廣東省燕博園2024屆高三下學(xué)期3月綜合能力測(cè)試（CAT聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題（含答案）

保密☆啟用前燕博園2024屆高三年級(jí)綜合能力測(cè)試（CAT）數(shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷）2024.03本試卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無(wú)效.4.考生必須保持答題卡整潔，考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.已知集合，則（）A.B.C.D.3.已知，若，則（）A.B.C.D.4.已知為雙曲線的中心，為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且上存在點(diǎn)，使得，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.5D.75.已知且，則“的解集為”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.“ChatGPT”以其極高的智能化引起世界關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實(shí)現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點(diǎn)的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時(shí)使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個(gè)指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為0.5，衰減速度為18，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為18時(shí)，學(xué)習(xí)率衰減為0.4，則學(xué)習(xí)率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（）參考數(shù)據(jù)：A.72B.74C.76D.787.已知為單位向量，向量滿足，則的最大值為（）A.1B.2C.D.48.已知直線與直線相交于點(diǎn)，若恰有3個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為1，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.嘌呤是一種雜環(huán)有機(jī)化合物，它在能量的供應(yīng)?代謝的調(diào)節(jié)等方面都有十分重要的作用，它的化學(xué)結(jié)構(gòu)式主要由一個(gè)正五邊形與一個(gè)正六邊形構(gòu)成（設(shè)它們的邊長(zhǎng)均為1），其平面圖形如圖所示，則（）A.B.到的距離是C.是的內(nèi)切圓的圓心D.

10.已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象（如圖所示），則（）A.B.在上為增函數(shù)C.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)D.是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸11.已知定義域均為的函數(shù)與，其導(dǎo)函數(shù)分別為與，且，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)B.8是函數(shù)的一個(gè)周期C.D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是正整數(shù)，且，當(dāng)方差最小時(shí)，寫(xiě)出滿足條件的一組的值__________.13.中，角對(duì)邊分別為，且為邊上一點(diǎn)，平分，則__________.

14.已知表面積為的球的內(nèi)接正四棱臺(tái)，動(dòng)點(diǎn)在內(nèi)部及其邊界上運(yùn)動(dòng)，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為_(kāi)_________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（15分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為為正整數(shù)，且.（1）求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.（15分）在斜四棱柱中，，平面平面.（1）求的長(zhǎng)；（2）求二面角的正切值.

17.（15分）海參中含有豐富的蛋白質(zhì)?氨基酸?維生素?礦物質(zhì)等營(yíng)養(yǎng)元素，隨著生活水平的提高，海參逐漸被人們喜愛(ài).某品牌的海參按大小等級(jí)劃分為五個(gè)層級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：.從該品牌海參中隨機(jī)抽取10000顆作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）質(zhì)量指標(biāo)值越高，海參越大?質(zhì)量越好，若質(zhì)量指標(biāo)值低于400的為二級(jí)，質(zhì)量指標(biāo)值不低于400的為一級(jí).現(xiàn)利用分層隨機(jī)抽樣的方法按比例從不低于400和低于400的樣本中隨機(jī)抽取10顆，再?gòu)某槿〉?0顆海參中隨機(jī)抽取4顆，記其中一級(jí)的顆數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.（2）甲?乙兩人計(jì)劃在某網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)上參加該品牌海參的訂單“秒殺”搶購(gòu)活動(dòng)，每人只能搶購(gòu)一個(gè)訂單，每個(gè)訂單均由箱海參構(gòu)成.假設(shè)甲?乙兩人搶購(gòu)成功的概率均為，記甲?乙兩人搶購(gòu)成功的訂單總數(shù)量為，搶到海參總箱數(shù)為.①求的分布列及數(shù)學(xué)期望；②當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)期望取最大值時(shí)，求正整數(shù)的值.

18.（16分）設(shè)函數(shù)常數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）證明：.19.（16分）在平面直角坐標(biāo)系中，為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足：.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，該平面上是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

燕博園2024屆3月CAT聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬試題解析版一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1.答案：C【命題意圖】：本題考查復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，立足基礎(chǔ)考百學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力解析：，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為.該點(diǎn)在第三象限故選C.2.答案：D【命題意圖】本題主要考查初等函數(shù)的定義域?值域的求法，集合的交運(yùn)算，立足基礎(chǔ)性，考查基本的邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【答案】D【解析】由于集合，則.故選D.3.答案：B【命題意圖】：本題考查了初等函數(shù)的性質(zhì)，及不等式的計(jì)算，立足基礎(chǔ)，考查學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力【解析】函數(shù)為偶函數(shù)且在上為增函數(shù)，，所以選B4.答案：C【命題意圖】：本小題考查雙曲線的定義及性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理能力與運(yùn)算求解的綜合能力，體現(xiàn)解析幾何的基本思想與基本方法.【解析】：，5.答案：A【命題意圖】：本小題考查了充分必要條件，二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，考查了邏輯推理能力與運(yùn)算求解的綜合能力，【解析】充分性：由題意可知為方程的解，所以有成立必要性：只能說(shuō)明為方程的一個(gè)解，不能保證是唯一解，若是唯一解則有，從而得到：，所以必要性不成立，所以選A6.答案：B【命題意圖】：本小題考查了指對(duì)數(shù)的運(yùn)算，考查了閱讀能力和運(yùn)算能力【解析】由題意可知解得，則，所以選B7.答案C【命題意圖】：本小題考查了向量的模的運(yùn)算及二次函數(shù)最值，數(shù)形結(jié)合，坐標(biāo)法等知識(shí)，考查學(xué)生邏輯推理能力與運(yùn)算求解的綜合能力，【解析】解法一：所以的最大值為.解法二：因?yàn)椋韵蛄康慕K點(diǎn)在直線上，向量的終點(diǎn)在直線上，因?yàn)?，所以，所以，所以的最大值?解法三：如上圖，以為原點(diǎn)以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，則，所以，因?yàn)?，所以的最大值?8.答案：B【命題意圖】本題主要考查兩條直線的位置關(guān)系?直線和圓的位置關(guān)系等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理能力與運(yùn)算求解的綜合能力，體現(xiàn)解析幾何的基本思想與基本方法.【答案】B【解析】由于直線可化為：，即直線恒過(guò)定點(diǎn)，同理直線恒過(guò)定點(diǎn)，又由于，則直線與垂直，故兩直線的交點(diǎn)在以為直徑的圓上，即點(diǎn)的軌跡方程為（挖去點(diǎn)）.由于圓心到直線的距離，要使圓上恰有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，首先優(yōu)弧存在兩個(gè)點(diǎn)，只需保證劣弧上恰有1個(gè)點(diǎn)，則，即.故選.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.答案：AD【命題意圖】本小題考查了在生物背景下的解三角形的應(yīng)用.考查了學(xué)生的閱讀和運(yùn)算能力解析：在中，過(guò)作交于，.故選項(xiàng)A正確.由于，過(guò)作交于到的距離.故選項(xiàng)錯(cuò)誤.由于到的距離，不等于到的距離，則不是的內(nèi)切圓圓心.故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.由于，正切函數(shù)在隨著角的增大而增大，所以.故選項(xiàng)D正確.故選AD.10.【答案】BCD【命題意圖】本小題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合，邏輯思維能力和運(yùn)算能力.【解析】由于函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像平移得到，則，又函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，由于，故，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由于函數(shù)，令，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選項(xiàng)B正確；由于，則，得正數(shù)的取值范圍為，故選項(xiàng)C正確；由于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，則是函數(shù)的圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸，故選項(xiàng)D正確.故選BCD.11.【命題意圖】本題以抽象函數(shù)為背景，考查函數(shù)的奇偶性?對(duì)稱(chēng)性?周期性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生分析問(wèn)題的能力和運(yùn)用函數(shù)?導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.【答案】ABD【解析】由于，則用代替，得，又，則，取，則，，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故選項(xiàng)A正確；由于函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則，又，得，即，則8是函數(shù)的一個(gè)周期，故選項(xiàng)B正確；由于，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由于，故選項(xiàng)D正確.故選ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.答案：；或【命題意圖】本小題考查了方差的估算能力解析：欲使方差最小，則取中的最大值取中的最小值取最接近20與31的算術(shù)平均數(shù)25.5的整數(shù)，故取25或26.13.【答案】【命題意圖】本小題考查了正弦定理及面積的計(jì)算，考查了基本運(yùn)算能力【解析】先求角的大?。悍椒ㄒ唬ń腔叄河杉罢叶ɡ淼茫?，則.又，故.方法二（邊化角）：由及正弦定理得，，得.又，故.再求的值：方法一：由于為角平分線，則，且，得，整理得，故.方法二：設(shè)，則，在中，；在中，；即，兩式相加得，故.14.【命題意圖】本題考查了正四棱臺(tái)的基本概念與性質(zhì)?和球體積的計(jì)算方法，考查考生對(duì)直線與直線?直線與平面?平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)的理解與應(yīng)用的能力.【答案】【解析】設(shè)球的半徑為，則.設(shè)分別為正方形與正方形的中心，在正方形中，，則與重合，故正方形的中心即為球心.由于，，則面面，則面面.在平面內(nèi)作于，則平面，則就是直線與平面所成角，，當(dāng)取最小值時(shí)，最大.在等腰梯形中，，則為正三角形，，故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.四?解答題：本題共5題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.（15分）解：（1）由得.當(dāng)時(shí)，由，得.當(dāng)時(shí)，由，即，，即，又，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，則.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則，所以.又因?yàn)?所以.16.（15分）【命題意圖】本題考查立體幾何的基本知識(shí)?基本思想和基本方法，通過(guò)空間中直線與直線?直線與平面?平面與平面的位置關(guān)系，考查考生的空間想象能力?邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，對(duì)二面角正切值的計(jì)算方法作了重點(diǎn)考查.【解析】（1）由題意得，四邊形為等腰梯形.作于，則.由于，則，作于，平面平面，平面平面，故平面，又，故，即與重合.方法一：由于，則四邊形為菱形，由于.在中，.方法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由于，則.（2）由于，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由于得取，則，故.同理，設(shè).由于故二面角的正切值為8.15分17.（15分）解：（1）由頻率分布直方圖，低于400的二級(jí)的頻率為，不低于400的一級(jí)的頻率為，用分層隨機(jī)抽樣方法從中抽取10顆，其中二級(jí)?一級(jí)的顆數(shù)分別為6，4，所以的可能取值為，所以的分布列為01234所以.（2）①由題意知的可能取值為.，所以的分布列為012所以.②因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以當(dāng)取最大值時(shí)，的值為5.18.（16分）解由得，.（1）當(dāng)時(shí)，.所以，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，是的單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，是的單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)時(shí)，令，解得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的單調(diào)遞減區(qū)間