新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練7.4 空間距離（提升版）（解析版）

7.4空間距離（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一點(diǎn)線距【例1】（2022·浙江紹興）如圖，在正三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則C到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意知，SKIPIF1<0，取AC的中點(diǎn)O，則SKIPIF1<0，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影的長度為SKIPIF1<0，故點(diǎn)C到直線SKIPIF1<0的距離為：SKIPIF1<0.故選：D【一隅三反】1．（2022·湖南益陽）在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影為SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0故選：B2．（2022·山東）點(diǎn)SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上一點(diǎn)，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0的一個(gè)方向向量，則點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意，點(diǎn)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.3．（2022云南）如圖，已知三棱柱SKIPIF1<0的棱長均為2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面ABC；(2)設(shè)M為側(cè)棱SKIPIF1<0上的點(diǎn)，若平面SKIPIF1<0與平面ABC夾角的余弦值為SKIPIF1<0，求點(diǎn)M到直線SKIPIF1<0距離．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)取AC的中點(diǎn)O，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由題設(shè)可知，SKIPIF1<0為邊長為2的等邊三角形，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面ABC；SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以平面SKIPIF1<0平面ABC；(2)以O(shè)A所在直線為x軸，以O(shè)B所在直線為y軸，以SKIPIF1<0所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0取SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0為平面ABC的一個(gè)法向量，設(shè)平面SKIPIF1<0與平面ABC夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以點(diǎn)M到直線SKIPIF1<0距離SKIPIF1<0考點(diǎn)二點(diǎn)面距【例2-1】（2022·哈爾濱）在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離等于_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.【例2-2】（2022·河北廊坊）如圖所示，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)E是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)E到平面SKIPIF1<0的距離為h，因?yàn)辄c(diǎn)E是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E到平面SKIPIF1<0的距離等于點(diǎn)B到平面SKIPIF1<0的距離的一半，又平面SKIPIF1<0過SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B到平面SKIPIF1<0的距離等于點(diǎn)D到平面SKIPIF1<0的距離，由等體積法SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，即點(diǎn)E到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.故選：B.【一隅三反】1.（2022·江蘇常州）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為上底面SKIPIF1<0和側(cè)面SKIPIF1<0的中心，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.故選：A.2．（2022·福建省福州第一中學(xué)高一期末）將邊長為2的正方形SKIPIF1<0沿對(duì)角線SKIPIF1<0折起，使得平面SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】取SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0,四邊形SKIPIF1<0是邊長為2的正方形，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題知，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且交線為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，則SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．故選：D．3．（2022·內(nèi)蒙古）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是邊長為2a的正方形，AD＝2AB.(1)若長方體的表面積為200，求a的值；(2)若a＝1，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離h.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)樵陂L方體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正方形，SKIPIF1<0.所以長方體的表面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由長方體的性質(zhì)知，點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理知SKIPIF1<0，由長方體的性質(zhì)知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.考點(diǎn)三線線距【例3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖所示，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系則SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的公垂線的方向向量為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0不妨令SKIPIF1<0又SKIPIF1<0則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離SKIPIF1<0故選：D【一隅三反】1．（2022·山東）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值.在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公垂線的方向向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：D.2．（2022·江蘇）長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的公垂線的一個(gè)方向向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離為SKIPIF1<0．故選：D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，可知此時(shí)SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離最短設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離是SKIPIF1<0.故選：B.考點(diǎn)四線面距【例4-1】（2022·湖南）在長方體SKIPIF1<0中，M、N分別為SKIPIF1<0、AB的中點(diǎn)，AB＝4，則MN與平面SKIPIF1<0的距離為______．【答案】2【解析】連接SKIPIF1<0，在長方體SKIPIF1<0中，M、N分別為SKIPIF1<0、AB的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為直線MN與平面SKIPIF1<0的距離又SKIPIF1<0，則直線MN與平面SKIPIF1<0的距離為2.故答案為：2【例4-2】（2022廣西）如圖，已知斜三棱柱SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0上的射影恰為SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0又知SKIPIF1<0.(1)求證:SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;(2)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）證明：∵SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0上的射影為SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）解：取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是菱形，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0

SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離等于SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·江西省）如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：(1)平面ADD1A1與平面BCC1B1的距離.(2)點(diǎn)D1到直線AC的距離.(3)直線AB與面A1DCB1的距離.【答案】(1)2(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【解析】(1)因?yàn)槠矫鍭DD1A1與平面BCC1B1平行，故平面ADD1A1與平面BCC1B1的距離即SKIPIF1<0(2)連接SKIPIF1<0，由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0為等腰三角形，故SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)D1到直線AC的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即點(diǎn)D1到直線AC的距離為SKIPIF1<0(3)連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，因?yàn)殚L方體中SKIPIF1<0，故正方形SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故直線AB與面A1DCB1的距離為SKIPIF1<0.2．（2022·上海市控江中學(xué)）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的大??；(2)求直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0；(2)在長方體SKIPIF1<0中，由于SKIPIF1<0,故四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則點(diǎn)B到平面SKIPIF1<0的距離即為直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.；而SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,設(shè)點(diǎn)B到平面SKIPIF1<0的距離為h，則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.3．（2022·北京）如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2，E、F分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在線段BD上是否存在點(diǎn)H，使得EH⊥平面SKIPIF1<0？若存在，求點(diǎn)H的位置；若不存在，說明理由；(3)求EF到平面SKIPIF1<0的距離．【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析(3)SKIPIF1<0【解析】(1)連接SKIPIF1<0，由正方體的性質(zhì)知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因?yàn)樵谌切蜸KIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，證明如下：連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的交點(diǎn)，所以EF到平面SKIPIF1<0的距離即為SKIPIF1<0，由（2）知SKIPIF1<0考點(diǎn)五面面距【例5-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，則平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0之間的距離為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，顯然平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0之間的距離SKIPIF1<0．【例5-2】（2022·廣東揭陽）如圖在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，D、F、G分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)證明：由直三棱柱的性質(zhì)得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)解：由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平行平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離，SKIPIF1<0，即平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離為SKIPIF1<0．【一隅三反】1.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為a，則平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由正方體的性質(zhì)，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B到平面SKIPIF1<0的距離．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，SKIPIF1<0所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則兩平面間的距離SKIPIF1<0．故選：D2．（2022·福建廈門）如圖，棱長為2的正方體ABCD–A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點(diǎn)，過E作平面SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0//平面BDF.(1)作出SKIPIF1<0截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面，寫出作圖過程并說明理由；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)答案見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)連接SKIPIF1<0，由正方體性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0//平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0重合，即平面SKIPIF1<0就是SKIPIF1<0截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面.(2)由（1）可知平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離等于點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離；設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.3．（2022·江西?。┤鐖D，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AA1與CC1的中點(diǎn).(1)證明：平面EB1D1SKIPIF1<0平面FBD；(2)求平面EB1D1與平面FBD之間的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.【解析】(1)若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，又F是CC1的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，又E是AA1的中點(diǎn)，易知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，正方體中SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故平面EB1D1SKIPIF1<0平面FBD；(2)由（1）知：平面EB1D1與平面FBD之間的距離等于SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故△SKIPIF1<0中BD的高為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故平面EB1D1與平面FBD之間的距離為SKIPIF1<0.7.4空間距離（精練）（提升版）題組一題組一點(diǎn)線距1.（2022·福建）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為___．【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<02（2022·北京·二模）如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1，則線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)P到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴動(dòng)點(diǎn)P到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)，即線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)P到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為SKIPIF1<0.3．（2022·廣東）如圖，在棱長為4的正方體SKIPIF1<0中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段SKIPIF1<0上，點(diǎn)Р到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】在正方體SKIPIF1<0中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因點(diǎn)P在線段SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上投影長為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則點(diǎn)Р到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)取“=”，所以點(diǎn)Р到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0題組二題組二點(diǎn)面距1．（2022·江蘇）將邊長為SKIPIF1<0的正方形SKIPIF1<0沿對(duì)角線SKIPIF1<0折成直二面角，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為___．【答案】SKIPIF1<0【解析】記AC與BD的交點(diǎn)為O，圖1中，由正方形性質(zhì)可知SKIPIF1<0，所以在圖2中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0如圖建立空間直角坐標(biāo)系，易知SKIPIF1<0則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0為平面ABC的法向量，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<02．（2022·福建福州）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0平面ACF：(2)求點(diǎn)B到平面ACF的距離．【答案】(1)證明見詳解.(2)SKIPIF1<0.【解析】（1）以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則SKIPIF1<0,設(shè)面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.3．（2022·河北邯鄲）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)詳見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）連結(jié)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為1，SKIPIF1<0，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.4．（2022·四川成都）在四