3.4.2用向量方法研究立體幾何中的位置關(guān)系課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

4.2用向量方法研究立體幾何中的位置關(guān)系第三章空間向量與立體幾何北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.2.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面平行關(guān)系的判定定理.3.能用向量方法證明空間中直線、平面的平行關(guān)系.4.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系.5.能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面垂直關(guān)系的判定定理.6.能用向量方法證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系.7.會(huì)用三垂線定理及逆定理解題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

空間中的平行與垂直設(shè)向量l,m分別是直線l,m的方向向量,n1,n2分別是平面α,β的法向量,則l∥m或l與m重合?l∥m;l∥α或l?α?l⊥n1;

兩種情況易忽略

α∥β或α與β重合?n1∥n2;l⊥m?l⊥m;l⊥α?l∥n1;α⊥β

?n1⊥n2.名師點(diǎn)睛1.空間平行關(guān)系的本質(zhì)是線線平行,根據(jù)共線向量基本定理,先證明兩條直線的方向向量平行.此外,證明線面平行也可用共面向量定理,先證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示.2.利用直線的方向向量證明直線與直線平行、直線與平面平行時(shí),要注意向量所在的直線與所證直線或平面無公共點(diǎn),證明平面與平面平行時(shí)也要注意兩平面沒有公共點(diǎn).思考辨析1.用向量證明平行關(guān)系時(shí)要注意什么?2.已知四面體ABCD中,AB=AC,DB=DC,點(diǎn)M為棱BC的中點(diǎn),指出平面ADM的一個(gè)法向量.哪兩個(gè)平面互相垂直?為什么?提示

在證明直線與直線平行時(shí),要說明兩條直線不重合;在證明直線與平面平行時(shí),要說明直線不在平面內(nèi);在證明平面與平面平行時(shí),要說明兩個(gè)平面不重合.提示

平面ADM的一個(gè)法向量是

等)(答案不唯一);互相垂直的平面有兩組:平面ADM⊥平面ABC,平面ADM⊥平面BCD.自主診斷1.[人教A版教材習(xí)題]如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是平面AB1,平面A1C1的中心.求證:EF∥平面ACD1.證明

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2.∵E,F分別是平面AB1,平面A1C1的中心,∴E(2,1,1),F(1,1,2).2.[人教A版教材習(xí)題]如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=CC1=1,E是CD的中點(diǎn),F是BC的中點(diǎn).求證:平面EAD1⊥平面EFD1.證明

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.取x1=1,則y1=1,z1=1.∴n1=(1,1,1)是平面EAD1的一個(gè)法向量.設(shè)n2=(x2,y2,z2)是平面EFD1的法向量.取x2=2,則y2=-1,z2=-1,∴n2=(2,-1,-1)是平面EFD1的一個(gè)法向量.又n1·n2=1×2+1×(-1)+1×(-1)=0,∴n1⊥n2,∴平面EAD1⊥平面EFD1.3.[人教A版教材習(xí)題]如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,CB=1,CA=2,AA1=,M是CC1的中點(diǎn).求證:AM⊥BA1.知識(shí)點(diǎn)2

三垂線定理及其逆定理

簡(jiǎn)記為“線投垂直?線斜垂直”

三垂線定理

若平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的投影垂直,則它也和這條斜線垂直.類似地可以得到:

簡(jiǎn)記為“線斜垂直?線投垂直”

三垂線定理的逆定理

若平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直,則它也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的投影垂直.思考辨析如果將三垂線定理中“在這個(gè)平面內(nèi)”的條件去掉,結(jié)論仍然成立嗎?提示

不成立,例如當(dāng)b⊥α?xí)r,b⊥OA,但b不垂直于OP.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若a是平面α的斜線,直線b垂直于a在平面α內(nèi)的投影,則a⊥b.(

)(2)若a是平面α的斜線,平面β內(nèi)的直線b垂直于a在平面α內(nèi)的投影,則a⊥b.(

)(3)若a是平面α的斜線,直線b?α且b垂直于a在另一平面β內(nèi)的投影,則a⊥b.(

)(4)若a是平面α的斜線,b∥α,直線b垂直于a在平面α內(nèi)的投影,則a⊥b.(

)×××√2.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=2,P為C1D1的中點(diǎn),M為BC的中點(diǎn),則AM與PM的位置關(guān)系為(

)

A.平行

B.異面C.垂直

D.以上都不對(duì)C解析

如圖所示,取CD的中點(diǎn)P',連接PP',AP',MP',由長(zhǎng)方體性質(zhì)及已知,易知PP'⊥平面ABCD,所以MP'為PM在平面ABCD內(nèi)的投影.由題意得,重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一利用向量方法證明線線平行【例1】

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,P,Q,R,S分別是線段AA1,D1C1,AB,CC1的中點(diǎn).求證:PQ∥RS.證明

(方法一)以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz.規(guī)律方法

要證明兩直線平行,可先求出兩直線的方向向量,然后證明兩直線的方向向量共線,從而證明兩直線平行.變式訓(xùn)練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在線段A1D上,點(diǎn)Q在線段AC上,線段PQ與直線A1D和AC都垂直,求證:PQ∥BD1.證明

以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),探究點(diǎn)二利用向量方法證明線面平行【例2】

[人教B版教材例題]已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B與A1C1的中點(diǎn).求證:MN∥平面ADD1A1.規(guī)律方法

利用空間向量證明線面平行的方法(1)利用共面向量法:證明直線的方向向量p與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量a,b是共面向量,即滿足p=xa+yb(x,y∈R),則p,a,b共面,從而可證直線與平面平行.(2)利用共線向量法:證明直線的方向向量p與該平面內(nèi)的某一向量共線,再結(jié)合線面平行的判定定理即可證明線面平行.(3)利用法向量法:求出直線的方向向量與平面的法向量,證明方向向量與法向量垂直,從而證明直線與平面平行.變式訓(xùn)練2如圖,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是線段EF的中點(diǎn).求證:AM∥平面BDE.證明

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AC∩BD=N,連接NE,探究點(diǎn)三利用向量方法證明面面平行【例3】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為正方形ABCD的中心,P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn),問:當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí),平面D1BQ∥平面PAO?解

如圖所示,分別以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,在CC1上任取一點(diǎn)Q,連接BQ,D1Q.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則規(guī)律方法

利用空間向量證明面面平行的方法(1)轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行,然后借助向量共線進(jìn)行證明;(2)通過證明兩個(gè)平面的法向量平行證明.變式訓(xùn)練3如圖所示,平面PAD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn).求證:平面EFG∥平面PBC.證明

因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD,所以AB,AP,AD兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0).探究點(diǎn)四利用向量方法證明線線垂直【例4】

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,PA=AB=1,F是PB的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng).求證:無論點(diǎn)E在邊BC上的何處,都有PE⊥AF.證明

(方法一)以A為原點(diǎn),以AD,AB,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=a,則A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),于是規(guī)律方法

利用向量方法證明線線垂直的方法(1)坐標(biāo)法:建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出兩直線方向向量的坐標(biāo),然后通過數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則證明數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直;(2)基向量法:利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律,結(jié)合圖形,將兩直線所在的向量用基向量表示,然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0,從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.變式訓(xùn)練4已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為1,M是底面上BC邊的中點(diǎn),N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn),且CN=CC1.求證:AB1⊥MN.證明

設(shè)AB中點(diǎn)為O,作OO1∥AA1.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB所在直線為x軸,OC所在直線為y軸,OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.探究點(diǎn)五利用向量方法證明線面垂直【例5】

在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別為棱AB,BC,B1B的中點(diǎn).求證:D1M⊥平面EFB1.(方法二)以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.規(guī)律方法

利用空間向量證明線面垂直的方法

變式訓(xùn)練5如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2,CD=2,PA⊥平面ABCD,PA=4.求證:BD⊥平面PAC.證明

因?yàn)锳P⊥平面ABCD,AB⊥AD,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則探究點(diǎn)六利用向量方法證明面面垂直【例6】

三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示,截面為A1B1C1,∠BAC=90°,A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2,D為邊BC的中點(diǎn).求證:平面A1AD⊥平面BCC1B1.規(guī)律方法

1.利用空間向量證明面面垂直通常有兩個(gè)途徑:一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直;二是直接求解兩個(gè)平面的法向量,由兩個(gè)法向量垂直,得面面垂直.2.向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系,恰當(dāng)建系或用基向量表示后,只需經(jīng)過向量運(yùn)算就可得到要證明的結(jié)果,思路方法“公式化”,降低了思維難度.變式訓(xùn)練6[2024山東棗莊月考]如圖,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).求證:平面MND⊥平面PCD.證明

∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB,AD,AP兩兩互相垂直.如圖所示,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP所在直線為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系,可得A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1),取y=-1,得x=-2,z=1,∴m=(-2,-1,1)是平面MND的一個(gè)法向量,同理可得n=(0,1,1)是平面PCD的一個(gè)法向量,∵m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0,∴m⊥n,即平面MND的法向量與平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND⊥平面PCD.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123456789101112131415161718A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)六]若平面α與β的法向量分別是a=(2,4,-3),b=(-1,2,2),則平面α與β的位置關(guān)系是(

)A.平行

B.垂直C.相交但不垂直 D.無法確定B解析

∵a·b=(2,4,-3)·(-1,2,2)=-2+8-6=0,∴a⊥b,∴平面α與平面β垂直.1234567891011121314151617182.[探究點(diǎn)一]已知兩平行直線的方向向量分別為a=(4-2m,m-1,m-1),b=(4,2-2m,2-2m),則實(shí)數(shù)m的值為(

)A.1 B.3C.1或3 D.以上答案都不正確C1234567891011121314151617183.[探究點(diǎn)四]如圖,F是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中點(diǎn),E是BB1上一點(diǎn),若D1F⊥DE,則有(

)A.B1E=EB

B.B1E=2EBC.B1E=EB

D.E與B重合A1234567891011121314151617184.[探究點(diǎn)六]設(shè)u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分別是平面α,β的法向量.若α⊥β,則t等于(

)A.3 B.4 C.5 D.6C1234567891011121314151617185.[探究點(diǎn)四]已知A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,2,-1),下列四個(gè)點(diǎn)中在平面ABC內(nèi)的點(diǎn)是(

)A.(2,3,1) B.(1,-1,2) C.(1,2,1) D.(1,0,3)D123456789101112131415161718平行1234567891011121314151617187.[探究點(diǎn)五]已知m=(a+b,a-b,2)是直線l的一個(gè)方向向量,n=(2,3,1)是平面α的一個(gè)法向量,若l⊥α,則a,b的值分別為

.

5,-1

1234567891011121314151617188.[探究點(diǎn)四、五]如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD為正方形,PD=DC,E,F分別是AB,PB的中點(diǎn).(1)求證:EF⊥CD;(2)在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G,使GF⊥平面PCB.123456789101112131415161718(1)證明

如圖,以D為原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AD=a,則1234567891011121314151617181234567891011121314151617189.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中,正確的是(

)A.兩條不重合直線l1,l2的方向向量分別是a=(2,3,-1),b=(-2,3,1),則l1∥l2B.直線l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量是u=(6,4,-1),則l⊥αC.兩個(gè)不同的平面α,β的法向量分別是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),則α⊥βD.直線l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量是u=(0,-5,0),則l∥αCB級(jí)關(guān)鍵能力提升練123456789101112131415161718解析

對(duì)于A,a與b不平行,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于B,直線l的方向向量a=(1,-1,2),平面α的法向量是u=(6,4,-1)且a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0,所以l∥α或l?α,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于C,兩個(gè)不同的平面α,β的法向量分別是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),且u·v=2×(-3)+2×4-1×2=0,所以α⊥β,選項(xiàng)C正確;對(duì)于D,直線l的方向向量a=(0,3,0),平面α的法向量是u=(0,-5,0)且u=-a,所以l⊥α,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.12345678910111213141516171810.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,E是棱BC的中點(diǎn),則在棱CC1上存在點(diǎn)F,下面情況可能成立的是(

)A.AF∥D1E

B.AF⊥D1EC.AF∥平面C1D1E D.AF⊥平面C1D1EB12345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171811.如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,則平面PQC與平面DCQ的位置關(guān)系為(

)A.平行

B.垂直

C.相交但不垂直

D.位置關(guān)系不確定B解析

由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA.以D為原點(diǎn),DA,DP,DC所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,設(shè)QA=1,則D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0),12345678910111213141516171812345678910111213141516171812.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,則(

)A.EF至多與A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF與BD1相交D.EF與BD1異面B123456789101112131415161718ACD解析

在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.12345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171812345678910111213141516171814.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,若E,F分別為PB,AD的中點(diǎn),則直線EF與平面PBC的位置關(guān)系是

.

垂直

解析

以D為原點(diǎn),DA,DC,DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,12345678910111213141516171812345678910111213141516171815.如圖所示,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一個(gè)點(diǎn)Q滿足PQ⊥QD,則a的值等于

.

212345678910111213141516171816.如圖所示,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是正方形,AS⊥底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中點(diǎn).求證:平面