新高考數(shù)學一輪復習精講精練8.6 分布列與其他知識綜合運用（提升版）（原卷版）

8.6分布列與其他知識綜合運用（精講）（提升版）考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一與數(shù)列綜合【例1】（2022·福建·三明一中模擬預測）（多選）已知紅箱內有6個紅球、3個白球，白箱內有3個紅球、6個白球，所有小球大小、形狀完全相同．第一次從紅箱內取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內取出一球，然后再放回去，依此類推，第SKIPIF1<0次從與第k次取出的球顏色相同的箱子內取出一球，然后再放回去．記第SKIPIF1<0次取出的球是紅球的概率為SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．第5次取出的球是紅球的概率為SKIPIF1<0 D．前3次取球恰有2次取到紅球的概率是SKIPIF1<0【一隅三反】1．（2022·廣東·高三階段練習）足球是一項大眾喜愛的運動.2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進行，全程為期28天.(1)為了解喜愛足球運動是否與性別有關，隨機抽取了男性和女性各100名觀眾進行調查，得到2SKIPIF1<02列聯(lián)表如下：喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男性6040100女性2080100合計80120200依據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認為喜愛足球運動與性別有關?(2)校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第SKIPIF1<0次觸球者是甲的概率記為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（i）求SKIPIF1<0（直接寫出結果即可）；（ii）證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小．2．（2022·四川綿陽·三模（文））隨著科技進步，近來年，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)迅速發(fā)展．以下是中國汽車工業(yè)協(xié)會2022年2月公布的近六年我國新能源乘用車的年銷售量數(shù)據(jù)：年份201620172018201920202021年份代碼x123456新能源乘用車年銷售y（萬輛）5078126121137352(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程；（結果保留整數(shù)）(2)若用SKIPIF1<0模型擬合y與x的關系，可得回歸方程為SKIPIF1<0，經(jīng)計算該模型和第（1）問中模型的SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為相關指數(shù)）分別為0.87和0.71，請分別用這兩個模型，求2022年我國新能源乘用車的年銷售量的預測值；(3)你認為（2）中用哪個模型得到的預測值更可靠？請說明理由．參考數(shù)據(jù)：設SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01444.788415.70380528參考公式：對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，其回歸直線SKIPIF1<0的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．3．（2022·重慶·二模）規(guī)定抽球試驗規(guī)則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個，每次有放回的任取一個，連續(xù)取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失?。诔槿∵^程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個紅球，然后接著進行下一輪抽球，如此不斷繼續(xù)下去，直至成功．(1)某人進行該抽球試驗時，最多進行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進行抽球試驗的輪次數(shù)為隨機變量SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和數(shù)學期望；(2)為驗證抽球試驗成功的概率不超過SKIPIF1<0，有1000名數(shù)學愛好者獨立的進行該抽球試驗，記SKIPIF1<0表示成功時抽球試驗的輪次數(shù)，SKIPIF1<0表示對應的人數(shù)，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：SKIPIF1<012345SKIPIF1<023298604020求SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0的回歸方程SKIPIF1<0，并預測成功的總人數(shù)（精確到1）；(3)證明：SKIPIF1<0．附：經(jīng)驗回歸方程系數(shù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）．.考點二與函數(shù)結合【例2】（2022·西南名校模擬）某工廠為了提高某產(chǎn)品的生產(chǎn)質量引進了一條年產(chǎn)量為100萬件的生產(chǎn)線.已知該產(chǎn)品的質量以某項指標值k為衡量標準，為估算其經(jīng)濟效益，該廠先進行了試生產(chǎn)，并從中隨機抽取了100件該產(chǎn)品，統(tǒng)計了每個產(chǎn)品的質量指標值k，并分成以下5組，其統(tǒng)計結果如下表所示：質量指標值SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0頻數(shù)163040104試利用該樣本的頻率分布估計總體的概率分布，并解決下列問題：（注：每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點值）（1）由頻率分布表可認為，該產(chǎn)品的質量指標值k近似地服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0近似為樣本平均數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0近似為樣本的標準差s，并已求得SKIPIF1<0，記X表示某天從生產(chǎn)線上隨機抽取的10件產(chǎn)品中質量指標值k在區(qū)間SKIPIF1<0之外的個數(shù)，求SKIPIF1<0及X的數(shù)學期望（精確到0.001）；（2）已知每個產(chǎn)品的質量指標值k與利潤y（單位：萬元）的關系如下表所示SKIPIF1<0質量指標值kSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0利潤ySKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0tSKIPIF1<0假定該廠所生產(chǎn)的該產(chǎn)品都能銷售出去，且這一年的總投資為500萬元，問：該廠能否在一年之內通過銷售該產(chǎn)品收回投資？試說明理由.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2021高三上·威海期末）體檢時，為了確定體檢人是否患有某種疾病，需要對其血液采樣進行化驗，若結果呈陽性，則患有該疾病;若結果呈陰性，則未患有該疾?。畬τ赟KIPIF1<0份血液樣本，有以下兩種檢驗方式:一是逐份檢驗，則需檢驗SKIPIF1<0次.二是混合檢驗，將SKIPIF1<0份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗結果為陰性，那么這SKIPIF1<0份血液全為陰性，因而檢驗一次就夠了﹔如果檢驗結果為陽性，為了明確這SKIPIF1<0份血液究竟哪些為陽性，就需要對它們再次取樣逐份檢驗，則SKIPIF1<0份血液檢驗的次數(shù)共為SKIPIF1<0次.已知每位體檢人未患有該疾病的概率為SKIPIF1<0，而且各體檢人是否患該疾病相互獨立.（1）若SKIPIF1<0，求3位體檢人的血液樣本混合檢驗結果為陽性的概率;（2）某定點醫(yī)院現(xiàn)取得6位體檢人的血液樣本，考慮以下兩種檢驗方案:方案一:采用混合檢驗;方案二:平均分成兩組，每組3位體檢人血液樣本采用混合檢驗.若檢驗次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.試問方案一、二哪個更“優(yōu)”?請說明理由.2．（2022·臨沂模擬）在疫情防控常態(tài)化的背景下，山東省政府各部門在保安全，保穩(wěn)定的前提下有序恢復生產(chǎn)，生活和工作秩序，五一期間，文旅部門在落實防控舉措的同時，推出了多款套票文旅產(chǎn)品，得到消費者的積極回應．下面是文旅部門在某地區(qū)推出六款不同價位的旅游套票，每款的套票價格x（單位：元）與購買人數(shù)y（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表：旅游類別城市展館科技游鄉(xiāng)村特色游齊魯紅色游登山套票游園套票觀海套票套票價格x（元）394958677786購買數(shù)量y（萬人）16.718.720.622.524.125.6在分析數(shù)據(jù)、描點繪圖中，發(fā)現(xiàn)散點SKIPIF1<0集中在一條直線附近，其中SKIPIF1<0附：①可能用到的數(shù)據(jù)；SKIPIF1<0．②對于一組數(shù)據(jù)SKIPIF1<0，其回歸直線ω=bv+a的斜率和截距的最小二乘估計值分別為b（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，求y關于x的回歸方程；（2）按照文旅部門的指標測定，當購買數(shù)量y與套票價格x的比在區(qū)間SKIPIF1<0上時，該套票受消費者的歡迎程度更高，可以被認定為“熱門套票”，現(xiàn)有三位同學從以上六款旅游套票中，購買不同的三款各自旅游．記三人中購買“熱門套票”的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列和期望．3．（2022·湖北模擬）象棋屬于二人對抗性游戲的一種，在中國有著悠久的歷史，由于用具簡單，趣味性強，成為流行極為廣泛的棋藝活動.馬在象棋中是至關重要的棋子，“馬起盤格勢，折沖千里余.江河不可障，颯沓入敵虛”將矩形棋盤視作坐標系SKIPIF1<0，棋盤的左下角為坐標原點，馬每一步從SKIPIF1<0移動到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.（1）若棋盤的右上角為SKIPIF1<0，馬從SKIPIF1<0處出發(fā)，等概率地向各個能到達（不離開棋盤）的方向移動，求其4步以內到達右上角的概率.（2）若棋盤的右上角為SKIPIF1<0，馬從SKIPIF1<0處出發(fā)，每一步僅向SKIPIF1<0方向移動，最終到達棋盤右上角，若選擇每一條可行的道路是等概率的，求馬停留在線段SKIPIF1<0上次數(shù)SKIPIF1<0的數(shù)學期望.考點三與導數(shù)綜合【例3】（2022·云南·昆明一中高三開學考試）甲?乙兩人參加一個游戲，該游戲設有獎金256元，誰先贏滿5局，誰便贏得全部的獎金，已知每局游戲乙贏的概率為SKIPIF1<0，甲贏的概率為SKIPIF1<0，每局游戲相互獨立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎金應該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎金分配方案：如果出現(xiàn)無人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲?乙按照游戲再繼續(xù)進行下去各自贏得全部獎金的概率之比SKIPIF1<0分配獎金.(1)若SKIPIF1<0，則乙應該得多少獎金；(2)記事件A為“游戲繼續(xù)進行下去甲獲得全部獎金”，試求當游戲繼續(xù)進行下去，甲獲得全部獎金的概率SKIPIF1<0，并判斷當SKIPIF1<0時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.（注：若隨機事件發(fā)生的概率小于SKIPIF1<0，則稱隨機事件為小概率事件）【一隅三反】1．（2022·佛山模擬）甲、乙兩隊進行一輪籃球比賽，比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊先勝3局即獲勝，比賽結束）．在每一局比賽中，都不會出現(xiàn)平局，甲每局獲勝的概率都為SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，比賽結束時，設甲獲勝局數(shù)為X，求其分布列和期望SKIPIF1<0；（2）若整輪比賽下來，甲隊只勝一場的概率為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．2．（2022·湖南模擬）中國國家統(tǒng)計局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)SKIPIF1<0為49.8%，反映出中國制造業(yè)擴張步伐有所加快.以新能源汽車?機器人?增材制造?醫(yī)療設備?高鐵?電力裝備?船舶?無人機等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進，則進一步體現(xiàn)了中國制造目前的跨越式發(fā)展.已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質量差服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，并把質量差在SKIPIF1<0內的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質量差在SKIPIF1<0內的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內的產(chǎn)品作為廢品處理.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件，測得產(chǎn)品質量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)SKIPIF1<0作為SKIPIF1<0的近似值，用樣本標準差SKIPIF1<0作為SKIPIF1<0的估計值，記質量差SKIPIF1<0，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)（2）假如企業(yè)包裝時要求把2件優(yōu)等品和SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0)件一等品裝在同一個箱子中，質檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同則該箱產(chǎn)品記為SKIPIF1<0，否則該箱產(chǎn)品記為B.①試用含SKIPIF1<0的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0；②設抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，求當SKIPIF1<0為何值時，SKIPIF1<0取得最大值，并求出最大值.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.3．（2022·佛山模擬）甲、乙兩隊進行一輪籃球比賽，比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊先勝3局即獲勝，比賽結束）．在每一局比賽中，都不會出現(xiàn)平局，甲每局獲勝的概率都為SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0，比賽結束時，設甲獲勝局數(shù)為X，求其分布列和期望SKIPIF1<0；（2）若整輪比賽下來，甲隊只勝一場的概率為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值．考點四與其他知識綜合運用【例4】（2022·重慶模擬）在“十三五”期間，我國的扶貧工作進入了“精準扶貧”階段，到2020年底，全國830個貧困縣全部脫貧摘帽，最后4335萬貧困人口全部脫貧，這是我國脫貧攻堅史上的一大壯舉．重慶市奉節(jié)縣作為國家貧困縣之一，于2019年4月順利脫貧摘帽，因地制宜發(fā)展特色產(chǎn)業(yè)，是奉節(jié)脫貧攻堅的重要抓手．奉節(jié)縣規(guī)劃發(fā)展了以高山煙葉、藥材、反季節(jié)蔬菜；中山油橄欖、養(yǎng)殖；低山臍橙等為主的產(chǎn)業(yè)格局，各類特色農產(chǎn)品已經(jīng)成為了當?shù)卮迕竦膿u錢樹．尤其是奉節(jié)臍橙，因“果皮中厚、脆而易剝，肉質細嫩化渣、無核少絡，酸甜適度，汁多爽口，余味清香”而聞名．為了防止返貧，鞏固脫貧攻堅成果，各職能部門對臍橙種植、銷售、運輸、改良等各方面給予大力支持．奉節(jié)縣種植的某品種臍橙果實按果徑X（單位：mm）的大小分級，其中SKIPIF1<0為一級果，SKIPIF1<0為特級果，一級果與特級果統(tǒng)稱為優(yōu)品．現(xiàn)采摘了一大批此品種臍橙果實，從中隨機抽取1000個測量果徑，得到頻率分布直方圖如下：參考數(shù)據(jù)：若隨機變量X服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）由頻率分布直方圖可認為，該品種臍橙果實的果徑X服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，其中μ近似為樣本平均數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0近似為樣本標準差s，已知樣本的方差的近似值為100．若從這批臍橙果實中任取一個，求取到的果實為優(yōu)品的概率（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）（2）這批采摘的臍橙按2個特級果和n（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）個一級果為一箱的規(guī)格進行包裝，再經(jīng)過質檢方可進入市場．質檢員質檢時從每箱中隨機取出兩個果實進行檢驗，若取到的兩個果實等級相同，則該箱臍橙記為“同”，否則該箱臍橙記為“異”．①試用含n的代數(shù)式表示抽檢的某箱臍橙被記為“異”的概率p；②設抽檢的5箱臍橙中恰有3箱被記為“異”的概率為SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0的最大值，及取最大值時n的值．【一隅三反】1．（2022·聯(lián)合模擬）在檢測中為減少檢測次數(shù)，我們常采取“SKIPIF1<0合1檢測法”，即將SKIPIF1<0個人的樣本合并檢測，若為陰性，則該小組所有樣本均末感染病毒；若為陽性，則還需對本組的每個人再做檢測.現(xiàn)有SKIPIF1<0人，已知其中有2人感染病毒.（1）若SKIPIF1<0，并采取“20合1檢測法”，求共檢測25次的概率；（2）設采取“10合1檢測法”的總檢測次數(shù)為SKIPIF1<0，采取“20合1檢測法”的總檢測次數(shù)為SKIPIF1<0，若僅考慮總檢測次數(shù)的期望值，當SKIPIF1<0為多少時，采取“20合1檢測法”更適宜？請說明理由.2．（2022·邵陽模擬）某跳繩訓練隊需對隊員進行限時的跳繩達標測試.已知隊員的測試分數(shù)y與跳繩個數(shù)x滿足如下關系SKIPIF1<0.測試規(guī)則：每位隊員最多進行兩次測試，每次限時1分鐘，若第一次測完，測試成績達到60分及以上，則以此次測試成績作為該隊員的成績，無需再進行后續(xù)的測試，最多進行兩次，根據(jù)以往的訓練效果，教練記錄了隊員甲在一分鐘內時測試的成績，將數(shù)據(jù)按SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分成4組，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）計算a值，并根據(jù)直方圖計算隊員甲在1分鐘內跳繩個數(shù)的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作為代表）（2）將跳繩個數(shù)落入各組的頻率作為概率，并假設每次跳繩相互獨立，X表示隊員甲在達標測試中的分數(shù)，求X的分布列與期望.3．（2021·洛陽模擬）一商場為了解某商品的銷售情況，對該商品30天的銷售量統(tǒng)計后發(fā)現(xiàn)每天的銷售量x（單位：件）分布在SKIPIF1<0內，其中SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且n為偶數(shù)）的銷售天數(shù)為SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且n為奇數(shù)）的銷售天數(shù)為SKIPIF1<0．（1）求實數(shù)a的值；（2）當一天銷售量不小于700時，則稱該日為銷售旺日，其余為銷售不景氣日．將銷售天數(shù)按照銷售量屬于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分成3組，在銷售旺日的3組中用分層抽樣的方法隨機抽取8天，再從這8天中隨機抽取3天進行統(tǒng)計，如果這3天來自X個組，求隨機變量X的分布列與數(shù)學期望．8.6分布列與其他知識綜合運用（精練）（提升版）題組一題組一與數(shù)列綜合1．（2022·重慶市模擬）為有效防控新冠疫情從境外輸入，中國民航局根據(jù)相關法律宣布從2020年6月8日起實施航班熔斷機制，即航空公司同一航線航班，入境后核酸檢測結果為陽性的旅客人數(shù)達到一定數(shù)量的民航局對其發(fā)出“熔斷”指令，暫停該公司該航線的運行（達到5個暫停運行1周，達到10個暫停運行4周），并規(guī)定“熔斷期”的航班量不得調整用于其他航線，“熔斷期”結束后，航空公司方可恢復每周1班航班計劃.已知某國際航空公司A航線計劃每周有一次航班入境，該航線第一次航班被熔斷的概率是SKIPIF1<0，且被熔斷的一次航班的下一次航班也被熔斷的概率是SKIPIF1<0，未被熔斷的一次航班的下一次航班也未被熔斷的概率是SKIPIF1<0.一條航線處于“熔斷期”的原計劃航班不記入該航線的航班次數(shù)，記該航空公司A航線的第n次航班被熔斷的概率為SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0；（2）證明：SKIPIF1<0為等比數(shù)列；（3）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，并說明SKIPIF1<0的實際意義.2．（2021·高州模擬）為落實《關于全面加強和改進新時代學校體育工作的意見》，完善學校體育“健康知識＋基本運動技能＋專項運動技能”教學模式，建立“校內競賽－校級聯(lián)賽－選拔性競賽－國際交流比賽”為一體的競賽體系，構建校、縣（區(qū)）、地（市）、省、國家五級學校體育競賽制度．某校開展“陽光體育節(jié)”活動，其中傳統(tǒng)項目“定點踢足球”深受同學們喜愛．其間甲、乙兩人輪流進行足球定點踢球比賽（每人各踢一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲、乙兩人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得SKIPIF1<0分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設甲每次踢球命中的概率為SKIPIF1<0，乙每次踢球命中的概率為SKIPIF1<0，且各次踢球互不影響．（1）經(jīng)過1輪踢球，記甲的得分為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的數(shù)學期望；（2）若經(jīng)過SKIPIF1<0輪踢球，用SKIPIF1<0表示經(jīng)過第SKIPIF1<0輪踢球累計得分后甲得分高于乙得分的概率．①求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②規(guī)定SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，請根據(jù)①中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，并求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式．3．（2022·廊坊模擬）有人玩擲硬幣走跳棋的游戲，已知硬幣出現(xiàn)正反面為等可能性事件，棋盤上標有第0站，第1站，第2站，……，第100站.一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋向前跳一站（從k到SKIPIF1<0），若擲出反面，棋向前跳兩站（從k到SKIPIF1<0），直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或跳到第100站（失敗集中營）時，該游戲結束.設棋子跳到第n站概率為SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值；（2）求證：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）求SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的值.4．（2022·太原二模）足球運動是深受人們喜愛的一項體育運動，其中守門員撲點球和傳球是足球訓練中的兩個重要訓練項目．（1）假設發(fā)點球時，球員等可能地選擇左、中、右三個方向射門，守門員等可能地選擇左、中、右三個方向撲點球，且守門員方向判斷正確時有SKIPIF1<0的可能將球撲出球門外．在一次點球戰(zhàn)中，求守門員在前三次點球中，把球撲出球門外的個數(shù)X的分布列和數(shù)學期望；（2）某次傳球訓練中，教練員讓甲、乙、丙、丁4名球員進行傳接球訓練，從甲開始傳球，等可能地傳給另外3人中的1人，接球者再等可能地傳給另外3人中的1人，如此一直進行．假設每個球都能被接住，記第n次傳球后球又回到甲腳下的概率為SKIPIF1<0．求證：數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并求SKIPIF1<0．5．（2022·湖北模擬）2022年2月SKIPIF1<0日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)SKIPIF1<0驚險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊員的點球，表現(xiàn)神勇.（1）撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左?中?右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有SKIPIF1<0的可能性撲不到球.不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點球的個數(shù)SKIPIF1<0的分布列和期望；（2）好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲?乙?丙?丁4名女足隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的SKIPIF1<0人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住.記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①試證明SKIPIF1<0為等比數(shù)列；②設第SKIPIF1<0次傳球之前球在乙腳下的概率為SKIPIF1<0，比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小.題組二題組二與函數(shù)綜合1．（2022北京）2022年冬奧會在北京舉行，冬奧會吉祥物“冰墩墩”自亮相以來就好評不斷，出現(xiàn)了“一墩難求”的現(xiàn)象.主辦方現(xiàn)委托某公司推出一款以“冰墩墩”為原型的紀念品在專賣店進行售賣.已知這款紀念品的生產(chǎn)成本為80元/件，為了確定其銷售價格，調查了對這款紀念品有購買意向的消費者（以下把對該紀念品有購買意向的消費者簡稱為消費者）的心理價位，并將收集的100名消費者的心理價位整理如下：心理價位（元/件）90100110120人數(shù)10205020假設當且僅當這款紀念品的銷售價格小于或等于某位消費者的心理價位時，該消費者就會購買該紀念品.公司為了滿足更多消費者的需求，規(guī)定每位消費者最多只能購買一件該紀念品.設這款紀念品的銷售價格為x（單位：元/件），SKIPIF1<0，且每位消費者是否購買該紀念品相互獨立.用樣本的頻率分布估計總體的分布，頻率視為概率.（1）若SKIPIF1<0，試估計消費者購買該紀念品的概率；已知某時段有4名消費者進店，X為這一時段該紀念品的購買人數(shù)，試求X的分布列和數(shù)學期望SKIPIF1<0；（2）假設共有M名消費者，設該公司售賣這款紀念品所得總利潤為Y（單位：元），當該紀念品的銷售價格x定為多少時，Y的數(shù)學期望SKIPIF1<0達到最大值？2．（2022高三上·濰坊期中）2020年10月16日，是第40個世界糧食日.中國工程院院士袁隆平海水稻團隊迎來了海水稻的測產(chǎn)收割，其中寧夏石嘴山海水稻示范種植基地YC-801測產(chǎn)，畝產(chǎn)超過648.5公斤，通過推廣種植海水稻，實現(xiàn)億畝荒灘變糧倉，大大提高了當?shù)鼐用袷杖?某企業(yè)引進一條先進食品生產(chǎn)線，以海水稻為原料進行深加工，發(fā)明了一種新產(chǎn)品，若該產(chǎn)品的質量指標值為SKIPIF1<0，其質量指標等級劃分如下表：質量指標值SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0質量指標等級良好優(yōu)秀良好合格廢品為了解該產(chǎn)品的經(jīng)濟效益并及時調整生產(chǎn)線，該企業(yè)先進行試生產(chǎn).現(xiàn)從試生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取了1000件，將其質量指標值SKIPIF1<0的數(shù)據(jù)作為樣本，繪制如下頻率分布直方圖：（1）若將頻率作為概率，從該產(chǎn)品中隨機抽取3件產(chǎn)品，記“抽出的產(chǎn)品中至少有1件不是廢品”為事件SKIPIF1<0，求事件SKIPIF1<0發(fā)生的概率；（2）若從質量指標值SKIPIF1<0的樣本中利用分層抽樣的方法抽取7件產(chǎn)品，然后從這7件產(chǎn)品中任取3件產(chǎn)品，求質量指標值SKIPIF1<0的件數(shù)SKIPIF1<0的分布列及數(shù)學期望；（3）若每件產(chǎn)品的質量指標值SKIPIF1<0與利潤SKIPIF1<0（單位：元）的關系如下表SKIPIF1<0：質量指標值SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0利潤SKIPIF1<0（元）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0試分析生產(chǎn)該產(chǎn)品能否盈利？若不能，請說明理由；若能，試確定SKIPIF1<0為何值時，每件產(chǎn)品的平均利潤達到最大（參考數(shù)值：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）.3．（2021高三上·通州期中）某蔬菜批發(fā)商分別在甲、乙兩個市場銷售某種蔬菜（兩個市場的銷售互不影響），已知該蔬菜每售出1噸獲利500元，未售出的蔬菜降價處理，每噸虧損100元．現(xiàn)分別統(tǒng)計該蔬菜在甲、乙兩個市場以往100個周期的市場需求量，制成頻數(shù)分布條形圖如下：以市場需求量的頻率代替需求量的概率．設批發(fā)商在下個銷售周期購進SKIPIF1<0噸該蔬菜，在甲、乙兩個市場同時銷售，以SKIPIF1<0（單位：噸）表示下個銷售周期兩個市場的總需求量，SKIPIF1<0（單位：元）表示下個銷售周期兩個市場的銷售總利潤．（1）求變量SKIPIF1<0概率分布列；（2）當SKIPIF1<0時，求SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的函數(shù)解析式，并估計銷售利潤不少于8900元的概率；（3）以銷售利潤的期望作為決策的依據(jù)，判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0應選用哪一個．題組三題組三與導數(shù)綜合1．（2022·湖南模擬）中國國家統(tǒng)計局2019年9月30日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，2019年9月中國制造業(yè)采購經(jīng)理指數(shù)SKIPIF1<0為49.8%，反映出中國制造業(yè)擴張步伐有所加快.以新能源汽車?機器人?增材制造?醫(yī)療設備?高鐵?電力裝備?船舶?無人機等為代表的高端制造業(yè)突飛猛進，則進一步體現(xiàn)了中國制造目前的跨越式發(fā)展.已知某精密制造企業(yè)根據(jù)長期檢測結果，得到生產(chǎn)的產(chǎn)品的質量差服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，并把質量差在SKIPIF1<0內的產(chǎn)品稱為優(yōu)等品，質量差在SKIPIF1<0內的產(chǎn)品稱為一等品，優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品，其余范圍內的產(chǎn)品作為廢品處理.現(xiàn)從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機抽取1000件，測得產(chǎn)品質量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：（1）根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)SKIPIF1<0作為SKIPIF1<0的近似值，用樣本標準差SKIPIF1<0作為SKIPIF1<0的估計值，記質量差SKIPIF1<0，求該企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率P；(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表)（2）假如企業(yè)包裝時要求把2件優(yōu)等品和SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0)件一等品裝在同一個箱子中，質檢員從某箱子中摸出兩件產(chǎn)品進行檢驗，若抽取到的兩件產(chǎn)品等級相同則該箱產(chǎn)品記為SKIPIF1<0，否則該箱產(chǎn)品記為B.①試用含SKIPIF1<0的代數(shù)式表示某箱產(chǎn)品抽檢被記為SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0；②設抽檢5箱產(chǎn)品恰有3箱被記為SKIPIF1<0的概率為SKIPIF1<0，求當SKIPIF1<0為何值時，SKIPIF1<0取得最大值，并求出最大值.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量SKIPIF1<0服從正態(tài)分布SKIPIF1<0，則：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.2（2022·齊齊哈爾二模）為落實立德樹人根本任務，堅持五育并舉全面推進素質教育，某學校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以SKIPIF1<0取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設每局比賽張三取勝的概率均為SKIPIF1<0.（1）比賽結束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？（2）第10輪比賽中，記張三SKIPIF1<0取勝的概率為SKIPIF1<0.①求出SKIPIF1<0的最大值點SKIPIF1<0；②若以SKIPIF1<0作為SKIPIF1<0的值，這輪比賽張三所得積分為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列及期望.3．（2022·葫蘆島模擬）葫蘆島市礦產(chǎn)資源豐富，擁有煤、鉬、鋅、鉛等51種礦種，采礦業(yè)歷史悠久，是葫蘆島市重要產(chǎn)業(yè)之一．某選礦場要對即將交付客戶的一批200袋鉬礦進行品位（即純度）檢驗，如檢驗出品位不達標，則更換為達標產(chǎn)品，檢驗時；先從這批產(chǎn)品中抽20袋做檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有鉬礦做檢驗，設每袋鉬礦品位不達標的概率都為SKIPIF1<0，且每袋鉬礦品位是否達標相互獨立．（1）若20袋鉬礦中恰有2袋不達標的概率為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值點SKIPIF1<0；（2）已知每袋鉬礦的檢驗成本為10元，若品位不達標鉬礦不慎出場，對于每袋不達標鉬礦要賠付客戶110元．現(xiàn)對這批鉬礦檢驗了20袋，結果恰有兩袋品位不達標．①若剩余鉬礦不再做檢驗，以（1）中確定的SKIPIF1<0作為p的值．這批鉬礦的檢驗成本與賠償費用的和記作SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；②以①中檢驗成本與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對余下的所有鉬礦進行檢驗？4．（2022·河南月考）隨著中國經(jīng)濟的迅速發(fā)展，市場石料需求急增．西部某縣有豐富的優(yōu)質石料，當?shù)卣疀Q定有序開發(fā)本縣石料資源．因建立石料廠會破壞生態(tài)，該縣決定石料開發(fā)走“開發(fā)治理結合，人類生態(tài)友好”的路線.當?shù)卣垏噎h(huán)保機構每年對該縣與石料開發(fā)相關的生態(tài)（以下簡稱生態(tài)）進行評估．若生態(tài)開始變差，則下一年石料廠將停產(chǎn)（本問題中，時間以整數(shù)年為單位），生態(tài)友好后復產(chǎn)．該縣在建石料廠之初投入巨資進行與之有關的生態(tài)建設，考慮到可持續(xù)發(fā)展，這種生態(tài)投入（以下簡稱生態(tài)投入）將逐年減少SKIPIF1<0（a是常數(shù)，SKIPIF1<0）億元．該縣從2021年起，若某年生態(tài)友好，則下一年生態(tài)變差的概率是SKIPIF1<0；若某年生態(tài)變差，則下一年生態(tài)友好的概率為SKIPIF1<0．模型顯示，生態(tài)變差的概率不大于0.16683時，該縣生態(tài)將不再變差，生態(tài)投入結束．（1）若2021年該縣生態(tài)變差的概率為SKIPIF1<0，求該縣2022年生態(tài)友好的概率；（2）若2021年該縣生態(tài)變差概率為SKIPIF1<0，生態(tài)投入是40億元，a為何值時，從2021年開始到生態(tài)投入結束，對該縣總生態(tài)投入額最小？并求出其最小值．5．（2022·濰坊模擬）某學校組織數(shù)學，物理學科答題競賽活動，該學校準備了100個相同的箱子，其中第SKIPIF1<0個箱子中有SKIPIF1<0個數(shù)學題，SKIPIF1<0個物理題．每一輪競賽活動規(guī)則如下：任選一個箱子，依次抽取三個題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動結束；若此輪活動中，三個題目全部答對獲得一個獎品．（1）已知學生甲在每一輪活動中，都抽中了2個數(shù)學題，1個物理題，且甲答對每一個數(shù)學題的概率為SKIPIF1<0，答對每一個物理題的概率為SKIPIF1<0．①求學生甲第一輪活動獲得一個獎品的概率；②已知SKIPIF1<0，學生甲理論上至少要進行多少輪活動才能獲得四個獎品？并求此時SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值．（2）若學生乙只參加一輪活動，求乙第三次抽到物理題的概率．．題組四題組四與其他知識綜合1．（2021高三上·濰坊期中）2021年7月18日第SKIPIF1<0屆全國中學生生物學競賽在浙江省蕭山中學隆重舉行．為做好本次考試的評價工作，將本次成績轉化為百分制，現(xiàn)從中隨機抽取了50名學生的成績，經(jīng)統(tǒng)計，這批學生的成績全部介