第一章 三角形的證明 單元測試（基礎(chǔ)過關(guān)）（備作業(yè)）-八年級數(shù)學下冊同步備課系列(北師大版)（解析版）

第一章三角形的證明單元測試（基礎(chǔ)過關(guān)）一、單選題1．若等腰三角形兩邊長分別為6和8，則底邊上的高等于（）A．2 B． C．2或 D．10【答案】C【分析】因為題目沒有說明哪個邊為腰哪個邊為底，所以需要討論，①當6為腰時，此時等腰三角形的邊長為6、6、8；②當8為腰時，此時等腰三角形的邊長為6、8、8；然后根據(jù)等腰三角形的高垂直平分底邊可運用勾股定理的知識求出高．【解析】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，邊長為6和8的等腰三角形有6、6、8與6、8、8兩種情況，①當三邊是6、6、8時，底邊上的高AD＝＝＝2；②當三邊是6、8、8時，同理求出底邊上的高AD是＝．故選C．【點睛】本題主要考查了勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠利用分類討論的思想求解．2．等腰三角形的一個外角是110°，則底角為（）A．70°或40° B．55°或70° C．55° D．70°【答案】B【分析】由于外角大于，故應分兩種情況：當這個角是底角時和當這個角是頂角時．【解析】解：（1）的外角的頂點為頂角頂點，則底角，（2）的外角的頂點為底角頂點，則底角．故選：【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：兩底角相等，以及三角形內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時要注意分情況進行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．3．在下列各原命題中，其逆命題為假命題的是（）A．直角三角形的兩個銳角互余B．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方C．等腰三角形兩個底角相等D．同角的余角相等【答案】D【分析】首先寫出各個命題的逆命題，然后進行判斷即可．【解析】A、逆命題是：兩個銳角互余的三角形是直角三角形，是真命題，故此選項不符合題意；B、逆命題是：如果一個三角形有兩條邊的平方和等于第三條邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，是真命題，故此選項不符合題意；C、逆命題是：有兩個角相等的三角形是等腰三角形，是真命題，故此選項不符合題意；D、逆命題是：如果兩個角相等，那么它們是同一個角的余角，是假命題，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．也考查了逆命題．4．如圖，在直角坐標系中，△AOB是等邊三角形，若B點的坐標是（3，0），則A點的坐標是（）A．（，3） B．（，） C．（，） D．（，）【答案】C【分析】過點A做AC⊥x軸于點C，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合點B的坐標即可找出OA、OC的長度，再利用勾股定理即可求出AC的長度，進而可得出點A的坐標，此題得解．【解析】解：過點A做AC⊥x軸于點C，如圖所示．∵△AOB是等邊三角形，若B點的坐標是（3，0），∴OA＝OB＝3，OC＝BC＝OB＝，在Rt△ACO中，OA＝3，OC＝，∴AC＝，∴點A的坐標為（，）．故選：C．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)．勾股定理以及坐標與圖形性質(zhì)，利用勾股定理求出AC的長度是解題的關(guān)鍵．5．如圖是“一帶一路”示意圖，若記北京為A地，莫斯科為B地，雅典為C地，分別連接AB、AC、BC，形成了一個三角形．若想建立一個貨物中轉(zhuǎn)倉，使其到A、B、C三地的距離相等，則中轉(zhuǎn)倉的位置應選在（）A．三邊垂直平分線的交點 B．三邊中線的交點C．三條角平分線的交點 D．三邊上高的交點【答案】A【分析】根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等進行求解即可．【解析】∵中轉(zhuǎn)倉到A、B、C三地的距離相等，∴中轉(zhuǎn)倉的位置應選在△ABC三邊的垂直平分線的交點處，故選A．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，若AB=10cm，AC=6cm，則BE的長度是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DC，證明Rt△AED≌Rt△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=AC=6cm，結(jié)合圖形計算，得到答案．【解析】解：∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，∠C=90°，∴DE=DC，在Rt△AED和Rt△ACD中，，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE=AC=6cm，∴BE=AB-AE=10-6=4（cm），故選：B．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AB＝5，△ABD的周長是13，則BC的長為（）A．8 B．10 C．11 D．12【答案】A【分析】先證明再證明結(jié)合從而可得答案.【解析】解：DE是AC的垂直平分線，△ABD的周長是13，AB＝5，故選A【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握“線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等”是解本題的關(guān)鍵.8．如圖，已知在?ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC＝10，DE＝3，則?BCE的面積等于()A．6 B．9 C．15 D．1【答案】C【分析】過E作EF⊥BC于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出EF＝DE＝3，根據(jù)三角形面積公式求出即可．【解析】解：過E作EF⊥BC于F，

∵CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，

∴EF＝DE＝3，

∵BC＝10，

∴△BCE的面積為×BC×EF＝15，

故選：C．【點睛】本題考查了三角形的面積和角平分線性質(zhì)，能根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE＝EF是解此題的關(guān)鍵，注意：角平分線上的點到角兩邊的距離相等．9．如圖，、分別平分、，連接，作于于，若的周長為18，，則的面積為（）A．18 B．30 C．24 D．27【答案】D【分析】如圖，過作垂直分別為證明再利用三角形的面積公式進行計算即可.【解析】解：如圖，過作垂直分別為、分別平分、，,故選D【點睛】本題考查的是三角形的角平分線的性質(zhì)，三角形的面積的計算，掌握“三角形的角平分線的交點到三角形的三邊的距離相等”是解題的關(guān)鍵.10．如圖所示，在△ABC中，內(nèi)角∠BAC與外角∠CBE的平分線相交于點P，BE＝BC，PB與CE交于點H，PGAD交BC于F，交AB于G，連接CP．下列結(jié)論：①∠ACB＝2∠APB；②S△PAC：S△PAB＝AC：AB；③CH=HE；④∠PCF＝∠CPF；⑤∠CPA＝∠CEA．其中，正確的有（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】A【分析】①根據(jù)角平分線的性質(zhì)和外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

②根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的面積公式即可求出結(jié)論；

③根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得結(jié)果；

④根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)果；

⑤先求出∠DCB=2∠CAP+2∠CPA，再求出∠DCB=2∠CAP+2∠CEA，即可得出結(jié)果．【解析】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，

∴∠PAB=∠CAB，∠PBE=∠CBE，

∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，

∠PBE=∠PAB+∠APB，

∴∠ACB=2∠APB；故①正確；

過P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，

∴PM=PN=PS，

∴PC平分∠BCD，

∵S△PAC：S△PAB=（AC?PN）：（AB?PM）=AC：AB；故②正確；∵BE=BC，BP平分∠CBE，

∴BP垂直平分CE（三線合一），∴CH=HE，故③正確；∵PG∥AD，

∴∠FPC=∠DCP，

∵PC平分∠DCB，

∴∠DCP=∠PCF，

∴∠PCF=∠CPF，故④正確．∵CP是∠DCB的角平分線，∴∠DCP=∠DCB=∠CAP+∠CPA，∴∠DCB=2∠CAP+2∠CPA，∵BE＝BC，∴∠CEA=∠BCE，∴∠CBA=2∠CEA，∵∠DCB=2∠CAP+∠CBA=2∠CAP+2∠CEA，∴∠DCB=2∠CAP+2∠CPA=2∠CAP+2∠CEA，∴∠CPA＝∠CEA，故⑤正確．故選A．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．“等邊三角形是銳角三角形”的逆命題是_________．【答案】銳角三角形是等邊三角形【分析】交換題目中的題設和結(jié)論即可．【解析】解：原命題“等邊三角形是銳角三角形”的條件是“一個三角形是等邊三角形”，結(jié)論是“這個三角形是銳角三角形”，互換條件和結(jié)論可得到逆命題“如果一個三角形是銳角三角形，那么這個三角形是等邊三角形”．簡化為“銳角三角形是等邊三角形”，故答案為：銳角三角形是等邊三角形．【點睛】本題考查了命題與逆命題，能準確找到命題中的題設和結(jié)論是解題的關(guān)鍵．12．若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)為____【答案】60°或120°【分析】等腰三角形的高相對于三角形有三種位置關(guān)系，三角形內(nèi)部，三角形的外部，三角形的邊上．根據(jù)條件可知第三種高在三角形的邊上這種情況不成了，因而應分兩種情況進行討論．【解析】解：當高在三角形內(nèi)部時（如圖1），∵，∴，即頂角是60°；

當高在三角形外部時（如圖2），∵，∴，∴，即頂角是120°．故答案為：60或120．【點睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題易出現(xiàn)的錯誤是只是求出60°一種情況，把三角形簡單的認為是銳角三角形．因此此題屬于易錯題．13．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于D，交AC于點E，若BC＝BD，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，則△ADE的周長是______．【答案】8cm【分析】連接，證明進而可得，進而即可求得△ADE的周長．【解析】連接，，△ADE的周長是cm故答案為：【點睛】本題考查了HL證明三角形全等以全等三角形的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在△ABC中，直線l垂直平分BC，射線m平分∠ABC，且l與m相交于點P，若∠A＝60°，∠ACP＝15°，則∠ABP＝_____°．【答案】35【分析】設∠ABP＝x，根據(jù)角平分線定義，線段垂直平分線的性質(zhì)得到∠PCB＝∠CBP＝x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列方程，解方程，問題得解．【解析】解：設∠ABP＝x，∵BP平分∠ABC，∴∠CBP＝∠ABP＝x，∵直線l垂直平分BC，∴PB＝PC，∴∠PCB＝∠CBP＝x，∴60°+15°+x+x+x＝180°，解得，x＝35°，即∠ABP＝35°．故答案為：35【點睛】本題考查了角平分線的定義、線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，設出未知數(shù)，用含x式子表示出各角，列出方程是解題關(guān)鍵．15．如圖，Rt△ABC中，AB，BC＝3，∠B＝90°，將△ABC折疊，使A點與BC的中點D重合，折痕為MN，則線段BN的長為_____．【答案】2【分析】根據(jù)題意，設，由折疊，在利用勾股定理列方程解出x，就求出BN的長．【解析】∵D是CB中點，，∴，設，則，在中，，，解得：，∴．故答案是：2．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)和勾股定理，關(guān)鍵是利用方程思想設邊長，然后用勾股定理列方程解未知數(shù)，求邊長．16．如圖，等腰ABC中，AB＝AC，ABC的周長＝24，若∠ABC的平分線交AC于點D，且＝5：8，則底邊BC的長為__________．【答案】##【分析】過點D作DE⊥BC，DF⊥AB，則有DE＝DF，再由三角形的周長為24，則有AB＝12﹣BC，再利用三角形的面積公式列出分式方程，解方程即可求解．【解析】解：過點D作DE⊥BC，DF⊥AB，如圖所示：

∵∠ABC的平分線交AC于點D，∴DE＝DF，∵C△ABC＝24，AB＝AC，∴AB＝（24﹣BC）＝12﹣BC，∵S△ABD：S△CBD＝5：8，∴，∴，解得：．經(jīng)檢驗符合題意，是原方程的解．故答案為：．【點睛】本題考查角平分線性質(zhì)，三角形周長與面積，分式方程，高相等兩三角形面積的比等于底的比，利用面積比構(gòu)造方程是解題關(guān)鍵．17．如圖，已知∠AOB＝α，在射線OA、OB上分別取點OA1＝OB1，連接A1B1，在B1A1、B1B上分別取點A2、B2，使B1B2＝B1A2，連接A2B2…按此規(guī)律上去，記∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An＋1BnBn＋1＝θn，則θn＝________．【答案】【分析】根據(jù)三角形外角性質(zhì)找到等腰三角形的底角度數(shù)變化規(guī)律，用α表示出等腰三角形的底角，再平角等于180°列式用α表示出θ1，同理表示出θ2、θ3……，由此即可找到規(guī)律求解．【解析】解：∵OA1＝OB1，∠AOB＝α，∴．∴θ．∵B1B2＝B1A2，∠A2B1B2＝θ1，∴，∵∴，同理可求：，，???以此類推，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠準確找到規(guī)律求解.18．如圖中，平分垂直平分線段于點D，點E，F(xiàn)分別在線段上，將沿直線翻折，點C恰好落在點O處，則的度數(shù)為________．【答案】度【分析】連接OC、OB，由題意易證△AOB≌△AOC，則有OB=OC=OA，然后可得，進而可得，最后問題可求解．【解析】解：連接OC、OB，如圖所示：∵，∴，∵OA平分，∴，∵OA=OA，∴△AOB≌△AOC，∴OB=OC，∵垂直平分線段，∴，∴OB=OC=OA，，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，∴，∴，∴，∴；故答案為100°．【點睛】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)定理、折疊的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)定理、折疊的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．寫出定理“等腰三角形頂角的角平分線和底邊上的高線互相重合”的逆命題，并證明這個命題是真命題．逆命題：______．已知：______．求證：______．【答案】一邊上的高線與這邊對角的角平分線重合的三角形是等腰三角形；如圖所示，，是的角平分線；是等腰三角形；證明見解析．【分析】根據(jù)逆命題可直接進行解答，然后寫出已知求證，進而根據(jù)三角形全等進行求證即可．【解析】解：由題意可得，原命題的逆命題為：一邊上的高線與這邊對角的角平分線重合的三角形是等腰三角形．這個命題是真命題．已知，如圖所示：，是的角平分線，求證是等腰三角形．證明如下：∵，∴，∵是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形．故答案為：一邊上的高線與這邊對角的角平分線重合的三角形是等腰三角形；如圖所示，，是的角平分線；是等腰三角形．【點睛】本題主要考查逆命題、全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的判定，熟練掌握逆命題、全等三角形的性質(zhì)與判定及等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．20．如圖，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為點E，F(xiàn)，DB＝DC．（1）求證：BE＝CF；（2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求證：AB＝2DF．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【分析】（1）證明，；進而證明，即可解決問題；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和含的直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解析】證明：（1）平分，，，，；在和中，，，；（2）平分，，，，，，，，，在中，，，，平分，，，，．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定、角平分線的性質(zhì)及其應用等幾何知識點，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．如圖，已知△ABC是等邊三角形，BD是AC上的高線．作AE⊥AB于點A，交BD的延長線于點E．取BE的中點M，連結(jié)AM．

（1）求證：△AEM是等邊三角形；（2）若AE＝1，求△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）．【分析】（1）利用條件可求得∠E＝60°且利用直角三角形的性質(zhì)可得出ME＝AM，可判定△AEM的形狀；

（2）由條件利用勾股定理可求得AB和BD的長，可求出△ABC的面積．【解析】解：（1）∵△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高線，AE⊥AB，

∴∠ABD＝30°，

∴∠E＝60°，

∵點M是BE的中點，

∵在Rt△ABE中，AM＝BE＝EM，

∴△AEM是等邊三角形；（2）∵AE＝1，∠EAB＝90°，∠ABD＝30°

∴BE＝2AE＝2，

由勾股定理得：AB＝，∴AB＝AC＝BC＝，

∴AD＝AB＝，

∴BD＝，

∴S△ABC＝××＝．【點睛】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及直角三角形中，30°所對的邊是斜邊的一半，掌握等邊三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．22．如圖①是一個直角三角形紙片，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，將其折疊，使點C落在斜邊上的點C′處，折痕為BD（如圖②），求AC和DC的長．

【答案】，【分析】由題意可得，，根據(jù)勾股定理求得，設，在中，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【解析】解：由題意可得，，，根據(jù)勾股定理可得：，設，則，在中，，即，解得，即．【點睛】此題考查了利用勾股定理解直角三角形，涉及了折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理．23．如圖，已知△ABC的BC邊的垂直平分線DE與∠BAC的平分線交于點E，EF⊥AB的延長線于點F，EG⊥AC于點G，求證：（1）BF＝CG；（2）AB+AC＝2AG．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連接EB、EC，利用已知條件證明Rt△BEF≌Rt△CEG，即可得到BF＝CG；（2）根據(jù)（1）中的條件證得Rt△AFE≌Rt△AGE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG＝AF，于是得到結(jié)論．【解析】（1）證明：連接BE、EC，∵ED⊥BC，D為BC中點，∴BE＝EC，∵EF⊥AB，EG⊥AG，且AE平分∠FAG，∴FE＝EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中，，∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），∴BF＝CG；（2）在Rt△AFE與Rt△AGE中，，∴Rt△AFE≌Rt△AGE，∴AG＝AF，∴AB+AC＝AB+AG+CG＝AB+AG+BF＝AG+AF＝2AG．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練正確全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．24．如圖，在△ABC中，，AD平分，交BC于點D，．（1）求證：；（2）若AB＝6cm，則△DBE的周長為多少？【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)證明結(jié)合，從而可得結(jié)論；（2）先證明可得結(jié)合（1）可得從而可得答案.【解析】解：（1）AD平分，，，（2）【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，直角三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練的利用圖形的性質(zhì)證明“”是解本題的關(guān)鍵.25．如圖，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，AB的垂直平分線EF分別交AB，BD，BC于點E，G，F(xiàn)，連接AG，CG．（1）求證：BG＝CG；（2）若∠ABC＝42°，求∠CGF的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）27°【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出AD＝CD，BD⊥AC，則AG＝CG，由垂直平分線的性質(zhì)得出AG＝BG，則可得出結(jié)論；（2）由直角三角形的性質(zhì)求出∠BFE的度數(shù)，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠BCG，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可求出答案．【解析】（1）證明：∵AB＝BC，BD平分∠ABC，∴AD＝CD，BD⊥AC，∴AG＝CG，∵AB的垂直平分線EF交BD于G，∴AG＝BG，∴BG＝CG；（2）解：∵EF⊥AB，∴∠BEF＝90°，∵∠ABC＝42°，∴∠BFE＝90°﹣∠ABC＝48°，∵BD平分∠ABC，AB＝BC，∴∠GBC＝∠ABC＝＝21°，∵BG＝CG，∴∠GBC＝∠GCB＝21°，∴∠CGF＝∠BFE﹣∠GCF＝48°﹣21°＝27°．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．如圖，在ABC中，AC邊的垂直平分線DM交AC于D，CB邊的垂直平分線EN交BC于E，DM與EN相交于點F．（1）若CMN的周長為16cm，求AB的長；（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度數(shù)．【答案】（1）16cm；（2）40°【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到MA=MC，NB=NC，根據(jù)三角形的周長公式計算即可；

（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求出∠A+∠B=70°，由∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，計算即可．【解析】（1）∵DM是AC邊的垂直平分線，

∴MA=MC，

∵EN是BC邊的垂直平分線，

∴NB=NC，

AB=AM+MN+NB=MC+MN+NC=△CMN的周長=16cm；

（2）∵MD⊥AC，NE⊥BC，

∴∠ACB=180°-∠MFN=110°，

∴∠A+∠B=70°，

∵MA=MC，NB=NC，

∴∠MCA=∠A，∠NCB=∠B，

∴∠MCN=∠ACB-∠MCA-∠NCB=∠ACB–(∠A+∠B)=40°．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵，注意三角形內(nèi)角和定理的應用．27．如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，EA⊥AB于點A，EB交AC于點D，且AD＝AE．

（1）求證：BD平分∠ABC；（2）如圖2，過E作EF⊥AC于點F．①求證：AF＝CD；②若BC＝6，AB＝10，則線段DE的長為_______．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②．【分析】（1）首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠E＝∠ADE，然后根據(jù)等角的余角相等得到∠DBC＝∠ABE，即可證明BD平分∠ABC；（2）①過D作DH⊥AB于H，首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到CD＝DH，然后根據(jù)同角的余角相等得到∠AEF＝∠DAH，利用AAS證明△ADH≌△EAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF＝DH，即可證明AF＝CD；②首先根據(jù)勾股定理求出AC的長度，然后證明Rt△BCD≌Rt△BHD（HL），根據(jù)全等三角形對應邊相等得到BH＝BC＝6，設AF＝CD＝x，在Rt△AEF中利用勾股定理列方程求出AF＝CD＝3，即可得到DF的長度，最后在Rt△EFD中利用勾股定理即可求出DE的長．【解析】（1）證明：如圖1，∵AD＝AE，∴∠E＝∠ADE，∵∠ADE＝∠BDC，∴∠E＝∠BDC，∵EA⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠E+∠ABE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠ABE，∴BD平分∠ABC；（2）①證明：如圖2，過D作DH⊥AB于H，

∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，∴CD＝DH，∵EA⊥AB，EF⊥AC，∴∠EAB＝∠AFE＝∠AHD＝90°，∴∠AEF+∠EAF＝∠EAF+∠DAH＝90°，∴∠AEF＝∠DAH，在△ADH與△EAF中，，∴△ADH≌△EAF（AAS），∴AF＝DH，∴AF＝CD；②解：∵BC＝6，AB＝10，∠C＝90°，∴∵CD＝DH，BD＝BD，∴Rt△BCD≌Rt△BHD（HL），∴BH＝BC＝6，∴，∵△ADH≌△EAF，∴EF＝AH＝4，設AF＝CD＝x，∴AE＝AD＝8﹣x，∵EF⊥AC，∴AE2＝AF2+EF2，∴（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，∴AF＝CD＝3，∴DF＝，∴DE＝＝＝2．故答案為：2．【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理的運用，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確作出輔助線以及熟練掌握以上各知識．28．閱讀下面材料：（原題呈現(xiàn)）如圖1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的長．（思考引導）因為CD平分∠ACB，所以可在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE．這樣很容易得到DEC≌DAC，經(jīng)過推理能使問題得到解決（如圖2）．（問題解答）（1）參考提示的方法，解答原題呈現(xiàn)中的問題；（2）拓展提升：如圖3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的長．【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知條件和輔助線的作法，證得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代換得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的長；（2）在BA邊上取點E，使BE＝BC＝2，連接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS），在DA邊上取點F，使DF＝DB，連接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出結(jié)論．【解析】解：（1）如圖2，在BC邊上取點E，使EC＝AC，連接DE．在△ACD與△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴△BDE是等腰三角形；∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，∴BC的長為5.8；（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠B，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，在BA邊上取點E，使BE＝BC＝2，連接DE，在△DEB和△DBC中，，∴△DEB≌△DBC（SAS），∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA邊上取點F，使DF＝DB，連接FE，同理可得△BDE≌△FDE，∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟悉這些定理是解決本題的關(guān)鍵．29．已知，等邊，D在下方，，連接．（1）如圖1，求證：平分；（2）如圖2，點E為上一點，連接并延長，交于點F，若，求證：．（3）如圖3，在（2）問的條件下，過點C作CGBD點G，點H在上，，，，求線段的長．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）7【分析】（1）延長DC到E使得CE=BD，先證明△ABD≌△ACE，得到AD=AE，∠ADB=∠AEC，則∠ADE=∠AED，即可推出∠ADB=∠ADC，即可證明AD平分∠BDC；（2）設AD與BC的交點為O，由（1）得BD平分∠BDC，，再由∠AOB=∠COD，即可得到∠BAO=∠DCO，則可以推出∠DCO+∠DAC=60°，再由∠DFC=∠DAF+∠ADF，∠ADF=2∠B