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文檔簡(jiǎn)介
第1
章傳輸線理論1.1引言1.2傳輸線方程及其解1.3傳輸線的特性參量1.4均勻無耗傳輸線的工作狀態(tài)分析1.5Smith圓圖1.6傳輸線的阻抗匹配1.7Smith圓圖的計(jì)算機(jī)解1.8微帶傳輸線本章小結(jié)第一篇微波技術(shù)1.1引言1.1.1傳輸線的概念凡是用來傳輸電磁能量的導(dǎo)體、介質(zhì)系統(tǒng)均可稱為傳輸線。通??砂词褂糜谀膫€(gè)波段來分類,分為“低頻傳輸線”和“高頻傳輸線”,又把米波、分米波、厘米波乃至毫米波等的傳輸線統(tǒng)稱為“微波傳輸線”。微波傳輸線不僅可以引導(dǎo)電磁波沿一定的方向傳輸,還可用來構(gòu)成各種微波元件。1.1.2傳輸線的種類傳輸線種類繁多,圖1.1-1所示為常用的一些傳輸線。按其傳輸?shù)碾姶挪ㄐ?,大致可分為三種類型:①TEM波傳輸線;②TE波和TM波傳輸線;③混合型傳輸線。圖1.1-1微波傳輸線的主要類型1.2傳輸線方程及其解1.2.1傳輸線方程傳輸線方程也稱電報(bào)方程。在溝通大西洋電纜(海底電纜)時(shí),開爾芬首先發(fā)現(xiàn)了長線效應(yīng):電報(bào)信號(hào)的反射、傳輸都與低頻時(shí)有很大的不同。經(jīng)過仔細(xì)研究,才知道當(dāng)線長與波長可比擬或超過波長時(shí),必須計(jì)及其波動(dòng)性,這時(shí)傳輸線也稱長線,如圖1.2-1所示。圖1.2-1微波傳輸線及其線元Δz的等效電路傳輸線方程是研究傳輸線上電壓、電流變化規(guī)律及其相互關(guān)系的方程。傳輸線上電壓u和電流i均是距離和時(shí)間的函數(shù),即
(1.2-1)
利用基爾霍夫(Kirchhoff)定律,有(1.2-2)式中,L、
C、R和G均為傳輸線單位長度的分布電感、分布電容、線上的分布電阻和線間的分布電導(dǎo)。表1.2-1給出了常用微波傳輸線中雙導(dǎo)線和同軸線的分布參數(shù)表1.2-1雙導(dǎo)線和同軸線的分布參數(shù)的計(jì)算公式
注:為導(dǎo)線的電導(dǎo)率,、和分別為導(dǎo)線周圍介質(zhì)材料的介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。當(dāng)Δz→0時(shí),有
(1.2-3)
式(1.2-3)是均勻傳輸線方程或稱為電報(bào)方程。由于電壓和電流隨時(shí)間作簡(jiǎn)諧變化,其瞬時(shí)值u、i與其復(fù)數(shù)振幅的關(guān)系為
(1.2-4)式(1.2-4)中,u(z)、i(z)只與z有關(guān),表示在傳輸線z處的電壓或電流的有效復(fù)值。將式(1.2-4)代入式(1.2-3),可得
(1.2-5)式中,Z=R+jωL,表示單位長度的串聯(lián)阻抗;Y=G+jωC,表示單位長度的并聯(lián)導(dǎo)納。Z與Y是互相獨(dú)立的兩個(gè)參量,并非互為倒數(shù)。對(duì)式(1.2-5)二次求導(dǎo)的結(jié)果為再將式(1.2-5)代入上式,得均勻傳輸線的波動(dòng)方程為(1.2-6)式中γ2=ZY=(R+jωL)(G+jωC)
式(1.2-6)是標(biāo)準(zhǔn)的二階齊次微分方程,其通解為(1.2-7)式中,A1、A2的確定還需要傳輸線始端或終端的邊界條件。式(1.2-7)稱為傳輸線方程之通解的復(fù)數(shù)形式。在式(1.2-7)中,由于很易得到式中(1.2-8)對(duì)于有耗傳輸線,
Z0和γ均為復(fù)數(shù),其中Z0為傳輸線的特性阻抗;γ=α+jβ,為傳輸線的傳輸常數(shù),而γ的實(shí)部α稱為衰減常數(shù),虛部β稱為相移常數(shù)。
【注】常用衰減常數(shù)α、
Q值和效率來表示傳輸線的損耗。①衰減常數(shù):?jiǎn)挝婚L度有耗傳輸線對(duì)單向波振幅的衰減量,即(1NP=8.686dB或1dB=0.115NP)(奈培/米)(分貝/米)NP/m②有耗傳輸線的Q值由導(dǎo)體損耗對(duì)應(yīng)的Qc值和由介質(zhì)損耗對(duì)應(yīng)的Qd值構(gòu)成,其中tanδ稱為介質(zhì)損耗正切。,③有耗傳輸線的效率:負(fù)載吸收功率與有耗傳輸線的輸入功率之比,即1.2.2均勻無耗傳輸線方程的解
1.通解分布參數(shù)L、C、R和G均為常量的傳輸線稱為均勻傳輸線。當(dāng)R=0和G=0時(shí),均勻傳輸線稱為均勻無耗傳輸線。事實(shí)上,理想的無耗傳輸線是不存在的。但通常傳輸線都是由良導(dǎo)體制成的,介質(zhì)的高頻損耗也不大,因此,條件R<<ωL,G<<ωC基本是滿足的,故可近似當(dāng)作無耗傳輸線分析。只有在傳輸線比較長或?qū)iT分析傳輸?shù)膿p耗功率和傳輸效率時(shí),才作為有耗傳輸線分析。對(duì)于均勻無耗傳輸線,由式(1.2-3)得(1.2-9)式(1.2-9)即為時(shí)域中的均勻無耗傳輸線方程。由式(1.2-5)得(1.2-10)式(1.2-10)即為復(fù)頻域中的均勻無耗傳輸線方程。對(duì)式(1.2-10)二次求導(dǎo)的結(jié)果為(1.2-11)(1.2-12)式(1.2-11)為均勻無耗傳輸線的波動(dòng)方程,其中β=ω
,為相移常數(shù)。求解的結(jié)果為在式(1.2-12)中,由于很易得到式中為傳輸線的特性阻抗,而A1、A2的確定還需要邊界條件。式(1.2-12)稱為傳輸線方程之通解的復(fù)數(shù)形式。(1.2-13)(1.2-14)
將式(1.2-12)代入式(1.2-4),并令A(yù)1=|A1|,A2=|A2|,得通解的瞬時(shí)形式為
引入入射波與反射波的概念,可將通解的瞬時(shí)形式表示為(1.2-15)(1.2-16)式中分別表示由信號(hào)源向負(fù)載傳播的電壓和電流的入射波;(1.2-17)分別表示由負(fù)載向信號(hào)源傳播的電壓和電流的反射波。
2.特解把通解轉(zhuǎn)化為特解,必須應(yīng)用邊界條件。邊界條件有終端邊界條件、源端邊界條件和電源、阻抗條件。有兩套坐標(biāo):一個(gè)是z從源出發(fā),另一個(gè)則是z′從負(fù)載出發(fā),如圖1.2-2所示。圖1.2-2邊界條件坐標(biāo)系(z+z′=l)
1)終端邊界條件已知Ul和Il,即代入式(1.2-12),得聯(lián)立求解得再代入式(1.2-12),得(1.2-18)對(duì)于終端邊界條件場(chǎng)合,常采用z′(終端出發(fā))坐標(biāo)系,即z′=l-z,利用歐拉(Euler)公式最后得到(1.2-19)將特解表示成入射波與反射波的疊加,式(1.2-15)同樣可以寫成入射波與反射波的疊加形式(1.2-20)式中(1.2-21)(1.2-22)2)源端邊界條件已知U0和I0,即在求解時(shí),形式與終端邊界條件相同,(1.2-23)(1.2-24)最后得到(1.2-25)3)電源、阻抗條件已知Eg、Zg和Zl,即先考慮源端條件即(1.2-26)再考慮終端條件所以即(1.2-26)式(1.2-26)和(1.2-27)構(gòu)成線性方程組其中分別為電源和負(fù)載的反射系數(shù)。因此得(1.2-28)最后得(1.2-29)1.3傳輸線的特性參量傳輸線的特性參量主要包括傳播常數(shù)、特性阻抗、相速和相波長、反射系數(shù)、輸入阻抗、駐波比(行波系數(shù))和傳輸功率等。(1.3-1)1.3.1相波長和相移常數(shù)相波長λg定義為在同一時(shí)刻傳輸線上單向波的相位相差為2π的兩點(diǎn)間的距離。以式(1.2-16)中的電壓入射波為例。若某一瞬時(shí),電壓入射波中z1、
z2兩點(diǎn)間的相位差為2π,即(ωt+βz1+φ1)-(ωt+βz2+φ1)=2π,則λg=z1-z2,得1.3.2特性阻抗特性阻抗定義為傳輸線上入射波電壓與入射波電流之比,即(1.3-2)由式(1.2-22),特性阻抗的定義式還可寫成(1.3-3)
【例1.3-1】
均勻無耗同軸線的內(nèi)導(dǎo)體外半徑和外導(dǎo)體內(nèi)半徑分別為0.8mm和1.0mm,內(nèi)外導(dǎo)體間填充介質(zhì)的εr=2.5,μr=1。計(jì)算該同軸線的特性阻抗。解由ε=ε0εr,μ=μ0μr,利用表1.2-1中的公式得同軸線的分布參數(shù)將同軸線分布參數(shù)代入式(1.2-13),得【注】自由空間介電常數(shù)自由空間磁導(dǎo)率1.3.3相速相速(也稱為相速度)定義為傳輸線上單向波的等相位面行進(jìn)的速度。仍以電壓入射波為例,由式(1.2-16)可知,其相位為其等相位面方程為取微分得于是(1.3-4)將ω=2πf和式(1.3-1)代入式(1.3-4),得(1.3-5)(1.3-6)將β=ω
代入式(1.3-4),有利用表1.2-1中的公式,由式(1.3-6)得(1.3-7)式中,c=3×108m/s,為真空中的光速;稱為縮短系數(shù)。1.3.4傳輸線的反射系數(shù)Γ和輸入阻抗Z
在電路理論中習(xí)慣于用阻抗來反映電流與電壓的關(guān)系,所以這里引入輸入阻抗的概念來反映傳輸線上電流和電壓的關(guān)系。任何傳輸線上的電壓函數(shù)只能是入射波和反射波的疊加,即為了反映傳輸線上入射波和反射波的關(guān)系,引入反射系統(tǒng)的概念。也就是說,反映傳輸線上任何一點(diǎn)特性的參量是反射系數(shù)Γ和輸入阻抗Z,如圖1.3-1所示。圖1.3-1端接負(fù)載的一段傳輸線
1.反射系數(shù)Γ
傳輸線上的電壓和電流可表示為(1.3-8)傳輸線上任一點(diǎn)處的反射電壓與入射電壓之比,稱為該點(diǎn)的反射系數(shù)。由式(1.3-8)知(1.3-9)負(fù)載反射系數(shù)(1.3-10)負(fù)載反射系數(shù)與傳輸線上任意點(diǎn)處z′的輸入反射系數(shù)之間的關(guān)系為(1.3-11)應(yīng)用反射系數(shù)定義后,線上的電壓和電流可以表示為(1.3-12)從以上的定義可知反射系統(tǒng)具有以下性質(zhì):
(1)反射系數(shù)的模是無耗傳輸線系統(tǒng)的不變量(1.3-13)(2)反射系數(shù)的模不大于1,即
|Γ(z′)|≤1(1.3-14)(3)反射系數(shù)呈周期性(1.3-15)
2.阻抗Z
傳輸線上任意點(diǎn)z′處的電壓與電流之比稱為該點(diǎn)的輸入阻抗,根據(jù)式(1.2-19),輸入阻抗為(1.3-16)考慮到Zl=Ul/Il,整理得(1.3-17)由上式可以得到輸入阻抗的性質(zhì):
(1)負(fù)載阻抗Zl通過傳輸線段z′變換成Z(z′),因此傳輸線對(duì)于阻抗有變換器的作用。
(2)阻抗有周期特性,tanβz′周期是π,即半波的整數(shù)倍mλg/2,(1.3-18)(3)1/4波長的傳輸線具有變換阻抗性質(zhì)的作用,即(1.3-19)
;
;在許多情況下,例如并聯(lián)電路的阻抗計(jì)算,采用導(dǎo)納比較方便,無耗傳輸線的輸入導(dǎo)納表達(dá)式為(1.3-21)式中,Y0=1/Z0,為特性導(dǎo)納;Yl=1/Zl,為負(fù)載導(dǎo)納。(1.3-20)
3.反射系數(shù)與阻抗的關(guān)系由以上微波傳輸線反射系數(shù)和阻抗的定義中可以方便地得到這兩個(gè)參數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系:
(1)傳輸線上任意點(diǎn)z′處:(1.3-22)(1.3-23)(2)終端z′=0處:(1.3-24)(1.3-25)1.3.5駐波比和行波系數(shù)當(dāng)終端負(fù)載阻抗與傳輸線的特性阻抗不相等時(shí),線上不僅有入射波,而且還存在反射波,這種情況稱為負(fù)載與傳輸線不匹配(失配)。電壓(或電流)駐波比ρ定義為沿線合成波電壓的最大模值與最小模值之比,即(1.3-26)由式(1.2-20)、(1.2-21)和(1.2-22)知(1.3-27)于是(1.3-28)或(1.3-29)有時(shí)也可用行波系數(shù)表示傳輸線反射波的相對(duì)大小,即失配程度。行波系數(shù)K定義為沿線合成波電壓的最小模值與最大模值之比,即(1.3-30)因此,傳輸線上反射波的大小可用反射系數(shù)的模、駐波比和行波系數(shù)這三個(gè)參量來描述。反射系數(shù)模的變化范圍為0≤|Γl|≤1;駐波系數(shù)的變化范圍為1≤ρ≤∞;行波系數(shù)的變化范圍為0≤K≤1。傳輸線的工作狀態(tài)一般分為三種:①負(fù)載無反射的行波狀態(tài),即阻抗匹配狀態(tài),此時(shí)有|Γl|=0,ρ=1,K=1;②負(fù)載全反射的駐波狀態(tài),此時(shí)有|Γl|=1,ρ=∞,K=0;③負(fù)載部分反射的行駐波狀態(tài),此時(shí)有0<|Γl|<1,1<ρ<∞,0<K<1。傳輸線的工作狀態(tài)與工作參數(shù)之間的關(guān)系如表1.3-1所示。表1.3-1傳輸線的工作狀態(tài)與工作參數(shù)之間的關(guān)系
【例1.3-2】
在一均勻無耗傳輸線(εr=1,μr=1)上傳輸頻率為3GHz的信號(hào),已知其特性阻抗Z0=100Ω,終端接Zl=75+j100Ω的負(fù)載。試求:
(1)傳輸線上的駐波系數(shù);
(2)離終端10cm處的反射系數(shù);
(3)離終端2.5cm處的輸入阻抗。解
(1)終端反射系數(shù)為因此,駐波系數(shù)為(2)已知信號(hào)頻率為3GHz,則其波長為
(3)由于2.5cm=λg/4,根據(jù)傳輸線λg/4的變換性,即所以,有
【例1.3-3】
傳輸線電路如圖1.3-2所示。試求:
(1)AA′點(diǎn)的輸入阻抗;
(2)B、C、D、E各點(diǎn)的反射系數(shù);
(3)AB、BC、CD、BE各段的駐波比。圖1.3-2例1.3-3題圖
解求解時(shí)應(yīng)先支路后干線,從負(fù)載端向信號(hào)源端的次序解題。題中,AB、BC、CD、BE段都是無耗均勻傳輸線,通常稱AB段為主線。
(1)AA′點(diǎn)的輸入阻抗(2)B、C、D、E各點(diǎn)的反射系數(shù)(3)AB、BC、CD、BE各段的駐波比1.3.6傳輸功率均勻無耗傳輸線上任意點(diǎn)z′處的電壓和電流可表示為(1.3-31)傳輸功率的一般表示式(1.3-32)對(duì)于無耗傳輸線,Z0為實(shí)數(shù),且Re[Γ(z′)-Γ*(z′)]≡0,入射功率表示為(1.3-33)則反射功率可表示為(1.3-34)于是(1.3-35)1.4均勻無耗傳輸線的工作狀態(tài)分析1.4.1行波狀態(tài)(無反射情況)如果傳輸線負(fù)載Zl=Z0或無限長傳輸線根據(jù)源端邊界條件(1.4-1)將上式代入式(1.2-14)得電壓、電流分布的瞬態(tài)形式為(1.4-2)如圖1.4-1所示,由此可知行波狀態(tài)下的分布規(guī)律:(1)線上電壓和電流的振幅恒定不變;
(2)電壓行波和電流行波同相,它們的相位是位置和時(shí)間的函數(shù),即φ=ωt-φ1-βz;
(3)線上的阻抗處處相等,且等于特性阻抗,即Z(z)=Z0;
(4)信號(hào)源輸入的功率全部被負(fù)載吸收,傳輸功率為(1.4-3)圖1.4-1傳輸線的行波狀態(tài)1.4.2駐波狀態(tài)(全反射情況)如果傳輸線負(fù)載Zl=0,Zl=∞,或Zl=jXl,
1.短路狀態(tài)(Zl=0)在短路狀態(tài),,此條件說明。(1.4-4)將上式代入式(1.2-14),得電壓、電流分布的瞬時(shí)表達(dá)式(1.4-5)將Zl=0代入式(1.3-17),得沿線阻抗分布(1.4-6)線上的傳輸功率為(1.4-7)傳輸線的短路狀態(tài)如圖1.4-2所示。圖1.4-2傳輸線的短路狀態(tài)由此可見,短路時(shí)的駐波狀態(tài)分布規(guī)律如下:(1)電壓、電流振幅沿線周期變化,周期為λg/2。電壓、電流節(jié)點(diǎn)值為|u(z′)|=0,|i(z′)|=0,腹點(diǎn)值為行波值的2倍。其中:電壓振幅按正弦函數(shù)的模值分布,節(jié)點(diǎn)和腹點(diǎn)以λg/4間距交替出現(xiàn),在z′=mλg/2(m=0,1,…)處是電壓的波節(jié)點(diǎn),在z′=(2m+1)λg/4(m=0,1,…)處是電壓的波腹點(diǎn);電流振幅按余弦函數(shù)的模值分布,節(jié)點(diǎn)和腹點(diǎn)也是以λg/4間距交替出現(xiàn)的,在z′=mλg/2(m=0,1,…)處是電流的波腹點(diǎn),在z′=(2m+1)λg/4(m=0,1,…)處是電流的波節(jié)點(diǎn)。
(2)傳輸線阻抗沿線周期變化,周期為λg/2。在z′=
(m=0,1,…)處可等效為LC串聯(lián)諧振電路;在z′=
(m=0,1,…)處可等效為LC并聯(lián)諧振電路;在<z′<
(m=0,1,…)范圍內(nèi),傳輸線阻抗呈感性,短路線等效為一電感;在(2m-1)
(m=1,2,…)范圍內(nèi),傳輸線阻抗呈容性,短路線等效為一電容。
(3)駐波狀態(tài)下,傳輸線不能傳輸功率。
2.開路狀態(tài)
(Zl=∞)在開路狀態(tài),,此條件說明。與短路狀態(tài)分析相類似,有(1.4-8)將上式代入式(1.2-14),得電壓、電流分布的瞬時(shí)表達(dá)式(1.4-9)將Zl=∞代入式(1.3-17),得沿線阻抗分布(1.4-10)線上的傳輸功率為傳輸線的開路狀態(tài)如圖1.4-3所示。圖1.4-3傳輸線的開路狀態(tài)3.純電抗負(fù)載(Zl=jXl)在終端接純電抗負(fù)載時(shí),(1.4-11)式中(1.4-12)
1)終端接純感抗負(fù)載(Xl>0)用延長線法將此純感抗負(fù)載等效為一段長度為l0(l0<λg/4)的終端短路線,如圖1.4-4(a)所示。長度l0可由下式確定:(1.4-13)
2)終端接純?nèi)菘关?fù)載(Xl<0)用延長線法將此純電抗負(fù)載等效為一段長度為l0(λg/4<l0<λg/2)的終端短路線,如圖1.4-4(b)所示。長度l0可由下式確定:(1.4-14)圖1.4-4傳輸線終端接純電抗?fàn)顟B(tài)1.4.3行駐波狀態(tài)如果傳輸線負(fù)載Zl=Rl+jXl且Zl≠Z0,0,∞和jXl時(shí),負(fù)載反射系數(shù)為(1.4-15)其中(1.4-16)此時(shí)有0<|Γ(z′)|<1,1<ρ<∞,0<K<1。沿傳輸線上的電壓、電流為(1.4-17)對(duì)于無耗傳輸線,ρ不會(huì)小于1。再次寫出電壓、電流表達(dá)式(1.4-18)于是(1.4-19)(1.4-20)(1.4-21)式中,。行駐波狀態(tài)的電壓、電流振幅分布如圖1.4-5所示,其特點(diǎn)是:
(1)電壓、電流振幅分布介于行波狀態(tài)與駐波狀態(tài)之間,即,,(2)電壓腹點(diǎn)(節(jié)點(diǎn))與電流腹點(diǎn)(節(jié)點(diǎn))振幅的相互關(guān)系為(1.4-22)(3)任意z′處的阻抗為(1.4-23)圖1.4-5行駐波狀態(tài)的電壓、電流振幅分布
畫出傳輸線行駐波狀態(tài)的阻抗圖形,如圖1.4-6所示,其性質(zhì)如下:①行駐波阻抗依然有波長周期性。②感性和容性(也可以說是串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振)電抗有變換性質(zhì)。③在電壓波節(jié)點(diǎn),阻抗為純阻,但最小,即(1.4-24)在電壓波腹點(diǎn),阻抗也是純阻,但最大,即(1.4-25)圖1.4-6傳輸線行駐波狀態(tài)的阻抗圖形(4)根據(jù)式(1.3-35),傳輸功率的一般表示式為(1.4-26)①對(duì)于行波傳輸線,Γ(z′)=0,(1.4-27)②對(duì)于全駐波傳輸線,|Γ(z′)|=1,(1.4-28)③對(duì)于行駐波傳輸線,在電壓波腹點(diǎn)或波節(jié)點(diǎn)處,由于阻抗是純阻,因此電壓、電流必然同相,有(1.4-29)1.5Smith圓圖1.5.1Smith圓圖的基本思想
1.特征參數(shù)歸一思想
1)阻抗歸一不同的系統(tǒng)有不同的特性阻抗Z0,極難統(tǒng)一表述。為了統(tǒng)一和便于研究,常常提出歸一化概念,即稱阻抗(1.5-1)為歸一化阻抗。這樣,就把問題的共性(與Z0無關(guān)的部分)提取出來了。于是有(1.5-2)(1.5-3)
2)電角度歸一電角度歸一表示為電角度歸一不僅包含了特征參數(shù)β,而且隱含了角頻率ω(β=ω
,β=2π/λg)。
2.采用|Γ|作為Smith圓圖的基底在無耗傳輸線中,|Γ|是系統(tǒng)的不變量。以|Γ|為0~1的同心圓作為Smith圓圖的基底,使一有限空間表示全部工作參數(shù)Γ、Z(或Y)和ρ。即(1.5-4)
3.用阻抗(或?qū)Ъ{)與駐波比的關(guān)系套覆|Γ|圓
這樣,Smith圓圖的基本思想可描述為:消去特征參數(shù)Z0,把β歸于Γ的相位;工作參數(shù)Γ為基底;套覆(z′)和ρ。圖1.5-1反射系數(shù)Γ圖
1.阻抗圓圖
1)反射系數(shù)Γ圓以原點(diǎn)為中心、反射系數(shù)的模|Γ|為半徑所畫的圓稱為等反射系數(shù)圓,如圖1.5-1所示。反射系數(shù)圓最重要的概念是相角走向。這可由式(1.5-3)看出。式(1.5-3)中,z′是向電源的,因此,向電源是反射系數(shù)的負(fù)角方向(順時(shí)針方向);反之,向負(fù)載是反射系數(shù)的正角方向(逆時(shí)針方向)。2)歸一化阻抗圓已知設(shè)則有(1.5-5)分開實(shí)部和虛部,得兩個(gè)方程(1.5-6)先考慮式(1.5-6)中實(shí)部方程得到如圖1.5-2所示的歸一化等電阻圓方程(1.5-7)(1.5-8)
相應(yīng)的圓心坐標(biāo)是,而半徑是,圓心在實(shí)軸上??紤]到歸一化等電阻圓始終和直線Γr=1相切。表1.5-1給出了不同r值時(shí),歸一化等電阻圓的變化情況,對(duì)應(yīng)的歸一化等電阻圓如圖1.5-2所示。圖1.5-2歸一化等電阻表1.5-1不同r值時(shí),歸一化等電阻圓的變化情況再考慮式(1.5-6)中虛部方程即(1.5-9)式(1.5-9)表示歸一化等電抗圓方程,其圓心是(1,1/x),半徑是|1/x|。表1.5-2給出了不同x值時(shí),歸一化等電抗圓的變化情況,對(duì)應(yīng)的歸一化等電抗圓如圖1.5-3所示。表1.5-2不同x值時(shí),歸一化等電抗圓的變化情況圖1.5-3歸一化等電抗將上述歸一化等電阻圓和歸一化等電抗圓疊加在等反射系數(shù)圓上即得到完整的阻抗圓圖,如圖1.5-4所示。通常為了使圓圖清晰起見,反射系數(shù)圓不畫出。用圓外的度數(shù)和波長數(shù)標(biāo)度代替反射系數(shù)的等相位φ線,而反射系數(shù)的模|Γ|與駐波比ρ是一一對(duì)應(yīng)的,根據(jù)式(1.4-25),電壓波腹點(diǎn)的歸一化阻抗r等于駐波比ρ,而電壓波腹點(diǎn)的軌跡為φ=0(正實(shí)軸),因此圓圖純電阻線(實(shí)軸)上r≥1的讀數(shù)即為駐波比的值。圖1.5-4Smith阻抗圓圖
2.導(dǎo)納圓圖微波電路中常用并聯(lián)元件構(gòu)成,這種情況下用導(dǎo)納計(jì)算比較方便。用以計(jì)算導(dǎo)納的圓圖稱為導(dǎo)納圓圖。導(dǎo)納表示為(1.5-10)圖1.5-5歸一化等電導(dǎo)歸一化等電導(dǎo)圓與直線Γr=-1相切,如圖1.5-5所示。令,完全類似,可導(dǎo)出電導(dǎo)圓方程(1.5-12)(1.5-11)其中,圓心坐標(biāo)是(
0),半徑為,考慮到,圖1.5-6歸一化等電納
其圓心是(-1,-1/b),半徑是|1/b|,也可對(duì)應(yīng)畫出歸一化等電納曲線,如圖1.5-6所示。將歸一化等電導(dǎo)圓、歸一化等電納圓疊加在反射系數(shù)圓上即得到導(dǎo)納圓圖。實(shí)際上,導(dǎo)納圓圖不需另行繪制,它可由阻抗圓圖得到。對(duì)比阻抗和導(dǎo)納,在歸一化情況下,恰好是反演關(guān)系,即(1.5-14)1.5.3Smith圓圖的應(yīng)用
Smith圓圖是微波工程和天線工程設(shè)計(jì)的重要工具,廣泛應(yīng)用于阻抗、導(dǎo)納、阻抗匹配及元件的計(jì)算。
【例1.5-1】
已知阻抗Z=50+j50Ω,Z0=50Ω,求導(dǎo)納Y。
解如圖1.5-7所示,首先進(jìn)行阻抗歸一化并找到相應(yīng)的導(dǎo)納值,然后進(jìn)行反歸一并得到導(dǎo)納值。圖1.5-7例1.5-1圖
【例1.5-2】
已知阻抗,求反射系數(shù)Γ和ρ。解如圖1.5-8所示,首先在圓圖上找到歸一化阻抗的對(duì)應(yīng)點(diǎn),利用等反射系數(shù)|Γ|對(duì)系統(tǒng)處處有效,可以得到ρ=2.6,則有圖1.5-8例1.5-2圖
【例1.5-3】
在如圖1.5-9所示的電路中,已知Zl=100+j50Ω,Z0=50Ω。求距負(fù)載l=0.24λg處的Zin。
解如圖1.5-10所示,先將負(fù)載阻抗歸一化,即,并在圓圖上找到相應(yīng)的點(diǎn),并向電源方向旋轉(zhuǎn)0.24λg,找到對(duì)應(yīng)的輸入阻抗然后進(jìn)行反歸一化,得到圖1.5-9例1.5-3圖圖1.5-10例1.5-3l解圖圖1.5-11例1.5-4解圖
【例1.5-4】
在Z0為50Ω的均勻無耗傳輸線上ρ=5,電壓波節(jié)點(diǎn)距負(fù)載λg/3。求負(fù)載阻抗。
解如圖1.5-11所示,找到對(duì)應(yīng)的波節(jié)點(diǎn)向負(fù)載方向旋轉(zhuǎn)λg/3,得到反歸一化后,得到1.6傳輸線的阻抗匹配1.6.1阻抗匹配的概念
1.共軛匹配傳輸線的輸入阻抗和信號(hào)源的內(nèi)阻互為共軛值時(shí)稱為共軛匹配。設(shè)信號(hào)源的內(nèi)阻抗為Zg=Rg+jXg,傳輸線的輸入阻抗為Zin=Rin+jXin,如圖1.6-1所示。共軛匹配時(shí)有Zg=,即(1.6-1),此時(shí),信號(hào)源輸出最大功率共軛匹配時(shí)并不意味著無反射,因輸入阻抗Zg一般為復(fù)值,在一般情況下傳輸線上電壓及電流仍呈行駐波分布,因此并不是微波電路理想的匹配狀態(tài)。圖1.6-1共軛匹配2.負(fù)載匹配負(fù)載匹配指負(fù)載與傳輸線之間的阻抗匹配(Zl=Z0)。此時(shí)傳輸線能最有效地將微波功率傳輸?shù)截?fù)載。[BT4][STHZ]3.信號(hào)源匹配信號(hào)源匹配指信號(hào)源與傳輸線之間的阻抗匹配(Zg=Z0)。滿足條件Zg=Z0的信號(hào)源稱為匹配信號(hào)源。
為使圖1.6-1所示的微波電路呈行波狀態(tài),必須滿足條件Zg=Zl=Z01.6.2阻抗匹配的方法阻抗匹配大致分成兩大類:電阻性負(fù)載匹配和任意負(fù)載匹配。
1.電阻性負(fù)載匹配電阻性負(fù)載匹配對(duì)象是:Zl=Rl≠Z0。可采用一段特性阻抗為適當(dāng)值、長度為λg/4的傳輸線即λg/4阻抗變換器進(jìn)行負(fù)載匹配,如圖1.6-2所示。圖1.6-2λg/4阻抗變換器輸入阻抗為容易得到匹配段的特性阻抗當(dāng)傳輸線的終端負(fù)載不是純電阻時(shí),由于無耗傳輸線的特性阻抗是一個(gè)純電阻(實(shí)數(shù)),原則上,λg/4阻抗變換器只能對(duì)純電阻進(jìn)行匹配。因此,對(duì)于一般負(fù)載阻抗Zl=Rl+jXl,可采用下列兩種方法。
(1)終端接入λg/4阻抗變換器時(shí),先并聯(lián)一段長度為l、特性阻抗為Z0的短路線,利用這段短路線將負(fù)載阻抗變換為純電阻,再用λg/4阻抗變換器對(duì)純電阻進(jìn)行匹配。為了計(jì)算方便,將負(fù)載阻抗變?yōu)樨?fù)載導(dǎo)納,即則有短路線提供的輸入電納應(yīng)滿足所以,短路線的長度為并接短路線后,負(fù)載阻抗變成純電阻,為因此,λg/4阻抗變換器的特性阻抗為(1.6-5)(1.6-4)
(2)在靠近終端的電壓波腹點(diǎn)或波節(jié)點(diǎn)處接入λg/4阻抗變換器來實(shí)現(xiàn)阻抗匹配,因?yàn)榇颂幍淖杩篂榧冸娮?。若在電壓波腹點(diǎn)接入λg/4阻抗變換器,則其特性阻抗為(1.6-6)若在電壓波節(jié)點(diǎn)接入λg/4阻抗變換器,則其特性阻抗為(1.6-7)
【例1.6-1】
一均勻無耗傳輸線的特性阻抗為500Ω,負(fù)載阻抗Zl=200-j250Ω,通過λg/4阻抗變換器及并聯(lián)支節(jié)線實(shí)現(xiàn)匹配,如圖1.6-3所示。已知工作頻率f=300MHz,求λg/4阻抗變換器特性阻抗Z01及并聯(lián)短路支節(jié)線的最短長度lmin。圖1.6-3例1.6-1圖
解由于λg/4阻抗變換段只能對(duì)純電阻負(fù)載實(shí)現(xiàn)匹配,而現(xiàn)負(fù)載為電容性負(fù)載,因而并聯(lián)短路支節(jié)線的作用就是將電容性負(fù)載變換為電阻性負(fù)載。為了分析方便,將負(fù)載用導(dǎo)納來表示,即傳輸線的工作頻率f=300MHz,其對(duì)應(yīng)的波長為相移常數(shù)為長度為lmin的并聯(lián)短路支節(jié)線在ab端口的輸入導(dǎo)納為由Im(Yin+Yl)=0,得并聯(lián)短路支節(jié)線最短長度為此時(shí),端口ab處的等效電阻為根據(jù)傳輸線λg/4阻抗變換性,得λg/4阻抗變換段的特性阻抗為
2.電抗性負(fù)載匹配電抗性負(fù)載的匹配對(duì)象是:任意負(fù)載,其中rl≠0??衫枚搪坊蜷_路傳輸線(稱為支節(jié))的電納來抵消其接入處傳輸線上的電納以達(dá)到匹配的目的。它分為單支節(jié)匹配、雙支節(jié)匹配和三支節(jié)匹配。
1)單支節(jié)匹配單支節(jié)匹配原理如圖1.6-4所示。支節(jié)匹配問題就是如何確定支節(jié)距負(fù)載的距離d和支節(jié)的長度l。由于短路支節(jié)并聯(lián),采用導(dǎo)納圓圖計(jì)算更為方便。分析支節(jié)匹配的方法均采用倒推法——由結(jié)果推向原因。圖1.6-4單支節(jié)匹配結(jié)果要求(1.6-8)根據(jù)并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)關(guān)系,有,并令(1.6-9)
【例1.6-2】
Z0=50Ω的無耗傳輸線接負(fù)載Zl=25+j75Ω。試采用并聯(lián)單支節(jié)匹配法進(jìn)行阻抗匹配。
解采用并聯(lián)單支節(jié)匹配,如圖1.6-5所示。圖1.6-5例1.6-2并聯(lián)單支節(jié)匹配圓圖解(對(duì)應(yīng)0.412)(1)負(fù)載歸一化:(2)采用導(dǎo)納計(jì)算:
(3)將向電源(順時(shí)針)旋轉(zhuǎn),與匹配圓(g=1)相交于兩點(diǎn),其對(duì)應(yīng)導(dǎo)納為(4)求出支節(jié)位置:
(5)求短路支節(jié)長度。由于短路表示,且是純電納,即因而要看單位外圓,如圖1.6-6所示。l1=(0.318-0.25)λg=0.068λg
l2=(0.25+0.182)λg=0.432λg
共有兩組解答,一般選長度較短的一組。圖1.6-6例1.6-2短路支節(jié)長度
2)雙支節(jié)匹配單支節(jié)匹配中支節(jié)距離d是要改變的,為了使它與主傳輸線位置固定,自然出現(xiàn)了雙支節(jié)匹配。如圖1.6-7所示,雙支節(jié)匹配是在主傳輸線某處并聯(lián)兩個(gè)可變短路支節(jié),兩支節(jié)間有一個(gè)已知固定距離d=λg/8(個(gè)別也有d=λg/4或d=3λg/8)。雙支節(jié)匹配問題就是如何確定兩支節(jié)的長度l。由于短路支節(jié)并聯(lián),采用導(dǎo)納圓圖計(jì)算更為方便。分析支節(jié)匹配的方法同樣采用倒推法——由結(jié)果推向原因。
對(duì)于任意負(fù)載如圖1.6-7所示,結(jié)果要求:假定已經(jīng)匹配,則十分明顯,在匹配圓軌跡。通過λg/8傳輸線(也即向負(fù)載方向轉(zhuǎn)90°)構(gòu)成軌跡。(在雙支節(jié)匹配中,軌跡稱為輔助圓。)圖1.6-7雙支節(jié)匹配圖1.6-8雙支節(jié)匹配輔助圓圖
【例1.6-3】
如圖1.6-9所示為同軸線雙支節(jié)匹配器,求l1和l2。
解雙支節(jié)匹配圓圖如圖1.6-10所示。
(1)采用Z0=50Ω進(jìn)行歸一化:(2)并聯(lián)支節(jié)應(yīng)用導(dǎo)納處理:圖1.6-9同軸線雙支節(jié)匹配器圖1.6-10例1.6-3雙支節(jié)匹配圓圖(3)通過λg/8距離(向電源方向),(4)按等電導(dǎo)圓交輔助圓于,
(5)由沿等|Γ|圓向電源轉(zhuǎn)90°,與匹配圓交于,于是圖1.6-11雙支節(jié)匹配的死區(qū)1.7Smith圓圖的計(jì)算機(jī)解1.7.1單支節(jié)匹配任意負(fù)載并聯(lián)單支節(jié)匹配問題如圖1.7-1所示。一切物理量都采用歸一化,阻抗對(duì)傳輸線特性阻抗歸一化,長度對(duì)波長歸一化。圖中:圖1.7-1單支節(jié)匹配當(dāng)未考慮支節(jié)時(shí),傳輸線輸入阻抗為(1.7-1)其中,其輸入導(dǎo)納為(1.7-2)令等式兩邊實(shí)部和虛部分別相等,得(1.7-3)(1.7-4)并聯(lián)支節(jié)的匹配條件為也即(1.7-5)式(1.7-3)的解為(1.7-6)(1.7-7)利用式(1.7-6)和式(1.7-7)可得和的值(1.7-8)(1.7-9)其計(jì)算機(jī)程序如下,輸入?yún)?shù)為rl和xl(歸一化負(fù)載阻抗為rl和xl),輸出參數(shù)為al和bl(歸一化長度為和),共有兩組值。
read(*,*)rl,xl callsip(rl,xl,al1,bl1,al2,bl2)
write(*,100)al1,bl1100
format(5x,4hla1=,f14.8,5x,4hlb1=,f14.8)
write(*,200)al2,bl2200format(5x,4hla2=,f14.8,5x,4hlb2=,f14.8)end
subroutinesip(rl,xl,al1,bl1,al2,bl2) pi=3.14159265 if(rl.le.1.e-10)goto1 ts=sqrt(rl*((1.-rl)**2+xl*xl))
t1=(xl+ts)/(rl-1.) t2=(xl-ts)/(rl-1.) if(abs(t2).le.1.e-10)goto3 al2=(.5*(1.-t2/abs(t2))*pi+atan(t2))/(2.*pi) goto43al2=0.4x2=(rl*rl+(xl+t2)**2)/(xl*t2*t2+(rl*rl+xl*xl-1.)*t2-xl)goto21t1=(rl-(rl*rl+xl*xl))/(2.*xl)al2=.25x2=1./xl2if(abs(t1).le.1.e-10)goto5al1=(.5*(1.-t1/abs(t1))*pi+atan(t1))/(2.*pi)goto65al1=0.6x1=(rl*rl+(t1+xl)**2)/(xl*t1*t1+(rl*rl+xl*xl-1.)*t1-xl)if(abs(x1).le.1.e-10)goto7bl1=(.5*(1.-x1/abs(x1))*pi+atan(x1))/(2*pi)goto87bl1=0.8if(abs(x2).le.1.e-10)goto9bl2=(.5*(1.-x2/abs(x2))*pi+atan(x2))/(2*pi)
return9bl2=0returnend 【例1.7-1】
rl=0.7,xl=-0.95,計(jì)算得
al1=0.0589,bl1=0.1111
al2=0.2235,bl2=0.38881.7.2雙支節(jié)匹配并聯(lián)雙支節(jié)匹配的一般模型如圖1.7-2所示。在C-C′點(diǎn)向右看的輸入導(dǎo)納,它與實(shí)際負(fù)載并不一致,它們中間相距。圖1.7-2雙支節(jié)匹配(1.7-10)首先來研究有兩個(gè)并聯(lián)短路支節(jié)、和電長度為θ的傳輸線所構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò),該網(wǎng)絡(luò)輸入導(dǎo)納結(jié)合匹配條件可表示成(1.7-11)由式(1.7-10)和式(1.7-11),展開得(1.7-12)聯(lián)立求解,得(1.7-13)(1.7-14)由方程(1.7-13)明顯看出:當(dāng)θ固定時(shí),不管如何變化,支節(jié)長度(即b1)以及必小于某個(gè)值,即由于,這恰好是避開死區(qū)的條件。若式(1.7-14)成立,則可選(1.7-15),即點(diǎn)輸入阻抗與實(shí)際負(fù)載阻抗相等,由式(1.7-13)可解得(1.7-16)則雙支節(jié)長度(1.7-17)(1.7-18)其中(1.7-19)
若式(1.7-14)不成立,則選擇,使由圖1.7-2可知(1.7-20)于是可解出(1.7-22)(1.7-21)計(jì)算機(jī)程序如下,輸入?yún)?shù)為rl和xl(歸一化負(fù)載阻抗為rl和xl),sl(兩并聯(lián)支節(jié)之間的歸一化電長度=l/λg,一般取1/8、1/4或3/8),al0(負(fù)載與第一支節(jié)之間原有的歸一化距離)。輸出量為al(支節(jié)歸一化長度)、bl(支節(jié)歸一化長度)。如果原來負(fù)載與第一支節(jié)沒有距離(即al0=0)而又處于死區(qū)內(nèi)無法匹配,則該程序能自動(dòng)加上dl(即)使之匹配,并保證為最小值,此程序一般可得兩組解。read(*,*)al0,sl,rl,xlcalldus(al0,sl,rl,xl,al1,bl1,al2,bl2,dl)
if(al0.ne.0)goto6
write(*,5)dl5format(5x,3hdl=,f14.8)6write(*,10)al1,bl110format(5x,4hla1=,f14.8,5x,4hlb1=,f14.8)write(*,20)al2,bl220format(5x,4hla2=,f14.8,5x,4hlb2=,f14.8)end
subroutinedus(al0,sl,rl,xl,al1,bl1,al2,bl2,dl)pi=3.14159265alph=2.*pi*al0cita=2.*pi*sls=sin(cita)c=cos(cita)ct=c/sss=1./(s*s)if(al0.eq.0.)goto3
tt0=sin(alph)/cos(alph)
w=rl*rl+(xl+tt0)**2
gl=(rl*(1.-xl*tt0)+(xl+tt0)*(rl+tt0))/w
if(gl.gt.ss)stop
goto13hl=rl*rl+xl*xlgl=rl/hl
bl=-xl/hl
dl=0.
if(gl.le.ss)goto1t1=(xl*ss+sqrt((xl*ss)**2-(rl-ss)*(rl-ss*(rl*rl+xl*xl))))/(rl-ss)bt1=(xl*t1*t1+(rl*rl+xl*xl-1.)*t1-xl)/(rl*rl+(xl+t1)**2)if(bt1.ge.0.)goto2dl=(.5*(1.-t1/abs(t1))*pi+atan(t1))/(2.*pi)gl=ssbl=bt1goto12t2=(xl*ss-sqrt((xl*ss)**2-(rl-ss)*(rl-ss*(rl*rl+xl*xl))))/(rl-ss)bt2=(xl*t2*t2+(rl*rl+xl*xl-1.)*t2-xl)/(rl*rl+(xl+t2)**2)
dl=(.5*(1.-t2/abs(t2))*pi+atan(t2))/(2.*pi)
gl=ss
bl=bt21bb1=ct+sqrt(abs(1./(gl*s*s)-1.))bb2=ct-sqrt(abs(1./(gl*s*s)-1.))xb1=-1./bb1xb2=-1./bb2bl1=(.5*(1.-xb1/abs(xb1))*pi+atan(xb1))/(2.*pi)bl2=(.5*(1.-xb2/abs(xb2))*pi+atan(xb2))/(2.*pi)ba1=(bb1*bb1*s*c-bb1*(c*c-s*s)-bl/gl)/(1.-2.*bb1*s*c+bb1*bb1*s*s)ba2=(bb2*bb2*s*c-bb2*(c*c-s*s)-bl/gl)/(1.-2.*bb2*s*c+bb2*bb2*s*s)[ZK)]xa1=-1./ba1xa2=-1./ba2al1=(.5*(1.-xa1/abs(xa1))*pi+atan(xa1))/(2*pi)al2=(.5*(1.-xa2/abs(xa2))*pi+atan(xa2))/(2*pi)returnend【例1.7-2】輸入:al0=0,sl=0.375,rl=1/3,xl=1/6輸出:dl=0.01125
al1=0.3042bl1=0.125
al2=0.3042bl2=0.125
1.8微帶傳輸線
1.8.1帶狀線
帶狀線又稱對(duì)稱微帶線,是一種雙接地板空氣或固體介質(zhì)傳輸線。它可以看成是由同軸線演變而成的,如圖1.8-1所示。同軸線中傳輸?shù)闹髂J荰EM模,若將同軸線的內(nèi)外導(dǎo)體變成矩形,側(cè)壁無限延伸,便變成帶狀線。圖1.8-1帶狀線的演變帶狀線的結(jié)構(gòu)如圖1.8-2(a)所示,其主模為TEM模。帶狀線的電磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)截面圖如圖1.8-2(b)所示。圖1.8-2帶狀線的結(jié)構(gòu)及其主模場(chǎng)結(jié)構(gòu)帶狀線兩面有接地板,輻射損耗較小,因此適用于高性能(高Q值或高隔離度)的微波電路。帶狀線中傳輸?shù)闹髂J荰EM模,可用傳輸線理論求其特性參量,而特性阻抗是帶狀線研究的主要問題。若帶狀線的分布參數(shù)分別用R、G、C及L表示,當(dāng)工作頻率滿足條件:R<<ωL,G<<ωC時(shí),其傳輸參量如下:傳輸常數(shù)為相移常數(shù)為相速為(對(duì)于非鐵磁介質(zhì))
特性阻抗為相波長為(1.8-1)這里只給出用保角變換法所得結(jié)果。
(1)中心導(dǎo)帶厚度t→0(導(dǎo)帶無限薄)時(shí),(1.8-2)(2)中心導(dǎo)帶厚度t≠0時(shí),(1.8-3)帶狀線的衰減包括兩部分:介質(zhì)衰減和導(dǎo)體衰減。帶狀線介質(zhì)損耗引起的衰減與其他TEM傳輸線的形式相同:(1.8-4)導(dǎo)體損耗引起的衰減可用微擾法求出。通常由以下近似公式給出:(1.8-5)式中(1.8-6)其中RS為表面電阻。
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