人教A版必修二高中數(shù)學(xué)第二章 2.3.2同步課堂導(dǎo)學(xué)案【含詳細(xì)解析】

2.3.2平面與平面垂直的判定[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.理解二面角的有關(guān)概念，會求簡單的二面角的大小.2.理解兩平面垂直的定義.3.掌握兩平面垂直的判定定理．[知識鏈接]1．直線與平面垂直：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直．2．直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．3．直線和平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．二面角(1)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱．這兩個半平面叫做二面角的面．如圖(1)可記作：二面角αlβ或PABQ或PlQ.如圖(2)對二面角αlβ若有：①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l.則∠AOB就叫做二面角αlβ的平面角．2．平面與平面的垂直(1)定義：如果兩個平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(2)畫法：記作：α⊥β.(3)面面垂直的判定定理文字語言：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．圖形語言：如圖所示符號語言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥β,a?α))?α⊥β.要點一二面角及其平面角的概念例1下列命題中：①兩個相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個二面角的兩個面垂直，則a，b組成的角與這個二面角的平面角相等或互補；③二面角的平面角是從棱上一點出發(fā)，分別在兩個面內(nèi)作射線所成的角的最小角；④二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置沒有關(guān)系．其中正確的是()A．①③B．②④C．③④D．①②答案B解析由二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，所以①不對，實質(zhì)上它共有四個二面角；由a，b分別垂直于兩個面，則a，b都垂直于二面角的棱，故②正確；③中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故③不對；由定義知④正確．故選B.規(guī)律方法1.要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致．2．要注意二面角的平面角與頂點在棱上且角兩邊分別在二面角面上的角的聯(lián)系與區(qū)別．3．可利用實物模型，作圖幫助判斷．跟蹤演練1若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，那么這兩個二面角()A．相等B．互補C．相等或互補D．關(guān)系無法確定答案D解析如圖所示，平面EFDG⊥平面ABC，當(dāng)平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動時，平面HDG始終與平面BCD垂直，所以兩個二面角的大小關(guān)系不確定，因為二面角HDGF的大小不確定．要點二面面垂直的判定與證明例2如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上異于A、B的任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBC.證明連接AC，BC，則BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，∴平面PAC⊥面PBC.規(guī)律方法面面垂直的判定定理是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直，只需轉(zhuǎn)證線面垂直，關(guān)鍵是在其中一個平面內(nèi)尋找一直線與另一個平面垂直．跟蹤演練2如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．求證：平面AEC⊥平面PDB.證明∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD為平面PDB內(nèi)兩條相交直線，∴AC⊥平面PDB.又∵AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.要點三二面角例3如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值．解取A1C1的中點O，連接B1O，BO.由題意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O為A1C1的中點，所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角．因為BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.設(shè)正方體的棱長為a，則OB1＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f(BB1,OB1)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2)，所以二面角BA1C1B1的正切值為eq\r(2).規(guī)律方法1.求二面角的大小關(guān)鍵是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值，其步驟為作角→證明→計算．2．為在適當(dāng)位置作出平面角要注意觀察二面角兩個面的圖形特點，如是否為等腰三角形等．跟蹤演練3已知正四棱錐(底面為正方形各側(cè)面為全等的等腰三角形)的體積為12，底面對角線的長為2eq\r(6)，求側(cè)面與底面所成的二面角．解設(shè)正四棱錐為SABCD，如圖所示，高為h，底面邊長為a，則2a2＝(2eq\r(6))2，∴a2＝12.又eq\f(1,3)a2h＝12，∴h＝eq\f(36,a2)＝3.設(shè)O為S在底面上的投影，作OE⊥CD于E，連接SE，可知SE⊥CD，∠SEO為所求二面角的平面角．tan∠SEO＝eq\f(h,\f(a,2))＝eq\f(3×2,\r(12))＝eq\f(2×3,2\r(3))＝eq\r(3)，∴∠SEO＝60°.∴側(cè)面與底面所成二面角的大小為60°.1．已知l⊥α，則過l與α垂直的平面()A．有1個B．有2個C．有無數(shù)個D．不存在答案C解析由面面垂直的判定定理知，凡過l的平面都垂直于平面α，這樣的平面有無數(shù)個．2．對于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個條件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β答案C解析∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.3．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC答案D解析∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.4.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如圖所示)，圖中互相垂直的平面有()A．1對B．2對C．3對D．5對答案D解析∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，同樣BC⊥平面PAB，又易知AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5對．5.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，截面C1D1AB與底面ABCD所成二面角C1ABC的大小為________．答案45°解析∵AB⊥BC，AB⊥BC1，∴∠C1BC為二面角C1ABC的平面角，其大小為45°.1.證明兩個平面垂直的主要途徑：(1)利用面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理，即如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．2．證明兩個平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實現(xiàn)的，因此，在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的．3．下面的結(jié)論，有助于判斷面面垂直：(1)m∥n，m⊥α，n?β?α⊥β；(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n?α⊥β；(3)α∥β，γ⊥α?γ⊥β.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．如果直線l，m與平面α，β，γ滿足：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥mB．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥mD．α∥β且α⊥γ答案A解析B錯，有可能m與β相交；C錯，有可能m與β相交；D錯，有可能α與β相交．2．從空間一點P向二面角αlβ的兩個面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不確定答案C解析若點P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°；若點P在二面角外，則二面角的平面角為60°.3.如圖，在立體圖形DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列說法中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDEC．平面ABD⊥平面BDCD．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案B解析由條件得AC⊥DE，AC⊥BE，又DE∩BE＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC?面ADC，AC?面ABC.∴平面ABC⊥平面BDE，平面ADC⊥平面BDE，故選B.4.如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為a的正方形，側(cè)棱PA＝a，PB＝PD＝eq\r(2)a，則它的5個面中互相垂直的面有()A．2對B．3對C．4對D．5對答案D5.如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角PBCA的大小為()A．60°B．30°C．45°D．15°答案C解析由條件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA為二面角PBCA的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，∴C對．6．已知三棱錐DABC的三個側(cè)面與底面全等，且AB＝AC＝eq\r(3)，BC＝2，則二面角DBCA的大小為________．答案90°解析如圖，由題意知AB＝AC＝BD＝CD＝eq\r(3)，BC＝AD＝2.取BC的中點E，連接DE，AE，則AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA為所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝eq\r(2)，又AD＝2，所以∠DEA＝90°.7.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐PABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2eq\r(3)，BC＝6.求證：平面PBD⊥平面PAC.證明∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA.又tan∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(3),3)，tan∠BAC＝eq\f(BC,AB)＝eq\r(3)，∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.二、能力提升8．在正四面體PABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是()A．BC∥面PDFB．DF⊥面PAEC．面PDF⊥面ABCD．面PAE⊥面ABC答案C解析如圖所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴A正確．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE.∴DF⊥平面PAE.∴B正確．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴D正確．9.如圖所示，已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是()A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直線BC∥平面PAED．直線PD與平面ABC所成的角為45°答案D解析∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直線PD與平面ABC所成的角．∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴AD＝2AB，即tan∠ADP＝eq\f(PA,AD)＝eq\f(2AB,2AB)＝1，∴直線PD與平面ABC所成的角為45°，選D.10．在邊長為1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿對角線AC折起，使折起后BD＝eq\f(\r(3),2)，則二面角BACD的大小為________．答案60°解析如圖所示，由二面角的定義知∠BOD即為二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BOD＝60°.11.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中點．(1)求證：平面MNF⊥平面ENF；(2)求二面角M－EF－N的平面角的正切值．(1)證明連接MN，∵N，F(xiàn)均為所在棱的中點，∴NF⊥平面A1B1C1D1.而MN?平面A1B1C1D1，∴NF⊥MN.又∵M(jìn)，E均為所在棱的中點，∴△C1MN和△B1NE均為等腰直角三角形．∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE.∴MN⊥平面NEF.而MN?平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.(2)解在平面NEF中，過點N作NG⊥EF于點G，連接MG.由(1)得知MN⊥平面NEF，又EF?平面NEF，∴MN⊥EF.又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，∴EF⊥MG.∴∠MGN為二面角M－EF－N的平面角．設(shè)該正方體的棱長為2.在Rt△NEF中，NG＝eq\f(NE·NF,EF)＝eq\f(2\r(3),3)，∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝eq\f(MN,NG)＝eq\f(\r(2),\f(2\r(3),3))＝eq\f(\r(6),2).∴二面角M－EF－N的平面角的正切值為eq\f(\r(6),2).三、探究與創(chuàng)新12.已知三棱錐PABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AB＝20.D為AB的中點，且△PDB為等邊三角形，PA⊥PC.(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；(2)求二面角DAPC的正弦值．(1)證明在Rt△ACB中，D是斜邊AB的中點，所以BD＝DA.因為△PDB是等邊三角形，所以BD＝DP＝BP，則BD＝DA＝DP，因此△APB為直角三角形，即PA⊥BP.又PA⊥PC，PC∩B