MATLAB在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

第3章MATLAB在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用3.1矩陣分析3.2多項式運算3.3數(shù)據(jù)分析與統(tǒng)計3.4函數(shù)分析與數(shù)值積分

第1頁3.1矩陣分析1．矢量范數(shù)和矩陣范數(shù)當(dāng)p＝2時為慣用歐拉范數(shù)，普通p還可取l和∞。這在MATLAB中可利用norm函數(shù)實現(xiàn)，p缺省時為p=2。矩陣范數(shù)是對矩陣一個測度。矢量p范數(shù)和矩陣Ap范數(shù)分別定為：第2頁格式：n＝norm(A，p)功效：norm函數(shù)可計算幾個不一樣類型矩陣范數(shù)，依據(jù)p不一樣可得到不一樣范數(shù)。格式：n＝norm(A)功效：計算矩陣A最大奇異值，相當(dāng)于n=max(svd(A))。⑴p=1時，計算矩陣A1范數(shù)，即矩陣A按列求和最大值，max(sum(abs(A)))。⑵p=2時，計算矩陣A最大奇異值，等同于norm(A)。第3頁⑶p=‘fro’時，計算矩陣AFrobenius范數(shù)，即sqrt(sum(diag(A’*A)))。⑷p=’inf‘時，計算矩陣A無窮范數(shù)，或行和最大值max(sum(abs（A’)))。當(dāng)A為向量時，函數(shù)norm所求范數(shù)為：⑴norm(A,p)對任意p（1≤p＜∞），可得到sum(abs(A).^p)^(1/p)。⑵norm(A)返回值norm(A,2)。第4頁⑶norm(A，inf)返回值max(abs(A))。2．矩陣求逆及行列式值

⑴矩陣求逆函數(shù)inv及行列式值函數(shù)det逆矩陣定義：對于任意階n×n方陣A，假如能找到一個同階方陣V，使得滿足：A*V=I。其中I為n階單位矩陣eye(n)。則V就是A逆矩陣。數(shù)學(xué)符號表示為：V=A-1。逆矩陣V存在條件是A行列式不等于0。格式：V=inv(A)功效：返回方陣A逆矩陣V。第5頁格式：X=det(A)功效：計算方陣A行列式值。2．線性代數(shù)方程求解

普通線性方程組第6頁寫成矩陣形式可表示為：AX＝B或XA＝B。其中系數(shù)矩陣A階數(shù)為m×n。在MATLAB中，引入矩陣除法求解。求解方程AX=B

格式：X=A\B條件：矩陣A與矩陣B行數(shù)必須相等。比如：矩陣基本運算示例——求解方程組。第7頁>>%創(chuàng)建線性方程組系數(shù)矩陣和向量>>x=inv(A)*b>>A=[-112;3-11;-134];>>b=[2;6;4];>>%求解方程，使用矩陣求逆方法x=1.0000-1.00002.0000第8頁x=1.0000-1.00002.0000>>%求解方程，使用矩陣左除運算>>x=A\b第9頁4．矩陣分解

(1)三角(LU)分解函數(shù)lu所謂三角分解就是將一個方陣表示成兩個基本三角陣乘積(A=LU），其中一個為下三角矩陣L，另一個為上三角形矩陣U，因而矩陣三角分解又叫LU分解或叫LR分解。矩陣分解兩個矩陣分別可表示為：第10頁格式二：[L,U,P]=lu(A)功效：返回上三角矩陣U，真正下三角矩陣L，及一個置換矩陣P(用來表示排列規(guī)則矩陣)，滿足L*U=P*A；假如P為單位矩陣，滿足A=L*U。格式一：[L,U]=lu(A)功效：返回一個上三角矩陣U和一個置換下三角矩陣L(即下三角矩陣與置換矩陣乘積)，滿足A=L*U。第11頁>>a=[1:3;4:6;4,2,6]a=123456426>>[L,U]=lu(a)L=0.2500-0.25001.00001.0000001.00001.00000第12頁U=4.00005.00006.00000-3.00000001.5000>>[L,U,P]=lu(a)L=1.0000001.00001.000000.2500-0.25001.0000第13頁U=4.00005.00006.00000-3.00000001.5000P=010001100第14頁格式二：[Q,R,E]=qr(A)功效：產(chǎn)生一個置換矩陣E，一個上三角矩陣R(其對角線元素降序排列)和一個歸一化矩陣Q，滿足A*E=Q*R；(2)正交(QR)分解函數(shù)將矩陣A分解為一個正交矩陣與另一個矩陣乘積稱為矩陣A正交分解。格式一：[Q,R]=qr(A)功效：產(chǎn)生與A同維上三角矩陣R和一個實正交矩陣或復(fù)歸一化矩陣Q，滿足：A=Q*R，Q’*Q=I。第15頁5．奇異值分解矩陣A奇異值和對應(yīng)一對奇異矢量u、v滿足：一樣利用奇異值組成對角陣，對應(yīng)奇異矢量作為列組成兩個正交矩陣U、V，則有：其中AT表示轉(zhuǎn)置矩陣。因為U和V正交，所以可得奇異值分解：第16頁格式二：S=svd(A)功效：返回奇異值組成向量。格式一：[U,S,V]=svd(x)功效：返回3個矩陣，使得X=U*S*V’。其中S為與X相同維數(shù)矩陣，且其對角元素為非負遞減。6．矩陣特征值分析矩陣A特征值和特征矢量，滿足：第17頁格式二：[V,D]=eig(A)功效：返回矩陣V和D。其中對角陣D對角元素為A特征值，V列向量是對應(yīng)特征向量，使得A*V=V*D。以特征值組成對角陣，對應(yīng)特征矢量作為列組成矩陣V，則有：假如V為非奇異，則上式就變成了特征值分解：格式一：d=eig(A)功效：返回方陣A全部特征值所組成向量。第18頁7．矩陣冪次運算:A^p在MATLAB中，矩陣冪次運算是指以下兩種情況：1、矩陣為底數(shù)，指數(shù)是標(biāo)量運算操作；2、底數(shù)是標(biāo)量，矩陣為指數(shù)運算操作。兩種情況都要求矩陣是方陣，不然，將顯示犯錯信息。(1)矩陣正整數(shù)冪假如A是一個方陣，p是一個正整數(shù)，那么表示A自己乘p次。第19頁(4)矩陣元素冪、按矩陣元素冪利用運算符“A.^p”實現(xiàn)矩陣元素冪或按矩陣元素冪運算。(2)矩陣負數(shù)冪假如A是一個非奇異方陣，p是一個正整數(shù)，那么A^(－p)表示inv(A)自己乘p次。(3)矩陣分?jǐn)?shù)冪假如A是一個方陣，p取分?jǐn)?shù)，它結(jié)果取決于矩陣特征值分布。第20頁8．矩陣結(jié)構(gòu)形式提取與變換(1)矩陣左右翻轉(zhuǎn)函數(shù)fliplr()

格式：X=fliplr(A)(2)矩陣上下翻轉(zhuǎn)函數(shù)flipud

格式：X=flipud(A)>>a=[1:3;4:6]a=123456第21頁>>x=fliplr(a)x=321654>>x=flipud(a)x=456123第22頁格式二：X=reshape(A,m,n,p,...)或X=reshape(A,[m,n,p,...])功效：從A中形成多維陣列(m×n×p×...)。(3)矩陣階數(shù)重組函數(shù)reshape格式一：X=reshape(A,n,m)功效：將矩陣A中全部元素按列秩序重組成n×m階矩陣X，當(dāng)A中沒有m×n個元素時會顯示犯錯信息。第23頁>>x=reshape(a,3,2)x=154326(4)矩陣整體反時針旋轉(zhuǎn)函數(shù)rot90()格式一：X=rot90(A)功效：將矩陣按反時針旋轉(zhuǎn)90o。格式二：X=rot90(A,k)功效：將矩陣按反時針旋轉(zhuǎn)k*90o，其中k應(yīng)為整數(shù)。第24頁(5)對角矩陣和矩陣對角化函數(shù)diag()格式一：X=diag(A,k)功效：當(dāng)A為n元向量時，可得n+abs(k)階方陣X，其A元素處于第k條對角線上；k=0表示主對角線，k>0表示在主對角線之上，k<0表示在主對角線之下。當(dāng)A為矩陣時，X=diag(A,k)得到列向量X，它取自于X第k個對角線上元素。第25頁格式二：X=diag(A)功效：當(dāng)A為n元向量時，等同于k=0時X=diag(A,k)，即產(chǎn)生A元素處于主對角線對角方陣。當(dāng)A為矩陣時，X=diag(A)相當(dāng)于k=0。>>a=[123]a=123>>x=diag(a)x=100020003第26頁>>x=diag(a,1)x=0100002000030000>>b=magic(3)b=816357492第27頁>>c1=diag(b)c1=852>>c1=diag(b,-1)c1=39第28頁(6)取矩陣左下三角部分函數(shù)tril()格式一：X=tril(A,k)功效：得到矩陣A第k條對角線及其以下元素；當(dāng)k=0時表示主對角線，k>0表示主對角線之上，k<0表示主對角線以下。格式二：X=tril(A)功效：得到矩陣A下三角陣。(7)取矩陣右上三角部分函數(shù)triu()第29頁格式一：X=triu(A,k)功效：得到矩陣A第k條對角線及其以上元素；當(dāng)k=0時表示主對角線，k>0表示主對角線之上，k<0表示主對角線以下。格式二：X=triu(A)功效：得到矩陣A右上三角陣。(8)利用“：”將矩陣元素按列取出排成一列方法：X=A(:)’第30頁3.2多項式運算3.2.1多項式表示及其四則運算1．MATLAB多項式表示

對多項式：可表示成行向量：p=[1,0,–2,5]。用其系數(shù)行向量p=[an,an-1,…,a1,a0]來表示。注意：假如x某次冪系數(shù)為零，這個零必須列入系數(shù)向量中。第31頁3．多項式相乘運算

格式：w=conv(u,v)功效：返回u和v兩向量卷積，也就是u和v代表兩多項式乘積。4．多項式相除

格式：[q,r]=deconv(u,v)功效：給出商多項式q和余數(shù)多項式r，u為被除多項式2．多項式加減運算

格式：A=B+C第32頁1．多項式求導(dǎo)函數(shù)polyder格式一：k=polyder(p)功效：返回多項式p一階導(dǎo)數(shù)。

格式二：k=polyder(u,v)功效：返回多項式u與v乘積導(dǎo)數(shù)。

格式三：[q,d]=polyer(u,v)功效：返回多項式商u/v導(dǎo)數(shù),返回格式為：q為分子,d為分母。3.2.2多項式求導(dǎo)、求根和求值第33頁>>w=[16205]w=16205>>polyder(w)ans=31220>>a=[123];>>b=[149];>>k=polyder(a,b)k=4184030第34頁>>[q,d]=polyder(a,b)q=2126d=18347281第35頁2．多項式根求解多項式根，即p(x)=0解。

格式：r=roots(p)功效：返回多項式p(x)根。注意，MATLAB按通例要求，多項式是行向量，根是列向量。3．多項式求值函數(shù)polyval()利用函數(shù)polyval能夠求得多項式在某一點值。

格式：y=polyval(p,x)功效：返回多項式p在x處值。其中x能夠是復(fù)數(shù)，也能夠是數(shù)組。第36頁當(dāng)多項式變量是矩陣時，組成矩陣多項式能夠利用polyvalm函數(shù)求值。格式：Y=polyvalm(p,X)功效：返回矩陣多項式p在X處值。4．部分分式展開函數(shù)residue()

格式一：[r,p,k]=residue(b,a)功效：把b(s)/a(s)展開成：第37頁格式二：[b,a]=residue(r,p,k)功效：格式一逆作用。其中r代表余數(shù)數(shù)組，p代表極點數(shù)組，ks代表部分分式展開常數(shù)項。當(dāng)分母多項式階次數(shù)高于分子多項式階次數(shù)時ks=0。第38頁1．多項式擬合函數(shù)polyfit()格式：p=polyfit(x,y,n)功效：利用已知數(shù)據(jù)向量x和y所確定數(shù)據(jù)點，采取最小二乘法結(jié)構(gòu)出n階多項式去迫近已知離散數(shù)據(jù)，實現(xiàn)多項式曲線擬合。其中p是求出多項式系數(shù)，n階多項式應(yīng)該有n+1個系數(shù)，故p長度為n+1。3.3.3多項式擬合與多項式插值2．多項式插值插值和擬合不一樣點在于：①插值函數(shù)通常是分段，人們關(guān)心不是函數(shù)表示式，而是插值出數(shù)據(jù)點；②插值函數(shù)應(yīng)經(jīng)過給定數(shù)據(jù)點。第39頁(1)一維插值函數(shù)interpl()

格式：yi＝interpl(x,y,xi,'method')功效：為給定數(shù)據(jù)對(x,y)以及x坐標(biāo)上插值范圍向量xi，用指定所使用插值方法method實現(xiàn)插值。yi是插值后對應(yīng)數(shù)據(jù)點集y坐標(biāo)。插值方法method有以下6種可供選擇：nearest(最鄰近插值法)、linear(線性插值)、spline(三次樣條插值)、cubic(立方插值)、pchip(三次Hermite插值，該方法與cubic類似)。第40頁例：一維插值函數(shù)示例。001%INTERP_EX1一維插值計算示例002 %準(zhǔn)備數(shù)據(jù)003 x=0:10;004 y=cos(x);005 %插值點006 xi=0:0.2:10;007 %進行插值運算第41頁013 title('一維插值計算示例')008 yin=interp1(x,y,xi,'nearest');009 yic=interp1(x,y,xi,'cubic');010 %繪制結(jié)果011 plot(x,y,'o',xi,yin,'*',xi,yic)012 legend('origin','nearest','cubic')第42頁結(jié)果如圖所表示。一維插值計算示例第43頁在代碼中，使用了兩種一維插值算法，分別為nearest和cubic。因為nearest算法僅計算插值點附近數(shù)值，所以從結(jié)果上看插值得到結(jié)果很不理想，而三次插值計算得到結(jié)果相對要理想得多。從計算時間和內(nèi)存等系統(tǒng)資源損耗上考慮，nearest是最快而又最節(jié)約資源一個算法，而三次插值或者樣條插值運算則需要消耗較多系統(tǒng)資源，所以請用戶依據(jù)需要選擇適當(dāng)插值算法。第44頁3.3數(shù)據(jù)分析與統(tǒng)計3.3.1數(shù)據(jù)基本操作

1．求最大值函數(shù)max

格式：xM＝max(x)功效：假如x是向量，返回x中最大值元素；假如x是矩陣，則將矩陣每列作為處理向量，返回一個行向量，其元素為矩陣每列中最大元素；第45頁2．求最小值函數(shù)minmin函數(shù)調(diào)用格式與max函數(shù)調(diào)用格式相同，只是功效與max函數(shù)相反，所得結(jié)果為最小值。假如輸入數(shù)據(jù)x為復(fù)數(shù)，min函數(shù)返回復(fù)數(shù)最小模：min(abs(x))3．求平均值函數(shù)mean格式：M＝mean(x)功效：假如x為向量，則返回向量x平均值；假如x為矩陣，則將矩陣每列看成向量處理，返回一個平均值行向量。第46頁4.求中間值函數(shù)median

格式：M=median(x)功效：假如x為向量，則返回向量x中間值；假如x為矩陣，則將矩陣每列看成為處理向量，返回一個中間值行向量。5．求元素和函數(shù)sum

格式：s=sum(x)功效：假如x為向量，則返回向量x元素和；假如x為矩陣，則將矩陣每列看成向量處理，返回一個元素分別為各列和行向量。第47頁6．求標(biāo)準(zhǔn)偏差函數(shù)std與方差函數(shù)var其中為樣本元素個數(shù)。有兩種標(biāo)準(zhǔn)差定義方法：對于向量第48頁格式二：s=std(x,flag)功效：假如flag=0，與s=std(x)一樣；假如flag=1，則返回用s2計算標(biāo)準(zhǔn)差。格式一：s=std(x)功效：x為向量，則返回用s1計算標(biāo)準(zhǔn)偏差s。假如x是服從正態(tài)分布隨機樣本，則s2為其方差最正確無偏預(yù)計；假如x為矩陣，則返回矩陣每列標(biāo)準(zhǔn)差行向量。第49頁格式二：[A,index]=sort(x)功效：同時返回一個下標(biāo)數(shù)組index。7．排序函數(shù)sort格式一：A=sort(x)功效：沿數(shù)組不一樣維，以升序排列元素。元素能夠為實數(shù)、復(fù)數(shù)和字符串。假如x是一個復(fù)數(shù)，其按其模大小進行排列，假如模相等，則按其在區(qū)間[-pi,pi]上相角進行排序。第50頁>>a=rand(3)a=0.01530.93180.84620.74680.46600.52520.44510.41860.2026>>sort(a)ans=0.01530.41860.20260.44510.46600.52520.74680.93180.8462第51頁>>[x,y]=sort(a)x=0.01530.41860.20260.44510.46600.52520.74680.93180.8462y=133322211第52頁3.3.2協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1．求協(xié)方差函數(shù)cov()協(xié)方差函數(shù)定義為：其中E表示數(shù)學(xué)期望；第53頁格式二：C=cov(x,y)功效：返回x、y協(xié)方差。x、y為長度相同列向量。也可用C=cov([x,y])。格式一：C=cov(x)功效：假如x為向量，則返回向量元素方差；假如x為矩陣，每列產(chǎn)生一個方差向量，cov(x)是一個協(xié)方差矩陣，diag(cov(x))為每列方差向量，sqrt(diag(cov(x)))是一個標(biāo)準(zhǔn)差向量。第54頁>>x=magic(3)x=816357492>>c=cov(x)c=7-81-816-81-87第55頁>>v=sqrt(diag(cov(x)))v=2.64584.00002.6458>>s=std(x)s=2.64584.00002.6458第56頁協(xié)方差矩陣C對角元素C(i,i)代表矩陣第i列方差，而其非對角線元素C(i,j)代表第i列和第j列協(xié)方差。2．求相關(guān)系數(shù)函數(shù)corrcoef()格式一：S=corrcoef(x)功效：依據(jù)輸入矩陣x，返回一個相關(guān)系數(shù)矩陣，相關(guān)系數(shù)S矩陣與協(xié)方差矩陣C=cov(x)相關(guān)，由下式確定：第57頁格式二：S=corrcoef(x,y)功效：返回列向量x和y相關(guān)系數(shù)，也可用S=corrcoef([xy])。第58頁3.3.3有限差分1．求元素之差函數(shù)diff()格式一：A=diff(x)功效：計算x中相鄰元素之間差值或近似導(dǎo)數(shù)。假如x為向量，則返回一個比x少一個元素向量，其元素值為[x(2)-x(1)，x(3)-x(2)，…，x(n)-x(n-1)]；假如x為矩陣，則返回一個矩陣：[x(2:n,:)-x(1:n,:)]。第59頁>>xx=816357492>>diff(x)ans=-54114-5第60頁>>x=[25789]x=25789>>diff(x)ans=3211格式二：A=diff(x,n)功效：使用diff函數(shù)遞歸n次，計算第n階差值。比如，diff(x,2)=diff(diff(x))。第61頁2．求數(shù)值梯度函數(shù)gradient()兩變量函數(shù)F(x,y)梯度定義為對N個變量函數(shù)F(x,y,z,…)其梯度為第62頁格式一：Fx=gradient(F)功效：F為一向量，返回F一維數(shù)值梯度，F(xiàn)x與一致，表示x方向差分。格式二：[Fx,Fy]=gradient(F)功效：F為一矩陣，返回二維數(shù)值梯度x和y分量。Fx與一致，表示x(列)方向差分，F(xiàn)y與一致，表示y(行)方向差分。每個方向點間距離設(shè)為1。第63頁3.4函數(shù)分析與數(shù)值積分3.4.2函數(shù)極點、零點分析1．極值分析函數(shù)(1)單變量函數(shù)求極小值函數(shù)fminbnd()格式：x=fminbnd(‘fun’,x1,x2)功效：返回函數(shù)fun(x)在區(qū)間[x1,x2]內(nèi)局部極小值。第64頁(2)多變量函數(shù)求極小值函數(shù)fminsearch()fminsearch函數(shù)與fminbnd函數(shù)類似，不過它面向多變量函數(shù)。功效：返回x0附近，函數(shù)fun局部極小化向量x。x0能夠是標(biāo)量、向量或矩陣。格式：x=fminsearch(‘fun’,x0)第65頁funnamce為一個函數(shù)名字符串，函數(shù)為單變量實值函數(shù)。2．