吉林省長春市北師大附屬學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文

PAGEPAGE13吉林省長春市北師大附屬學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分2024年5月10日一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．已知命題：，，則為（）A．， B．，C．， D．，2．計(jì)算（）A． B． C． D．3．已知，之間的一組數(shù)據(jù)：01232356則與的線性回來方程表示的直線必過點(diǎn)（）A．（2，2）B．（1.5，0）C．（1，2）D．（1.5，4）4．袋內(nèi)有紅球3個(gè)?白球2個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對立的兩個(gè)事務(wù)是（）A．事務(wù)A：恰有1紅球；事務(wù)B：恰有2紅球 B．事務(wù)A：至少有1個(gè)紅球；事務(wù)B：至少有1個(gè)白球C．事務(wù)A：至少有1個(gè)紅球；事務(wù)B：全是紅球 D．事務(wù)A：至少有1個(gè)紅球；事務(wù)B：全是白球5．“”是“直線與平行”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知下列命題：①由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，有99%的把握認(rèn)為物理成果與數(shù)學(xué)成果有關(guān)，若某人數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀，則他有99%的可能物理成果優(yōu)秀；②在回來分析中，可用相關(guān)指數(shù)的值推斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好；③在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高；④若“是假命題，是真命題，則命題p，q一真一假”．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．17．在下面的表格中，每格填上一個(gè)數(shù)字后，使每一行成等差數(shù)列，每一列成等比數(shù)列，則a+b的值是（）A．B．C．D．8．如圖是某學(xué)校抽取的學(xué)生體重的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率滿意：第一小組與第三小組的頻率和是其次小組頻率的2倍，其次小組的頻數(shù)為15，則抽取的學(xué)生人數(shù)為（）A．30 B．45 C．60 D．120121ab（第7題圖）（第8題圖）（第9題圖）9．已知在邊長為3的正方形中，，則=（）A．-17B．-2C．15D．9r（第10題圖）10．r（第10題圖）德算法，又叫輾轉(zhuǎn)相除法．如右圖，若輸入，的值分別為779，209，則輸出的（）A．19 B．20 C．21 D．2211．《周髀算經(jīng)》中給出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列的結(jié)論．已知某地立春與雨水兩個(gè)節(jié)氣的日影長分別為尺和尺，現(xiàn)在從該地日影長小于尺的節(jié)氣中隨機(jī)抽取個(gè)節(jié)氣進(jìn)行日影長狀況統(tǒng)計(jì)，則所選取這個(gè)節(jié)氣中恰好有個(gè)節(jié)氣的日影長小于尺的概率為（）A． B． C． D．12．如圖，設(shè)橢圓：（）與雙曲線：（，）的公共焦點(diǎn)為，，將，的離心率分別記為，，點(diǎn)A是，在第一象限的公共點(diǎn)，若點(diǎn)A關(guān)于的一條漸近線的對稱點(diǎn)為，則（）A．2 B． C． D．4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為________．14．已知一組數(shù)據(jù)4，2a，3﹣a，5，6的平均數(shù)為4，則a的值是，這一組數(shù)據(jù)的方差是．15．如下圖，九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智嬉戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝．據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)相互貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合面為一“．在某種玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）個(gè)圓環(huán)所需移動(dòng)的最少次數(shù)，若a1＝1．且an＝，則解下5個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為．16．甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí)，假定它們在一晝夜的時(shí)間段中隨機(jī)地到達(dá)，則這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必需等待的概率是．三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．（本小題10分）已知數(shù)列是等比數(shù)列，公比q＜1，前n項(xiàng)和為Sn，若，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求證：Sn＜8．18．（本小題12分）已知內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．（1）求c的值；（2）若，，求的面積．19．（本小題12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求直線的一般方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)，求的值．20．（本小題12分）如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，底面ABC為直角三角形，側(cè)棱底面ABC，D、E分別是AB、BB1的中點(diǎn)，AA1=AC=CB=．（1）求證：//平面；（2）求三棱錐E—A1DC的體積．21．（本小題12分）某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的狀況，采納分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）．（1）應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？（2）依據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0,2]，（2,4]，（4,6]，（6,8]，（8,10]，（10,12]，試估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)．P（K2≥k0）0．100．050．0100．005k02．7063．8416．6357．879（3）已知在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)，請完成下面的列聯(lián)表，并推斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)與性別有關(guān)”．附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)．每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過4小時(shí)總計(jì)男女60總計(jì)30022．（本小題12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率．（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓右焦點(diǎn)F做直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)直線AQ，BQ的斜率分別為．證明：．

北師大長春附屬學(xué)校2024—2025學(xué)年度下學(xué)期高二年級期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科（文）考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分2024年5月10日一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1．已知命題：，，則為（D）A．， B．，C．， D．，2．計(jì)算（B）A． B． C． D．3．已知，之間的一組數(shù)據(jù)：01232356則與的線性回來方程表示的直線必過點(diǎn)（D）A．（2，2）B．（1．5，0）C．（1，2）D．（1．5，4）4．袋內(nèi)有紅球3個(gè)?白球2個(gè)，從中任取2個(gè)，則互斥而不對立的兩個(gè)事務(wù)是（A）A．事務(wù)A：恰有1紅球；事務(wù)B：恰有2紅球 B．事務(wù)A：至少有1個(gè)紅球；事務(wù)B：至少有1個(gè)白球C．事務(wù)A：至少有1個(gè)紅球；事務(wù)B：全是紅球 D．事務(wù)A：至少有1個(gè)紅球；事務(wù)B：全是白球5．“”是“直線與平行”的（C）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知下列命題：①由獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，有99%的把握認(rèn)為物理成果與數(shù)學(xué)成果有關(guān)，若某人數(shù)學(xué)成果優(yōu)秀，則他有99%的可能物理成果優(yōu)秀；②在回來分析中，可用相關(guān)指數(shù)的值推斷模型的擬合效果，越大，模型的擬合效果越好；③在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模型擬合的精度越高；④若“是假命題，是真命題，則命題p，q一真一假”．其中真命題的個(gè)數(shù)是（B）A．4 B．3 C．2 D．17．在下面的表格中，每格填上一個(gè)數(shù)字后，使每一行成等差數(shù)列，每一列成等比數(shù)列，則a+b的值是（A）A．B．C．D．8．如圖是某學(xué)校抽取的學(xué)生體重的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率滿意：第一小組與第三小組的頻率和是其次小組頻率的2倍，其次小組的頻數(shù)為15，則抽取的學(xué)生人數(shù)為（C）A．30 B．45 C．60 D．120121ab（第7題圖）（第8題圖）（第9題圖）9．已知在邊長為3的正方形中，，則=（C）A．-17B．-2C．15D．9r（第10題圖）10．r（第10題圖）德算法，又叫輾轉(zhuǎn)相除法．如右圖，若輸入，的值分別為779，209，則輸出的（A）A．19 B．20 C．21 D．2211．《周髀算經(jīng)》中給出了：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列的結(jié)論．已知某地立春與雨水兩個(gè)節(jié)氣的日影長分別為尺和尺，現(xiàn)在從該地日影長小于尺的節(jié)氣中隨機(jī)抽取個(gè)節(jié)氣進(jìn)行日影長狀況統(tǒng)計(jì)，則所選取這個(gè)節(jié)氣中恰好有個(gè)節(jié)氣的日影長小于尺的概率為（B）A． B． C． D．12．如圖，設(shè)橢圓：（）與雙曲線：（，）的公共焦點(diǎn)為，，將，的離心率分別記為，，點(diǎn)A是，在第一象限的公共點(diǎn)，若點(diǎn)A關(guān)于的一條漸近線的對稱點(diǎn)為，則（D）A．2 B． C． D．4二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為1．14．已知一組數(shù)據(jù)4，2a，3﹣a，5，6的平均數(shù)為4，則a的值是2，這一組數(shù)據(jù)的方差是．15．如下圖，九連環(huán)是我國從古至今廣泛流傳的一種益智嬉戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝．據(jù)明代楊慎《丹鉛總錄》記載：“兩環(huán)相互貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合面為一“．在某種玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）個(gè)圓環(huán)所需移動(dòng)的最少次數(shù)，若a1＝1．且an＝，則解下5個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為16．16．甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位?？?小時(shí)，假定它們在一晝夜的時(shí)間段中隨機(jī)地到達(dá)，則這兩艘船中至少有一艘在?？坎次粫r(shí)必需等待的概率是．三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．（本小題10分）已知數(shù)列是等比數(shù)列，公比q＜1，前n項(xiàng)和為Sn，若，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求證：Sn＜8．解：（1）由，得，解得或，，，；（2）由（1）可知，Sn＝18．（本小題12分）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．（1）求c的值；（2）若，，求的面積．解：（1）因?yàn)橹?，，所以化簡得：?）因?yàn)?，由余弦定理得：，即把代入得：所以的面積為。19．（本小題12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求直線的一般方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)，求的值．解：（1）直線的一般方程為由，曲線的直角坐標(biāo)方程為，（2）將代入中，化簡得，所以，所以20．（本小題12分）如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，底面ABC為直角三角形，側(cè)棱底面ABC，D、E分別是AB、BB1的中點(diǎn)，AA1=AC=CB=．（1）求證：//平面；（2）求三棱錐E—A1DC的體積．解：（1）如圖，連接AC1與A1C交于點(diǎn)P，則P為AC1的中點(diǎn)，連接PD，由D是AB的中點(diǎn)可知PD//，又因?yàn)樗?/平面．（2）直角三角形ABC中，AC=CB=，D是AB的中點(diǎn)，則因?yàn)榈酌鍭BC且，所以，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)C到平面的距離為1．21．（本小題12分）某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人，為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的狀況，采納分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）．（1）應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？（2）依據(jù)這3