新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練7.5 空間向量求空間角（基礎(chǔ)版）（原卷版）

7.5空間向量求空間角（精講）（基礎(chǔ)版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一線線角【例1】（2022·內(nèi)蒙古赤峰）在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（理））在矩形ABCD中，O為BD中點(diǎn)且SKIPIF1<0，將平面ABD沿對(duì)角線BD翻折至二面角SKIPIF1<0為90°，則直線AO與CD所成角余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·河南）在正方體SKIPIF1<0中，E，F(xiàn)分別為棱AD，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線EF與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考點(diǎn)二線面角【例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，三棱臺(tái)SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角．【一隅三反】1．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求PD與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)設(shè)P是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，求AC與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．3．（2022·內(nèi)蒙古·海拉爾第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知四棱錐SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)求證：SKIPIF1<0是等邊三角形；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.考點(diǎn)三二面角【例3】（2022·青海·海東市第一中學(xué)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是棱上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0平面MBD；(2)求二面角M－BD－C的余弦值.【一隅三反】1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值．2．（2022·四川成都）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D為PC上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求AC的長(zhǎng)；(2)若E為AC的中點(diǎn)，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．3．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））圖1是由矩形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和菱形SKIPIF1<0組成的一個(gè)平面圖形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將該圖形沿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折起使得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，連接SKIPIF1<0，如圖2．(1)證明：圖2中C，D，E，G四點(diǎn)共面；(2)求圖2中二面角SKIPIF1<0的平面角的余弦值．7.5空間向量求空間角（精練）（基礎(chǔ)版）題組一題組一線線角1．（2022·遼寧丹東·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正三角形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，則直線MN，PB所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·貴州畢節(jié)·三模（理））在正四棱錐SKIPIF1<0中，底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，側(cè)棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，點(diǎn)P是底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0，則當(dāng)A，P兩點(diǎn)間距離最小時(shí)，直線BP與直線SC所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2022·青?！つM預(yù)測(cè)（理））手工課可以提高學(xué)生的動(dòng)手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力，使學(xué)生在德、智、體、美、勞各方面得到全面發(fā)展，某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一個(gè)直三棱柱和一個(gè)長(zhǎng)方體的組合圖形，其直觀圖如圖所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P，Q，M，N分別是棱AB，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是______．4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，SKIPIF1<0是棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方體，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是下底面的棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是上底面的棱SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的平面交上底面于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為_(kāi)__________．題組二題組二線面角1．（2022·上海市七寶中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0．(1)求三棱錐SKIPIF1<0的體積；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，四面體SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離；(2)設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)O，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為直角的等腰直角三角形且SKIPIF1<0.求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，側(cè)面SKIPIF1<0為等邊三角形，且平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0的正弦值.4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））如圖，四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，點(diǎn)F在SKIPIF1<0上，當(dāng)SKIPIF1<0的面積最小時(shí)，求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的正弦值．5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E分別是SKIPIF1<0，AB的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.題組三題組三二面角1．（2022·廣東惠州·高三階段練習(xí)）如圖，在五面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0，求平面BDE與平面ABC所成銳二面角的余弦值.2．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)（理））如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0.(2)若四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的銳二面角的余弦值.3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB=2AD=2CD=2，點(diǎn)E是PB的中點(diǎn).(1)證明：平面EAC⊥平面PBC；(2)若直線PB與平面PAC所成角的正弦值為SKIPIF