山東省2021年高三數(shù)學(xué)高考二模試題卷4份匯集附答案解析

山東省2021年高三數(shù)學(xué)高考二模試題卷一

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合力={0,Q},3=卜￡2卜2一1一2＜。},若405={0,1},則金A=（）

A.{-1,1}B.{1,2}C.{-1,1,2}D.{-1,2}

2.已知復(fù)數(shù)z=（。-3i）（3+2i）（awR）的實(shí)部與虛部的和為7,則。的值為（）

A.1B.0C.2D.—2

3.某白來(lái)水廠一蓄水池可以用甲、乙兩個(gè)水泵注水，單開(kāi)甲泵需15小時(shí)注滿，單開(kāi)乙泵需18小時(shí)注滿，若要求10小時(shí)注滿水池，并且使

兩泵同時(shí)開(kāi)放的時(shí)間盡可能地少，則甲、乙兩水泵同時(shí)開(kāi)放的時(shí)間最少需（）

A.4小時(shí)?B.7小時(shí)C.6小時(shí)D.14小時(shí)

X>3x+y>6

4.,是,成立的（）

[y>31x-y>9

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

|V-2|2

5.已知函數(shù)/（X）=3+X-4X,且y（log2tz）＞/（3）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.(-OO,2)U(8,-HX))B.(0,2)c.(0,2)U(8,+oc)D.(8,+OO)

遞減，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

3-55717T714

A.B.—71,—71c.D.---，-兀

_2JL64」|_32JL83J

8.若。，4C均為單位向量，且01=0，（0—。）?（力一。）＜0,則|。+〃一］的最大值為（）

A.V2-1B.1C.72D.2

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5

分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.己知正方體-的棱長(zhǎng)為4,M為OO］的中點(diǎn)，N為ABCQ所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，則下列命題正確的是（）

1

A.若MN與平面ABCD所成的角為巴，則點(diǎn)N的軌跡為圓

4

B.若MN=4,則MN的中點(diǎn)P的軌跡所圍成圖形的面積為2兀

c.若點(diǎn)N到直線BB[與直線DC的距離相等，則點(diǎn)N的軌跡為拋物線

D.若D[N與AB所成的角為巴，則點(diǎn)N的軌跡為雙曲線

3

io.將4男、4女共8位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲'乙兩組，則下列說(shuō)法正確的是()

13

A.4位女同學(xué)分到同一組的概率為一B.男生甲和女生乙分到甲組的概率為一

3514

,3234

c.有且只有3位女同學(xué)分到同一組的概率為一D.4位男同學(xué)不同時(shí)分到甲組的概率為——

3535

11.意大利畫(huà)家列奧納多?達(dá)?芬奇(1452.4-1519.5)的畫(huà)作《抱銀貂的女人》中，女士脖頸上黑色珍珠項(xiàng)鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出不一

樣的美與光澤，達(dá)?芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問(wèn)題“，后

人給出了懸鏈線的函數(shù)解析式：/(%)=<7COSh-，其中a為懸鏈線系數(shù)，coshx稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為

a

X+-X/_-X

coshX=------，相應(yīng)地雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為sinhx=-------.若直線與雙曲余弦函數(shù)G與雙曲正弦函數(shù)。2的圖

22

象分別相交于點(diǎn)A,8.曲線G在點(diǎn)A處的切線人與曲線C2在點(diǎn)8處的切線/2相交于點(diǎn)P,則下列結(jié)論正確的為()

A.cosh(x-y)=coshxcoshy-sinhxsinhy

B.y=sinhxcoshx是偶函數(shù)

c.(coshx)'=sinhx

D.若△/VLB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則實(shí)數(shù)加=0

2

12.關(guān)于函數(shù)/(x)=-+lnx,下列判斷正確的是()

X

A.x=2是/(X)的極大值點(diǎn)

B.函數(shù)y=/(x)-x有且只有1個(gè)零點(diǎn)

2

c.存在正實(shí)數(shù)左，使得/（x）＞Ax恒成立

D.對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)X,,，且＞%，若/（Xl）=/（^2）1則石+々＞4

第n卷

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.（x+y-z）6的展開(kāi)式中xy2z'的系數(shù)是.

2/7

14.如圖，在平面四邊形ABC。中，AO=1，BD=-^—-ABIAC.AC=6AB，則CD的最小值為

cos—,-1WxW1

15.已知函數(shù)/（%）=,2,則關(guān)于X的方程/2（x）-3/（x）+2=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)是.

x2-l,|x|＞l

16.已知圓G:（x+3）2+y2=1,G：（x-3）2+y2=81,動(dòng)圓C與圓G、。2都相切，則動(dòng)圓C的圓心軌跡E的方程

為:直線I與曲線E僅有三個(gè)公共點(diǎn)，依次為P、Q、R,則|「尺|的最大值為

四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

S

17.（io分）已知S“為等差數(shù)列｛?！埃那啊表?xiàng)和，渣"=9,%i=21.

%

（1）求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式:（2）若"=---,求數(shù)列彷J的前"項(xiàng)和.

Tl

18.（12分）在①4=C+—；②5c—4。=15cosA：③的面積S=3.這三個(gè)條件中任選兩個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,

2

然后解答補(bǔ)充完整的題目.

在公鉆。中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為。，b，c,已知匕=3,旦,，求c.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第?個(gè)解答計(jì)分.

19.（12分）已知四棱錐石一A5CZ）中，四邊形ABC。為等腰梯形，AB//DC,AD=DC=2,A8=4,為等邊

3

三角形，旦平面ADE_L平面ABCD.

（1）求證：AELBD-,

（2）是否存在一點(diǎn)F,滿足麗=/［而（0<^<1）,且使平面AOF與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為7叵.若存在，求出

13

X的值，否則請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.（12分）某醫(yī)院為篩查某種疾病，需要檢驗(yàn)血液是否為陽(yáng)性，現(xiàn)有”（〃eN*）份血液樣本，有以下兩種檢驗(yàn)方式：①逐份檢驗(yàn)，需

要檢驗(yàn)〃次；②混合檢驗(yàn)，將其左（%eN*且222）份血液樣木分別取樣混合在一起檢驗(yàn).若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這火份的血液全為陰性,

因而這氏份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了，如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性，為了明確這左份血液究竟哪幾份為陽(yáng)性，就要對(duì)這2份再逐份檢驗(yàn)，此

時(shí)這女份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為后+1次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本

是陽(yáng)性結(jié)果的概率為〃（0<P<l）

（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有2份樣本為陽(yáng)性，若采用逐份檢驗(yàn)的方式，求恰好經(jīng)過(guò)3次檢驗(yàn)就能把陽(yáng)性樣本全部檢驗(yàn)出來(lái)的概率；

（2）現(xiàn)取其中々（左eN*且&22）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為。，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢

驗(yàn)的總次數(shù)為《2■

①記E（4）為隨機(jī)變量J的數(shù)學(xué)期望.若E（4）=E（J2）,運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，求出P關(guān)于2的函數(shù)關(guān)系式/?=/（%），并寫(xiě)出

定義域；

②若p=l—e4,且采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求女的最大值.

參考數(shù)據(jù)：ln2?0.6931,In3?1.0986,ln5?1.6094.

21.（12分）已知橢圓。：二+二二式。〉/?〉。）的離心率6=一，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)|1,彳，點(diǎn)為橢圓C的左、右焦點(diǎn).

a~b~2〈2）

（i）求橢圓c的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)6分別作兩條互相垂直的直線4,4,旦4與橢圓交于不同兩點(diǎn)A,B，4與直線x=i交于點(diǎn)p.若麗=%耶,且點(diǎn)。

滿足QA=AQB?求△PQK面積的最小值.

4

22.(12分)已知函數(shù)/(x)=e,-ax2-x.

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=/(%)在點(diǎn)(1,/(!))處的切線方程；

2

(2)若函數(shù)F(x)=/(x)+x有兩個(gè)極值點(diǎn)占,%,求證：xtx2<(ln(2a)).

數(shù)學(xué)答案

第I卷

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.【答案】D

【解析】由不等式一X-2=(X—2)(X+1)<0,解得一1WX<2,所以3={—1,0,1,2},

又由An8={0,1}且A={O,a},所以a=1,即A={0,1},

由補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，可得6BA={-1,2},故選D.

2.【答案】c

【解析】z=(a-3i)(3+2i)=3a+2ai-9i—6-=3a+6+(2a-9)i,

所以復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部分別為3a+6.2a-9.

于是3。+6+勿一9=7,解得〃=2，故選c.

3.【答案】c

【解析】根據(jù)題意開(kāi)放水泵的工序流程圖有兩個(gè)方案：

方案一：甲、乙兩泵同時(shí)開(kāi)放一甲泵開(kāi)放

方案二：甲、乙兩泵同時(shí)開(kāi)放一乙泵開(kāi)放

如果用方案一注水，可設(shè)甲、乙兩泵同時(shí)開(kāi)放的時(shí)間為r個(gè)小時(shí)，

(11、1

由題意得方程—+—X+%■(]()一x)=l,解得x=6(小時(shí))；

、1815y15

如果用方案二注水，可設(shè)甲、乙兩泵同時(shí)注水的時(shí)間為y個(gè)小時(shí).，

5

1、i60/2

則y+-（z1in0—y）=l,解得y—百~=6—（小時(shí)）,

所以選方案一注水，可得甲、乙兩水泵同時(shí)開(kāi)放注水的時(shí)間最少，需6個(gè)小時(shí)，故選C.

4.【答案】A

【解析】充分性顯然成立，

必要性可以舉反例：x=10,y=』，顯然必要性不成立,

2

故選A.

5.【答案】C

（解析］???/（4_x）=3氏"+（4—x）2—4（4一x）=3|A-2|+X2-4X=/（X）.

???f（X）的圖象關(guān)于直線工=2對(duì)稱,

y=3kT和y=x?—4x都在（一。。,2）上是減函數(shù)，在（2,+8）上是增函數(shù),

.../（X）在（一co,2）上為減函數(shù)，在（2,+oo）上為增函數(shù).

又/（log2?）>/（3）..-.|log2?-2|>|3-2|=1,

即或log2a>3,解得0<。<2或a>8,故選c.

6.【答案】c

［解析］"""用

aaa

n+\'nq+1?

所以—為以1為首項(xiàng)，公差。=1的等差數(shù)列,

l?J

所以'=1+（〃一1）x1=〃，所以,

ann

由a,”=」-=」-,所以〃？=10，故選c.

m10

7.【答案】B

2兀c

【解析】由題意可得一二兀，求得3=2,

co

jr7T7E7T1JT

令2kji——<2x——<2kjt+—,kGZ,求得E-----<x<kit+一,ksZ,

2321212

6

TTTTSlTJJTI|7T

由2E+—K2x——S2kji+——，keZ,求得E+—<x<E+——,keZ,

2321212

，/、兀m

因?yàn)閒(%)在----7,二，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

v7243

m5冗64

12一12

一55'

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍是一兀，一兀，故選B.

_64_

8.【答案】B

【解析】由題意知，|。2=忸『二b『二1，

又。?〃=0,

,:（Q-c）（〃-c）=a〃-ac-〃c+，40，

?-ac-\-b'C>ab+\c[=1，

*'?|a+Z>-c|2+|c|2+2^-ft-2（ac+^c）<14-1+14-0-2x1=1,

A+<1,即|〃+力一c|的最大值為1,故選B.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分,在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5

分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.【答案】ACD

【解析】如圖：

對(duì)于A,根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，"D_L平面ABCD，所以NMND為腦V與平面A6cZ)所成的角,

兀11

所以NA7N￡)=一,所以O(shè)N=￡>/0=-￡)Q=-x4=2,所以點(diǎn)N的軌跡為以。為圓心，2為半徑的圓，故A正確;

4212

對(duì)于B,在直角三角形MDN中，DN=^MN2-MD1=>/42-22=25/3，取MD的中點(diǎn)E，

7

因?yàn)槭瑸镸N的中點(diǎn)，所以PE〃DN，B.PE=、DN=#),

2

因?yàn)镈N上ED，所以PE上ED，即點(diǎn)尸在過(guò)點(diǎn)E且與垂直的平面內(nèi)，

又PE=6，所以點(diǎn)P的軌跡為以為半徑的圓，其面積為=3兀，故B不正確；

對(duì)于C,連接NB，因?yàn)锽B11平面ABCD，所以BB11NB,所以點(diǎn)N到直線BB］的距離為NB，所以點(diǎn)N到點(diǎn)B的

距離等于點(diǎn)N到定直線CD的距離，

乂8不在直線CD上，所以點(diǎn)N的軌跡為以8為焦點(diǎn)，CD為準(zhǔn)線的拋物線，故c正確：

對(duì)于D,以。為原點(diǎn)，DA,DC,DDt分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(4,0,0),8(4,4,0),"(0,0,4),

設(shè)N(x,y,0),則通=((),4,0).取=(x,%-4)，

因?yàn)锳N與所成的角為］，所以|cos<AB,〃N>|=coS］,

,4y13V2x2

所以I—/,,卞片，整理得工———=1,所以點(diǎn)N的軌跡為雙曲線，故D正確，

4y/x2+y2+1621616

故選ACD.

10.【答案】AB

【解析」8位同學(xué)隨機(jī)地分成人數(shù)相等的甲、乙兩組的不同分法為=7(),

21

A選項(xiàng)，4位女同學(xué)分到同一組的不同分法只有2種，其概率為——=—，對(duì)；

7035

、153

B選項(xiàng)，男生甲和女生乙分到甲組的不同分法為C：=15,其概率為——=—,對(duì)：

647014

c選項(xiàng)，有且只有3位女同學(xué)分到同一組C：-2=32種，

c3216

則有且只有3位女同學(xué)分到同一組的概率為一=—,錯(cuò)：

7035

D選項(xiàng)，4位男同學(xué)同時(shí)分到甲組只有1種，其概率為‘一，

70

,169

則4位男同學(xué)不同時(shí)分到甲組的概率為1---=—,錯(cuò)，

7070

8

故選AB.

11.【答案】ACD

ex+e~xey+e~yex-e~xey-e'y

l解析】coshxcoshy-sinhxsinhy=-------------------------------

2222

xx+

e-y+e-y

=---------=cosh(x-y),A正確；

2x_/2X/x_e_2x

y=sinhxcoshx=-------，記h(x)=-------，

44

e~2x-e2x

則〃(一x)=-------=-h(x),/z(x)為奇函數(shù)，即y=sinhxcoshx是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤;

(---)'=---,即(coshx)'=sinhx,c正確：

對(duì)于D,因?yàn)檩S，因此若是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，

m,n

e_e-

則%%=0,由女尸八二——-——=0.解得，篦=0,D正確，

故選ACD.

12.【答案】BD

2jx—2

【解析】A：函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+?),ff(x]=一一；?+-=]一,

當(dāng)XE(0,2)時(shí)，/,x)v0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)X￡(2,-HQ)時(shí)，/‘X)>0,/(x)單調(diào)遞增,

所以x=2是/(X)的極小值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

221%2—x+2

B：y=/(x)-x=—+yr=——-+---1<0,

XX2Xx2

所以函數(shù)在(0,+?)上單調(diào)遞減，

又/⑴一l=2+lnl-l=l>0,/(2)-2=l+ln2-2=ln2-l<0,

所以函數(shù)丁=/(%)-%有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故B正確：

工/、7217,21nx

c：若/(x)>kx，即—FInx>kx,則A<—-H----.

xxx

/、2Inx，/、-4+x-xlnx

令g(x)=T+—，則<?(x)=

XXx3

9

令〃(尢)=-4+x-xlnx,則“(x)=-lnx,

當(dāng)xw(0,l)時(shí)，//(￡)>(),單調(diào)遞增；當(dāng)xw(L+8)時(shí)，〃'(％)<(),單調(diào)遞減,

所以/z(x)〈。⑴=一3<0,所以ggx)vO,

所以g(x)=3+l!在(0,+?)上單調(diào)遞減，函數(shù)無(wú)最小值，

所以不存在正實(shí)數(shù)%,使得恒成立，故c錯(cuò)；

D：因?yàn)?(X)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+?)上單調(diào)遞增，

???x=2是/(x)的極小值點(diǎn).

?.,對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)X1,々，且々>玉，若/(%|)=/(工2)，則o<玉<2<尤2?

由/(玉)=/(/),得—

FIn%=----1-Inx2,--------=Inx2-Inx],

即生二QTn迨即2"l)x解得x-2(I)2(—1)

玉為?弭

x^x2tintrlnr

2*—2

所以％+九2

tint

故要證玉+々>4,需證X]+工2-4>0,

2r2-2^^2r-2-4rlnr

需證---------4>0，需證--------------->0.

rlnzt\nt

,.^=—>1,則￡lnz>。，???證2*-2-4/lnf>0?

菁

令"(r)=2產(chǎn)一2—4〃nr(r>l),"'?)=4,一41nr-4(r>l),H,,(r)=4--=^^>0(r>1).所以

"'?)在(1,+?)上是增函數(shù).

因?yàn)?->1時(shí)，”'(r)-0,則“'(，)>0,所以“(。在(1,+?)上是增函數(shù).

10

2r2-2-4/lnr

因?yàn)闀r(shí)，—0,則”⑺＞0,所以>0-

rlnr

xt+々＞4,故D正確,

故選BD.

第n卷

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分.

13.【答案】一60

【解析】；(x+y-z)6=[x+(y-z)[6,

所以，(x+y—z)6的展開(kāi)通項(xiàng)為4+1=C＞x6-r.(y-zy,

rkk

(y-z)的展開(kāi)式通項(xiàng)為Bk+l=C?yT\-z)=C%.(-I)*.了4?z.

所以，(X+y—Z)6的展開(kāi)式通項(xiàng)可以為%+],&+]nCIC,f-r.yrM.l—ljz上,

其中042工廠＜6且Z、reN?

6-r=1

cr=5

令4r-k=2,解得＜,

k=3

k=31

因此，(x+y-z)6的展開(kāi)式中孫2%3的系數(shù)是=—60,故答案為一60.

14.【答案】—

3

【解析】設(shè)NADB=e，

2瓜

ABBDAB

在AA8D中,由正弦定理得即------=-------------

sin。sinABADsin。sinABAD

2Z7

整理得ABsin/BAD=—sin9-

3

i*c°se,

由余弦定理得AB-=AD2+BD2-2-AD-BDcos3

33

TT

因?yàn)锳BJ_AC，所以NBAD=—FADAC.

2

在△ACD中，

11

由余弦定理得3=AD2+AC2-2AD-AC-cosZDAC=1+2AB2-2應(yīng)ABsin/BAD

258A/6八8G.八25c./八、/廿一，仄、

----------cos。-------sinO=----8sin(。+°)(其中tane=J2)，

3333

所以當(dāng)sin(6+°)=l時(shí)，CD.=—>故答案為走.

33

15.【答案】5

【解析】由f2(x)-3/(x)+2=0.知/(x)=2或/(x)=1,

二由函數(shù)/(X)解析式，知：

當(dāng)f(x)=2時(shí)，有了2—1=2,解得*=±相，滿足|x|〉l；

當(dāng)/(“)=1時(shí)，若cos—二1且一IWxWl，有x=0；

2

若"2—1=1，解得彳=±V2-滿足|X|>1,

二綜上知：方程一共有5個(gè)根，故答案為5.

“X2V2,?y2,15

16.[:：%1-1--—=1或----1--------——1,—

25161672

2

【解析】已知圓G:(尤+3『+y2=1,c2:(X-3)+/=81,則圓G內(nèi)含于圓。2,

圓C1的圓心為G(—3,0),半徑為4=1；

圓。2的圓心為G(3,0)，半徑為弓=9.

設(shè)動(dòng)圓C的半徑為r,分以下兩種情況討論：

①圓C與圓外切，與圓。2內(nèi)切，

由題意可得llCQl==9-r''''lCC'I+|=10>|CC,|=6,

此時(shí)，圓C的圓心軌跡E是以C|、。2分別為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2al=10的橢圓,

________22

?|=5,。=3,則9=4,此時(shí)，軌跡E的方程為工+匕=1

丫2516

②圓c與圓C1、C2都內(nèi)切，且4<r<&,

12

CC,|=r-l

由題意可得《.?.|CC,|+|CC,|=8>|CC1|=6,

CC2|=9-r

此時(shí)，圓C的圓心軌跡E是以C1、C2分別為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2。2=8的橢圓,

????2=4,c2=3,2=如-/=77,此時(shí)，軌跡E的方程為；4+5=1,

綜上所述，軌跡E的方程為工+上_=1或L+匕=1.

2516167

2

%y2

由于直線/與曲線E僅有三個(gè)公共點(diǎn)，則直線/與橢圓——+匚=1相切.

167

①若直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為*=±4,

x=4x=4

24

可設(shè)直線/的方程為1=4,聯(lián)立，解得〈12,此時(shí)產(chǎn)。|二—；

211

------1--=--1--y=±—5

〔25161.5

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為〉=京+加，

y=kx-\-m

2

聯(lián)立《22,消去V并整理得（16左2+7）x+32knx+16（〃？一7）=0,

X"1

------1------=1

1167

4=322公w2—4x16（根2一7卜（16/+7）=7x8?（16/+7—巾2）=（）,

可得加2=]6左2+7,

y=kx+m

設(shè)點(diǎn)尸（X],yj、7?（%，%），聯(lián)立'22

*J1

---1---=1

12516

消去y并整理得（25攵2+16卜2+50切a+25（租2—16）=（）,

4=5（）2/裙—4x25（加一16）（25公+16）=1600（25公+16-〃/）=14400儼+i）〉o

2

50km25（/77-16）

由韋達(dá)定理得玉+馬=一，入出=------；-------

25攵2+1625公+16

2

/.\PR\=Jl+Z\x}-X21=Jl+獷J（X]+9）2-4工]電

13

150kmY4X25（W2-16）120（l+^2）

—Jl+k2120120

丈-25公+16）

25公+16256+1625^+16

\+k2

12015,八i|15

<-------=—,當(dāng)且僅當(dāng)攵=0時(shí)，PnRD取得最大值一.

25-92112

15

故答案為土+工一=1或土+2_=1

2516167T

四、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

YI

17.【答案】（1）a=2n-\.（2）T=-------.

"2〃+1

1解析】（1）等差數(shù)列｛?！埃那皀項(xiàng)和5?=,

63（q+%3）

得&?=------2_____=%.=9,

,^2i21（%+%）a”

2

因?yàn)閍”=21,所以田2=63,

等差數(shù)列｛4｝的公差d=％=63-21=2，

1J32-1121

所以，（九—

cin=4]+ll）d=21+2（〃-11）=2〃—1.

,二11______

n-（2n-l）（2/24-l）-21271-12〃+1）

18.【答案】答案見(jiàn)解析.

【解析】解：方案一：選條件①②.

因?yàn)?c—4a=15cosA，b=3，所以5c—4a=5Z?cosA,

由正弦定理得5sinC-4sinA=5sinBcosA.

因?yàn)閟inC=sin（A+5）=sinAcosB+cosAsin5,所以5cosBsinA=4sinA.

14

因?yàn)閟inA>0,所以cos8=g,sin6=A/1-COS2B=3

-5

7171

因?yàn)锳=CH—,A+B+C=TI所以3=—2C,

22

兀j=sinB=1,所以sin2C=l-cos2C

所以cos2c=cos

2-5

因?yàn)椤?((),兀)，所以sinC=f，

aVs

在AABC中，由正弦定理得c=sin=—=亞.

sinB3

5

方案二：選條件①③.

因?yàn)镾=人sinC=3,b=3，所以〃sinC=2.

2

71H

因?yàn)锳=CH—,A+B+C—7t?所以8=—2C.

22

Abs\nA[2J3cosC

在AABC中，由正弦定理得。=—~~—=—7--------v=.......-

sinB.|Jic"cos2C

sin——2C

(2J

3sinCeosC-

所以---------------=2即3sin2C=4cos2c.

cos2C

7T

0<A=C-i---<兀71

因?yàn)椤?,所以0<C<-,0<2Cv兀

2

0<C<7l

所以sin2C>0,所以cos2C>0.

3

又sin22C+cos22C=1，所以cos2C=—

所以sin2c=1一c°s2c7.所以sinC=@.

255

15

3x正

AbsmCZ?sinChsinC

在△ABC中，由正弦定理得c=----

sinBsinf1-2Ccos2C

5

方案三：選條件②③.

因?yàn)?c—4。=15cosA，b=3,所以5c—4a=50cosA,

由正弦定理得5sinC—4sinA=5sin3cosA,

因?yàn)閟inC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsin5.

所以5cosBsinA=4sinA.

4/------3

因?yàn)閟inA>0,所以cos8=—,sinB=vl-cosB=—.

55

因?yàn)镾=L〃csin3=3，所以〃c=10.（i）

2

2

在/kABC中，由余弦定理得方=。2+02—0s5，

所以。2+02=25.（ii）

由（i）（ii）解得c=6或C=2逐.

19.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在a=?!使得平面ADF與平面BCE所成的銳二面角的余弦值為近5.

213

【解析】（1）取A3的中點(diǎn)G.連接DG，

vBG=-AB=CD.B