新教材人教A版必修第二冊(cè)10.1.3古典概型

10.1.3古典概型

教材分析

本節(jié)?一般高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書必修二（人教A版）第十章？10.1.3古典概型？，

古典概型是繼大事的關(guān)系與運(yùn)算的后續(xù)局部,本節(jié)課主要講解了古典概型的特征及如何求古典

概型的概率.本節(jié)內(nèi)容在教材上起到承上啟下的作用，即使對(duì)前面內(nèi)容的進(jìn)一步應(yīng)用，又為后

續(xù)概率的性質(zhì)做好鋪墊留意對(duì)概率思想方法的理解。開展同學(xué)的直觀想象、規(guī)律推理、數(shù)

學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

敬學(xué)目標(biāo)馬鞍心素兼

課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)

A.了解隨機(jī)大事概率的含義及表示.1.數(shù)學(xué)建模：古典概型的概念

B.理解古典概型的特點(diǎn)和概率公式.2.規(guī)律推理：古典概型的應(yīng)用

C.了解古典概型的一般求解思路和策略.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用古典概型求概率

4.數(shù)據(jù)抽象：古典概型的概念

1.教學(xué)重點(diǎn)：了解隨機(jī)大事概率的含義及表示.

2.教學(xué)難點(diǎn)：理解古典概型的特點(diǎn)和概率公式.

多媒體

教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖

核心素養(yǎng)目標(biāo)

、溫故知新

1ZE

出問題。開展同學(xué)數(shù)

大事A與B關(guān)系含義符號(hào)

學(xué)抽象、直觀想象和

大事B包含A（或稱大事A假如大事A發(fā)生，那么BeA

規(guī)律推理的核心素

包含于B）大事B肯定發(fā)生。(Au

養(yǎng)。

B)

大事A與B相等假如大事A發(fā)生，那么A=B

大事B肯定發(fā)生：反之，

也成立。

大事A與B的和大事（或大事A與B至少有一個(gè)AuB

并大事）發(fā)生的大事

大事A與B的積大事（或大事A與B同時(shí)發(fā)生的AcB

交大事）大事

大事A與B互斥大事A與B不能同時(shí)發(fā)AnB=

生9

大事A與B互為對(duì)立大事大事A與B不能同時(shí)發(fā)AcB二

生，但必有一個(gè)發(fā)生①且

AuB=

C

二、探究新知

爭(zhēng)論隨機(jī)現(xiàn)象，最重要的是知道隨機(jī)大事發(fā)生的可能性大小，對(duì)

隨機(jī)大事發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為大事的概率（probability）,

大事A的概率用P（A）表示.

我們知道，通過試驗(yàn)和觀看的方法可以得到一些大事的概率估量，但

這種方法耗時(shí)多，而且得到的僅是概率

的近似值，能否通過建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，直接計(jì)算隨機(jī)大事的概率

呢？

思索:在節(jié)中，我們爭(zhēng)論過彩票搖號(hào)試驗(yàn)、拋擲一枚勻稱硬幣的試驗(yàn)

及擲一枚質(zhì)地勻稱骰子的試驗(yàn)，它們的共同特征有哪些?

答樣本點(diǎn)有兩個(gè)，正面朝上和正面朝下，由于質(zhì)地勻稱，因此樣本點(diǎn)

消失的可能性是相等的.

答這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)有6個(gè)，正面消失的點(diǎn)數(shù)為123,4,5,6,由于質(zhì)

地勻稱，因此樣本點(diǎn)消失的可能性是相等的.

問題1.拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣，每個(gè)樣本點(diǎn)消失的可能性相等

嗎？

問題2.拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子，有哪些樣本點(diǎn)？每個(gè)樣本點(diǎn)消失

的

可能性相等嗎？

4”

彩票搖號(hào)試驗(yàn)、拋擲一枚勻稱硬幣的試驗(yàn)及擲一枚質(zhì)地勻稱骰

子的試驗(yàn)，它們具有如下共同特征；通過詳細(xì)問題

我們將具有以上兩個(gè)特征的試驗(yàn)稱為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)的概率計(jì)算，歸納分

模型稱為古典概率模型(classicalmodelsofprobability),簡(jiǎn)稱古典概型析古典概型的特點(diǎn)

思索1：及運(yùn)算方法。開展同

■y-y

▲_________4____

■_______________二_____:理的核心素養(yǎng)。

思索2：

有限性等可能性

問題：從全部整數(shù)中任取一個(gè)數(shù)的試驗(yàn)中“抽取一個(gè)整數(shù)”是古典概

型嗎？

解不是，由于有很多個(gè)樣本點(diǎn).

推斷一個(gè)試驗(yàn)是不是古典概型要抓住兩點(diǎn)：

一是有限性；

二是等可能性

1.考慮下面的隨機(jī)大事，如何度量大事A發(fā)生的可能性大?。?/p>

一個(gè)班級(jí)中有18名男生、22名女生.采納抽簽的方式,從中隨機(jī)選擇

一名同學(xué)，

大事A="抽到男生”

解:班級(jí)中共有40名同學(xué)，從中選擇一名同學(xué)，由于是隨機(jī)選取的，

所以選到每個(gè)同學(xué)的可能性都相等，這是一個(gè)古典概型.

抽到男生的可能性大小，取決于男生數(shù)在班級(jí)同學(xué)數(shù)中所占的比例大

小.

因此，可以用男生數(shù)與班級(jí)同學(xué)數(shù)的比值來度量，明顯，這個(gè)隨機(jī)試

驗(yàn)的樣本空間中有40個(gè)樣本點(diǎn)，而大事人="抽到男生”包含18個(gè)樣

本點(diǎn).

因此，大事A發(fā)生的可能性大小為

2.下面的隨機(jī)大事,如何度量大事B發(fā)生的可能性大?。?/p>

拋擲一枚質(zhì)地勻稱的硬幣3次，大事B="恰好一次正面朝上"

解:我們用1表示硬幣“正面朝上"，用0表示硬幣“反面朝上”，那

么試驗(yàn)的樣本空間

Q={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}W8個(gè)通過實(shí)例分析，讓

樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，所以這是一個(gè)古典概型.同學(xué)把握分析古典

大事B發(fā)生的可能性大小，取決于這個(gè)大事包含的樣本點(diǎn)在樣概型的方法，提升推

本空間包含的樣本點(diǎn)中所占的比例大小.理論證力量，提高同

因此，可以用大事包含的樣本點(diǎn)數(shù)與樣本空間包含的樣本點(diǎn)學(xué)的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)

數(shù)的比值來度量.由于B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},所以大事B發(fā)生的可建模及規(guī)律推理的

能性大小為核心素養(yǎng)。

一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間。包含n個(gè)樣本點(diǎn)，大事

A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，那么定義大事A的概率

其中，n(A)和n(C)分別表示大事A和樣本空間C包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

例1.單項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A,B,C,D四

個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案.假如考生把握了考查的內(nèi)容，他可以選

擇唯一正確答案，假設(shè)考生不會(huì)做，他隨機(jī)地選擇一個(gè)答案，問他答對(duì)

的概率是多少？

解:試驗(yàn)有選A,選B,選C,選D共4種可能結(jié)果,試驗(yàn)的樣本空間可以

表示為C={A,B,C,D}.考生隨機(jī)選擇一個(gè)答案，說明每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生

的可能性相等，所以這是一個(gè)古典概型.

設(shè)乂="選中正確答案"，

由于正確答案是唯?的，所以n(M)=L

所以，考生隨機(jī)選擇一個(gè)答案，答對(duì)的概率

P(M)=-

4

小結(jié)：解答概率題要有必要的文字表達(dá)，一般要用字母設(shè)出所求的隨

機(jī)大事，要寫出全部的樣本點(diǎn)及個(gè)數(shù)，寫出隨機(jī)大事所包含的樣本點(diǎn)

及個(gè)數(shù)，然后應(yīng)用公式求出.

1.依據(jù)2020年山東省模擬高考試題中發(fā)覺，在咱們的數(shù)學(xué)考試中既

有單項(xiàng)選擇題又有多項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題是從A、B、C、D四個(gè)選

項(xiàng)中選出全部正確答案,同學(xué)們可能有一種感覺，假如不知道正確答

案，多項(xiàng)選擇題更難猜對(duì),這是為什么？

答這期為第對(duì)據(jù)率財(cái),由斛公式可知,分子上的我理

用踹糅是唯依百分母上的州樣本舶多了，有

多選題樣本空間Q=[ABC.DABACAD.BC.BD,CDAB(

ABCD}WC)=1S,設(shè)N=“多選題選中正確答案”，財(cái)P(

例2.拋擲兩枚質(zhì)地勻稱的骰子(標(biāo)記為I號(hào)和II號(hào))，觀看兩枚骰子分

別可能消失的根本結(jié)果.

(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，并推斷這個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型；

123456

1(1.1)(1，2)(1.3)(1.4)(1，5)(1，6)

2(2,1)(2,2)(2.3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4)3)(4,4)(4.5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6，6)

例2.(2)求以下大事的概率：

A="兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5"；

B="兩個(gè)點(diǎn)數(shù)相等"；

C="I號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)大于H號(hào)骰子的點(diǎn)數(shù)”.

解：(1)拋擲一枚骰子有6種等可能的結(jié)果，I號(hào)骰子的每一個(gè)結(jié)果都

可與I【號(hào)骰子的任意一個(gè)結(jié)果配對(duì)，組成擲兩枚骰子試驗(yàn)的一個(gè)結(jié)果

用數(shù)字m表示I號(hào)骰子消失的點(diǎn)數(shù)是m,數(shù)字n表示II號(hào)骰子消失的

點(diǎn)數(shù)是n,那么數(shù)組(m,n)表示這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn).因此該試驗(yàn)的

樣本空間Q={(m,n)|m,ne)1,2,3,4,5,6(}，其中共有36個(gè)樣本點(diǎn).由于骰

子的質(zhì)地勻稱，所以各個(gè)樣本點(diǎn)消失的可能性相等，

因此這個(gè)試驗(yàn)是古典概型.

(2)由于人={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所以n(A)=4,從而

rP(/A)=-〃---⑷--=—4=—1

〃(Q)369

由于B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)(6,6)},所以n(B)=6,

P⑻=皿=9」

〃(Q)366

由于C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1)(4,2),(4,3),

(5,1),(5⑵,(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)(6,5)},

所以n(C)=15,

n(C)155

r(C)=--------=—=——

〃(Q)3612

在上例中，為什么要把兩枚骰子標(biāo)上記號(hào)?假如不給兩枚骰子標(biāo)記

號(hào)，會(huì)消失什么狀況?你能解釋其中的緣由嗎？

假如不給兩枚骰子標(biāo)記號(hào)，那么不能區(qū)分所拋擲出的兩個(gè)

點(diǎn)數(shù)分別屬于哪枚骰子，如拋擲出的結(jié)果是1點(diǎn)和2點(diǎn)，有可能第一

枚骰子的結(jié)果是1點(diǎn)，也有可能其次枚骰子的結(jié)果是1點(diǎn).這樣，(1,2)

和(2,1)的結(jié)果將無法區(qū)分.

當(dāng)不給兩枚骰子標(biāo)記號(hào)時(shí)，試驗(yàn)的樣本空間C={(m,n)|m,nS

1

{1,2,345,6},

且m9},那么n(Q)=21.

?

大事A="兩個(gè)點(diǎn)數(shù)之和是5"的結(jié)果變?yōu)锳={(1,4),(2,3)},

這時(shí)P(A)=2/21

思索:同一個(gè)大事的概率，為什么會(huì)消失兩個(gè)不同的結(jié)果呢？

123456

1(1.1)(1，2)(1)3)(1.4)(1.5)(1，6)

2(2.1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4)5)(4,6)

5(5)1)(5)2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6)1)(6,2)(6,3)(6-4)(6,5)(6,6)

可以發(fā)覺，36個(gè)結(jié)果都是等可能的；而合并為21個(gè)可能結(jié)果時(shí)，(1,1)

和(1,2)發(fā)生的可能性大小不等，這不符合古典概型特征，所以不能

用古典概型公式計(jì)算概率，因此P(A)=2/21,是錯(cuò)誤的.

思索:同一個(gè)大事的概率，為什么會(huì)消失兩個(gè)不同的結(jié)果呢？

求解古典概型問題的一般思路：

(1)明確試驗(yàn)的條件及要觀看的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆?hào)(字母、數(shù)字、

數(shù)組等)表示試驗(yàn)的可能結(jié)果(借助圖表可以關(guān)心我們不重不漏地列

出全部的可能結(jié)果)；

(2)依據(jù)實(shí)際問題情境推斷樣本點(diǎn)的等可能性；

(3)計(jì)算樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)及大事A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，求出大事A的概

率.

例3.袋子中有5個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個(gè)紅球、3個(gè)黃球，

從中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球,求以下大事的概率：

(1)A="第一次摸到紅球”；

(2)B=”其次次摸到紅球"；

(3)AB="兩次都摸到紅球”

解：將兩個(gè)紅球編號(hào)為1,2,三個(gè)黃球編號(hào)為3,4,5.第一次摸球時(shí)有5

種等可能結(jié)果，對(duì)應(yīng)第一次摸球的每個(gè)可能結(jié)果，其次次摸球時(shí)都有

4種等可能的結(jié)果，將兩球的結(jié)果配對(duì)，組成20種等可能的結(jié)果，

如表所示

第二次

第?次

12315

1X(1.2)(1.3)(1.1)(1.5)

2(2.】)X(2.3)(2.1)(2.5)

3(3.1)(3.2)X(3.1)(3.3)

1(1.1)(1.2)(1.3)X(1.5)

5(5.1)(5.2)(5,3)(5.1)X

(1)第一次摸到紅球的可能結(jié)果有8種(表中第1,2行)，即

A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)},所以

P”汕」二

”(Q)205

(2)其次次摸到紅球的可能結(jié)果也有8種(表中第1、2歹U),即

B={(2,1),(3,1).(4,1),(5,1),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2)},

P(3)=里絲■=82

所以"(Q)20-5

(3)大事AB包含2個(gè)可能結(jié)果,即AB={(1,2),(21)},所以

尸?二盒=；01

=To

同時(shí)摸出2個(gè)球那么大事AB的概率是多少？

例4.從兩名男生(記為B和B)、兩名女生(記為G和G)中任意抽

1212

取兩人

(1)分別寫出有放回簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣、不放回簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣和按性別等

比例分層抽樣的樣本空間

(2)在三種抽樣方式下，分別計(jì)算抽到的兩人都是男生的概率

解:設(shè)第一次抽取的人記為x,其次次抽取的人記為x,那么可用數(shù)組

I2

(x,x)表示樣本點(diǎn)

I2

(1)依據(jù)相應(yīng)的抽樣方法可知:有放回簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的樣本空間

C={(B,B),(B,B),(B,G),(B,G2),(B,B),(B,B),(B,G),(B,G),(G,

11112II]21222122I

B),(G,B),(G,G),(G,G),(G,B)),(G,B),(G,G),(G,G)}

112111221222122

不放回簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的樣本空間

￡1={(B,B),(B,G),(B,G),(B,B),(B,G),(B,G),(G,B),(G,B),(G,

212111221212211121

G),(G,B)),(G,B),(G,G))

2212221

按性別等比例分層抽樣的樣本空間

C=(B,G),(B,G),(B,G),(B,G)}

311122122

(2)設(shè)大事A="抽到兩名男生“，那么對(duì)于有放回簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽

樣,A={(B,B),(B,B),(B,B),(B,B)}.

11122122

由于抽中樣本空間Q中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等，所以這是一

1

個(gè)古典概型，因此

對(duì)于不放回簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣,A={(B,B),(B,B)}.由于抽中樣本空間C

12212

中每一個(gè)樣本點(diǎn)的可能性都相等,所以這是一個(gè)古典概型因此

P(A)=2/12=l/6~0.167.

由于按性別等比例分層抽樣，不行能抽到兩名男生，所以A=O＞，因此

P(A)=O

此例說明，同一個(gè)大事A="抽到兩名男生"發(fā)生的概率，在按性別

等比例分層抽樣時(shí)最小，在不放回簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣時(shí)次之,在有放回簡(jiǎn)潔

隨機(jī)抽樣時(shí)最大，因此，抽樣方法不同，那么樣本空間不同，某個(gè)大事發(fā)

生的概率也可能不同

上一章我們爭(zhēng)論過通過抽樣調(diào)查估量樹人中學(xué)高一同學(xué)平均

身高的問題.我們知道，簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣使總體中每一個(gè)個(gè)體都有相等

的時(shí)機(jī)被抽中，但由于抽樣的隨機(jī)性，有可能會(huì)消失全是男生的“極

端”樣本，這就可能高估總體的平均身高.

上述計(jì)算說明，在總體的男、女生人數(shù)相同的狀況下，用有放回簡(jiǎn)潔

隨機(jī)抽樣進(jìn)行抽樣，消失全是男生的樣本的概率為;用不放回簡(jiǎn)潔隨

機(jī)抽樣進(jìn)行抽樣，消失全是男生的樣本的概率約為，可以有效地降低

消失“極端”樣本的概率.特殊是，在按性別等比例分層抽樣中，全是

男生的樣本消失的概率為0,真正防止了這類極端樣本的消失.所以，

改良抽樣方法對(duì)于提高樣本的代表性很重要.

故所求的概率P哮.

三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)

1.標(biāo)有數(shù)字123,4,5的卡片各一張，從這5張卡片中隨機(jī)抽取1張，不通過練習(xí)穩(wěn)固本

放回地再隨機(jī)抽取1張，那么抽取的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡節(jié)所學(xué)學(xué)問，通過同

片上的數(shù)的概率為（）學(xué)解決問題，開展同

1132

A：B二C：D.-學(xué)的數(shù)學(xué)抽象、規(guī)律

2555

推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)

答案:A

學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

解析:如圖：

根本領(lǐng)件的總數(shù)為2（）,其中第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)

包括的根本領(lǐng)件個(gè)數(shù)是10個(gè)，故所求概率

12345

//K

23451345124512351234

P--=1.應(yīng)選A.

202

2.?史記?中敘述了田忌與齊王賽馬的故事.“田忌的上等馬優(yōu)于齊王的

中等馬，劣于齊王的上等馬;田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊

王的中等馬;田忌的下等馬劣于齊王的下等馬雙方從各自的馬匹中

隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)競(jìng)賽，那么田忌的馬獲勝的概率為（）

A.-B.-C.-D.-

3456

答案:A

解析:設(shè)齊王的上，中，下三個(gè)等次的馬分別為a,6,c,，田忌的上，中，下三

個(gè)等次的馬分別記為A,B,C,從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)競(jìng)

賽的全部的可能為44工①4。,&/,瓦＞,8孰@,。仇。?,依據(jù)題意，其中

Ab,Ac,Bc是田忌獲勝，那么田忌獲勝的率為：=：應(yīng)選A.

3.現(xiàn)有5根竹竿，它們的長(zhǎng)度（單位:m）分別為2.5,2.6,2.7,2.829,假設(shè)從

中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，那么它們的長(zhǎng)度恰好相差0.3m的概率

為.

答案：(

解析:從5根竹竿中一次隨機(jī)抽取2根的大事總數(shù)為10,它們的長(zhǎng)度恰

好相差0.3m的大事數(shù)為2,分別是:2.5和2.8,2.6和2.9,所求概率為

_2__1

10—5°

4.某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的效勞狀況，隨機(jī)訪問50名

職工.依據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分,繪制頻率分布直方圖(如下

圖)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40,50),[50,60),...,[80,90),[90,100].

(1)求頻率分布直方圖中a的值；

(2)估量該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于8