山西省朔州市懷仁市2023-2024學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023-2024學(xué)年度下學(xué)期期中八年級(jí)學(xué)情調(diào)研測(cè)試題數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共8頁(yè)，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷相應(yīng)的位置．3．答案全部在答題卡上完成，答在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．第I卷選擇題（共30分）一、選擇題（每題3分，共30分）1.若二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件即可求解．【詳解】解：要想使得代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則，解得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件，只需滿足使得二次根式內(nèi)非負(fù)即可．2.下列根式中，不是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二次根式定義進(jìn)行判斷即可．詳解】解：∵，∴不是最簡(jiǎn)二次根式，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握最簡(jiǎn)二次根式必須滿足的兩個(gè)條件：①被開(kāi)方數(shù)不含分母；②被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．3.在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求同學(xué)們判斷一個(gè)四邊形門框是否為矩形，下面是某合作學(xué)習(xí)小組的四位同學(xué)擬定的方案，其中正確的是（）A.測(cè)量對(duì)角線是否相互平分 B.測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等C.測(cè)量一組對(duì)角是否都為直角 D.測(cè)量四邊形其中的三個(gè)角是否都為直角【答案】D【解析】【分析】利用矩形的判定方法進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：A、對(duì)角線否相互平分，能判定平行四邊形；B、兩組對(duì)邊是否分別相等，能判定平行四邊形；C、測(cè)量一組對(duì)角是否都為直角，不能判定形狀；D、其中四邊形中三個(gè)角都為直角，能判定矩形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定方法，掌握矩形的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.4.如圖，在中，平分交邊于點(diǎn)，且的長(zhǎng)為()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】利用平行四邊形的對(duì)邊相等且互相平行，進(jìn)而得出BE=CE即可得出答案．【詳解】∵AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E，∴∠EAB=∠EAD，∵在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∴∠AEB=∠EAD，∴∠EAB=∠AEB，∴BE=AB，∵AD=2AB，∴BC=2BE，∵BC=BE+CE，∴BE=CE=3，∴AD=BC=6，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，得出BE=AB是解題關(guān)鍵．5.下列運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的含義，合并同類二次根式，二次根式的乘法與除法法則逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：A、，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、，故C選項(xiàng)正確；D、，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是算術(shù)平方根的含義，合并同類二次根式，二次根式的乘法與除法，掌握以上運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．6.如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，連接，．點(diǎn)、分別為，的中點(diǎn)，連接．則在點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到過(guò)程中，線段的變化為（）A.越來(lái)越長(zhǎng) B.越來(lái)越短 C.不發(fā)生變化 D.無(wú)法確定【答案】C【解析】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)．連接，根據(jù)點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，得到的長(zhǎng)度不變，根據(jù)中位線的性質(zhì)得到，即可得到線段長(zhǎng)度不變．【詳解】解：如圖，連接，∵點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，∴的長(zhǎng)度不變，∵點(diǎn)、分別為，的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴，∴線段長(zhǎng)度不變．故選：C．7.如圖，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】從數(shù)軸可知：，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)計(jì)算即可得出答案．【詳解】根據(jù)數(shù)軸可知，原式，，，，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)軸，二次根式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是確定的取值范圍．8.如圖，有一只喜鵲在一棵高的小樹(shù)上覓食，它的巢筑在與該樹(shù)水平距離（）為的一棵高的大樹(shù)上，喜鵲的巢位于樹(shù)頂下方的處，當(dāng)它聽(tīng)到巢中幼鳥(niǎo)的叫聲，立即飛過(guò)去，如果它飛行的速度為，那么它要飛回巢中所需的時(shí)間至少是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過(guò)作于，如圖所示，由勾股定理求出最短路徑長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：過(guò)作于，如圖所示：由題意可知，，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，則它要飛回巢中所飛的最短路徑為，由勾股定理可得，它要飛回巢中所需的時(shí)間至少是（），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理解實(shí)際問(wèn)題，讀懂題意，作出圖形，數(shù)形結(jié)合求出最短路徑長(zhǎng)度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9.如圖，在中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)E，連接．若的周長(zhǎng)為20，則的周長(zhǎng)為（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】B【解析】【分析】本題主要平行四邊形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，先說(shuō)明是線段的中垂線，可得，然后說(shuō)明的周長(zhǎng)為，即可得出答案.【詳解】解：∵在中，對(duì)角線相互平分，∴O是中點(diǎn).∵，∴是線段的中垂線，∴，∴的周長(zhǎng)為.∵的周長(zhǎng)為20，∴，即的周長(zhǎng)為10．故選：B．10.巧巧同學(xué)最近在學(xué)烘焙，使用的其中一個(gè)糕點(diǎn)模具底面是有一內(nèi)角為的菱形，如圖所示，已知該模具底面邊長(zhǎng)是，向內(nèi)注入足量的材料，生產(chǎn)出的糕點(diǎn)底面積是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)，由對(duì)角線相互垂直，再由等邊三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理求出對(duì)角線長(zhǎng)即可得到菱形面積．【詳解】解：根據(jù)題意，作出圖形，如圖所示：由題意設(shè)菱形中，，則是等邊三角形，，在菱形中，，且由菱形對(duì)角線平分對(duì)角得到，在中，，則，由勾股定理可得，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查利用菱形性質(zhì)求面積，涉及菱形性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、菱形面積公式等知識(shí)，熟練掌握菱形性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．第II卷非選擇題（共90分）二、填空題（每小題3分，共15分）11.已知，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，列不等式求解即可得到答案．【詳解】解：，，且，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式有意義的條件，熟記二次根式被開(kāi)方式非負(fù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．12.已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為，，，則的形狀是_______．【答案】等腰直角三角形【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，得出三角形是直角三角形．【詳解】解：∵的三邊長(zhǎng)分別為：，，，且，∴是直角三角形，∵，∴是等腰直角三角形，故答案：等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，是解題的關(guān)鍵．13.《算法統(tǒng)宗》記載古人丈量田地的詩(shī)：“昨日丈量地回，記得長(zhǎng)步整三十．廣斜相并五十步，不知幾畝及分厘．”其大意是：昨天丈量了田地回到家，記得長(zhǎng)方形田的長(zhǎng)為30步，寬和對(duì)角線之和為50步．不知該田的面積有多少？請(qǐng)幫他算一算，該田的面積為_(kāi)__________平方步．【答案】480【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理求得長(zhǎng)方形的寬，然后由矩形的面積公式即可解答．【詳解】解：設(shè)該矩形的寬為x步，則對(duì)角線為步，由勾股定理，得，解得，故該矩形的面積為（平方步）．故答案是：480．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，利用方程思想求得矩形的寬是解答本題的關(guān)鍵．14.如圖，DE為△ABC的中位線，點(diǎn)F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝7，BC＝10，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】1.5【解析】【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵DE為△ABC的中位線，∴DE＝BC＝5，在Rt△AFB中，D是AB的中點(diǎn)，∴DF＝AB＝3.5，∴EF＝DE﹣DF＝1.5，故答案為：1.5【點(diǎn)睛】本題考查中位線的性質(zhì)、線段的和與差等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．15.如圖，在中，．為上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，當(dāng)，時(shí)，的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，過(guò)點(diǎn)A作，連接，先利用勾股定理求出，進(jìn)而利用等面積法求出，證明四邊形是矩形，得到，則當(dāng)時(shí)，最小，即此時(shí)最小，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作，連接，∵在中，，，，∴，∵，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∴當(dāng)時(shí)，最小，即此時(shí)最小，∴最小值即為，故答案為：．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分）解答應(yīng)畫出圖形，寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟16.計(jì)算（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，將所有二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，再乘除，再加減．（2）此算式分成兩部分，前面部分利用平方差公式化簡(jiǎn)，后面部分利用完全平方差公式化簡(jiǎn)，再去括號(hào)，再加減運(yùn)算即可．【詳解】解：（1）原式=3+－1－4×+3=3+－1－2+6=2+5解：（2）原式=（）－（）－（1－2+5）=18－3－6+2=9+2【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的運(yùn)算，平方差公式，完全平方公式，能夠熟練化簡(jiǎn)二次根式是解決本題的關(guān)鍵．17.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】先計(jì)算整式的乘法，再合并同類項(xiàng)，然后把代入化簡(jiǎn)后的結(jié)果，即可求解．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，整式的混合運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18.已知，，求的值．【答案】【解析】【分析】先把所求式子進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)二次根式的混合計(jì)算法則代值計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，二次根式的混合計(jì)算，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19.如圖，四邊形中，，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)F為四邊形外一點(diǎn)，平分，，且．求證：四邊形是菱形．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】先證，，得四邊形是平行四邊形，然后再證即可.【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形．∵平分，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：角平分線的定義、平行線的判定、等腰三角形的判定等，熟記菱形的所有判定方法是解題關(guān)鍵．20.如圖，在矩形中，平分交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．（1）求的度數(shù)；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由矩形的性質(zhì)和角平分線定義即可求解；（2）通過(guò)角度和差求出，則有，由勾股定理得，然后根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，最后通過(guò)矩形性質(zhì)即可求解．【小問(wèn)1詳解】∵四邊形是矩形，∴，，又∵平分，∴，∴，【小問(wèn)2詳解】∵，，∴，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)及其應(yīng)用．21.探究與運(yùn)用問(wèn)題情境：勾股定理是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法．下面利用拼圖的方法探究證明勾股定理．定理表述：（1）請(qǐng)你結(jié)合圖1中的直角三角形，敘述勾股定理（可以選擇文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言敘述）；嘗試證明：（2）利用圖1中的直角三角形可以構(gòu)造出圖2的正方形，請(qǐng)你利用圖2證明勾股定理．定理應(yīng)用：（3）某工程隊(duì)要從點(diǎn)向點(diǎn)鋪設(shè)管道，由于受條件限制無(wú)法直接沿著線段鋪設(shè)，需要繞道沿著矩形的邊和鋪設(shè)管道，經(jīng)過(guò)測(cè)量米，米，已知鋪設(shè)每米管道需資金1000元，請(qǐng)你幫助工程隊(duì)計(jì)算繞道后費(fèi)用增加了多少元？【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）增加了8000元【解析】【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解；（2）根據(jù)等積法可進(jìn)行求解；（3）利用勾股定理可進(jìn)行求解．【詳解】解：（1）如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為，，斜邊長(zhǎng)為，那么．（2）由圖可知即：（3）在中，，（元）；答：增加了8000元．22.閱讀理解寬與長(zhǎng)的比是（約為）的矩形叫做黃金矩形．黃金矩形能夠帶來(lái)協(xié)調(diào)、勻稱的美感．世界各國(guó)許多著名的建筑，為取得最佳的視覺(jué)效果，都采用了黃金矩形的設(shè)計(jì)，如圖1所示的是希臘的巴特農(nóng)神廟．動(dòng)手操作下面我們折疊出一個(gè)黃金矩形：第一步，在一張矩形紙片的一端，利用圖2的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平；第二步，如圖3，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)相等的矩形，再把紙片展平；第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線AB，并把折到圖4中所示的處；第四步，展平紙片，按照所得的點(diǎn)D折出．若，則______，在圖5中，矩形______就是黃金矩形．【答案】，【解析】【分析】如圖4所示，先求出，再利用勾股定理求出，由折疊的相等得到，則，進(jìn)一步求出即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖4所示，∵，∴，在中，由勾股定理得，由折疊可知，∴；如圖5所示，∵，∴，∴矩形為黃金矩形．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換、正方形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、黃金矩形的定義、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．23.綜合與實(shí)踐實(shí)踐操作：如圖1，已知矩形紙片．第一步：如圖2，將紙片沿折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)正好落在上，然后展平紙片，得到折痕；第二步：如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，沿折疊紙片，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在處，與交于點(diǎn)F．問(wèn)題解決：（1）如圖2，判斷四邊形的形狀，并證明；（2）如圖3，證明；（3）若，則的周長(zhǎng)為_(kāi)__（直接寫出答案即可）．【答案】（1）正方形，證明見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】