中的許多典型問(wèn)題、數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和理解的實(shí)例已經(jīng)進(jìn)入到數(shù)學(xué)課程中，成為教材的一部分[34].在《高中新課標(biāo)》中，《數(shù)學(xué)史選講》作為一個(gè)高中選修系列模塊的一個(gè)專(zhuān)題有18學(xué)時(shí).這充分體現(xiàn)了此次數(shù)學(xué)課程改革對(duì)數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用和價(jià)值的重視.由此可見(jiàn)，把數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的結(jié)合已是歷史的必然.無(wú)論是從數(shù)學(xué)史的功能、數(shù)學(xué)史的教育價(jià)值還是數(shù)學(xué)史的審美觀念等各個(gè)層面來(lái)看，把數(shù)學(xué)史當(dāng)成教學(xué)的手段和工具還是把數(shù)學(xué)史當(dāng)成數(shù)學(xué)知識(shí)教學(xué)的一部分都是應(yīng)該的.數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用是大家的共識(shí)，數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育是世界數(shù)學(xué)教育改革的趨勢(shì)，也是教育自身發(fā)展的必然規(guī)律.由于《新課標(biāo)》近幾年剛開(kāi)始實(shí)施，如何把數(shù)學(xué)史融入到課堂教學(xué)大部分教師沒(méi)有經(jīng)驗(yàn)，因此需要和數(shù)學(xué)教育者、教育研究者建立合作，共同來(lái)研究，共同來(lái)解決數(shù)學(xué)史融入的內(nèi)容、途徑、方式、方法等.在教育理論的指導(dǎo)下，進(jìn)行數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育的結(jié)合研究，也就是說(shuō)把數(shù)學(xué)史融入到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的行動(dòng)研究是非常必要的.1.2.2數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)行動(dòng)研究的現(xiàn)狀數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)行動(dòng)研究的現(xiàn)狀目前不容樂(lè)觀.在中學(xué)，大部分教師都是按照課本的要求進(jìn)行教學(xué)的，很少有教師尋求這一部分知識(shí)在歷史上是怎么出現(xiàn)的，課本為什么以這種方式來(lái)呈現(xiàn)，怎么把課本上呈現(xiàn)知識(shí)的方式與歷史上知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程去結(jié)合呢？有些研究者在這方面做過(guò)一些調(diào)查，如李伯春老師在《數(shù)學(xué)通報(bào)》發(fā)表的《一份關(guān)于數(shù)學(xué)史知識(shí)的調(diào)查》，張弓在《數(shù)學(xué)教學(xué)》發(fā)表的《一次數(shù)學(xué)史知識(shí)調(diào)查之所見(jiàn)》，丁益民在《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》中發(fā)表的《當(dāng)前課改中數(shù)學(xué)史教學(xué)現(xiàn)狀的調(diào)查分析》，從這些調(diào)查中本研究者可以看出目前教師的數(shù)學(xué)史知識(shí)比較匱乏，數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的資源比較少，因此一線教師有必要和數(shù)學(xué)教育者、數(shù)學(xué)史研究者、教育研究者建立合作，把數(shù)學(xué)史的融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)做為一種教育現(xiàn)象來(lái)研究，把教育現(xiàn)象和教育理論結(jié)合起來(lái)，通過(guò)這種行動(dòng)研究，從理論和實(shí)踐的層面共同解決這種教育現(xiàn)象，同時(shí)在研究數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的教育現(xiàn)象中，也為教育理論提供問(wèn)題源，通過(guò)解決這些問(wèn)題，豐富教育理論，反過(guò)來(lái)，這種教育理論的發(fā)展又很好地指導(dǎo)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)踐.因此從數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀可以看出，數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是采用行動(dòng)研究是比較合適的.1.2.3數(shù)學(xué)史融入中隨著課程改革，新的課標(biāo)的實(shí)施，數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)已是數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家的共識(shí)，到底數(shù)學(xué)史如何融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂是本研究者大家所關(guān)心的問(wèn)題，也是HPM第一次會(huì)議提出的尖銳問(wèn)題.本研究者要解決這個(gè)問(wèn)題，HPM研究者廣泛使用的“前試-實(shí)驗(yàn)/控制-后試”模式，由于該問(wèn)題對(duì)研究者和實(shí)踐者比較生疏，所以研究是要經(jīng)過(guò)不斷分析、開(kāi)發(fā)、設(shè)計(jì)、實(shí)施、評(píng)價(jià)、再分析、再開(kāi)發(fā)、再設(shè)計(jì)、再實(shí)施、再評(píng)價(jià)的一個(gè)螺旋式上升的一個(gè)過(guò)程.并且黃毅英（1998）也建議研究者采用IEA教學(xué)研究的“意圖-實(shí)施-達(dá)成”模式，即研究者根據(jù)一定的教學(xué)意圖設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，在教學(xué)活動(dòng)實(shí)施過(guò)程中通過(guò)觀察、反思等活動(dòng)了解執(zhí)行有關(guān)理念的程度，并對(duì)實(shí)施方案加以調(diào)整，從而促進(jìn)目標(biāo)的達(dá)成.這說(shuō)明數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的研究符合行動(dòng)研究理論和方法.1.3數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)行動(dòng)研究的條件數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，從文獻(xiàn)中可以看到，我國(guó)有一些高校教師進(jìn)行過(guò)研究，但做行動(dòng)研究的比較少.本研究者做為教研員，做行動(dòng)研究有著非常便利的條件.第一，本研究者經(jīng)常與一線教師接觸，經(jīng)常下校聽(tīng)課，了解一線教師、教學(xué)的現(xiàn)狀；第二，本研究者對(duì)中學(xué)的教材、教法、考試非常熟悉；第三，本研究者對(duì)教育、教學(xué)的理論比一線教師要認(rèn)識(shí)深刻；第四，本研究者數(shù)學(xué)史理論研究人員接觸很多，取得合作相對(duì)較易；第五，本研究者每周的教學(xué)研究活動(dòng)，不光有利于不同學(xué)校教師之間的交流，也有利于研究者和實(shí)踐者之間的交流；第六，本研究者進(jìn)行教師培訓(xùn)，經(jīng)常出去講學(xué)，研究的成果有利于推廣.以上的條件可以看出本研究將以教研員為核心，組成數(shù)學(xué)史專(zhuān)家、數(shù)學(xué)教育家、數(shù)學(xué)教師的一個(gè)團(tuán)隊(duì)，合作解決數(shù)學(xué)史如何融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué).第二章：文獻(xiàn)綜述2.1國(guó)外的研究成果國(guó)際上對(duì)數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用的相關(guān)研究和實(shí)踐操作已經(jīng)有了相當(dāng)程度的發(fā)展.1998年4月20日至26日,在法國(guó)馬賽附近luminy鎮(zhèn)，舉行了由國(guó)際數(shù)學(xué)教育委員(ICMI)發(fā)起的“數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教育中的作用”國(guó)際研討會(huì).此次會(huì)議的主題是數(shù)學(xué)文化，要求數(shù)學(xué)教學(xué)充分反映數(shù)學(xué)的文化底蘊(yùn),從課程內(nèi)容、概念形成、證明方法、習(xí)題配置等各個(gè)方面，全方位地使數(shù)學(xué)史融入、豐富和促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)[14].如何將數(shù)學(xué)史融入實(shí)際數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，是近年來(lái)國(guó)際上HPM（InternationalStudyGroupOntheRelationsbetweenHistoryandPedagogyofMathematics）研究者們關(guān)注的中心話題，HPM關(guān)注的內(nèi)容包括：數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系、多元文化的數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展、發(fā)生教學(xué)法、數(shù)學(xué)史與學(xué)生的困難、數(shù)學(xué)原始在教學(xué)中的應(yīng)用等等.一些國(guó)際知名的HPM研究者相繼對(duì)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的層次、過(guò)程、形式和途徑進(jìn)行行動(dòng)研究，并且得出了一些非常有意義的研究成果.2.1.1數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)行動(dòng)研究的成果一：融入的層次對(duì)于將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)有很多片面的理解，最普遍的是將其理解為在數(shù)學(xué)課堂中講點(diǎn)數(shù)學(xué)史以提高學(xué)生的興趣，顯然這只是數(shù)學(xué)史應(yīng)用的較低層次.洪萬(wàn)生指出教師應(yīng)用數(shù)學(xué)史至少可以分為三個(gè)層次[40]：（1）說(shuō)故事；（2）在歷史的脈絡(luò)中比較數(shù)學(xué)家所提供的不同方法，拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)全方位的認(rèn)知能力和思考彈性；（3）從歷史的角度注入數(shù)學(xué)活動(dòng)的文化意義，在數(shù)學(xué)教育過(guò)程中實(shí)踐多元文化關(guān)懷的理想.2.1.2數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)行動(dòng)研究的成果二：融入的過(guò)程將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)并不是在教學(xué)中插入幾個(gè)歷史故事那么簡(jiǎn)單，F(xiàn)uringhetti認(rèn)為，融入過(guò)程一般包括以下幾個(gè)階段[23]：（1）學(xué)習(xí)歷史資料；（2）選出適合課堂教學(xué)的話題；（3）分析課堂需要；（4）制定課堂活動(dòng)計(jì)劃；（5）完成方案；（6）對(duì)活動(dòng)的評(píng)價(jià).荷蘭著名的數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（H.Freudenthal,1905-1990）主張教學(xué)不一定完全遵循發(fā)明者的歷史足跡，而是要經(jīng)過(guò)一定的改良，符合學(xué)生的認(rèn)知，這樣才能更好突出歷史過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生思維[24].2.1.3數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)行動(dòng)研究的成果三：融入的形式數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)有隱性和顯性兩種形式.隱性融入是指根據(jù)歷史對(duì)教學(xué)內(nèi)容重新設(shè)計(jì)和加工，制作適用于教學(xué)的“歷史套裝”，在隱性融入過(guò)程中，數(shù)學(xué)史扮演的角色是擔(dān)當(dāng)教學(xué)設(shè)計(jì)的指南，因?yàn)椤皵?shù)學(xué)史并非最終目的，而是通過(guò)數(shù)學(xué)史的途徑以達(dá)到教學(xué)目的”[16].顯性地融入數(shù)學(xué)史旨在“描述數(shù)學(xué)發(fā)展的進(jìn)程[25]”.Barbin指出顯性融入的兩種錯(cuò)誤傾向，首先是如果教師只提供給學(xué)生有限的歷史片段，就可能造成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程的錯(cuò)誤或片面理解.當(dāng)前的不少數(shù)學(xué)教材，表面上看起來(lái)注重?cái)?shù)學(xué)史的應(yīng)用，但大多數(shù)只局限于在每一章節(jié)的后面增加幾個(gè)歷史注解，如數(shù)學(xué)家小傳、個(gè)別概念的發(fā)展歷史等，這實(shí)際上勢(shì)必導(dǎo)致教師將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課程割裂開(kāi)來(lái)，甚至認(rèn)為將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)與日常課堂教學(xué)背道而馳.另一個(gè)錯(cuò)誤傾向是“脫離數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，將融入數(shù)學(xué)史轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)史教學(xué)”[25].這種做法的直接結(jié)果是讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)史只不過(guò)是新增加的考試內(nèi)容而已，如此以來(lái)，恐怕連“激發(fā)學(xué)生的興趣”這一作用也會(huì)消失殆盡.2.1.4數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)行動(dòng)研究的成果四：融入的途徑在具體的教學(xué)過(guò)程中，將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)有很多做法，這取決于教師的信念、教學(xué)觀、課程內(nèi)容、歷史資源等諸多因素，已有的HPM文獻(xiàn)也提供了很多成功的經(jīng)驗(yàn)，包括使用傳記、游戲、歷史調(diào)查、本地歷史考察、歷史家庭作業(yè)、歷史命題、參觀、觀看影視作品甚至戲劇表演.JohnFauvel于1991年在《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)》（ForthelearningofMathematics）上編輯了一期教學(xué)中如何應(yīng)用數(shù)學(xué)史的專(zhuān)刊，其中列舉了應(yīng)用數(shù)學(xué)史的12種不同的具體做法.蕭文強(qiáng)對(duì)各種做法進(jìn)行了概括，提出了應(yīng)用數(shù)學(xué)史的8種具體方法和途徑[39]：在教學(xué)中穿插數(shù)學(xué)家的故事和言行；在講授某個(gè)數(shù)學(xué)概念時(shí)，先介紹它的歷史發(fā)展；應(yīng)用數(shù)學(xué)歷史名題講授數(shù)學(xué)概念，根據(jù)數(shù)學(xué)史上典型的錯(cuò)誤幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)困難；指導(dǎo)學(xué)生制作富有數(shù)學(xué)史趣味的壁報(bào)、專(zhuān)題研究、劇本、錄像等；應(yīng)用數(shù)學(xué)歷史文獻(xiàn)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)；在課堂內(nèi)容里滲透歷史發(fā)展的觀點(diǎn)；以數(shù)學(xué)史做指引設(shè)計(jì)整體課程；講授數(shù)學(xué)史的課.2.2國(guó)內(nèi)的研究成果雖然國(guó)內(nèi)外對(duì)數(shù)學(xué)史所具有的教育價(jià)值能夠在理論上達(dá)到共識(shí)，但如何將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)中，我國(guó)在這方面研究處于探索階段.張奠宙教授認(rèn)為應(yīng)用數(shù)學(xué)史于數(shù)學(xué)教學(xué)有助于將數(shù)學(xué)的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”，并且提出了應(yīng)用數(shù)學(xué)史將數(shù)學(xué)的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)”的三個(gè)途徑：[30]（1）揭示數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，形成正確的數(shù)學(xué)觀；（2）反樸歸真，揭示數(shù)學(xué)發(fā)展的過(guò)程，并使之適合今天的課堂教學(xué)；（3）提供真實(shí)的歷史材料，包括原始問(wèn)題、原始數(shù)據(jù)、原始過(guò)程、增強(qiáng)真實(shí)感、體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文精神.這三點(diǎn)不僅指出了數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)，也為數(shù)學(xué)史的具體運(yùn)用指明了方向.羅騰根在《談中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史教學(xué)》[40]對(duì)數(shù)學(xué)史的教學(xué)原則和數(shù)學(xué)史的教學(xué)方法進(jìn)行了論述，數(shù)學(xué)史的教學(xué)原則有：準(zhǔn)確性原則、交融性原則、可接受性原則.數(shù)學(xué)史的教學(xué)方法有以下四點(diǎn)：(1)在新授課進(jìn)行知識(shí)探求時(shí),作簡(jiǎn)短的數(shù)學(xué)史料的插話；(2)在解題教學(xué)中貫穿數(shù)學(xué)史料；(3)舉辦數(shù)學(xué)史講座或報(bào)告會(huì)；(4)組織興趣小組,課外搜集、閱讀、研究數(shù)學(xué)史料.上海師范大學(xué)數(shù)學(xué)系陳躍老師在《中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)史實(shí)教學(xué)的一些建議》一文中給出了關(guān)于三角恒等式的入門(mén)教學(xué)和用簡(jiǎn)化乘除的問(wèn)題引入對(duì)數(shù)的概念的具體建議.[41]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系汪曉勤老師在數(shù)學(xué)史如何融入數(shù)學(xué)教學(xué)方面做了不少的研究，在《數(shù)學(xué)通報(bào)》發(fā)表了“數(shù)學(xué)史如何融入中學(xué)數(shù)學(xué)教材”，在《中學(xué)教研》上發(fā)表了“HPM視角下的等比數(shù)列教學(xué)”，《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》發(fā)表了“幾何視角下的和角公式”等.浙江師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院朱哲老師在數(shù)學(xué)史如何融入數(shù)學(xué)教學(xué)方面也有自己深刻的看法，他在《中學(xué)數(shù)學(xué)》發(fā)表了“數(shù)學(xué)教育目的的深化和拓展:數(shù)學(xué)史的視角”，在《中學(xué)教研》發(fā)表了“從理論到實(shí)踐：數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)”，在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考上》發(fā)表了“一節(jié)基于數(shù)學(xué)史的教學(xué)課例:正四棱臺(tái)的體積公式”，在《中學(xué)教研》上發(fā)表了“等比數(shù)列前n項(xiàng)和的教學(xué)設(shè)計(jì)及其分析”等.從以上文獻(xiàn)本研究者可以看到,國(guó)外對(duì)于數(shù)學(xué)史如何融入數(shù)學(xué)教學(xué)的研究,不論從理念上還是從實(shí)踐上都達(dá)到了很高的程度,我國(guó)香港和臺(tái)灣地區(qū)的有關(guān)學(xué)者在HPM領(lǐng)域的活動(dòng)相當(dāng)活躍，做了很多出色的工作，但大陸HPM研究起步很晚，雖然有很多學(xué)者大聲呼吁“應(yīng)該講點(diǎn)數(shù)學(xué)史”，但探討如何做的研究明顯偏少.第三章：行動(dòng)研究3.1研究模式對(duì)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的行動(dòng)研究，其基本理念是以“數(shù)學(xué)史的融入到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的理念”為主線，以“教學(xué)評(píng)價(jià)”作為橋梁，將教學(xué)分析、設(shè)計(jì)、開(kāi)發(fā)、實(shí)施連接起來(lái)，成為一個(gè)反復(fù)循環(huán)的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，同時(shí)對(duì)這樣的教學(xué)過(guò)程進(jìn)行不斷地調(diào)節(jié)、改進(jìn)和優(yōu)化.分析分析評(píng)價(jià)開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)實(shí)施3.2研究方法本研究選用的方法一是“文獻(xiàn)法”.通過(guò)查閱大量的國(guó)內(nèi)、國(guó)外文獻(xiàn)，了解國(guó)內(nèi)、國(guó)外的研究現(xiàn)狀，明確研究方向，確定研究?jī)?nèi)容.本研究選用的方法二是“行動(dòng)研究法”.行動(dòng)研究法主要用在案例的開(kāi)發(fā)、研究上.課題選用的方法三是“觀察法”.在數(shù)學(xué)史融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式的研究中，研究人員要進(jìn)行聽(tīng)課，在聽(tīng)課中觀察教師的教學(xué)，觀察學(xué)生的情況，因此觀察法也是本研究者選擇的一種重要的研究方法.3.3研究案例對(duì)于案例的研究，本研究選擇中學(xué)數(shù)學(xué)，包括初中和高中，這樣有利于打通初中與高中的界限，從中學(xué)數(shù)學(xué)的整體上進(jìn)行研究.但由于中學(xué)有初中和高中之分，初中生和高中生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與認(rèn)知水平存在著很大的差異，因此在初中的融入與高中的融入不能一個(gè)水平,要根據(jù)學(xué)生本身的特點(diǎn)選擇合適的融入內(nèi)容、途徑和方法.案例開(kāi)發(fā)遵循的原則是思想性原則和歷史性的原則.思想性原則即在教材中挖掘充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的素材，從中進(jìn)行開(kāi)發(fā)、設(shè)計(jì).如解析幾何的思想性就很強(qiáng)，它體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合，體現(xiàn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化、代數(shù)問(wèn)題幾何化的核心思想.在教學(xué)中就可以抓住笛卡兒的思想，并根據(jù)笛卡兒的思想制定相應(yīng)的教學(xué)策略.歷史性原則即在教材中挖掘歷史性很強(qiáng)的素材,從歷史的發(fā)展脈絡(luò)中領(lǐng)悟概念、定理的發(fā)展與變化，并根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)進(jìn)行案例的開(kāi)發(fā)與設(shè)計(jì).例如函數(shù)的概念有著200多年的歷史，在初中和高中對(duì)函數(shù)概念的定義也是不同的.初中，從現(xiàn)實(shí)材料出發(fā),探討其中的變量關(guān)系,強(qiáng)調(diào)“一個(gè)變化過(guò)程中的兩個(gè)變量”,它們之間的依賴關(guān)系,用變量的觀點(diǎn)定義函數(shù).在這一過(guò)程中,學(xué)生對(duì)函數(shù)有了初步認(rèn)識(shí).與此同時(shí),也可能伴隨產(chǎn)生一些不夠準(zhǔn)確的觀點(diǎn),如:函數(shù)是隨著自變量的變化而變化的,函數(shù)與自變量的關(guān)系是由某種法則決定的等.在高中,從更為豐富的材料出發(fā),對(duì)我們已有的一些認(rèn)識(shí)重新審視,對(duì)“變量說(shuō)”進(jìn)行批判,運(yùn)用集合的語(yǔ)言,建構(gòu)函數(shù)的映射說(shuō),用映射的觀點(diǎn)定義函數(shù).值得我們深思的是:我們明明知道初中的教學(xué)容易把學(xué)生引向“變量說(shuō)”,為什么不加以避免,一定要讓學(xué)生經(jīng)歷由“變量說(shuō)”到“映射說(shuō)”的過(guò)程？這說(shuō)明函數(shù)觀念的形成是一個(gè)較長(zhǎng)的過(guò)程,任何跨越這個(gè)過(guò)程的企圖都是違背教學(xué)規(guī)律的.正如維特根斯坦所說(shuō):人們一定是從錯(cuò)誤開(kāi)始,然后由此轉(zhuǎn)向真理.要讓人相信真理,僅僅說(shuō)出真理是不夠的,人們還必須找到從錯(cuò)誤到真理的道路.分析教材、分析教師、分析學(xué)生，數(shù)學(xué)史融入到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的案例不可能在每個(gè)章節(jié)、每節(jié)課中研究開(kāi)發(fā)，經(jīng)過(guò)本研究者的實(shí)踐，數(shù)學(xué)史融入到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的案例可以在以下六個(gè)方面進(jìn)行：一是概念教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史,加深對(duì)概念的了解和認(rèn)識(shí)，同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；二是定理的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史,可知定理產(chǎn)生的過(guò)程并且可以深化對(duì)定理的理解；三是公式教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，可知公式產(chǎn)生的過(guò)程和作用；四是起始課教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史,可以了解課程內(nèi)容在數(shù)學(xué)發(fā)展史中所處的地位和作用，促使學(xué)生對(duì)學(xué)期或本單元學(xué)習(xí)內(nèi)容必要性的認(rèn)識(shí)；五是數(shù)學(xué)名題教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，體會(huì)、感悟數(shù)學(xué)思想和方法；六是方法的教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，欣賞、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的智能、思想和奮斗精神.3.3.1在多次的教材培訓(xùn)、聽(tīng)課、教學(xué)研討活動(dòng)和調(diào)研中，本研究者得到的突出體會(huì)是，一部分?jǐn)?shù)學(xué)教師在課堂上沒(méi)有抓住數(shù)學(xué)概念的核心進(jìn)行教學(xué)，而也有一部分有的教師甚至對(duì)概念的認(rèn)識(shí)達(dá)不到一定的層次和深度，而概念的教學(xué)又是課堂教學(xué)的焦點(diǎn)，因此對(duì)概念歷史的研究，可以加深教師對(duì)概念產(chǎn)生的來(lái)龍去脈的理解，對(duì)概念歷史作用的理解.教學(xué)中才能抓住概念的核心，設(shè)計(jì)出有思維深度的概念教學(xué).下面是兩個(gè)關(guān)于數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的概念教學(xué)設(shè)計(jì).課題:變量與函數(shù)案例來(lái)源說(shuō)明：本案例選自人教版義務(wù)教育教材數(shù)學(xué)八年級(jí)（上）第十一章《一次函數(shù)》的第11.1節(jié)《變量與函數(shù)》.案例設(shè)計(jì)思想本節(jié)課是學(xué)生第一次接觸變量與函數(shù)的概念．雖然，學(xué)生在生活和以往的學(xué)習(xí)經(jīng)歷中已經(jīng)積累了一些關(guān)于變量與函數(shù)的直觀體驗(yàn)和關(guān)于變化的認(rèn)識(shí).但是作為數(shù)學(xué)概念來(lái)學(xué)習(xí)，事實(shí)上要在這些經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行加工和抽象.因此，作為初中學(xué)習(xí)函數(shù)的起始課，本節(jié)課的地位十分重要．這節(jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生理解函數(shù)的概念，從而會(huì)判斷兩個(gè)變量是否構(gòu)成函數(shù)．為此，設(shè)計(jì)了讓學(xué)生探究函數(shù)概念的教學(xué)過(guò)程．學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念的探究，是圍繞著一條明線和一條暗線展開(kāi)的．明線為兩個(gè)變量，暗線為函數(shù)概念在歷史上的幾次演變過(guò)程．學(xué)生在探究函數(shù)概念的過(guò)程中，經(jīng)歷了三次函數(shù)概念的擴(kuò)張，并最終歸納、總結(jié)、抽象、概括出現(xiàn)行初中課本中的函數(shù)概念．這樣讓學(xué)生沿著數(shù)學(xué)家們?cè)?jīng)探索函數(shù)概念走過(guò)的路，經(jīng)歷一次次地提出概念、一次次地被推翻的概念探究過(guò)程，能夠讓學(xué)生對(duì)概念的發(fā)展、內(nèi)涵與外延認(rèn)識(shí)地更加深刻．同時(shí)，能夠極大地培養(yǎng)學(xué)生的批判精神和探索精神，發(fā)展學(xué)生經(jīng)得起打擊，受得起挫折的頑強(qiáng)品質(zhì)．這節(jié)課在北京市第2中分校實(shí)施，2中分校是北京市東城區(qū)一類(lèi)學(xué)校，學(xué)生水平和能力相對(duì)來(lái)說(shuō)都比較高.案例的詳細(xì)內(nèi)容與實(shí)踐反思：變量與函數(shù)【教學(xué)目標(biāo)】1．知識(shí)與技能：（1）學(xué)生能從具體的事件中提煉出變量和常量，能給出變量和常量的定義.（2）學(xué)生能通過(guò)幾個(gè)具體實(shí)例，逐步抽象、概括出函數(shù)的定義.（3）學(xué)生對(duì)于含有兩個(gè)變量的一個(gè)具體的問(wèn)題，能夠判斷該問(wèn)題是否為函數(shù).2．過(guò)程與方法：學(xué)生在探索中經(jīng)歷了一次次的思考、歸納、總結(jié)、抽象、概括函數(shù)概念的過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生初步體會(huì)從特殊到一般，從具體到抽象研究問(wèn)題的方法．3．情感態(tài)度與價(jià)值觀：在函數(shù)定義的探究中，學(xué)生可以感受到或體會(huì)到函數(shù)定義來(lái)之不易，學(xué)生的批判思維得到培養(yǎng)，頑強(qiáng)的品質(zhì)得到鍛煉.【教學(xué)重點(diǎn)】探究函數(shù)的定義.【教學(xué)難點(diǎn)】理解函數(shù)的定義.【教學(xué)方式】教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生自主探究.【教學(xué)手段】多媒體投影、計(jì)算機(jī)輔助教學(xué).【教學(xué)過(guò)程】一、創(chuàng)設(shè)情景，引出課題例1：劉翔2006年勇奪亞運(yùn)會(huì)男子110米跨欄金牌.賽后，根據(jù)亞運(yùn)會(huì)田徑部門(mén)公布，劉翔在這場(chǎng)比賽中的平均速度達(dá)到8.3米/秒，下面我們來(lái)了解在本場(chǎng)比賽中他在每一時(shí)刻所跑過(guò)的路程的大致情況．時(shí)間t（秒）12345678…跑過(guò)路程s（米）8.316.624.933.241.549.858.166.4…問(wèn)題：1．事件中有幾個(gè)數(shù)值發(fā)生改變的量？有幾個(gè)數(shù)值不變的量？2．變量與常量如何定義？3．變量與常量在生活中的例子有哪些？4．寫(xiě)出下列兩式的表達(dá)式，并指出其中的變量與常量．（1）設(shè)圓的面積為s，半徑為r，則s怎樣用r來(lái)表示呢？（2）已知圓柱體的底面積為9平方米，高為h，則體積V怎樣用底面積與h表示呢？[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)探究常量和變量，為研究函數(shù)的概念做好鋪墊.二、探索研究，形成概念1．讓學(xué)生寫(xiě)出例1中s與t的表達(dá)式.提問(wèn)：結(jié)合上述幾個(gè)例子，從兩個(gè)變量聯(lián)系的角度，你能試著給出函數(shù)的定義嗎？[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)前面幾個(gè)例子的思考與分析，讓學(xué)生從表達(dá)式的角度理解兩個(gè)變量的關(guān)系，完成對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的第一次抽象認(rèn)識(shí)．例2：姚明職業(yè)生涯技術(shù)統(tǒng)計(jì)賽季（n）02-0303-0404-0505-0606-07場(chǎng)均得分（p）13.517.518.322.325.0問(wèn)題：1．表格中有變量嗎？是什么？2.賽季與場(chǎng)均得分這兩個(gè)變量有關(guān)系嗎？3．隨著賽季數(shù)值的變化，場(chǎng)均得分怎么樣變化？4.你能寫(xiě)出賽季n與場(chǎng)均得分p之間的表達(dá)式嗎？例3：某地一天內(nèi)的氣溫變化情況．問(wèn)題：1．圖像中有變量嗎？是什么？這兩個(gè)變量有關(guān)系嗎？2．你能寫(xiě)出溫度T與時(shí)間t的表達(dá)式嗎？3．上面總結(jié)的函數(shù)概念是否完善，不完善該如何補(bǔ)充？[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)例2的姚明職業(yè)生涯技術(shù)統(tǒng)計(jì)表格和例3的天氣變化圖像，讓學(xué)生從對(duì)函數(shù)的解析式理解過(guò)度到函數(shù)概念是兩個(gè)變量間互相依賴關(guān)系的認(rèn)識(shí)，完成對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的第二次抽象認(rèn)識(shí)．例4：北京的出租車(chē)是這樣計(jì)費(fèi)的：在不超過(guò)三公里的情況下，收取基價(jià)10元；超過(guò)三公里后，超過(guò)部分每公里按2元計(jì)費(fèi)．問(wèn)題：1．在里程不超過(guò)三公里的情況下，里程改變，錢(qián)數(shù)改變嗎？2．這個(gè)例子與我們給出的函數(shù)的概念矛盾嗎？3．那應(yīng)如何進(jìn)一步完善我們剛才給出的函數(shù)定義呢？[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)出租車(chē)計(jì)費(fèi)的例子，讓學(xué)生從函數(shù)概念的變量的依賴關(guān)系過(guò)度到兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，完成對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的第三次抽象認(rèn)識(shí).三、歸納抽象，形成定義1．回放前面四個(gè)例子，讓學(xué)生討論這四個(gè)例子的關(guān)鍵點(diǎn)．如例1，（1）在這個(gè)變化過(guò)程中，當(dāng)t=1時(shí)，s=？當(dāng)t=7時(shí)，s=？（2）每給定t的一個(gè)值時(shí)，s的值會(huì)怎樣？2．歸納、抽象出函數(shù)的定義：在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)．3．強(qiáng)調(diào)函數(shù)概念中的兩個(gè)關(guān)鍵詞讓學(xué)生再次對(duì)照著前面的四個(gè)例子提煉出函數(shù)定義中“確定”與“唯一確定”這兩個(gè)關(guān)鍵詞．[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)學(xué)生自己歸納總結(jié)，讓學(xué)生經(jīng)歷批判和相互推翻的過(guò)程，最終由學(xué)生將關(guān)鍵點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，形成與現(xiàn)行初中函數(shù)定義很接近的定義，完成對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的第四次抽象認(rèn)識(shí)，在一定程度上完成了對(duì)函數(shù)概念內(nèi)涵的比較完整的數(shù)學(xué)抽象認(rèn)識(shí).四、運(yùn)用史料，促進(jìn)理解例5：寄信：（1）有一個(gè)信封上出現(xiàn)了兩個(gè)地址“北京二中分校馬岳老師收”以及“北京四中武紅梅老師收”，此時(shí)郵遞員還能把信發(fā)出去嗎？[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)寄信這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，引出“一對(duì)一”與“多對(duì)一”的概念，從而讓學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)的定義．（2）講述“函”字的古意，即為“信封”的意思．（3）講述李善蘭借用“函”字古意翻譯“function”為“函數(shù)”的故事.[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)查看“函”字的古意以及聆聽(tīng)李善蘭創(chuàng)用“函數(shù)”一詞的故事，使學(xué)生在體驗(yàn)中獲得對(duì)“函數(shù)”這一名詞由來(lái)的認(rèn)識(shí)．五、舉例分析，深化定義1．?dāng)?shù)字游戲：（1）左邊的數(shù)都減去2得到了右邊的數(shù)．61-1161-11-283-90問(wèn)題：如果用x來(lái)代表左邊的數(shù)字，用y來(lái)代表右邊的數(shù)字，那變量y是否是變量x的函數(shù)？為什么？（2）左邊的數(shù)都平方得到右邊的數(shù)．64818-864818-8-99問(wèn)題：如果用x來(lái)代表左邊的數(shù)字，用y來(lái)代表右邊的數(shù)字，那變量y是否是變量x的函數(shù)？為什么？[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)這兩個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)字問(wèn)題，進(jìn)一步讓學(xué)生感受“一對(duì)一”與“多對(duì)一”．2．半圓問(wèn)題：判斷下面半圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）中的變量是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系．圖1圖2[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)用圖像給出一正一反兩個(gè)例子，讓學(xué)生落實(shí)“只有‘一對(duì)一’和‘多對(duì)一’才能稱(chēng)為函數(shù)，‘一對(duì)多’不是函數(shù)”．六、歸納反饋，布置作業(yè)1．概念總結(jié)（1）知識(shí)角度：讓學(xué)生談?wù)劚竟?jié)課學(xué)到了哪些知識(shí)．（2）方法角度：讓學(xué)生總結(jié)判斷是否為函數(shù)的方法．（3）情感角度：讓學(xué)生談?wù)勌骄亢瘮?shù)定義時(shí)的感受．2．布置作業(yè)課本第18頁(yè)習(xí)題11.1第1、2、6、7題．[設(shè)計(jì)意圖]進(jìn)行課堂教學(xué)的反饋，組織和指導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、方法和情感角度總結(jié)本節(jié)課的收獲，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)．課題:平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算率案例來(lái)源說(shuō)明：本案例選自人教大綱版教材數(shù)學(xué)第一冊(cè)(下)第五章《平面向量》的第5.6節(jié)《平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算率》案例設(shè)計(jì)思想在中學(xué)，大部分教師都是按照課本的要求進(jìn)行教學(xué)的，很少有教師尋求這一部分知識(shí)在歷史上是怎么出現(xiàn)的，課本為什么以這種方式來(lái)呈現(xiàn)，怎么把課本上呈現(xiàn)知識(shí)的方式與歷史上知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程去結(jié)合呢？平面向量的數(shù)量積概念的教學(xué)在中學(xué)目前有兩個(gè)層次，第一層次采用空降兵方式，直接給出概念，然后對(duì)概念進(jìn)行剖析和應(yīng)用；第二層次采用課本上給出的方式，從功的概念中引入平面向量數(shù)量積概念.這樣有可能給學(xué)生造成一種誤解，認(rèn)為平面向量數(shù)量積是為了解決功的問(wèn)題而引入的運(yùn)算，實(shí)際上數(shù)量積的概念并不是從功的概念中抽象出來(lái)的，數(shù)量積的概念先于功的概念，功只是數(shù)量積概念的一種物理解釋?zhuān)虼税褦?shù)量積產(chǎn)生的歷史背景作為課堂教學(xué)的切入點(diǎn)，讓學(xué)生從歷史的角度理解概念，同時(shí)滲透數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.本節(jié)課是在HPM思想指導(dǎo)下進(jìn)行概念教學(xué)的一次有意義的探索和嘗試.這節(jié)課是在北京市第166中學(xué)實(shí)施的，166中學(xué)是北京市高中示范校，但學(xué)生水平在我區(qū)重點(diǎn)校中處于偏低的位置.案例的詳細(xì)內(nèi)容與實(shí)踐反思：平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律一、設(shè)置情境、引入課題1．復(fù)習(xí)平面向量的加法、減法和數(shù)乘的運(yùn)算.2．分析力的做功問(wèn)題，得出，指出像的運(yùn)算就是今天要學(xué)習(xí)的平面向量的數(shù)量積.[設(shè)計(jì)意圖]復(fù)習(xí)平面向量加法、減法和數(shù)乘的運(yùn)算及運(yùn)算結(jié)果，同時(shí)從學(xué)生容易理解的力的做功問(wèn)題切入，引出數(shù)量積運(yùn)算，使學(xué)生對(duì)數(shù)量積運(yùn)算有個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，尤其是運(yùn)算結(jié)果為數(shù)量形式與加法、減法和數(shù)乘的運(yùn)算結(jié)果為向量形式形成對(duì)比.二、探索概念、突出本質(zhì)夾角概念的探究（1）如右圖，給出兩個(gè)非零向量，引導(dǎo)學(xué)生探究這兩個(gè)向量的夾角.（2）如下圖：與夾角分別為多少？[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)對(duì)力的做功問(wèn)題的分析，以及對(duì)數(shù)量積的產(chǎn)生過(guò)程的介紹，學(xué)生對(duì)數(shù)量積已經(jīng)有一個(gè)初步認(rèn)識(shí)，但是還不夠明確，數(shù)量積定義中涉及兩個(gè)向量的夾角概念，所以需要引導(dǎo)學(xué)生先掌握夾角的概念.通過(guò)探究向量的五種位置關(guān)系的夾角,使學(xué)生進(jìn)一步理解向量夾角是將兩個(gè)向量平移到同一起點(diǎn)，再看夾角，同時(shí)總結(jié)出向量夾角的范圍為0≤≤180.數(shù)量積概念的探究已知兩個(gè)非零向量和，它們的夾角為，本研究者把數(shù)量︱︱︱︱cos叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：·，即·=︱︱︱︱cos.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.備注：①記法“·”中間的“·”不可以省略，也不可以用“”代替.②兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角有關(guān)，符號(hào)由cos的符號(hào)所決定.[設(shè)計(jì)意圖]由于前面探究、學(xué)習(xí)的積淀，數(shù)量積的定義應(yīng)該來(lái)說(shuō)是水到渠成了，在完成數(shù)量積的定義學(xué)習(xí)后，教師對(duì)“·”中間的“·”以及兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量進(jìn)行分析，使學(xué)生重視數(shù)量積運(yùn)算的特殊性，完成對(duì)數(shù)量積概念的進(jìn)一步認(rèn)識(shí).數(shù)量積概念的背景探究回到力的做功，，根據(jù)數(shù)量積的定義，功是力與位移的數(shù)量積，這就是數(shù)量積的物理意義.[設(shè)計(jì)意圖]與本節(jié)課最開(kāi)始的力的做功問(wèn)題相呼應(yīng)，同時(shí)給出數(shù)量積定義的物理解釋.數(shù)量積概念的幾何探究力的做功，只有跟位移方向一致的分力做功，這個(gè)分力的大小為，這在數(shù)學(xué)上叫做在方向上的投影，這樣與的數(shù)量積就可以解釋為與在方向上的投影的乘積，這就是數(shù)量積的幾何解釋?zhuān)◣缀萎?huà)板演示投影的變化）.[設(shè)計(jì)意圖]結(jié)合力的做功問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)向量投影和數(shù)量積的幾何意義有個(gè)初步的認(rèn)識(shí)，從而引入數(shù)學(xué)上向量投影和數(shù)量積的幾何意義.通過(guò)幾何畫(huà)板演示投影的變化，加深對(duì)投影的認(rèn)識(shí).數(shù)量積運(yùn)算律的探究既然數(shù)量積是向量的一種運(yùn)算，本研究者定義完運(yùn)算后應(yīng)該進(jìn)一步研究數(shù)量積的運(yùn)算律，那么數(shù)量積運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律嗎？·=·？(·)=(·)？(+)·=·+·？···不需要分析嗎？如何驗(yàn)證這些運(yùn)算律成立，學(xué)生一般情況會(huì)從定義出發(fā)，對(duì)于結(jié)合律，教師可以提示學(xué)生數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量.對(duì)于分配律，教師先引導(dǎo)學(xué)生分析按照定義驗(yàn)證會(huì)出現(xiàn)三個(gè)夾角，給證明等式兩邊相等帶來(lái)了一定的困難，這樣本研究者可以選擇用數(shù)量積的幾何意義來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證.[設(shè)計(jì)意圖]類(lèi)比數(shù)量乘法讓學(xué)生說(shuō)出數(shù)量積可能滿足的運(yùn)算律：交換律、結(jié)合律、分配律，培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比思想.類(lèi)比過(guò)來(lái)的運(yùn)算律是否成立，還需要驗(yàn)證，驗(yàn)證的依據(jù)應(yīng)該是定義.學(xué)生很容易驗(yàn)證交換律成立.驗(yàn)證結(jié)合律時(shí)有困難，學(xué)生不容易想到“(·)表示一個(gè)與共線的向量，而(·)表示一個(gè)與共線的向量，而與一般不共線，所以(·)≠(·)”，所以教師提示數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量.驗(yàn)證分配律，對(duì)學(xué)生而言難度較大，所以教師根據(jù)數(shù)量積的幾何意義驗(yàn)證了分配律.反饋練習(xí)、歸納小結(jié)1．課堂練習(xí)判斷正誤，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由（1）·＝；（2）0·＝０；（3）－＝；（4）｜·｜＝｜｜｜｜；（5）若≠，則對(duì)任一非零向量有·≠０；（6）·＝０，則與中至少有一個(gè)為；（7）對(duì)任意向量，，都有（·）＝（·）；（8）若=，則=；（9）與是兩個(gè)單位向量，則2＝2概念、方法小結(jié)（1）本節(jié)課本研究者學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？（2）本節(jié)課主要采用了什么研究方法？（3）類(lèi)比向量的線性運(yùn)算，本研究者還應(yīng)該怎樣研究數(shù)量積？如果要回答的話，這兩個(gè)怎么回答呢？布置作業(yè)1.已知︱︱=5,︱︱=4,與的夾角=120°，求·2.設(shè)︱︱=12,︱︱=9,·＝，求和的夾角.3.已知△ABC中，當(dāng)·<0,·＝0，或·>0時(shí)，△ABC各是什么樣的三角形？[設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)課堂教學(xué)的反饋，了解學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的掌握情況，同時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)習(xí)研究的內(nèi)容、方法以及情感體驗(yàn)上歸納、總結(jié)學(xué)習(xí)的收獲和體會(huì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)，做好鋪墊.四、查閱史料、追溯來(lái)源數(shù)學(xué)中的運(yùn)算好多是為解決實(shí)際問(wèn)題而引入的，那么平面向量的數(shù)量積運(yùn)算是不是因?yàn)槲锢碇杏辛Φ淖龉?，所以在?shù)學(xué)中就要定義平面向量的數(shù)量積運(yùn)算呢？這個(gè)問(wèn)題我事先也不是很清楚，但為了解決這個(gè)問(wèn)題，我查閱了很多資料，發(fā)現(xiàn)并我們想象的那樣，那么在數(shù)學(xué)的發(fā)展過(guò)程中，數(shù)量積究竟是怎樣產(chǎn)生的？請(qǐng)大家和我一起來(lái)分享史料.傳奇人物GrassmannGrassmann（1809～1877）德國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教師1832年最初的向量想法TheoryoftheEbbandFlow涉及數(shù)量積和向量積完整理論《線性擴(kuò)張論》，內(nèi)容涉及n維空間和16種乘積運(yùn)算(包括數(shù)量積和向量積)，Grassmann定義特殊情況n＝2時(shí)平面向量的數(shù)量積是：已知，，其中是實(shí)數(shù)，是兩個(gè)單位向量，它們從原點(diǎn)出發(fā)，順序確定一個(gè)右手直角坐標(biāo)系.則和的數(shù)量積是，等價(jià)于(分別為向量和的長(zhǎng)度及它們的夾角).但是，由于敘述抽象，以及思想的高度獨(dú)創(chuàng)性(totallyoriginal)，這些都給讀者的理解帶來(lái)很大困難，看看數(shù)學(xué)家的評(píng)論吧！M?bius—unreadable,Baltzer—readingthebookmadehimfeeldizzyHamilton—toreadtheAusdehnungslehrehewouldhavetolearntosmoke.Fearnley-Sander:Allmathematiciansstand,asNewtonsaidhedid,ontheshouldersofgiants,butfewhavecomecloserthanHermannGrassmanntocreating,single-handedly,anewsubject.所以他的工作在當(dāng)時(shí)并沒(méi)有推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展.Hamilton（1805～1865）英國(guó)數(shù)學(xué)家1830復(fù)數(shù)可以表示平面上的向量已經(jīng)是熟知的，而且有些數(shù)學(xué)家開(kāi)始尋找“三維復(fù)數(shù)”的對(duì)應(yīng)物1830—1843Hamilton用13年尋找到“三維復(fù)數(shù)”的對(duì)應(yīng)物——四元數(shù)，并且定義了四元數(shù)的乘積.Gibbs1839–1903耶爾(Yale)學(xué)院的數(shù)學(xué)物理教授，他發(fā)現(xiàn)四元數(shù)的乘積在物理中應(yīng)用起來(lái)不是很方便，所以根據(jù)物理的需要，定義了另外兩種乘積：數(shù)量積和向量積，此后，他又開(kāi)始研究Grassmann的工作，驚奇地發(fā)現(xiàn)“IsawthatthemethodswhatIwasusing,whilenearlythoseofHamilton,werealmostexactlythoseofGrassmann.”Heaviside1850–1925英國(guó)建立向量分析，他的結(jié)果本質(zhì)上與Gibbs的相融合，只是記法不同[設(shè)計(jì)意圖]教師首先闡述了查閱資料的動(dòng)機(jī)，這樣教師研究問(wèn)題、探索問(wèn)題的方法和精神會(huì)對(duì)學(xué)生有一定的影響；然后教師將查閱到的資料與學(xué)生分享，這樣不僅使學(xué)生對(duì)數(shù)量積的產(chǎn)生過(guò)程有一個(gè)比較清楚而且正確的認(rèn)識(shí)，同時(shí)激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能使學(xué)生感受數(shù)學(xué)家鍥而不舍的探索精神和鉆研精神.五、研究學(xué)生，篩選史料本研究者教學(xué)時(shí)參考的資料主要是參考文獻(xiàn)中的[1]和[2],但是根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和課堂教學(xué)的需要，不能將原始材料原原本本的搬進(jìn)課堂，于是對(duì)資料進(jìn)行了適當(dāng)?shù)暮Y選和調(diào)整，具體措施如下:1．資料：1844年Grassmann發(fā)表完整理論《線性擴(kuò)張論》，內(nèi)容涉及n維空間，其中數(shù)量積定義與現(xiàn)在的相同.特別地，[1]中還給出n=3時(shí)數(shù)量積的定義，,,其中是實(shí)數(shù)，是三個(gè)單位向量，它們從原點(diǎn)出發(fā)，順序確定一個(gè)右手直角坐標(biāo)系.則和的數(shù)量積是，等價(jià)于（分別為向量和的長(zhǎng)度及它們的夾角）.學(xué)生情況：·資料中的向量記號(hào)與現(xiàn)在所學(xué)的向量記號(hào)有所不同，不便于學(xué)生的閱讀和理解.·學(xué)生沒(méi)有學(xué)過(guò)立體幾何，空間想象能力不強(qiáng)，但是他們對(duì)平面向量比較熟悉，而且剛剛學(xué)過(guò)平面向量基本定理；·學(xué)生沒(méi)有學(xué)過(guò)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,但是很快就會(huì)學(xué)到；課堂實(shí)施:·將資料中的向量記號(hào)統(tǒng)一成現(xiàn)在的向量記號(hào)，如.·給學(xué)生展示的是Grassmann定義的特殊情況n=2時(shí)平面向量的數(shù)量積：已知，，其中是實(shí)數(shù)，是兩個(gè)單位向量，它們從原點(diǎn)出發(fā)，順序確定一個(gè)右手直角坐標(biāo)系.則和的數(shù)量積是，等價(jià)于(分別為向量和的長(zhǎng)度及它們的夾角).·保留坐標(biāo)運(yùn)算形式：.一方面是因?yàn)閷W(xué)生很快就會(huì)學(xué)到；另一方面更重要的是因?yàn)橐鹬財(cái)?shù)學(xué)史，而且后面將要談到的Gibbs和Heaviside定義的數(shù)量積也是這種形式.2．資料[2]1830—1843年，Hamilton用了13年的時(shí)間終于尋找到“三維復(fù)數(shù)”的對(duì)應(yīng)物—四元數(shù)，并且定義了四元數(shù)的乘積.具體如下：Thesearehighercomplexnumbersoftheforma+xi+yj+zk,wherea,x,y,zarerealnumbersandi,j,andkarethreedistinctimaginarynumbersobeyingthefollowingrulesofmultiplication:ij=k,jk=i,ki=j,ji=–k,kj=–i,ik=–j,ii=jj=kk=–1.Fromthisweseethatfortwoquaternionsinwhichthefirstpart,therealnumber,isequaltozeroQ=xi+yj+zkandQ′=+x”i+y”j+z”k, theirproductQQ′=–(xx′+yy′+zz′)+i(yz′–zy′)+j(zx′–xz′)+k(xy′–yx′).學(xué)生情況：學(xué)生抽象思維能力比較差，而且上述資料涉及很多符號(hào)，學(xué)生很難理解上述四元數(shù)的定義及其乘法.課堂實(shí)施:只陳述事實(shí)：1830—1843年，Hamilton用了13年的時(shí)間終于尋找到“三維復(fù)數(shù)”的對(duì)應(yīng)物—四元數(shù)，并且定義了四元數(shù)的乘積.不出現(xiàn)四元數(shù)定義及其乘法的具體形式.3．資料[1]按照Gibbs和Heaviside所提出的，一個(gè)向量不過(guò)是四元數(shù)的向量部分，但獨(dú)立于任何四元數(shù).這樣，向量是，這里分別是沿軸的單位向量，系數(shù)是實(shí)數(shù).并且定義了數(shù)量積和向量積(詳見(jiàn)資料[1]).學(xué)生情況：學(xué)生的抽象思維能力比較差，而且沒(méi)有學(xué)過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算，不容易理解資料中的數(shù)量積定義以及它們與四元數(shù)乘積的關(guān)系.課堂實(shí)施: