新高考數(shù)學一輪復習精講精練7.4 空間距離（提升版）（解析版）

7.4空間距離（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一點線距【例1】（2022·浙江紹興）如圖，在正三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則C到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意知，SKIPIF1<0，取AC的中點O，則SKIPIF1<0，建立如圖所示的空間直角坐標系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影的長度為SKIPIF1<0，故點C到直線SKIPIF1<0的距離為：SKIPIF1<0.故選：D【一隅三反】1．（2022·湖南益陽）在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影為SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0故選：B2．（2022·山東）點SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0的一個方向向量，則點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是______．【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意，點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.3．（2022云南）如圖，已知三棱柱SKIPIF1<0的棱長均為2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面ABC；(2)設M為側(cè)棱SKIPIF1<0上的點，若平面SKIPIF1<0與平面ABC夾角的余弦值為SKIPIF1<0，求點M到直線SKIPIF1<0距離．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)取AC的中點O，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由題設可知，SKIPIF1<0為邊長為2的等邊三角形，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面ABC；SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以平面SKIPIF1<0平面ABC；(2)以OA所在直線為x軸，以OB所在直線為y軸，以SKIPIF1<0所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0設SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0取SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0為平面ABC的一個法向量，設平面SKIPIF1<0與平面ABC夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以點M到直線SKIPIF1<0距離SKIPIF1<0考點二點面距【例2-1】（2022·哈爾濱）在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離等于_____.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，以SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離：SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.【例2-2】（2022·河北廊坊）如圖所示，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點E是棱SKIPIF1<0的中點，則點E到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設點E到平面SKIPIF1<0的距離為h，因為點E是棱SKIPIF1<0的中點，所以點E到平面SKIPIF1<0的距離等于點B到平面SKIPIF1<0的距離的一半，又平面SKIPIF1<0過SKIPIF1<0的中點，所以點B到平面SKIPIF1<0的距離等于點D到平面SKIPIF1<0的距離，由等體積法SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，即點E到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.故選：B.【一隅三反】1.（2022·江蘇常州）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為上底面SKIPIF1<0和側(cè)面SKIPIF1<0的中心，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖，以SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標系，易知SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.故選：A.2．（2022·福建省福州第一中學高一期末）將邊長為2的正方形SKIPIF1<0沿對角線SKIPIF1<0折起，使得平面SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】取SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0,四邊形SKIPIF1<0是邊長為2的正方形，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題知，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且交線為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，則SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．故選：D．3．（2022·內(nèi)蒙古）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是邊長為2a的正方形，AD＝2AB.(1)若長方體的表面積為200，求a的值；(2)若a＝1，求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離h.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】（1）因為在長方體SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正方形，SKIPIF1<0.所以長方體的表面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；（2）因為SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由長方體的性質(zhì)知，點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由勾股定理知SKIPIF1<0，由長方體的性質(zhì)知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.考點三線線距【例3】（2022·全國·高三專題練習）在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖所示，以SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸如圖建立空間直角坐標系則SKIPIF1<0SKIPIF1<0設直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的公垂線的方向向量為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0不妨令SKIPIF1<0又SKIPIF1<0則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離SKIPIF1<0故選：D【一隅三反】1．（2022·山東）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值.在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖，以D為坐標原點建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的公垂線的方向向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：D.2．（2022·江蘇）長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的公垂線的一個方向向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離為SKIPIF1<0．故選：D．3．（2022·全國·高三專題練習）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值．在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上任意一點，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，可知此時SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0距離最短設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離是SKIPIF1<0.故選：B.考點四線面距【例4-1】（2022·湖南）在長方體SKIPIF1<0中，M、N分別為SKIPIF1<0、AB的中點，AB＝4，則MN與平面SKIPIF1<0的距離為______．【答案】2【解析】連接SKIPIF1<0，在長方體SKIPIF1<0中，M、N分別為SKIPIF1<0、AB的中點，則SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為直線MN與平面SKIPIF1<0的距離又SKIPIF1<0，則直線MN與平面SKIPIF1<0的距離為2.故答案為：2【例4-2】（2022廣西）如圖，已知斜三棱柱SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0上的射影恰為SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0又知SKIPIF1<0.(1)求證:SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0;(2)求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）證明：∵SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0上的射影為SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）解：取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標系，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0是菱形，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0

SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離等于SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·江西?。┤鐖D，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，求：(1)平面ADD1A1與平面BCC1B1的距離.(2)點D1到直線AC的距離.(3)直線AB與面A1DCB1的距離.【答案】(1)2(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【解析】(1)因為平面ADD1A1與平面BCC1B1平行，故平面ADD1A1與平面BCC1B1的距離即SKIPIF1<0(2)連接SKIPIF1<0，由題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0為等腰三角形，故SKIPIF1<0，設點D1到直線AC的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即點D1到直線AC的距離為SKIPIF1<0(3)連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，因為長方體中SKIPIF1<0，故正方形SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故直線AB與面A1DCB1的距離為SKIPIF1<0.2．（2022·上海市控江中學）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的大小；(2)求直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0；(2)在長方體SKIPIF1<0中，由于SKIPIF1<0,故四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則點B到平面SKIPIF1<0的距離即為直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.；而SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,設點B到平面SKIPIF1<0的距離為h，則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.3．（2022·北京）如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2，E、F分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在線段BD上是否存在點H，使得EH⊥平面SKIPIF1<0？若存在，求點H的位置；若不存在，說明理由；(3)求EF到平面SKIPIF1<0的距離．【答案】(1)證明見解析(2)答案見解析(3)SKIPIF1<0【解析】(1)連接SKIPIF1<0，由正方體的性質(zhì)知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因為在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，證明如下：連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的交點，所以EF到平面SKIPIF1<0的距離即為SKIPIF1<0，由（2）知SKIPIF1<0考點五面面距【例5-1】（2022·全國·高三專題練習）在棱長為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，則平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0之間的距離為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】建立如圖所示的直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設平面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，顯然平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0之間的距離SKIPIF1<0．【例5-2】（2022·廣東揭陽）如圖在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E是SKIPIF1<0上的一點，且SKIPIF1<0，D、F、G分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)證明：由直三棱柱的性質(zhì)得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)解：由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平行平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離，SKIPIF1<0，即平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的距離為SKIPIF1<0．【一隅三反】1.（2022·全國·高三專題練習）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為a，則平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由正方體的性質(zhì)，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0,SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點B到平面SKIPIF1<0的距離．以D為坐標原點，DA，DC，SKIPIF1<0所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則兩平面間的距離SKIPIF1<0．故選：D2．（2022·福建廈門）如圖，棱長為2的正方體ABCD–A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1，CC1的中點，過E作平面SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0//平面BDF.(1)作出SKIPIF1<0截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面，寫出作圖過程并說明理由；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)答案見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)連接SKIPIF1<0，由正方體性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；因為SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0重合，即平面SKIPIF1<0就是SKIPIF1<0截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面.(2)由（1）可知平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離等于點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離；設點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.3．（2022·江西省）如圖，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AA1與CC1的中點.(1)證明：平面EB1D1SKIPIF1<0平面FBD；(2)求平面EB1D1與平面FBD之間的距離.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.【解析】(1)若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，連接SKIPIF1<0，又F是CC1的中點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，又E是AA1的中點，易知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，正方體中SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故平面EB1D1SKIPIF1<0平面FBD；(2)由（1）知：平面EB1D1與平面FBD之間的距離等于SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故△SKIPIF1<0中BD的高為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故平面EB1D1與平面FBD之間的距離為SKIPIF1<0.7.4空間距離（精練）（提升版）題組一題組一點線距1.（2022·福建）在空間直角坐標系中，點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為___．【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<02（2022·北京·二模）如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1，則線段SKIPIF1<0上的動點P到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖建立空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴動點P到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時取等號，即線段SKIPIF1<0上的動點P到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為SKIPIF1<0.3．（2022·廣東）如圖，在棱長為4的正方體SKIPIF1<0中，E為BC的中點，點P在線段SKIPIF1<0上，點Р到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】在正方體SKIPIF1<0中，建立如圖所示的空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因點P在線段SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上投影長為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則點Р到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取“=”，所以點Р到直線SKIPIF1<0的距離的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0題組二題組二點面距1．（2022·江蘇）將邊長為SKIPIF1<0的正方形SKIPIF1<0沿對角線SKIPIF1<0折成直二面角，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為___．【答案】SKIPIF1<0【解析】記AC與BD的交點為O，圖1中，由正方形性質(zhì)可知SKIPIF1<0，所以在圖2中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0如圖建立空間直角坐標系，易知SKIPIF1<0則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0設SKIPIF1<0為平面ABC的法向量，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<02．（2022·福建福州）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0平面ACF：(2)求點B到平面ACF的距離．【答案】(1)證明見詳解.(2)SKIPIF1<0.【解析】（1）以SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標系，如下圖所示：則SKIPIF1<0,設面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.3．（2022·河北邯鄲）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【答案】(1)詳見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）連結(jié)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為1，SKIPIF1<0，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.4．（2022·四川成都）在四