串講05 圓的方程（考點串講）（解析版）

串講05圓的方程知識結(jié)構(gòu)要點梳理知識點一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程基本要素當(dāng)圓心的位置與半徑的大小確定后，圓就唯一確定了，因此，確定一個圓的基本要素是圓心和半徑標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為C(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2圖示說明若點M(x，y)在圓C上，則點M的坐標(biāo)適合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；反之，若點M(x，y)的坐標(biāo)適合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則點M在圓C上知識點二點與圓的位置關(guān)系圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圓心為(a，b)，半徑為r，點P(x0，y0)，設(shè)d＝|PC|＝eq\r(x0－a2＋y0－b2).位置關(guān)系d與r的大小圖示點P的坐標(biāo)的特點點在圓外d>r(x0－a)2＋(y0－b)2>r2點在圓上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點在圓內(nèi)d<r(x0－a)2＋(y0－b)2<r2知識點三圓的一般方程(1)方程：當(dāng)D2＋E2－4F>0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程，其中圓心為C(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))，半徑為r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).(2)說明：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不一定表示圓．當(dāng)且僅當(dāng)D2＋E2－4F>0時，表示圓：當(dāng)D2＋E2－4F＝0時，表示一個點(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))；當(dāng)D2＋E2－4F<0時，不表示任何圖形．知識點四用“待定系數(shù)法”求圓的方程的步驟：①根據(jù)題意，選擇圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或圓的一般方程；②根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組；③解出a、b、r或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．知識點五直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)__2__個__1__個__0__個判斷方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離為d＝__eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))____d<r____d＝r____d>r__代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消元得到一元二次方程，可得方程的判別式Δ__Δ>0____Δ＝0____Δ<0__知識點六解決實際問題的一般程序仔細(xì)讀題(審題)→建立數(shù)學(xué)模型→解答數(shù)學(xué)模型→檢驗，給出實際問題的答案．題型探究：考點一圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例1.在平面直角坐標(biāo)系中，圓心為，半徑為2的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圓心和半徑直接確定圓的方程.【詳解】由題意可得方程為.故選：C.例2．已知兩點和，則以為直徑的圓的方程是【答案】【分析】根據(jù)點，的坐標(biāo)得到圓心和半徑，然后寫圓的方程即可.【詳解】線段的中點為圓心，所以圓心坐標(biāo)為，又，所以圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.例3．經(jīng)過三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，將點代入即可求解.【詳解】設(shè)圓，則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.【歸納提升】(1)要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程需要兩個條件(包含三個代數(shù)量)：圓的圓心坐標(biāo)和圓的半徑長；反之如果已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程也能直接得到圓的圓心坐標(biāo)和半徑；(2)求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，一般先求出圓心和半徑，再寫方程．【變式】1.已知圓的圓心在，半徑為5，則它的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得解.【詳解】因為圓心為，半徑為5，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：C2.寫出一個圓心在x軸上，半徑為1的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)圓心位置和半徑，即可得答案.【詳解】由題意可得圓心在x軸上，半徑為1的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是，故答案為：3．已知圓心在軸上的圓經(jīng)過，兩點，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由圓心在軸上設(shè)出圓心坐標(biāo),設(shè)出圓的方程,將,兩點坐標(biāo)代入,即可求得圓心坐標(biāo)和半徑,進而得圓的方程.【詳解】因為圓心在軸上,設(shè)圓心坐標(biāo)為,半徑為設(shè)圓的方程為因為圓經(jīng)過,兩點代入可得解方程求得所以圓C的方程為故選:A考點二判斷點與圓的位置關(guān)系例4.已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則點（

）A．在圓外 B．在圓內(nèi)C．在圓上 D．不能確定【答案】B【分析】求出點到圓心的距離與圓的半徑比較大小即可【詳解】圓的圓心為，半徑為2，因為，所以點在圓內(nèi).故選：B例5．若點在圓的內(nèi)部，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用點與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】由題意可得，解得.故選：A.【歸納提升】點與圓的位置關(guān)系的判斷方法：(1)幾何法：利用圓心到該點的距離d與圓的半徑r比較；(2)代數(shù)法：直接利用下面的不等式判定：①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，點在圓外；②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，點在圓上；③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，點在圓內(nèi)．【變式】1.已知圓的方程是，則點（

）A．在圓心 B．在圓上C．在圓內(nèi) D．在圓外【答案】C【分析】把點的坐標(biāo)代入圓標(biāo)準(zhǔn)方程，由與的大小關(guān)系判斷．【詳解】因為，所以點P在圓內(nèi)．故選：C．2.已知點在圓4的外部，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)點在圓外列不等式求參數(shù)范圍即可.【詳解】由題意，即，可得或.所以的取值范圍為.故答案為：考點三圓的一般方程例6.圓的圓心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將圓的一般方程配方得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求解.【詳解】將配方得，所以圓心坐標(biāo)為，故選：D．例7.已知方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的要求可直接構(gòu)造不等式求解.【詳解】方程表示圓，，即，解得：，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.【歸納提升】形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圓時可有兩種方法：①由圓的一般方程的定義，若D2＋E2－4F>0，則表示圓，否則不表示圓；②將方程配方，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解．應(yīng)用這兩種方法時，要注意所給方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0這種標(biāo)準(zhǔn)形式．若不是，則要化為這種形式再求解．【變式】1．圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為．【答案】【分析】利用配方法，將圓化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】將圓化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，則圓心坐標(biāo)為，半徑為5．故答案為：，5．2.已知方程表示圓，則k的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)圓的一般方程可知，即可求得k的取值范圍.【詳解】由題意可知，方程可化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，只有，即時才能表示圓；所以，k的取值范圍是.考點四用待定系數(shù)法求圓的方程例8．經(jīng)過三點的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)出圓的一般方程，將三個點的坐標(biāo)代入后求得圓的方程，再化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】因為圓經(jīng)過，設(shè)圓的方程為，代入三個坐標(biāo)可得，解得所以圓的方程為，化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故選：D.[歸納提升](1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程可以看出方程都含有三個參數(shù)，因此必須具備三個獨立的條件，才能確定一個圓；(2)求圓的方程時，若能根據(jù)已知條件找出圓心坐標(biāo)和半徑，則可直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，否則可通過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或圓的一般方程用待定系數(shù)法求解【變式】1.求經(jīng)過三點，，的圓的方程.【答案】【分析】設(shè)圓的一般方程為（為參數(shù)）點代入解方程組即可.【詳解】依題，設(shè)圓的一般方程為（為參數(shù)），將三點，，代入：解得綜上所述，圓的一般方程為考點五直線與圓的位置關(guān)系例9.判斷圓與下列直線的位置關(guān)系：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)相交(2)相離(3)相離【分析】（1）根據(jù)題意，求出圓心直線的距離與圓的半徑比較大小，即可判斷；（2）根據(jù)題意，求出圓心直線的距離與圓的半徑比較大小，即可判斷；（3）根據(jù)題意，求出圓心直線的距離與圓的半徑比較大小，即可判斷.【詳解】（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交.（2）圓心到直線的距離，所以直線與圓相離.（3）圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.【歸納提升】直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法直線與圓的位置關(guān)系反映在三個方面：一是點到直線的距離與半徑大小的關(guān)系；二是直線與圓的公共點的個數(shù)；三是兩方程組成的方程組解的個數(shù)．因此，若給出圖形，可根據(jù)公共點的個數(shù)判斷；若給出直線與圓的方程，可選擇用幾何法或代數(shù)法，幾何法計算量小，代數(shù)法可一同求出交點．解題時可根據(jù)條件作出恰當(dāng)?shù)倪x擇．【變式】1.直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相切 B．相交但不過圓心C．相離 D．相交且過圓心【答案】A【解析】求圓心到直線的距離，與圓的半徑比較大小，即可得出結(jié)果.【詳解】因為的圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相切.故選：A.2．已知圓，則直線和圓的位置關(guān)系為.【答案】相交【分析】根據(jù)圓的一般方程求得圓的圓心和半徑，再求圓心到直線的距離，且與圓的半徑比較可得結(jié)論.【詳解】解：由圓得，圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線和圓的位置關(guān)系為相交，故答案為：相交.考點七直線與圓相切例10.圓在點處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由切線方程與垂直可求出切線斜率，由點斜式方程求解即可.【詳解】圓心為，，故切線的斜率為故切線方程為：即故選：C例11.過作圓的切線，則其切線方程為.【答案】或【解析】當(dāng)過點的直線斜率不存在時，方程是，通過驗證圓心到直線的距離，得到符合題意；當(dāng)過點的直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑1，建立關(guān)于的方程，解之得，進而得到直線的方程，最后綜合可得答案．【詳解】圓的圓心為，半徑為1，（1）當(dāng)過點的直線垂直于軸時，此時直線斜率不存在，方程是，圓心到直線的距離為，直線符合題意；（2）當(dāng)過點的直線不垂直于軸時，設(shè)直線方程為，即．直線是的切線，點到直線的距離為，解之得，此時直線方程為．切線方程為或．故答案為：或．【歸納提升】求過圓外一點P(x0，y0)的圓的切線時，常用幾何方法求解：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，進而切線方程即可求出．但要注意，此時的切線有兩條，若求出的k值只有一個時，則另一條切線的斜率一定不存在，可通過數(shù)形結(jié)合求出．【變式】1.過圓上一點M（－1，2）作圓的切線l，則l的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用切線與切點處的半徑垂直，根據(jù)直線垂直的條件得到切線的斜率，進而利用點斜式寫出切線的方程.【詳解】圓的圓心為O(0,0),直線OM的斜率為,所以切線的斜率為,∴直線的方程為,即,故選：B.2.若點在圓上，則過的圓的切線方程為.【答案】【分析】利用垂直直線的斜率關(guān)系和直線方程相關(guān)概念直接求解.【詳解】因為點在圓上，所以過的圓的切線方程和垂直，因為，，所以，所以切線方程斜率為，所以切線方程為，即.故答案為：考點八直線與圓相交例12.求直線被圓截得的弦長.【答案】2【分析】根據(jù)垂徑定理即可求圓的弦長.【詳解】設(shè)直線與圓交于A，B兩點，弦AB的中點為M，則（O為坐標(biāo)原點），所以，從而.例13.直線，圓．則直線被圓所截得的弦長為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得直線過圓心,從而可求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,直線過圓心,所以直線被圓所截得的弦長等于直徑長度4.故選:B．【變式】直線被圓截得的弦長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求圓心到直線的距離，結(jié)合垂徑定理求弦長.【詳解】由題意可知：圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，所以直線被圓截得的弦長為．故選：C．考點九與直線、圓有關(guān)的應(yīng)用問題例14.光線從點射到點后被x軸反射,判斷反射光線是否經(jīng)過點.【解析】光線從點射到點后被x軸反射,根據(jù)直線MP的斜率為，直線PQ的斜率為，直線MP的斜率和直線PQ的斜率互為相反數(shù),故它們的傾斜角互補,根據(jù)反射定律,反射光線經(jīng)過點.【變式】如圖，某海面上有O，A，B三個小島(面積大小忽略不計)，A島在O島的北偏東45°方向距O島40eq\r(2)千米處，B島在O島的正東方向距O島20千米處．以O(shè)為坐標(biāo)原點，O的正東方向為x軸的正方向，1千米為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系．圓C經(jīng)過O，A，B三點．求圓C的方程；【解析】由題意，得A(40,40)，B(20,0)，設(shè)過O，A，B三點的圓C的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,402＋402＋40D＋40E＋F＝0，,202＋20D＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－20，,E＝－60，,F＝0，))∴圓C的方程為x2＋y2－20x－60y＝0.素養(yǎng)作業(yè)1.圓心為，半徑為5的圓的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進行求解即可.【詳解】因為圓心為，半徑為5，所以圓的方程為，故選：D2.以點，為直徑端點的圓的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得圓心和半徑，從而求得圓的方程.【詳解】的中點坐標(biāo)為，即圓心為，，所以圓的半徑為，所以圓的方程為.故選：D3.圓的圓心坐標(biāo)和半徑長分別為(

)A．和2 B．和C．和1 D．和【答案】D【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程理解判斷.【詳解】由圓的方程，可知圓心為，半徑.故選：D.4.圓心為且過原點的圓的方程是.【答案】【分析】利用題意得到圓的半徑，即可得到答案【詳解】由題意可得圓的半徑為，所以圓的方程為，故答案為：5．已知的三個頂點分別是，，，則的外接圓的方程為．【答案】【分析】由為直角三角形，確定斜邊上中點坐標(biāo)并求外接圓半徑，即可寫出的外接圓的方程.【詳解】由題設(shè)易知：為直角三角形，故外接圓圓心是斜邊的中點，而，所以斜邊為，則外接圓圓心為，故，綜上，的外接圓的方程為.故答案為：6．圓的半徑為【答案】【分析】利用配方法化圓的一般方程為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.【詳解】由，得，所以圓的半徑為.故答案為：7.若點在圓上，則實數(shù)m＝.【答案】4【分析】將點P坐標(biāo)代入圓方程，解方程可得答案.