八年級數(shù)學(xué)下冊-第07講 解題技巧專題：利用等腰三角形的‘三線合一’作輔助線(3類熱點題型講練)（解析版）

第07講解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線(3類熱點題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】 1【考點二等腰三角形中底邊無中點時，作高】 9【考點三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 20【考點一等腰三角形中底邊有中點時，連中線】例題：（2023上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，D為的中點，于E．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了等腰三角形的“三線合一”，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識，（1）連接，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”即可作答；（2）根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)即可作答．【詳解】（1）連接，∵，，∴，平分，∴，，∵于E，∴，∴；（2）∵，，∴，在中，，∴，在中，，，∴，則．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，D是BC的中點，E、F分別是AB、AC上的點，且．求證：．【答案】見解析【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后即可證明，進而可得結(jié)論．【詳解】證明：連接，，D是BC的中點，，在和中，，，．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握上述知識是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·寧夏吳忠·八年級?？计谥校┤鐖D：在中，，D為邊的中點，過點D作于點E，于點F．(1)求證：；(2)若，求的周長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，可得平分，再根據(jù)證明，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)已知條件證明為等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到結(jié)果；【詳解】（1）證明：連接，∵，為邊的中點，∴平分，∴，∵，，∴，又，∴，∴；（2）解：，，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴，，∴，∴，∴的周長為．【點睛】本題主要考查了三線合一，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023上·北京·八年級期末）如圖，在中，，D是的中點，過A作，且．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，利用等腰三角形“三線合一"的性質(zhì)得，再利用平行線的性質(zhì)得，從而說明垂直平分，則有；（2）利用等角的余角相等，再利用證明，從而證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接AD，，點為的中點，，，，，，，垂直平分，∴；（2）在和中，【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形“三線合一"的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點E，交于點F，D為線段的中點，且．

(1)求證：．(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明結(jié)論；（2）證明為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）證明：連接，

是的垂直平分線，，，，是等腰三角形，為線段的中點，；（2）解：，，，，，，，，為等邊三角形，，，．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．5．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知中，，，點D為的中點，點、分別在直線上運動，且始終保持．(1)如圖①，若點分別在線段上，與相等且與垂直嗎？請說明理由；(2)如圖②，若點分別在線段的延長線上，（1）中的結(jié)論是否依然成立？說明理由．【答案】(1)且，見解析(2)成立，見解析【分析】（1）先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到和，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到和，再證明，利用全等三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）且，理由是：如圖①，連接，∵，，D為中點，∴，∴，在和中，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴．（2）若點分別在線段，的延長線上，（1）中的結(jié)論依然成立，如圖②，連接，理由如下：∵，，點D為的中點，∴，∴，在和中，∴；∴，又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形．6．（2023上·浙江紹興·八年級新昌縣七星中學(xué)校考期中）兩個同樣大小的含角的三角尺，按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點，且另三個銳角頂點，，在同一直線上，為中點，已知．(1)求的長．(2)求的長．【答案】(1)1(2)【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）連接，首先利用勾股定理解得，再根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，然后證明為等腰直角三角形，即可求得的長；（2）由題意可知，然后在中，利用勾股定理解得，根據(jù)即可求得答案．【詳解】（1）解：連接，如下圖，根據(jù)題意，，，∴，∴，∵為中點，∴，且，∴，∴，∴；（2）根據(jù)題意，，又∵，，∴在中，，∴．【考點二等腰三角形中底邊無中點時，作高】例題：（2023上·福建廈門·八年級廈門一中?？计谥校┤鐖D，已知，點在邊上，，點在邊上，，若，求的長．

【答案】2【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)．作交于，由等腰三角形的性質(zhì)可得，由含角的直角三角形的性質(zhì)得出，計算出即可得到答案．熟練掌握等腰三角形的三線合一以及直角三角形中所對的直角邊等于斜邊的一半是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作交于，

，，，，在中，，，，，，，，．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·廣東廣州·八年級廣州市番禺區(qū)鐘村中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四邊形中，，，求四邊形的面積．【答案】【分析】連接，過點C作于點E，在中根據(jù)勾股定理求出的長，由等腰三角形的性質(zhì)得出，在中根據(jù)勾股定理求出的長，再由即可得出結(jié)論．【詳解】連接，過點C作于點E，∵，∴．在中，，∴．∵，∴．∵，∴．在中，∴．【點睛】本題考查的是勾股定理及三角形的面積公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023上·河南許昌·八年級統(tǒng)考期末）在中，，，點D在上（不與點B，C重合）．

(1)如圖1，若是直角三角形，①當時，求的長；②當時，求的長．(2)如圖2，點E在上（不與點A，B重合），且．若，求證：．【答案】(1)①6；②(2)見解析【分析】（1）①過A作于D，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可；②畫出圖形，過A作于H，設(shè)，利用等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可；（2）利用三角形的外角性質(zhì)得到，再根據(jù)全等三角形的判定即可證的結(jié)論．【詳解】（1）解：①過A作于D，如圖，

∵，，∴，在中，，∴；②如圖，過A作于H，

由①得，，在中，，在中，，∴，解得；（2）證明：∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的外角性質(zhì)、全等三角形的判定，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系和運用是解答的關(guān)鍵．3．（2023上·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）在中，，，點為邊上一動點，連接．

(1)邊上的高的長度為；(2)如圖1，若點從點出發(fā)，以每秒2個單位的速度向點運動，設(shè)運動時間為秒．是否存在值，使得為等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，把沿著直線翻折，點的對應(yīng)點為點，交邊于點，當時，求的長度．【答案】(1)2(2)或(3)【分析】（1）過點A作于D，利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)求出，再利用勾股定理即可求解．（2）分兩種情況∶當時，當時，分別求解即可．（3）過點A作于D，過點A作于G，由折疊性質(zhì)得，，再證明，得出，，然后利用勾股定理求出，即可求解．【詳解】（1）解：過點A作于D，如圖1，

∵，，∴由勾股定理，得，∴邊上的高的長度為2．（2）解∶分兩種情況∶當時，則，∴解得∶；當時，如圖，

則，，由(1)知∶，，∴，由勾股定理，得，解得∶，綜上，當為等腰三角形時，t值為或．（3）解：過點A作于D，過點A作于G，如圖2，

由（1）知，，，由折疊知：，，又∵，∴，∴，，∵∴在中，由勾股定理，得∴．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)．作等腰三角形底邊的高利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)和構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求線段長是解題的關(guān)鍵．4．（2023上·河南省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期末）在中，點是邊上的兩點．

(1)如圖1，若，．求證：；(2)如圖2，若，，設(shè)，．①猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②在①的條件下，，請直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）過A作于F，根據(jù)三線合一得到，，利用線段的和差可得結(jié)果；（2）①根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)，整理可得結(jié)果；②根據(jù)等邊對等角和三角形內(nèi)角和求出，再根據(jù)，代入化簡可得結(jié)果．【詳解】（1）解：如圖，過A作于F，∵，，∴，，∴，即；

（2）①猜想：，理由是：∵，，∴，∵，，∴，即，整理得：；②∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等邊對等角，三角形內(nèi)角和，角的和差計算，解題的關(guān)鍵是利用這些性質(zhì)找出角的關(guān)系．5．（2023上·河南商丘·八年級?？茧A段練習(xí)）在中，，過點C作射線，使（點與點B在直線的異側(cè)）點D是射線上一動點（不與點C重合），點E在線段上，且．

(1)如圖1，當點E與點C重合時，與的位置關(guān)系是，若，則的長為；（用含a的式子表示）(2)如圖2，當點E與點C不重合時，連接．①用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②用等式表示線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)互相垂直；(2)①，證明見解析；②，證明見解析【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得與的位置關(guān)系是互相垂直，過點A作于點M，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得出；（2）當點E與點C不重合時，①過點A作于點M、于點N，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)即可得到；②在上截取，連接，利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得到，，根據(jù)角的和差得到，再利用證明，根據(jù)全等三角形性質(zhì)及線段和差即可得到．【詳解】（1）解：當點E與點C重合時，，∵，∴，∴，

∴，即與的位置關(guān)系是互相垂直，若，過點A作于點M，如圖：

則，∵，∴，在與中，∴，∴，即的長為，故答案為：互相垂直；；（2）解：①當點E與點C不重合時，用等式表示與之間的數(shù)量關(guān)系是：，證明如下：過點A作于點M、于點N，如圖：

則，∴，∵，即，∴，∵，，∴，在與中，，∴，∴，∴；②用等式表示線段，，之間的量關(guān)系是：，證明如下：在上截取，連接，如圖：

∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，由①知：，即，∴，∴，∴，在和中，，∴，

∴，∴．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、垂直定義等知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)并作出合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．【考點三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】例題：（2022春·上海普陀·八年級校考期中）如圖，在中，平分，是的中點，過點作交的延長線于，交于，交的延長線于．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)證明，即可得出；（2）過點C作交于點M，由可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，可得，進而得出，再根據(jù)據(jù)證明，得出，等量代換即可得到．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）證明：過點C作交于點M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是的中點，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，平行線的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理、性質(zhì)定理及作出合適的輔助線是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·河北石家莊·八年級校考期中）(1)【問題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點A為上一點，過點A作，垂足為C，延長交于點B，可根據(jù)證明，則，（即點C為的中點）．(2)【類比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進行水稻試驗，故進行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過點A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請直接寫出答案．【答案】(1)(2)(3)，證明見解析(4)的面積是【分析】（1）證（），得，即可；（2）延長交于點F，由問題情境可知，，再由等腰三角形的性質(zhì)得，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）拓展延伸延長、交于點F，證（），得，再由問題情境可知，，即可得出結(jié)論；（4）實際應(yīng)用延長交于E，由問題情境可知，，，則，再由三角形面積關(guān)系得，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵，∴（），∴，，故答案為：；（2）解：如圖2，延長交于點F，由可知，，∴，∵，∴，故答案為：；（3）解：，證明如下：如圖3，延長、交于點F，則，∵，∴，∵，∴，又∵，∴（），∴，由問題情境可知，，∴；（4）解：如圖4，延長交于E，由問題情境可知，，，∴，∵，∴，∴，答：的面積是．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線定義以及三角形面積等知識，本題綜合性強，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．2．（2023上·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）【情境建模】學(xué)校數(shù)學(xué)社團活動時遇到下面一個問題：如圖1，點在的角平分線上，過點作的垂線分別交、于點、．求證：．請你幫助完成此證明．

【應(yīng)用實踐】請嘗試直接應(yīng)用“情境建?！敝械慕Y(jié)論解決下列問題：（1）將圖1沿著過點的直線折疊，得到圖2，使