湖南省長沙市湖南某中學(xué)2024屆高三年級上冊第一次調(diào)研數(shù)學(xué)試題含答案詳解

長沙市湖南師大附中2024屆高三第一次調(diào)研

數(shù)學(xué)

本試卷共22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題卡前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號、

座位號等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.

3.非選擇題是必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題

目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答

案；不準(zhǔn)使用鉛筆和徐改液，不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.

一、單選題(本大題8小題，每小題5分，共40分)

1,已知集合”={xH-3x-4<0},N={x|y=ln(xT)},則)

A.(1,4)B.[1,4)

C.(-1,4)D.[-1,4)

2.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z],Z?對應(yīng)的點分別為Z1,Z2,則復(fù)數(shù)Z/Z2的虛部為

()

%

2T

r；-1：

A.-iB.-1C.-3iD.-3

3.“函數(shù)〉=1血(不一。)的圖象關(guān)于對稱”是“8=-2+?,ReZ”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.己知向量@=（2,0）/=（—1,6），則萬與伍一5）夾角的余弦值為（）

1

A.B.C7D.回

22

前〃項和，7；是數(shù)列,顯）的前"項和，若

5.已知5,是等差數(shù)列{q}

n

S’=7,S[5=75,則騫=(）

A.^-±1+9〃n2-3n

B.C.D.

444

n2+3n

4

)

7.已知正方體ABC。-AUG。的棱長為1,

的動點，若平面班尸截該正方體所得的截面為五邊形，則線段CV的取值范圍是（）

2

B.C.D.

2,3

jr

8.已知耳，工是橢圓和雙曲線的公共焦點，?是它們的一個公共點，且若

橢圓的離心率為4,雙曲線的離心率為02,則富;十學(xué)7的最小值是（）

e；+l4+3

A2+若R1+6r2>/3n4石

A?--------------------------V.---------U.---------

3333

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個

選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選

錯的得0分.

9.下列說法中，正確的是()

A.用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則個體〃z

被抽到的概率是0.1

B.一組數(shù)據(jù)10』1,11,12,13』4,16,18,20,22的第60百分位數(shù)為14

C.若樣本數(shù)據(jù)2百+1,2%+1,……1的方差為8,則數(shù)據(jù)七,％,…,斗0的方差為2

D.將總體劃分為2層，通過分層抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為耳，豆

和若用=當(dāng)，則總體方差/

10.如圖，點是函數(shù)/(x)=sin(〃zr+0)(0>O)圖象與直線y二亭相鄰的三

個交點，且忸。卜|明巖,/*=0,則(

)

JI

C.函數(shù)〃力在色上單調(diào)遞減

D.若將函數(shù)/(X)的圖象沿4軸平移。個單位，得到一個偶函數(shù)的圖像，則|回的最小值為

n

24

11.已知直線/：的-y+m+2=0與圓C：x2-4x+/+3=0,若存在點Mw/,過點

2兀

M向圓C引切線，切點為A,8,使得NACB=下，則陽可能的取值為()

3

A.2B.OC.-石D.一石

12.已知函數(shù)f(x)=叩竺，g(x)=4,則()

xsinx

A.〃x)與g(x)的定義域不同，"X)與g(x)的值域只有1個公共元素

B.在f(x)與g(x)的公共定義域內(nèi)，“X)的單調(diào)性與g(x)的單調(diào)性完全相反

C.7(戈)的極小值點恰好是g(x)的極大值點，/(力的極大值點恰好是g(x)的極小值點

D,函數(shù)/(x)既無最小值也無最大值，函數(shù)g(x)既有最小值也有最大值

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.一組數(shù)據(jù)為3,5,1,6,8,2,記這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為〃，則二項式

’2工-十)展開式的常數(shù)項為.

14.已知數(shù)列｛4｝滿足6+3%++3"Ta“=〃-3"I〃€N*),設(shè)數(shù)列｛4｝的前〃項和

為S”，則S.二

15.在正三棱臺ABC-ABC中，AB=2,4，側(cè)棱A4,與底面ABC所成角的

正切值為④.若該三棱臺存在內(nèi)切球，則此正三棱臺的體積為.

16.已知函數(shù)/(x)=(x+?)(|x-2a|+|x+4a|)(6r<0),若

/(sin0)+/si吟)+小in]=0,則關(guān)于x的不等式一/(x+2a)</(x)<3的解集

為.

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程

及驗算步驟.

ccosr

17.在48C中，角AB,C的對邊分別為4,"。，且----=-----.

2b-acosA

(1)求角。的大??；

(2)若c=l,的面積S=石，求”8C的周長.

18.記為數(shù)列｛g｝的前〃項和，已知4=1,且V〃cN'，2+「%5〃=笠^.

S

(1)證明：［肅］等差數(shù)列；

(2)求｛〃〃｝的通項公式；

(3)若b“=4-2”,求數(shù)列｛"｝的前〃項和7；.

19.如圖，在三棱錐A—BCD中，J3C和/XBCD都是正三角形，E是3c的中點，點

F滿足DF=NEA(4wO).

(1)求證：平面A3C1平面ADb；

(2)若［4。|=忸。|=26，且M〃平面ACQ,求長.

20.某學(xué)校有1000人，想通過驗血的方式篩查出某種病毒的攜帶者，如果對每個人的血樣

逐一化驗，需要化驗1000次，統(tǒng)計專家提出了一種方法：隨機地按10人一組分組，然后

將各組10個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這10個人全部陰性；如果

混合血樣呈陽性，說明其中至少有一個人呈陽性，就需要對這組的每個人再分別化驗一

次.假設(shè)某學(xué)校攜帶病毒的人數(shù)有10人.(0.995。0.95,0.991°=0.90)

(1)用樣本的頻率估計概率，若5個人一組，求一組混合血樣呈陽性的概率；

(2)用統(tǒng)計專家這種方法按照5個人一組或10個人一組，問哪種分組方式篩查出這1000

人中該病毒攜帶者需要化驗次數(shù)較少？為什么？

21.已知橢圓。：與+，=1(々＞6＞0)的離心率為￥，A，A2,8分別為橢圓C的左、右

和上頂點，直線43交直線/：＞=%于點尸，且點尸的橫坐標(biāo)為2.

(1)求橢圓。的方程；

(2)過點尸的直線與橢圓C交于第二象限內(nèi)。，七兩點，且石在尸,。之間，4E與直線/

交于點M,試判斷直線A。與AM是否平行，并說明理由.

22.已知函數(shù)/(%)=orex-耳％2一%

(1)當(dāng)〃=1時，討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若不等式/(?wrinx-d+Lf—%在J_,+81上恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

2.eJ

長沙市湖南師大附中2024屆高三第一次調(diào)研

數(shù)學(xué)

本試卷共22小題，滿分150分，考試用時120分鐘.

注意事項：

1.答題卡前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號、

座位號等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi).

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；

如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.

3.非選擇題是必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題

目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答

案；不準(zhǔn)使用鉛筆和徐改液，不按以上要求作答的答案無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.

一、單選題(本大題8小題，每小題5分，共40分)

1,已知集合”={xH-3x-4<0},N={x|y=ln(xT)},則)

A.(1,4)B.[1,4)

C.(-1,4)D.[-1,4)

【答案】A

【解析】

【分析】首先化簡集合，然后求出交集即可.

【詳解】A/={X|X2-3X-4<0}={X|-1<X<4},

N={x|y=ln(x-l)}={x|JI>1),

Mn7V={x|l<x<4}.

故選：A

2.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z],z?對應(yīng)的點分別為Z1,Z2,則復(fù)數(shù)Z/Z2的虛部為

—4

2I

e

I

I

1

O

A-iB.-1C.-3iD.-3

【答案】D

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點求出復(fù)數(shù)ZLZ2,計算Z/Z2,得愛數(shù)Z1<2的虛部.

【詳解】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z1,無對應(yīng)的點分別為Z2Z2,

則Z|=1+2/rz2——2+i,得4?4=（1+2i）（-2+i）=-4—3i,

所以復(fù)數(shù)4『2的虛部為一3.

故選：D

3.“函數(shù)〉=3（不一。）的圖象關(guān)于（弓,。）對稱”是“0=-；+%1,keZ”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】利用正切函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合集合間的基本關(guān)系判定充分、必要條件即可.

【詳解】當(dāng)函數(shù)y=tan（x一°）的圖象關(guān)于（曰,o］對稱時，

I47

七71E，丁華兀E71(-^+1)7T

有---(p=——，keZ,得0=----------=——+------------,keZ,

424242

易知例I兀kit

e=_?+E>,keZ

所以“函數(shù)y=tan(x-e)的圖象關(guān)于5,0對稱”是“e=一二Tl+而，kwZ”的必要不

14J4

充分條件.

故選：B.

4.已知向量。=(2,0),〃=(一1,6)，則d與m一切夾角的余弦值為()

A.--B.--C.1

222

【答案】D

【解析】

【分析】由向量夾角的坐標(biāo)表示計算.

【詳解】因為.b=卜，百)，則|“-〃|=2百，

(d-b\a6/i

所以cos.a----n—=-尸一.

\d-bM2V3x22

故選：D.

S

5.已知S,是等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，7；是數(shù)列的前〃項和，若

=7,5|5=75,則(=()

rr-9/jn2-3n

444

n2+3n

-4~

【答案】A

【解析】

SI

【分析】設(shè)出公差"，結(jié)合等差數(shù)列求和公式得到上為公差為3的等差數(shù)列，從而得到

〃2

方程，求出d和《=-2,利用等差數(shù)列求和公式得到答案

【詳解】設(shè)｛4｝的首項為6,公差為"，

…n(n-\]dS(n-l}d

則S“=na.+-^——」,貝nlij.=a,——」

n12n12

則*2+1「喑子

sf

故1二4為公差為j的等差數(shù)列,

n2

又邑=1,&=5,所以8x4=1—邑=5—1=4,

7152157

解得d=l,

又7q+214=7,解得q=—2,

故故樣

，為首項為-2,公差為;的等差數(shù)列,

所以7；=-2〃+

故選：A

6.函數(shù)f(x)=41n|M+g的圖象不可能是(

【答案】D

【解析】

【分析】分4=0,4〉0和。＜0三種情況討論,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點即可得出

答案.

【詳解】①當(dāng)々=0時，/(x)=-,此時A選項符合;

X

^lnx+—,x>0

x

②當(dāng)〃>0時，f(x)=a\n\x\+-=

X

?ln(-x)+—,x<0

X

當(dāng)xvO時，/(x)=?ln(-x)+—,

X

因為函數(shù)y=aln(-x),y=，在(-8,0)上都是減函數(shù)，

所以函數(shù)〃力在在(9,0)上是減函數(shù)，

如圖，作出函數(shù)y=〃ln(-x),y=-:在(一8,0)上的圖象,

由圖可知，函數(shù))，=.吊(一工),》二一2的圖象在(一8,0)上有一個交點,

X

即函數(shù)“X)在在(y,0)上有一個零點，

=aX1

當(dāng)x>0時，/(x)=6zlnx+—,則/'(x)=@--\2>

XXXX

由/得X'',由/'(X)<0,得0<x<，,

aa

所以函數(shù)在(oj

上單調(diào)遞減，在一，+8上單調(diào)遞增,

(1

當(dāng)4=1時，f—a\n-+a=\故B選項符合;

af

41?nx+—1,%>0八

x

③當(dāng)白<0時，f(x)=a\n\x\+-=^

6fln(-x)+—,x<0

當(dāng)x＞0時，f（x）=a\nx+—,

因為函數(shù)y=〃lnx,y=4在（0,+e）上都是減函數(shù)，

X

所以函數(shù)一（X）在（0,+8）上是減函數(shù)，

如圖，作出函數(shù)y=alnx,y=-1在（0,+?＞）上的圖象,

由圖可知，函數(shù)y=alnx,y=一-的圖象在（0,+8）上有一個交點,

X

即函數(shù)“X）在在（0,+8）上有一個零點，

當(dāng)xvO時，/（^）=aln（-x）+-,則/（司=色一-,

XXXX

由/'（x）＞。，得X＜,，由/"（工）＜0,得，＜x＜。，

aa

所以函數(shù)外同在g,0）上單調(diào)遞減，在（一雙j上單調(diào)遞增，

當(dāng)。=—1時，一"~+。=一1，故C選項符合，D選項不可能.

故選：D.

7.已知正方體ABCO-AgGR的棱長為1，E為GA的中點，/為棱CG上異于端點

的動點，若平面正尸截該正方體所得的截面為五邊形，則線段CV的取值范圍是（）

A.（?。〣.C.局D.（0,；.

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，得出當(dāng)F為棱CG上異于端點的動點，

截面為四邊形，點G只能在線段上，求得線段。尸的取值范圍，得到

答案.

【詳解】在正方體ABCQ-AqCQi中，平面BMI平面CDRJ=EF,

因為Be平面AB&A，Be平面8所，平面CORG〃平面438人，

則平面8所與平面人的交線過點B，且與直線石尸平行，與直線4片相交,

設(shè)交點為G,如圖所示,

又因為J_平面ABC。，平面ABCQ,

即/C\EF,/BGB1分別為EF,GB與平面A3CD所成的角,

因為EF//GB,則NCEF=NBGB「且有兔=匕11/。也尸二匕11/皮；用=煞

C1￡iOjO

當(dāng)尸與C重合時，平面8即截該正方體所得的截面為四邊形，此時GA=G81=g,即

G為棱中點M；

當(dāng)點尸由點。向點C移動過程中，/6￡/逐漸減小，點G由點片向點從方向移動；

當(dāng)點G為線段MA上任意一點時，平面班萬只與該正方體的4個表而有交線，即可用成

四邊形；

當(dāng)點G在線段MA延長線上時，直線BG必與棱AA交于除點A外的點，

又點尸與G不重合，此時，平面B所與該正方體的5個表面有交線，截面為五邊形，

如圖所示.

因此.當(dāng)尸為棱CC|上異于端點的動點，截面為四邊形，點G只能在線段M4,（除點用

外）上，即可得=則CF=1-G尸4,1],

所以線段CF的取值范圍是（；1），

所以若平面應(yīng)戶截該正方體的截面為五邊形，線段CF的取值范圍是.

故選：B.

【點睛】知識方法：對于空間共面、共線問題，以及幾何體的截面問題的策略：

1、正面共面的方法：一是先確定一個平面，然后再證明其余的線（或點）在這個平面內(nèi)；

二是證明兩個平面重合；

2、證明共線的方法：一是先由兩個點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；二是

直接證明這些點都在同一條特定直線上；

3、空間幾何體中截面問題：一是熱記特殊幾何體（正方體，正四面體等）中的特殊截面的

形狀與計算：二是結(jié)合平面的基本性質(zhì)，以及空間中的平行關(guān)系，以及平面的基本性質(zhì)，找

全空間幾何體的截面問題，并作出計算；

4、空間幾何體中的動點軌跡等問題：一般時根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定

理，結(jié)合曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的竺標(biāo)運算求出動點的軌

跡方程；

7T

8.已知耳，工是橢圓和雙曲線的公共焦點，?是它們的一個公共點，且若

橢圓的離心率為4,雙曲線的離心率為與，則氏y+堯§的最小值是（）

A2+6R1+V3「2百n4>/3

3333

r案】A

【解析】

【分析】設(shè)出橢圓的長半軸長外,雙曲線的實半軸長為。2,然后根據(jù)焦點三角形頂角的余

弦定理求解出epe2的關(guān)系式，最后通過力”的妙用求解出最小值.

【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為囚，雙曲線的實半軸長為電，

則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得：|P制+|尸周=24歸用一歸周=2%,

伊也|=2。/4〃心=1，

則在△尸環(huán)鳥中，由余弦定理得，

4c2=(q+a2y+(4一。2y一2(44-^)(^-d2)COSy,

,),13

化簡得+3姆=4c~,^\]—+—=4

e\紇

/、

e；3e；13

則2產(chǎn)2o1+[4-+12+13>6

，+16+31+13+1

<紇1%紇)

4+134+1]4+1廠

<4+2[—x-^_=lx(4+2>/3)=^^

=-%4+^—

64+1W+16

<紇

當(dāng)且僅當(dāng)〈時等號成立,

3__24+94

>1

8-3>/3-37

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查橢圓、雙曲線的離心率的相關(guān)計算，涉及到焦點三角形、

基本不等式求最值等問題，對學(xué)生的計算能力要求較高，難度較大.解答本題的關(guān)鍵點有兩

個：（1）運用兩個曲線的定義，找到離心率之間的關(guān)系；（2）在已知條件等式的情況下，

活用“1”的妙用求最值.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個

選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選

錯的得0分.

9.下列說法中，正確的是（）

A.用簡單隨機抽樣的方法從含有50個個體的總體中抽取一個容量為5的樣本，則個體相

被抽到的概率是0.1

B.一組數(shù)據(jù)10/1,11,12,13,14』6/8,20,22的第60百分位數(shù)為14

C.若樣本數(shù)據(jù)2玉+1,2/+1,……,2%+1的方差為8,則數(shù)據(jù)玉,々，…,Mo的方差為2

D.將總體劃分為2層，通過分層抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為耳，吊

和若工=耳，則總體方差$2=;

【答案】AC

【解析】

【分析】由古典概型的概率可判斷A,根據(jù)百分位數(shù)定義可判斷B,由數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差

的定義可判斷C,D.

【詳解】選項A：個體加被抽到的概率為卷=0.1,故A正確；

選項B：由于10x60%=6,第六個數(shù)為14,第七個數(shù)為16,則第60百分位數(shù)為

*5,

故B錯誤;

選項C:設(shè)數(shù)據(jù)%,％2,…，F(xiàn)o的平均數(shù)為無，方差為

/=4［（不一元J+（占一元J++（^0—fl］，

則數(shù)據(jù)2%+1,2七+1,……，:2/+1的平均數(shù)為

_.(2%+1)+(2x,+1)+…+(2/+1)_2(1+，2+-+/)+1。_0.

X-——ZX+1，

1010

方差為s：=而[(2*1+1一元)+(2x,+1—x)+…+(2%0+1-x)]

222222

=^[(2X.-2X)4-(2X2-2A9+--+(2X10-2X)]=^(XI-X)4-(X2-X)+--+(X10-X)]

=4-=8，

所以『=2,故C正確：

選項D：設(shè)第一層數(shù)據(jù)為X,第二層數(shù)據(jù)為乂，%，…，小，

.—X+X？,+...4-Xn--_y+%+???+)%

則%二々~-------,X>一,

nm

所以％+/+...+工"=〃?不，,+必+…+”=力9

S；=；[■-可+(與_可+”?+(怎可

￥=\[(x-回2+(%—兀)2+”+(y,”-E)J

’?+打

總體平均數(shù)x=芯++x”+y+9

n+m

總體方差/=」一「(％-寸++(^-^)2+(^-^)2++d)1

因為％=%，則%+…+當(dāng)+y+???+兒=(〃+機)?王，

(n+m)x,——

所以元=%+…+Z+Y+…++--X1-x

n+mn+m2

心+&-再)~+()'|_々)2++(%一無2)1

,-「〃S；+〃6],故D錯誤.

〃+〃2L」

故選：AC.

10.如圖，點A8,C是函數(shù)/(M=sin(&x+夕)(口>0)的圖象與直線>=今相鄰的三

后=0,則()

9兀、1

B.

2

C.函數(shù)/(x)在(方,上單調(diào)遞減

D.若將函數(shù),f(x)的圖象沿工軸平移。個單位，得到一個偶函數(shù)的圖像，則網(wǎng)的最小值為

n

24

【答案】ACD

【解析】

【分析】令/("=且求得5,與，％根據(jù)忸。一恒耳=m求得①=4,根據(jù)/(一工

0

23\

求得了(x)解析式，再逐項險證BCD選項.

【詳解】令f(x)=sin(GX+9)=B得，cox+e=]+2kn或cox+e=1+2也,

keZ,

TI71叫+0=1+2E,

由圖可知：coxA+^>=—+2k7t,a)xc+(p=—+2kii+2it,

7137T

所以|BC|=X-X=一-----F2K,

CB33

7TI27c)

所以5=忸。|—恒8|=一---+2nI,所以3=4,故A選項正確,

3co

所以/(x)=sin(4x+°),由/=0得sin々+°]=0,

1^7I3)

TI

所以——+(p=n+2/at,keZ,

4n

所以°=—+2kn,,AeZ,

所以/(x)=sin(4x+竺+2&花=sin4x+—=-sin(4x+*

g,故B錯誤.

，兀兀、，，兀，5兀-兀、

當(dāng)xe時，4x+-e—,2n+-,

(32j3\33)

因為y=-sin［在z￡；,2兀+1為減函數(shù),

上單調(diào)遞減，故C正

I3

確;

將函數(shù)〃x)的圖象沿x軸平移。個單位得g(x)=-sin(4x+4g+1J,(6<0時向右平

移，。:>0時向左平移)，

g("為偶函數(shù)得46+^=?+依，kwZ,

所以。=/+與，keZ，則IM的最小值為成，故D正確.

故選：ACD.

11.已知直線/：〃氏一y+m+2=0與圓C：x2-4x+y2+3=0,若存在點Mw/,過點

27r

M向圓C引切線，切點為A，B,使得NAC3=—,則機可能的取值為()

3

A.2B.OC.-73D.-75

【答案】BCD

【解析】

【分析】先確定出直線/所過的定點以及圓心和半徑，根據(jù)條件分析出

由此確定出sinNAMC所滿足的不等關(guān)系，則加的取值范圍可求，依沼的可取值可確定.

【詳解】因為/："比一丫+m+2=0即/:相(1+1)=下一2,

x+l=O

令4解得,所以/過定點(一1,2),

v-2=0y=2

圓C:(x-2)2+y2=i,圓心為C(2,0),半徑為1,

由切線性質(zhì)可知:

2兀2兀7171

當(dāng)ZAC8=—時，ZAMB=n——=-,NBMC=/AMC=—,

3336

JTJT

因為存在M使得乙4MC='，所以（NAMC）>-,

6'7max6

|3/n+2|

記C到/的距離為?

Jm2+1

Adii

又因為sinZAMC=7——\=：---：<—當(dāng)/AMC最大時,此時|MC|=d,

\MC\\MC\d

兀1|3/n+2|I?

所以sin7W-；,所以dK2,所以J°??2,解得一一<w<0,

6dy/m2+15

又因為一~—<—y/5<—\/3<0<2,所以〃z可取—JJ,0,

故選：BCD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與圓位置關(guān)系的綜合運

用，涉及圓的切線相關(guān)問題，著重考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，難度較大.解答問題的關(guān)

鍵在于分析N4WC的取值范圍并將其正弦值與圓心到直線的距離聯(lián)系在一起，從而求出

參數(shù)的可取值.

12.已知函數(shù)〃力=2配，g(x)=—,則()

xsinx

A.”力與g(x)的定義域不同，"X)與g(x)的值域只有1個公共元素

B.在f(x)與g(x)的公共定義域內(nèi)，的單調(diào)性與g(x)的單調(diào)性完全相反

C.f(x)的極小值點恰好是g(x)的極大值點，/(力的極大值點恰好是g("的極小值點

D.函數(shù)/(x)既無最小值也無最大值，函數(shù)g(“既有最小值也有最大值

【答案】BC

【解析】

【分析】首先確定了⑶定義域為{xIxxO)、g(x)定義域為再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)

研究/(X)與g'(x)符號，進而判斷其單調(diào)性、極值點情況；判斷/(X)、g(x)奇偶性，研究它

們在X€(0,+CO)上的性質(zhì)；根據(jù)/(幻的值域情況及g*)=I研究最值、及函數(shù)值是否有

f(x)

公共元素.

【詳解】定義域{xlx工0},對于g(x)有sinxrO,即{五|x#E},2￡Z,故定義

域不同.

、xcosx-sinxsinx-xcosx、，

由/(x)=----------，g'(x)=--------；------,且f,sirrx>0,

xsinx

故在相同的區(qū)間內(nèi)/'(x)與g'@)符號相反，即對應(yīng)/")、g(x)單調(diào)性相反，B正確；

由上,由力、g(x)的極值點恰好相反,〃“)的極大值點為g(x)極小值點，〃幻的極小值點

為g(x)極大值點，C正確；

由」(一劃=⑹"火)二出".二/(元),g(-x)=.:=*=點才)，均為偶函

-xxsm{-x)sinx

數(shù)，

只需研究在xw(0,+oo)上/(X)、g(x)的性質(zhì)；

由。="一$山2且ovxvi,則)，'=1一COSXNO，故y遞增,則y>yl=o=o，故

x>sinx>0,

而了(X)在(0,+00)上連續(xù)，且函數(shù)值在(-1,1)范圍內(nèi)波動，即函數(shù)值為正、負(fù)的區(qū)間交替出

現(xiàn)，

結(jié)合g(x)=7K知：/(X)取0時g(x)趨向于無窮大(含正負(fù)無窮)，無最值：D錯誤：

f(x)

,⑶極小值/(^))G(-1,0),則g(%)=:(；)<T為g(x)極大值，

/(x)極大值〃x)?O,l),貝Ijg(xj=>1為g（x）極小值,

fM

所以/（X）、ga）值域不可能存在公共點，A錯誤.

故選：BC

【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)研究人幻、g。）單調(diào)性、極值情況，注意/"）函數(shù)的波動

性及值域范圍，結(jié)合秋幻=工研究最值.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.一組數(shù)據(jù)為3,5,1,6,8,2,記這組數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)為〃，則二項式

2工-十）展開式的常數(shù)項為.

【答案】60

【解析】

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的計算方法，求得〃二6,求得二項展開式的通項為

T[=（-1）J26-qJW,即可求解.

【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大排成一列為：1,2,3,5,68,

由6x75%=4.5,所以這組數(shù)據(jù)的四分位數(shù)為〃=6,所以二項式為

則二項展開式的通項為加=晨（2"一'（-亡）'=（-1）r?26yd

令6-5r=0,解得〃=4,所以展開式的常數(shù)項為（一1）4-22或=60.

故答案為：60.

14.已知數(shù)列｛《,｝滿足4+34+'+3"Ta“=〃-3”x（〃wN*）,設(shè)數(shù)列｛〃“｝的前〃項和

為S〃，則S“二

【答案】3/?+6/7

【解析】

【分析】根據(jù)給定的遞推關(guān)系求出/，再利用等差數(shù)列前〃項和公式求出S“即可.

【詳解】數(shù)列｛叫滿足4+3%+…+3”&=〃?3向，當(dāng)〃N2時，

4+++3"=(〃-1)?3”,

兩式相減得3”-4=刀?3"—(〃一1)3”=(2〃+1)?3”,因此q=3(2〃+1),而q=9滿

足上式，

于是凡=3(2〃+1),顯然4.一%=3(2〃+3)-3(2〃+1)=6,即數(shù)列｛〃“｝是等差數(shù)列，

所以S“=理酗±%"+6m

2

故答案為：3/+6〃

15.在正三棱臺ABC-44G中，AB=2,側(cè)棱AR與底面A8C所成角的

正切值為應(yīng).若該三楂臺存在內(nèi)切球，則此正三棱臺的體積為.

【答案】逆

12

【解析】

【分析】取5c和旦G的中點分別為P,。，上、下底面的中心分別為。1,。2,設(shè)

4片=不，內(nèi)切球半徑為八根據(jù)題意求出側(cè)棱長以及0Q，再根據(jù)切線的性質(zhì)及

等腰梯形BB.C.C和梯形AA.QP的幾何特點列方程組求出半徑即可.

【詳解】如圖，取BC和與G的中點分別為P,Q,

上、下底面的中心分別為。1,。2，

設(shè)內(nèi)切球半徑為廣，因為tan/AAO2=J5,棱臺的高為2「，

所以A4t=8旦=℃=+(&)=瓜「,

O.P=-AP=-x—AB=：—：同理=

-332316

因為內(nèi)切球與平面BCG用相切，切點在PQ上，

所以PQ=aP+QQ=^(工+2)①，

等腰梯形中，Pe2=(\/6r)2-[—I

V2>

由"?。亨?

在梯形MQ尸中，P22=（2r）2+|—x|

由②?得2-x="r，代入得x=l,則棱臺的高〃=2r,

3

所以棱臺的體積為V=:（乎+/＞4+*]*半=?搟

故答案為：逑.

12

16.已知函數(shù)/(x)=(x+a)(|x-2?|+|x+4a|)(t/<0)若

〃sin0)+f(si哈+/sin—=0,則關(guān)于“的不等式一4*+2々）＜/（%）＜3的解集

I2

為■

【答案】（0）

【解析】

【分析】計算出/（一々+耳+/（-々一同=0,函數(shù)y=/（力關(guān)于點（一。,0）中心對稱，得

到f（x）=0有唯一的解工=一。＞0,求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題目條件得到。=-g,進而

得到分段函數(shù)解析式，計算出/-=3,故一/（工一1）=〃2-力＜/（"＜3=/5,

結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到不等式.

【詳解】由題意，得了（一。十））="（卜一3。|十?十3以|）,

/（-6?-x）=-x（|x+3a|+|x-3fl|）,

所以/（一。+工）+/（-4一％）=0，即函數(shù)y=/（x）關(guān)于點（一。,0）中心對稱.

因為|%—2同+卜+44〉0恒成立.所以當(dāng)1＞一。時，/（x）＞0,

當(dāng)了＜一。時，/（x）＜0.

所以/（力二0有唯一的解X=-〃＞O.

2

2(x+a)~,x>-4a

f(x)=<-6a(x+a),2a<x<-4a,

-2(x+a)2,x<2a

當(dāng)xN-4a時，/（X）=2（X+6F）2,函數(shù)單調(diào)遞增,

當(dāng)幼＜xv＜7時，/（x）=-6d（x+〃），函數(shù)單調(diào)遞增,

當(dāng)―時，/（x）=-2（x+a）\函數(shù)單調(diào)遞增,

又2(-4a+a)2=-6a(Ta+a)：-2x(2a+aJ=-^a(2a+a)，

故f（x）在R上單調(diào)遞增,

/(sin0)+/工si吟卜（吟卜/⑼MT）+f⑴=0,

由對稱性可知/（（））=一/（一2a）,

下面證明-。=不，過程如下：

2

若時，則且—2a＞l,則/（_加）＞/（1）,-/（-2?）＜-/（!），

/(O)+/(l)=/(l)-/(-2?)<O,

此時/(。)+/(￡|+/