八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)-第07講 解題技巧專題：利用等腰三角形的‘三線合一’作輔助線(3類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第07講解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線(3類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點(diǎn)一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】 1【考點(diǎn)二等腰三角形中底邊無中點(diǎn)時(shí)，作高】 9【考點(diǎn)三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 20【考點(diǎn)一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】例題：（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，D為的中點(diǎn)，于E．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了等腰三角形的“三線合一”，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，（1）連接，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”即可作答；（2）根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可作答．【詳解】（1）連接，∵，，∴，平分，∴，，∵于E，∴，∴；（2）∵，，∴，在中，，∴，在中，，，∴，則．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·陜西寶雞·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，，D是BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且．求證：．【答案】見解析【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后即可證明，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】證明：連接，，D是BC的中點(diǎn)，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·寧夏吳忠·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D：在中，，D為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，可得平分，再根據(jù)證明，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)已知條件證明為等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)果；【詳解】（1）證明：連接，∵，為邊的中點(diǎn)，∴平分，∴，∵，，∴，又，∴，∴；（2）解：，，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三線合一，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023上·北京·八年級(jí)期末）如圖，在中，，D是的中點(diǎn)，過A作，且．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，利用等腰三角形“三線合一"的性質(zhì)得，再利用平行線的性質(zhì)得，從而說明垂直平分，則有；（2）利用等角的余角相等，再利用證明，從而證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接AD，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，垂直平分，∴；（2）在和中，【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形“三線合一"的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·遼寧葫蘆島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，D為線段的中點(diǎn)，且．

(1)求證：．(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明結(jié)論；（2）證明為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：連接，

是的垂直平分線，，，，是等腰三角形，為線段的中點(diǎn)，；（2）解：，，，，，，，，為等邊三角形，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在直線上運(yùn)動(dòng)，且始終保持．(1)如圖①，若點(diǎn)分別在線段上，與相等且與垂直嗎？請(qǐng)說明理由；(2)如圖②，若點(diǎn)分別在線段的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論是否依然成立？說明理由．【答案】(1)且，見解析(2)成立，見解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到和，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到和，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）且，理由是：如圖①，連接，∵，，D為中點(diǎn)，∴，∴，在和中，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴．（2）若點(diǎn)分別在線段，的延長(zhǎng)線上，（1）中的結(jié)論依然成立，如圖②，連接，理由如下：∵，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∴，在和中，∴；∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．6．（2023上·浙江紹興·八年級(jí)新昌縣七星中學(xué)校考期中）兩個(gè)同樣大小的含角的三角尺，按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)，，在同一直線上，為中點(diǎn)，已知．(1)求的長(zhǎng)．(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)1(2)【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）連接，首先利用勾股定理解得，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，然后證明為等腰直角三角形，即可求得的長(zhǎng)；（2）由題意可知，然后在中，利用勾股定理解得，根據(jù)即可求得答案．【詳解】（1）解：連接，如下圖，根據(jù)題意，，，∴，∴，∵為中點(diǎn)，∴，且，∴，∴，∴；（2）根據(jù)題意，，又∵，，∴在中，，∴．【考點(diǎn)二等腰三角形中底邊無中點(diǎn)時(shí)，作高】例題：（2023上·福建廈門·八年級(jí)廈門一中校考期中）如圖，已知，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在邊上，，若，求的長(zhǎng)．

【答案】2【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)．作交于，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由含角的直角三角形的性質(zhì)得出，計(jì)算出即可得到答案．熟練掌握等腰三角形的三線合一以及直角三角形中所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作交于，

，，，，在中，，，，，，，，．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·廣東廣州·八年級(jí)廣州市番禺區(qū)鐘村中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，，求四邊形的面積．【答案】【分析】連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，在中根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，由等腰三角形的性質(zhì)得出，在中根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再由即可得出結(jié)論．【詳解】連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，∵，∴．在中，，∴．∵，∴．∵，∴．在中，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理及三角形的面積公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023上·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，點(diǎn)D在上（不與點(diǎn)B，C重合）．

(1)如圖1，若是直角三角形，①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．(2)如圖2，點(diǎn)E在上（不與點(diǎn)A，B重合），且．若，求證：．【答案】(1)①6；②(2)見解析【分析】（1）①過A作于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可；②畫出圖形，過A作于H，設(shè)，利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可；（2）利用三角形的外角性質(zhì)得到，再根據(jù)全等三角形的判定即可證的結(jié)論．【詳解】（1）解：①過A作于D，如圖，

∵，，∴，在中，，∴；②如圖，過A作于H，

由①得，，在中，，在中，，∴，解得；（2）證明：∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的外角性質(zhì)、全等三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系和運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．3．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接．

(1)邊上的高的長(zhǎng)度為；(2)如圖1，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．是否存在值，使得為等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)如圖2，把沿著直線翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)2(2)或(3)【分析】（1）過點(diǎn)A作于D，利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)求出，再利用勾股定理即可求解．（2）分兩種情況∶當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求解即可．（3）過點(diǎn)A作于D，過點(diǎn)A作于G，由折疊性質(zhì)得，，再證明，得出，，然后利用勾股定理求出，即可求解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)A作于D，如圖1，

∵，，∴由勾股定理，得，∴邊上的高的長(zhǎng)度為2．（2）解∶分兩種情況∶當(dāng)時(shí)，則，∴解得∶；當(dāng)時(shí)，如圖，

則，，由(1)知∶，，∴，由勾股定理，得，解得∶，綜上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，t值為或．（3）解：過點(diǎn)A作于D，過點(diǎn)A作于G，如圖2，

由（1）知，，，由折疊知：，，又∵，∴，∴，，∵∴在中，由勾股定理，得∴．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)．作等腰三角形底邊的高利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)和構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求線段長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·河南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在中，點(diǎn)是邊上的兩點(diǎn)．

(1)如圖1，若，．求證：；(2)如圖2，若，，設(shè)，．①猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②在①的條件下，，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）過A作于F，根據(jù)三線合一得到，，利用線段的和差可得結(jié)果；（2）①根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)，整理可得結(jié)果；②根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)，代入化簡(jiǎn)可得結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖，過A作于F，∵，，∴，，∴，即；

（2）①猜想：，理由是：∵，，∴，∵，，∴，即，整理得：；②∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和，角的和差計(jì)算，解題的關(guān)鍵是利用這些性質(zhì)找出角的關(guān)系．5．（2023上·河南商丘·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在中，，過點(diǎn)C作射線，使（點(diǎn)與點(diǎn)B在直線的異側(cè)）點(diǎn)D是射線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在線段上，且．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，與的位置關(guān)系是，若，則的長(zhǎng)為；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，連接．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)互相垂直；(2)①，證明見解析；②，證明見解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得與的位置關(guān)系是互相垂直，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得出；（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，①過點(diǎn)A作于點(diǎn)M、于點(diǎn)N，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得到；②在上截取，連接，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到，，根據(jù)角的和差得到，再利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)及線段和差即可得到．【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，，∵，∴，∴，

∴，即與的位置關(guān)系是互相垂直，若，過點(diǎn)A作于點(diǎn)M，如圖：

則，∵，∴，在與中，∴，∴，即的長(zhǎng)為，故答案為：互相垂直；；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C不重合時(shí)，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系是：，證明如下：過點(diǎn)A作于點(diǎn)M、于點(diǎn)N，如圖：

則，∴，∵，即，∴，∵，，∴，在與中，，∴，∴，∴；②用等式表示線段，，之間的量關(guān)系是：，證明如下：在上截取，連接，如圖：

∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，由①知：，即，∴，∴，∴，在和中，，∴，

∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、垂直定義等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】例題：（2022春·上海普陀·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，平分，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，交于，交的延長(zhǎng)線于．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)證明，即可得出；（2）過點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，由可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，可得，進(jìn)而得出，再根據(jù)據(jù)證明，得出，等量代換即可得到．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）證明：過點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，平行線的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理、性質(zhì)定理及作出合適的輔助線是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·河北石家莊·八年級(jí)?？计谥校?1)【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點(diǎn)A為上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作，垂足為C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)B，可根據(jù)證明，則，（即點(diǎn)C為的中點(diǎn)）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長(zhǎng)線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實(shí)際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，故進(jìn)行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點(diǎn)A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請(qǐng)直接寫出答案．【答案】(1)(2)(3)，證明見解析(4)的面積是【分析】（1）證（），得，即可；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，由問題情境可知，，再由等腰三角形的性質(zhì)得，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）拓展延伸延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F，證（），得，再由問題情境可知，，即可得出結(jié)論；（4）實(shí)際應(yīng)用延長(zhǎng)交于E，由問題情境可知，，，則，再由三角形面積關(guān)系得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，，故答案為：；（2）解：如圖2，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，由可知，，∴，∵，∴，故答案為：；（3）解：，證明如下：如圖3，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F，則，∵，∴，∵，∴，又∵，∴（），∴，由問題情境可知，，∴；（4）解：如圖4，延長(zhǎng)交于E，由問題情境可知，，，∴，∵，∴，∴，答：的面積是．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線定義以及三角形面積等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．2．（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）【情境建?！繉W(xué)校數(shù)學(xué)社團(tuán)活動(dòng)時(shí)遇到下面一個(gè)問題：如圖1，點(diǎn)在的角平分線上，過點(diǎn)作的垂線分別交、于點(diǎn)、．求證：．請(qǐng)你幫助完成此證明．

【應(yīng)用實(shí)踐】請(qǐng)嘗試直接應(yīng)用“情境建?！敝械慕Y(jié)論解決下列問題：（1）將圖1沿著過點(diǎn)的直線折疊，得到圖2，使