2025屆高考數(shù)學(xué)試卷專項(xiàng)練習(xí)02不等式計(jì)數(shù)原理含解析

不等式計(jì)數(shù)原理一、單選題1．（2024·江蘇常州市·高三一模）若則滿意的x的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】按或0，，和四種狀況，分別化簡(jiǎn)解出不等式，可得x的取值范圍．【詳解】①當(dāng)或0時(shí)，成立；②當(dāng)時(shí)，，可有，解得；③當(dāng)且時(shí)，若，則，解得若，則，解得所以則原不等式的解為，故選：B2．（2024·湖南衡陽市·高三一模）設(shè)，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知得且，然后結(jié)合基本不等式與中間值1比較，用不等式的性質(zhì)比較大小可得．【詳解】易知：,，，，明顯成立.所以．故選：C．3．（2024·全國(guó)高三二模（理））若實(shí)數(shù)，滿意約束條件，則的最小值為（）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】先畫出可行域，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方加1，由圖可知最近的距離為到直線的距離，從而可得答案【詳解】如圖1，作出平面區(qū)域可知：的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方加1，所以最近的距離為到直線的距離，所以的最小值為，故選：C.4．（2024·河北唐山市·高三二模）不等式的解集是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，先求得的解，然后由圖象寫出的解集.【詳解】再同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，解得，由圖象知：的解集是故選：B二、多選題5．（2024·山東淄博市·高三一模）已知，，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】利用特別值解除BD選項(xiàng)，利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)證明AC選項(xiàng)正確.【詳解】取，則，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.取，則，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.由于在上遞減，且，所以，所以A選項(xiàng)正確.由于，所以；由于，所以，由于在上遞增，所以，故C選項(xiàng)正確.故選：AC6．（2024·遼寧沈陽市·高三一模）若，則使成立的充要條件是（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】利用不等式的基本性質(zhì)和充要條件的定義推斷.【詳解】，B選項(xiàng)正確；則肯定不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)正確.故選：ABD7．（2024·江蘇高三專題練習(xí)）已知，且，則（）．A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，為單調(diào)減函數(shù)，可判定A正確；由基本不等式，可判定B錯(cuò)誤；由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)性質(zhì)，可判定C錯(cuò)誤；令的單調(diào)性，可判定D正確．【詳解】對(duì)于A中，由，且，可得，，由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，為單調(diào)減函數(shù)，因?yàn)?，，，所以，所以A正確；對(duì)于B中，由，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)性質(zhì)可知，都是單調(diào)遞減函數(shù)，，所以，所以C正確；對(duì)于D中，令，是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，所以D正確．故選：ACD．8．（2024·山東臨沂市·高三其他模擬）下列四個(gè)條件中，能成為的充分不必要條件的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】依據(jù)選項(xiàng)是的充分不必要條件，選項(xiàng)所給的不等式可以推出，但推不出選項(xiàng)所給的不等式即可．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：若，則，則，反之，當(dāng)時(shí)得不出，所以是的充分不必要條件，故正確；對(duì)于B選項(xiàng)：由可得，即能推出；但不能推出因?yàn)榈恼?fù)不確定)，所以是的充分不必要條件，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)：由可得，則，不能推出；由也不能推出(如)，所以是的既不充分也不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng):若，則，反之得不出，所以是的充分不必要條件，故選項(xiàng)D正確．故選：ABD．9．（2024·江蘇鹽城市·高三二模）已知，下列選項(xiàng)中正確的為（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BC【解析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),不等式性質(zhì)推斷．【詳解】A錯(cuò)，例如滿意，便；B正確，，，又，所以，而，所以；C正確，設(shè)，，，則，，所以，即．D錯(cuò)誤，，，，所以，不肯定成立．故選：BC．10．（2024·河北張家口市·高三一模）已知，且，則（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】對(duì)于A，由已知條件可得，再由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，然后給不等式兩邊開平方可得結(jié)果；對(duì)于B，對(duì)化簡(jiǎn)可得，兩邊開方可得結(jié)果；對(duì)于C，由于，化簡(jiǎn)后可得結(jié)果；對(duì)于D，由基本不等式可得，再結(jié)合已知條件可得，從而可推斷D，【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋遥?，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，得，故C正確；對(duì)于D，已知，且，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)滿意，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．的最大值為C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ACD【解析】將兩邊平方后結(jié)合可得A正確，利用基本不等式可推斷BC的正誤，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值后可推斷D的正誤.【詳解】因?yàn)?，故，所以，因?yàn)?，故，故A正確.又可化為即，所以，而，故，整理得到，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)；故的最小值為，的最大值為1，故B錯(cuò)誤，C正確.又，其中.令，，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，為增函數(shù)，故，故D正確.故選：ACD.12．（2024·江蘇高二月考）若實(shí)數(shù)，則下列不等關(guān)系正確的是（）A．B．若，則C．若，則D．若，，，則【答案】BCD【解析】對(duì)A，由指數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性即可推斷；對(duì)B，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可推斷；對(duì)C，利用做差法即可比較大小；對(duì)D，利用分析法即可證明.【詳解】解：對(duì)A，在上單調(diào)遞減，又，，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；故無法推斷與大小，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，當(dāng)時(shí)，，，，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，故C正確；對(duì)D，要證，即證，即證，，即證，，，令，，又，，即，即原式得證，故D正確.故選：BCD．13．（2024·山東煙臺(tái)市·高三一模）若，則（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調(diào)性可推斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以由可得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，所以，所以在單調(diào)遞增，由可得，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，又，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以由可得，則，即，故D不正確.故選：ABC.14．（2024·江蘇常州市·高三一模）已知正數(shù)，滿意，則（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】令，依據(jù)指對(duì)互化和換底公式得：，再依次探討各選項(xiàng)即可.【詳解】由題意，可令，由指對(duì)互化得：，由換底公式得：，則有，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)A，，所以，又，所以，所以，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)C?D，因?yàn)?，所以，所以，所以，則，則，所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查指對(duì)數(shù)的運(yùn)算，換底公式，作差法比較大小等，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于令，進(jìn)而得，再依據(jù)題意求解.15．（2024·遼寧高三二模）若實(shí)數(shù)，則下列不等式中肯定成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，由可推得A正確，由可推得B正確，當(dāng)時(shí)，作差比較可知C錯(cuò)：作差，利用換底公式變形，再依據(jù)基本不等式推斷符號(hào)，可得D正確.【詳解】對(duì)A，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故A正確；對(duì)B，由A知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以，即，即，所以，所以，故B正確：對(duì)C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)：對(duì)D，因?yàn)?，所以，，，，所以，即，故D正確.故選：ABD16．（2024·河北唐山市·高三二模）已知，且，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】利用不等式的性質(zhì)和基本不等式的應(yīng)用，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)選項(xiàng)逐一分析推斷.【詳解】因?yàn)椋?，?duì)A，，所以，故A正確；對(duì)B，取，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，因?yàn)椋圆荒苋〉忍?hào)，故C正確；對(duì)D，當(dāng)，，所以；當(dāng)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，因?yàn)椋圆荒苋〉忍?hào)，故D正確.故選：ACD.17．（2024·山東棗莊市·高三二模）已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】先依據(jù)已知條件推斷出的取值范圍，然后逐項(xiàng)通過等量代換、不等式性質(zhì)、不等式證明推斷出各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).【詳解】因?yàn)椋?，所以；A．因?yàn)椋〉忍?hào)時(shí)滿意，故A錯(cuò)誤；B．因?yàn)?，故B正確；C．因?yàn)?，取等?hào)時(shí)滿意，故C正確；D．因?yàn)?，所以要證，只需證，只需證，即證，即證，即證，明顯成立，且時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：BCD.18．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）A．， B．若，則C．若，則 D．若，，，則【答案】BD【解析】對(duì)每個(gè)選項(xiàng)留意檢驗(yàn)，要么證明其成立，要么舉出反例判定其錯(cuò)誤.【詳解】當(dāng)時(shí)，為負(fù)數(shù)，所以A不正確；若，則，考慮函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即，所以B正確；若，則，，所以C不正確；若，，，依據(jù)基本不等式有所以D正確.故選：BD三、填空題19．（2024·河北邯鄲市·高三一模）已知，則的最小值為__________．【答案】16【解析】依據(jù)題意由綻開利用基本不等式可求解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為16.故答案為：16.20．（2024·河南平頂山市·高三二模（理））若，滿意約束條件，則的取值范圍為______．【答案】【解析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】作出可行域如圖所示：依據(jù)可行域中的條件，求得，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過時(shí)，有最小值，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過時(shí)，有最大值.所以的取值范圍是.故答案為：.21．（2024·湖南岳陽市·高三一模）已知點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的最大值是____________．【答案】【解析】干脆利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：由題設(shè)可得：，即，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，故答案為：．其次部分計(jì)數(shù)原理一、單選題1．（2024·廣東肇慶市·高三二模）二項(xiàng)式的綻開式的常數(shù)項(xiàng)為60，則的值為（）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】先求出二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式，再求出常數(shù)項(xiàng)，由常數(shù)項(xiàng)為60，列方程可求出的值【詳解】，令，所以.令，解得，故選：C.2．（2024·江蘇省天一中學(xué)高三二模）我國(guó)古代以天為主，以地為從，天和干相連叫天干，地和支相連叫地支，合起來叫天干地支.天干有十個(gè)，就是甲?乙，丙?丁?戊?己?庚?辛?王?癸，地支有十二個(gè)，依次是子?丑?寅?卯?辰?巳?午?未?申?酉?戌?亥.古人把它們依據(jù)甲子?乙丑?丙寅……的依次而不重復(fù)地搭配起來，從甲子到癸亥共六十對(duì)，叫做一甲子.我國(guó)古人用這六十對(duì)干支來表示年?月?日?時(shí)的序號(hào)，周而復(fù)始，不斷循環(huán)，這就是干支紀(jì)年法(即農(nóng)歷).干支紀(jì)年歷法，是矗立于世界民族之林的科學(xué)歷法之一.今年(2024年)是庚子年，小華的爸爸今年10月10日是56周歲生日，小華爸爸誕生那年的農(nóng)歷是（）A．庚子 B．甲辰 C．癸卯 D．丙申【答案】B【解析】先求得小華爸爸誕生年份為年，由年是庚子年計(jì)算出小華爸爸誕生那年的農(nóng)歷.【詳解】小華的爸爸今年10月10日是56周歲生日，小華爸爸誕生于年.按六十年一個(gè)甲子，今年(2024年)是庚子年，60年前(1960年)是庚子年，由干支紀(jì)年法知，1961，1962，1963，1964年分別是辛丑，壬寅，癸卯，甲辰年.故選：B3．（2024·湖南衡陽市·高三一模）二項(xiàng)式的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為，則含項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C．6 D．15【答案】A【解析】先寫出二項(xiàng)式的綻開式生的通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式結(jié)合條件先求出參數(shù)，再依據(jù)通項(xiàng)公式可求出答案.【詳解】二項(xiàng)式的綻開式生的通項(xiàng)公式為當(dāng)時(shí)，為常數(shù)項(xiàng).則，令，得，所以含項(xiàng)的系數(shù).故選：A4．（2024·河北張家口市·高三一模）小明同學(xué)從9種有氧運(yùn)動(dòng)和3種無氧運(yùn)動(dòng)中選4種運(yùn)動(dòng)進(jìn)行體育熬煉，則他至少選中1種無氧運(yùn)動(dòng)的選法有（）A．261種 B．360種 C．369種 D．372種【答案】C【解析】由題意可知分三種狀況求解，一是有1種無氧運(yùn)動(dòng)選中，二是有2種無氧運(yùn)動(dòng)選中，三是有3種無氧運(yùn)動(dòng)選中，再由分類加法計(jì)數(shù)原理可求得結(jié)果【詳解】解：從9種有氧運(yùn)動(dòng)和3種無氧運(yùn)動(dòng)中選4種運(yùn)動(dòng)進(jìn)行體育熬煉，則他至少選中1種無氧運(yùn)動(dòng)的選法有（種）．故選：C．5．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)）多項(xiàng)式綻開式中的系數(shù)為A． B． C． D．【答案】C【解析】首先原式，分兩部分求的系數(shù).【詳解】原式，所以綻開式中含的項(xiàng)包含中項(xiàng)為，和中的項(xiàng)為，這兩項(xiàng)的系數(shù)和為.故選：C6．（2024·山東淄博市·高三一模）有7名學(xué)生參與“學(xué)黨史學(xué)問競(jìng)賽”，詢問競(jìng)賽成果，老師說：“甲的成果是最中間一名，乙不是7人中成果最好的，丙不是7人中成果最差的，而且7人的成果各不相同”.那么他們7人不同的可能位次共有（）A．120種 B．216種 C．384種 D．504種【答案】D【解析】甲的位置固定，問題轉(zhuǎn)化為排頭排尾有限制的排列問題，利用間接法求解.【詳解】因?yàn)榧椎某晒侵虚g一名，所以只需支配其余6人位次，因?yàn)橐也慌诺谝幻?，丙不排最終一名，所以由間接法可得,

故選：D7．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)）北京2024年冬奧會(huì)祥瑞物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)祥瑞物“雪容融”一亮相，好評(píng)不斷，這是一次中國(guó)文化與奧林匹克精神的完備結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計(jì)理念的傳承與突破.為了宣揚(yáng)2024年北京冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)，某學(xué)校確定派小明和小李等名志愿者將兩個(gè)祥瑞物安裝在學(xué)校的體育廣場(chǎng)，若小明和小李必需安裝同一個(gè)祥瑞物，且每個(gè)祥瑞物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】分為三人組中包含小明和小李和不包含小明和小李兩類，分別計(jì)算方案種數(shù)即可得結(jié)果.【詳解】由題意可知應(yīng)將志愿者分為三人組和兩人組，當(dāng)三人組中包含小明和小李時(shí)，安裝方案有種；當(dāng)三人組中不包含小明和小李時(shí)，安裝方案有種，共計(jì)有種，故選：A.8．（2024·山東濟(jì)寧市·高三一模）若的綻開式中的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】利用通項(xiàng)公式找到的系數(shù)，令其等于80，求解即可.【詳解】二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)為，令，得，則，所以，解得.故選：A9．（2024·廣東廣州市·高三一模）如圖，洛書（古稱龜書），是陰陽五行術(shù)數(shù)之源.在古代傳聞中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖像，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點(diǎn)為陰數(shù).若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中隨機(jī)選取3個(gè)數(shù)，則選取的3個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)的方法數(shù)為（）A．30 B．40 C．44 D．70【答案】B【解析】由題意可知，陰數(shù)為2，4，6，8，陽數(shù)為1，3，5，7，9，由條件可知3個(gè)數(shù)都為奇數(shù)，或是兩偶一奇，列式即得答案.【詳解】由題意可知，陰數(shù)為2，4，6，8，陽數(shù)為1，3，5，7，9.若選則3個(gè)數(shù)的和為奇數(shù)，則3個(gè)數(shù)都為奇數(shù)，共有種方法，或是兩偶一奇，共有，共有種方法.故選：B10．（2024·廣東深圳市·高三一模）小明跟父母、爺爺和奶奶一同參與《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》的現(xiàn)場(chǎng)錄制，5人坐一排.若小明的父母都與他相鄰，則不同坐法的種數(shù)為（）A．6 B．12 C．24 D．48【答案】B【解析】將小明父母與小明三人進(jìn)行捆綁，其中小明居于中間，形成一個(gè)元素，與其他兩個(gè)元素進(jìn)行排序即可．【詳解】將小明父母與小明三人進(jìn)行捆綁，其中小明居于中間，形成一個(gè)元素，與其他兩個(gè)元素進(jìn)行排序，則，故所求的坐法種數(shù)為12，故選：B．11．（2024·山東高三專題練習(xí)）中國(guó)古典樂器一般按“八音”分類，這是我國(guó)最早按樂器的制造材料來對(duì)樂器進(jìn)行分類的方法，最早見于《周禮·春官·大師》．八音分為“金、石、土、革、絲、木、鮑、竹”，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、鮑、竹”為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器．某同學(xué)支配了包括“土、鮑、竹”在內(nèi)的六種樂器的學(xué)習(xí)，每種樂器支配一節(jié)，連排六節(jié)，并要求“土”與“鮑”相鄰排課，但均不與“竹”相鄰排課，且“絲”不能排在第一節(jié)，則不同的排課方式的種數(shù)為（）A．960 B．1024 C．1296 D．2024【答案】C【解析】排課可分為以下兩大類：（1）“絲”被選中，（2）“絲”不被選中，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意，排課可分為以下兩大類：（1）“絲”被選中，不同的方法總數(shù)為種；（2）“絲”不被選中，不同的方法總數(shù)為種．故共有種．故選：C12．（2024·山東煙臺(tái)市·高三一模）綻開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式可得綻開式的通項(xiàng)：，結(jié)合多項(xiàng)式相乘，使的指數(shù)為即可求解.【詳解】綻開式的通項(xiàng)：，綻開式中含項(xiàng)為，所以綻開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：C13．（2024·河北唐山市·高三二模）在的綻開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】寫出二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng).【詳解】綻開式的通項(xiàng)，令常數(shù)項(xiàng)，故選：D．14．（2024·江蘇常州市·高三一模）綻開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】依據(jù)二項(xiàng)式定理得到綻開式通項(xiàng)，依據(jù)的取值可確定所求系數(shù).【詳解】綻開式通項(xiàng)公式為：，綻開式中的系數(shù)為：.故選：C.15．（2024·山東臨沂市·高三其他模擬）數(shù)學(xué)對(duì)于一個(gè)國(guó)家的發(fā)展至關(guān)重要，發(fā)達(dá)國(guó)家經(jīng)常把保持?jǐn)?shù)學(xué)領(lǐng)先地位作為他們的戰(zhàn)略需求.現(xiàn)某高校為提高數(shù)學(xué)系學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，特開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”，“世界數(shù)字通史”，“幾何原本”，“什么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求數(shù)學(xué)系每位同學(xué)每學(xué)年至多選門，大一到大三三學(xué)年必需將四門]選修課程選完，則每位同學(xué)的不同選修方式有（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】B【解析】先分類，再每一類中用分步乘法原理即可.【詳解】由題意可知三年修完四門課程，則每位同學(xué)每年所修課程數(shù)為或或若是，則先將門學(xué)科分成三組共種不同方式.再安排到三個(gè)學(xué)年共有種不同安排方式，由乘法原理可得共有種，若是，則先將門學(xué)科分成三組共種不同方式，再安排到三個(gè)學(xué)年共有種不同安排方式，由乘法原理可得共有種，若是，則先將門學(xué)科分成三組共種不同方式，再安排到三個(gè)學(xué)年共有種不同安排方式，由乘法原理可得共有種所以每位同學(xué)的不同選修方式有種，故選：B.16．（2024·遼寧高三二模）某交通崗共有3人，從周一到周日的七天中，每天支配一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有（）種．A．5040 B．1260 C．210 D．630【答案】D【解析】把7天分成一組2天，一組2天，一組3天，3個(gè)人各選1組值班，即可求解.【詳解】把7天分成一組2天，一組2天，一組3天，3個(gè)人各選1組值班，共有種．故選：D.17．（2024·山東棗莊市·高三二模）若，則（）A．20 B． C．15 D．【答案】B【解析】先將寫成，然后依據(jù)綻開式的通項(xiàng)求解出項(xiàng)的系數(shù)即為.【詳解】因?yàn)椋跃`開式的通項(xiàng)為，令，則，所以，故選：B.18．（2024·遼寧沈陽市·高三一模）2024年我國(guó)進(jìn)行了第七次全國(guó)人口普查，“大國(guó)點(diǎn)名，沒你不行”.在此次活動(dòng)中，某學(xué)校有女、男名老師報(bào)名成為志愿者，現(xiàn)在有個(gè)不同的社區(qū)須要進(jìn)行普查工作，從這名志愿者中選派名，每人去個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)去名老師，其中至少要出名女老師，則不同的選派方案有多少種（）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【解析】分只有一名女老師和兩名女老師兩種狀況探討得解.【詳解】只有一名女老師：;選派兩名女老師：；所以共有72+24=96種方法.故選：C19．（2024·山東日照市·高三一模）要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到、、三個(gè)班級(jí)中，要求每個(gè)班級(jí)至少分到一人，則甲被分到班的分法種數(shù)為A． B．C． D．【答案】B【解析】分甲和另一個(gè)人一起分到A班有，甲一個(gè)人分到A班的方法有：，加到一起即為結(jié)果.【詳解】甲和另一個(gè)人一起分到A班有=6種分法，甲一個(gè)人分到A班的方法有：=6種分法，共有12種分法；故答案為B.【點(diǎn)睛】解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“辨別”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“辨別”就是辨別是排列還是組合，對(duì)某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較困難的應(yīng)用題中的元素分成相互排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個(gè)相互聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡(jiǎn)潔的排列、組合問題，然后逐步解決．二、多選題20．（2024·全國(guó)高三專題練習(xí)）已知的綻開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．綻開式中常數(shù)項(xiàng)為160C．綻開式系數(shù)的肯定值的和1458D．若為偶數(shù)，則綻開式中和的系數(shù)相等【答案】ACD【解析】中，給賦值1求出各項(xiàng)系數(shù)和,列出方程求出，利用二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式求出通項(xiàng)，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，令二項(xiàng)式中的為1得到綻開式的各項(xiàng)系數(shù)和為，，故A正確；對(duì)于B，，綻開式的通項(xiàng)為，當(dāng)綻開式是中常數(shù)項(xiàng)為：令,得可得綻開式中常數(shù)項(xiàng)為：，當(dāng)綻開式是中常數(shù)項(xiàng)為：令,得(舍去)故的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，求其綻開式系數(shù)的肯定值的和與綻開式系數(shù)的肯定值的和相等，令，可得：綻開式系數(shù)的肯定值的和為：.故C正確；對(duì)于D，綻開式的通項(xiàng)為，當(dāng)為偶數(shù)，保證綻開式中和的系數(shù)相等①和的系數(shù)相等，綻開式系數(shù)中系數(shù)為：綻開式系數(shù)中系數(shù)為：此時(shí)和的系數(shù)相等，②和的系數(shù)相等，綻開式系數(shù)中系數(shù)為：綻開式系數(shù)中系數(shù)為：此時(shí)和的系數(shù)相等，③和的系數(shù)相等，綻開式系數(shù)中系數(shù)為：綻開式系數(shù)中系數(shù)為：此時(shí)和的系數(shù)相等，故D正確；綜上所在，正確的是：ACD故選：ACD.三、填空題21．（2024·山東青島市·高三一模）二項(xiàng)式綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．（用數(shù)字作答）【答案】240【解析】由，令12﹣3r＝0，得r＝4，由此能求出常數(shù)項(xiàng)．【詳解】在二項(xiàng)式中，通項(xiàng)公式得，由12﹣3r＝0，得r＝4，∴常數(shù)項(xiàng)為.故答案為240．22．（2024·江蘇省天一中學(xué)高三二模）若，則_____.【答案】【解析】利用賦值法可求代數(shù)式的和.【詳解】令，得，所以.故答案為：23．（2024·河南平頂山市·高三二模（理））已知，若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則______．【答案】32【解析】現(xiàn)依據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱求出的值,再依據(jù)二項(xiàng)式定理求出對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】解:若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為,所以兩點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上,所以,解得.所以,是的系數(shù),是的系數(shù),是的系數(shù),對(duì)于第項(xiàng)為,令或時(shí),有,所以;令或時(shí),有,所以;令時(shí),有,所以;所以.故答案為:3224．（2024·遼寧鐵嶺市·高三一模）某校有4個(gè)社團(tuán)向高一學(xué)生招收新成員，現(xiàn)有3名同學(xué)，每人只選報(bào)1個(gè)社團(tuán)，恰有2個(gè)社團(tuán)沒有同學(xué)選報(bào)的報(bào)法數(shù)有__________種（用數(shù)字作答）．【答案】36【詳解】先選出學(xué)生選報(bào)的社團(tuán)，共有種選法，再把這3名同學(xué)安排到這兩個(gè)社團(tuán)，共有，故恰有2個(gè)社團(tuán)沒有同學(xué)選報(bào)數(shù)有．25．（2024·山東臨沂市·高三其他模擬）二項(xiàng)式的綻開式中的系數(shù)為_________.(用數(shù)字作答)【答案】4860【解析】由二項(xiàng)綻開式，列方程即可得出結(jié)果.【詳解】二項(xiàng)式綻開式中的第項(xiàng)則，此時(shí)故答案為：.26．（2024·遼寧高三二模）若的綻開式中，的系數(shù)為15，則___________.【答案】6【解析】先求得的綻開式的通項(xiàng)公式，再依據(jù)的系數(shù)為15求解.【詳解】因?yàn)榈木`開式的通項(xiàng)公式為，且的系數(shù)為15，所以，即，解得(舍)或.故答案為：627．（2024·全國(guó)高三二模（理））的綻開式中的系數(shù)為_______