9.3隨機事件的概率

9.3隨機事件的概率課標(biāo)要求精細(xì)考點素養(yǎng)達成1.了解事件的關(guān)系事件的關(guān)系提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)2.了解隨機事件概率的意義,能夠明白頻率與概率的區(qū)別,會用頻率估計概率,掌握概率的基本性質(zhì)隨機事件的頻率與概率通過建立概率模型解決實際問題,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)3.掌握隨機事件概率的運算法則,了解互斥事件、對立事件的含義.會求互斥事件、對立事件的概率互斥事件、對立事件的概率通過互斥事件、對立事件的概率的計算,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)4.理解古典概型及其概率計算公式古典概型的概率計算通過建立古典概型的概率模型,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)1.(概念辨析)(多選)下列結(jié)論正確的是().A.頻率隨著試驗次數(shù)的變化而變化,而概率是一個常數(shù)B.兩個事件的和事件發(fā)生是指兩個事件同時發(fā)生C.對于任意事件A,B,總有公式P(A∪B)=P(A)+P(B)D.對立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是對立事件2.(對接教材)先后三次拋擲同一枚硬幣,若正面向上則記為1;若反面向上則記為0,則這個試驗的樣本空間中有個樣本點.

3.(對接教材)從一批產(chǎn)品中取出3件產(chǎn)品,設(shè)事件A為“3件產(chǎn)品都不是次品”,事件B為“3件產(chǎn)品全是次品”,事件C為“3件產(chǎn)品有次品,但不全是次品”,則下列結(jié)論錯誤的是().A.A與C互斥B.B與C互斥C.任何兩個事件都互斥D.任何兩個事件都不互斥4.(易錯自糾)(多選)甲、乙兩人下棋,甲獲勝的概率為13,甲不輸?shù)母怕蕿?A.和棋的概率是512B.乙不輸?shù)母怕适?3C.乙獲勝的概率是135.(真題演練)(2023·全國Ⅰ卷)甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規(guī)則如下:若命中,則此人繼續(xù)投籃,若末命中,則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選,第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.求第2次投籃的人是乙的概率.事件的關(guān)系典例1(1)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,“向上的點數(shù)是1或2”為事件A,“向上的點數(shù)是2或3”為事件B,則().A.A?BB.A=BC.A+B表示向上的點數(shù)是1或2或3D.AB表示向上的點數(shù)是1或2或3(2)(多選)口袋里裝有1紅、2白、3黃共6個形狀及大小相同的小球,從中任取2球,事件A=“取出的2球同色”,B=“取出的2球中至少有1個黃球”,C=“取出的2球中至少有1個白球”,D=“取出的2球不同色”,E=“取出的2球中至多有1個白球”,則下列說法正確的是().A.事件A與D為對立事件B.事件B與C是互斥事件C.事件C與E為對立事件D.事件P(C+E)=11.判斷兩個事件A,B是否為互斥事件,就是考慮它們能否同時發(fā)生,若不能同時發(fā)生,則是互斥事件,即A∩B=?.2.對立事件是互斥事件的特殊情況,而互斥事件未必是對立事件,“互斥”是“對立”的必要不充分條件.3.注意兩點:一是事件包含、相等、互斥、對立等其發(fā)生的前提是一樣的;二是對立是針對兩個事件而言的,而互斥可以是多個事件之間的關(guān)系.4.概率的一般加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)中,易忽視只有當(dāng)A∩B=?,即A,B互斥時,才有P(A+B)=P(A)+P(B),此時P(AB)=0.訓(xùn)練1(1)拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子,若事件A=“向上的點數(shù)為3”,B=“向上的點數(shù)為6”,C=“向上的點數(shù)為3或6”,則有().A.A?B B.C?BC.A∩B=C D.A∪B=C(2)“黑匣子”是飛機專用的電子記錄設(shè)備之一,黑匣子有兩個,為駕駛艙語音記錄器和飛行數(shù)據(jù)記錄器.某興趣小組對黑匣子內(nèi)部構(gòu)造進行相關(guān)課題研究,記事件A=“只研究駕駛艙語音記錄器”,事件B=“至少研究一個黑匣子”,事件C=“至多研究一個黑匣子”,事件D=“兩個黑匣子都研究”.則().A.A與C是互斥事件 B.B與D是對立事件C.B與C是對立事件 D.C與D是互斥事件隨機事件的頻率與概率典例2某家庭記錄了使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:m3),得到如下頻數(shù)分布表:使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)頻數(shù)1513日用水量[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6]頻數(shù)10165估計該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率為.

1.概率與頻率的關(guān)系:頻率反映了一個隨機事件出現(xiàn)的頻繁程度,頻率隨著試驗次數(shù)的改變而改變,而概率是一個確定的值,通常用概率來反映隨機事件發(fā)生的可能性的大小,有時也用頻率作為隨機事件概率的估計值.2.隨機事件概率的求法:利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率,即通過大量的重復(fù)試驗,事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù),這個常數(shù)就是概率.訓(xùn)練2下列結(jié)論正確的是().A.事件A的概率P(A)必滿足0<P(A)<1B.若事件A的概率P(A)=0.999,則事件A是必然事件C.用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人進行治療,結(jié)果有380人有明顯的療效,現(xiàn)有1名胃潰瘍病人服用此藥,則估計有明顯的療效的概率為76%D.某獎券中獎率為50%,則某人購買此獎券10張,一定有5張中獎互斥事件、對立事件的概率典例3有5個形狀大小相同的球,其中3個紅色、2個藍色,從中一次性隨機取2個球,則下列說法正確().A.“恰好取到1個紅球”與“至少取到1個藍球”是互斥事件B.“恰好取到1個紅球”與“至多取到1個藍球”是互斥事件C.“至少取到1個紅球”的概率大于“至少取到1個藍球”的概率D.“至多取到1個紅球”的概率大于“至多取到1個藍球”的概率求互斥事件概率的方法1.直接法:將所求事件分解為一些彼此互斥的事件,運用互斥事件概率的求和公式計算.2.間接法:先求此事件的對立事件的概率,再利用公式P(A)=1P(A),即運用逆向思維(正難則反),特別是有“至多”“至少”時,用間接法求解顯得較為簡單.訓(xùn)練3某商場進行有獎銷售,購滿100元商品得1張獎券,多購多得.1000張獎券為一個開獎單位,設(shè)特等獎1個,一等獎10個,二等獎50個.設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1張獎券的中獎概率;(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率.古典概型的概率計算典例4(1)(2023·江蘇南通質(zhì)檢)美國華裔數(shù)學(xué)家張益唐在“孿生素數(shù)”研究方面取得突破,孿生素數(shù)也稱為孿生質(zhì)數(shù),就是指兩個相差2的素數(shù),例如5和7.在大于3且不超過20的素數(shù)中,隨機選取2個不同的數(shù),恰好是一組孿生素數(shù)的概率為().A.356 B.328C.17(2)在一次比賽中某隊共有甲、乙、丙等5位選手參加,賽前用抽簽的方法決定出場順序,則乙、丙都不與甲相鄰出場的概率是().A.110 B.15C.251.對古典概型的理解(1)一個試驗是否為古典概型,在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點——有限性和等可能性,只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型,正確判斷試驗的類型是解決概率問題的關(guān)鍵;(2)古典概型是一種特殊的概率模型,但并不是所有的試驗都是古典概型.2.求解古典概型問題的步驟:(1)根據(jù)相關(guān)知識構(gòu)建事件滿足的條件;(2)根據(jù)條件列舉所有符合的基本事件;(3)利用古典概型的概率計算公式求概率.訓(xùn)練4(1)(全國甲卷數(shù)學(xué)(文))某校文藝部有4名學(xué)生,其中高一、高二年級各2名.從這4名學(xué)生中隨機選2名組織校文藝匯演,則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為().A.16 B.13 C.12 (2)某次馬拉松比賽中,組委會招聘了包括甲在內(nèi)的4名志愿者,準(zhǔn)備分配到A,B,C3個補給點參與維護服務(wù)工作,要求每個補給點至少分到一名志愿者,則志愿者甲正好分到A補給點的概率為.

正難則反的思想典例甲、乙兩位同學(xué)參加某高校的入學(xué)面試.入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目,已知甲答對每道題目的概率都是35,乙答對每道題目的概率都是1(1)求甲第2次答題通過面試的概率;(2)求乙最終通過面試的概率;(3)求甲、乙兩人至少有1人通過面試的概率.用間接法求事件概率的步驟第一步:判斷事件A的概率計算是否適合間接法,而判斷的標(biāo)準(zhǔn)是正向思考時分類較多,其對立面的分類較少,此時應(yīng)該用間接法.第二步:計算事件A的對立事件A的概率.第三步:運用公式P(A)=1P(A)求解.訓(xùn)練《易·系辭上》有“河出圖,洛出書”之說.河圖、洛書是中華文化,陰陽術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如圖,白圈為陽數(shù),黑點為陰數(shù).若從陽數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)分別記為a,b,則滿足|ab|≥2的概率為().A.825 B.925C.1625一、單選題1.如果事件A,B互斥,記A,B分別為事件A,B的對立事件,那么().A.A+B是必然事件B.A+B是必然事件C.A與B一定互斥D.A與B一定不互斥2.某學(xué)校舉辦作文比賽,共6個主題,每位參賽同學(xué)從中隨機抽取一個主題準(zhǔn)備作文,則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題的概率為().A.56 B.23C.123.某學(xué)校高一年級派甲、乙兩個班參加學(xué)校組織的拔河比賽,甲、乙兩個班取得冠軍的概率分別為13和1A.712 B.112 C.5124.(2023·山東煙臺統(tǒng)考三模)將5名男大學(xué)生,4名女大學(xué)生平均分配到甲、乙、丙3所學(xué)校去任教,則().A.甲學(xué)校沒有女大學(xué)生的概率為5B.甲學(xué)校至少有兩名女大學(xué)生的概率為25C.每所學(xué)校都有男大學(xué)生的概率為6D.乙學(xué)校分配2名女大學(xué)生,1名男大學(xué)生且丙學(xué)校有女大學(xué)生的概率為1二、多選題5.已知甲、乙、丙各有一張自己的身份證,現(xiàn)把三張身份證收起來后,再隨機分給甲、乙、丙每人一張,則().A.沒有人取到自己身份證的概率為16B.恰有1人取到自己身份證的概率為C.甲取到自己身份證的概率為13D.恰有2人取到自己身份證的概率為6.下列說法正確的有().A.若事件A與事件B是互斥事件,則P(AB)=0B.若事件A與事件B是對立事件,則P(A+B)=1C.某人打靶時連續(xù)射擊三次,則事件“至少有兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件D.把紅、橙、黃3張紙牌隨機分給甲、乙、丙3人,每人分得1張,則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件三、填空題7.我國古代的一些數(shù)字詩精巧有趣,又飽含生活的哲學(xué),如清代鄭板橋的《題畫竹》:“一兩三枝竹竿,四五六片竹葉,自然淡淡疏疏,何必重重疊疊”.現(xiàn)從1,2,3,4,5,6中隨機選取2個不同的數(shù)字組成(lnb,ln(a1)),則恰好能使得lnb<lna的概率是.

8.圍棋盒子中有多粒黑子和白子,已知從中取出2粒都是黑子的概率為17,從中取出2粒都是白子的概率是1235.則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是,任取出2粒恰好不同色的概率是四、解答題9.在某大型活動中,甲、乙等5名志愿者被隨機地分到A,B,C,D4個不同的崗位服務(wù),每個崗位至少有1名志愿者.(1)求甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率;(2)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率;(3)求5名志愿者中僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率.10.甲、乙兩人玩一種游戲,每次由甲、乙各擲1次骰子,若2次點數(shù)和為偶數(shù)算甲贏,否則算乙贏.(1)若以A表示點數(shù)和為6的事件,求P(A).(2)現(xiàn)連玩2次,若以B表示甲2次都贏的事件,C表示在甲贏的條件下,乙贏的事件,求P(B)和P(C).(3)現(xiàn)連玩3次,若以B表示