新人教A版必修一 誘導(dǎo)公式學(xué)案

2019-2020學(xué)年新人教A版必修一誘導(dǎo)公式學(xué)案

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

⑴平方關(guān)系：sir^a+cos2a=1。

(2)商數(shù)關(guān)系:錯誤！=tana(aW錯誤！+fat,左GZ).

2.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

公式—*二三四五六

71錯誤!+

角左兀兀+。

2+a(%￡Z)~aTt—a2~a

a

正弦sina一sina—sinasinaCOS。cosa

余弦cosa—cosacosa—cosasina—sina

正切tanatana—tana—tana

函數(shù)名改變，符號

口訣函數(shù)名不變，符號看象限

看象限

佚口識拓展】

1.同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形

(sina±cosa)2=l±2sinacosa;

sina=tana-cosa。

2.誘導(dǎo)公式的記憶口訣

“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指錯誤!的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函

數(shù)名稱的變化.

r基礎(chǔ)自測

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(1)若a,(為銳角,則sin2a+cos2,=l.(X)

(2)若a￡R,則tan;恒成立.(X)

vUo(A

(3)sin(兀+a)=-sina成立的條件是a為銳角.(X)

(4)若sin(E—a)=錯誤!(A'Z),則sina=錯誤!.(X)

題組二教材改編

2.若5皿1=錯誤！，錯誤!<a<71,貝!jtana=。

套案—-

u木2

解析I,錯誤！〈。<71,

cos。=—錯誤！=一錯誤！，

3.已知tana=2,則錯誤!的值為.

答案3

解析原式=錯誤！=錯誤！=3。

4.化簡錯誤!囪口白一兀)?cos(2兀一㈤的結(jié)果為.

答案一sin2a

解析原式二s'11".(—sina)-cos?=—sin2(x.

coscc

題組三易錯自糾

5.設(shè)12110[=錯誤！，Tt<a〈錯誤!，則sina—cosa的值為()

A.一錯誤！+錯誤!B.一錯誤！一錯誤！

C.±+錯誤!D.錯誤！一錯誤！

答案A

解析?.)2!1。=錯誤！，71〈。<錯誤！，

sina=一錯誤!,cosa=一錯誤!,

sina—cosa=一錯誤！一錯誤！=錯誤！一錯誤!.

6.已知sin(7i—a)二腕叮，且?！赍e誤！，則tan(2兀一])的值為()

A.一錯誤!B。錯誤！

C.若D。錯誤！

答案B

解析sin(7t—a)=sina=log8錯誤！=一錯誤!，

又ae錯誤！，得cosa=錯誤！=錯誤！，

tan(27i—a)=tan(—a)=-tana=一錯誤！=錯誤！.

7.(2018?聊城模擬)已知函數(shù)/(x)=錯誤！則州2018))=。

答案一1

解析,.7(/(2018))=/(2018-18)={2000),

.V(2000)=2cos錯誤！=2cos錯誤！=—1。

題型分類深度剖析

------------------------------------------真題典題深度剖析重點難點多維探究

題型一同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用-自主演練

1.（2017?長沙模擬）已知。是第四象限角，sina=一行，貝Utana等于（）

A.一親B.錯誤！C.一錯誤！D。錯誤！

答案C

解析因為a是第四象限角，sina=一錯誤！，

所以cosa=錯誤!=錯誤！，故tana=錯誤！=一錯誤!.

2.（2017?安徽江南十校聯(lián)考）已知tana=一錯誤！，則sina?（sina—cosQ）等于（）

Ao錯誤！Bo錯誤！Co錯誤！D.錯誤！

答案A

角星析sin（sina—cosoc）=sin2a—sinot-cosa

=sin2a；?*osa將tana=一錯誤!代入，得原式=錯誤！=錯誤！。

sin0（+cosa

3.己知sina—cosa=錯誤！，aG（0,兀），貝!|tana等于（）

A.-1B.一錯誤！

Co錯誤!D.1

答案A

解析由錯誤！

消去sina得2cos2a+2錯誤!cosa+l=0,

即（錯誤!cosa+1）2=0,.\cosa=一錯誤!.

又aG（0,兀），.，.a=錯誤!，

tana=tan錯誤！=一1.

思維升華（1）利用si/a+cos2a=1可實現(xiàn)正弦、余弦的互化，開方時要根據(jù)角a所在象

限確定符號；利用錯誤！=tana可以實現(xiàn)角a的弦切互化.

（2）應(yīng)用公式時注意方程思想的應(yīng)用：對于sina+cosa,sinacosa,sina—cosa這三個

式子，利用（sina土cosa）2=l+2sinacosa,可以知一求二.

（3）注意公式逆用及變形應(yīng)用:l=sin2a+cos2%sin2a=1—cos2a,cos2a=1—sin2a.

題型二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用......-師生共研

典例（1）已知角a的終邊上一點的坐標(biāo)為錯誤！，則角a的最小正值為（）

Ao錯誤!B.錯誤!

C.錯誤!D.錯誤！

答案B

解析sin錯誤！=錯誤!,cos錯誤！=—錯誤！，

該點坐標(biāo)為錯誤！，；.a=錯誤!+2fat/eZ）.

.,.當(dāng)％=0時，a有最小正值錯誤!.

（2）已知cos錯誤！=a,則cos錯誤!+sin錯誤!的值是.

答案0

解析,.,cos錯誤！=—cos錯誤！=—a,

sin錯誤！=sin錯誤！=a,

；.cos錯誤！+sin錯誤！=—a+a=0。

思維升華（1）誘導(dǎo)公式的兩個應(yīng)用

①求值：負化正，大化小，化到銳角為終了.

②化簡：統(tǒng)一南，統(tǒng)一名，同角名少為終了.

（2）含2兀整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

由終邊相同的角的關(guān)系可知，要利用誘導(dǎo)公式一，然后再進行運算.

跟蹤訓(xùn)練（1）（2017?南昌模擬）化簡：

錯誤！=。

答案T

解析原式=錯誤!=—1.

⑵已知角a終邊上一點P（—4,3）,則

錯誤!的值為.

3

答案一彳

解析原式=錯誤！=tana,

根據(jù)三角函數(shù)的定義得tan一錯誤!.

題型三同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用......》師生共研

典例（1）（2017?福建四地六校聯(lián)考）已知。為銳角，且2tan（兀一a）—3cos錯誤！+5=0,tan（兀

+a）+6sin（兀+夕）-1=0,則sina的值是（）

Ao錯誤！B.錯誤！Co錯誤！D.錯誤！

答案C

解析由已知可得一2tana+3sin￡+5=0,tana—6sin￡—1=0,解得tana=3,又a為銳角，

故sin1=錯誤!.

（2）已知一?！碭（0,sin（兀+%）—cosx=一錯誤！。

①求sinX—cosx的值；

②求錯誤！的值.

解①由已知，得sinx+cos工=錯誤！，

兩邊平方得sin2%+2sinxcosx+cos2%=錯誤！，

整理得2sinxcosx=—錯誤！.

*.*（sinx-cosx）2=l—2sinxcosI=錯誤！，

由一兀4〈0知，sinx<0,

又sinxcosx=一錯誤!<0,

cosx）0,sinx-cosx<0,

故sinx—cosx=一錯誤!。

②錯誤!=錯誤！

=錯誤！

=錯誤！=一錯誤！。

引申探究

本例（2）中若將條件a—7i<x〈0"改為"0〈％<?！ǎ髎inx—cosx的值.

解若0<x（71,又2sinxcos%=一錯誤！，

/.sinx>0,cosx<0,

/.sinx—cosx>0,故sinx—cosx—!o

思維升華（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡時，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論

間的聯(lián)系，靈活使用公式進行變形.

（2）注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響.

跟蹤訓(xùn)練（1）（2017?三明模擬）若錯誤！=錯誤！，則tan。等于（）

A.1B.-1

C.3D.-3

答案D

解析由已知錯誤!=錯誤！，，錯誤！=錯誤！，

故tan6=—3.

（2）（2017?西安模擬）已知函數(shù)段）=asin（口+ct）+6cos（歐+0,且/（4）=3,貝丫（2017）

的值為（）

A.-1B.1C.3D.-3

答案D

解析,:f（4）=〃sin（4兀+a）+Z?cos（4兀+4）

=〃sina+bcos尸=3,

/,/（2017）=4Zsin（20177t+ct）+bcos（2017兀+夕）

=〃sin（兀+a）+bcos（兀+4）

=—asma—bcos0

=-3.

T思想方法一

分類討論思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用

思想方法指導(dǎo)（1）在利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中的平方關(guān)系時，要根據(jù)角的范圍對開方

結(jié)果進行討論.

(2)利用誘導(dǎo)公式化簡時要對題中整數(shù)k是奇數(shù)或偶數(shù)進行討論.

典例(1)已知A=錯誤!+錯誤！(&GZ),則A的值構(gòu)成的集合是()

A.{1,-1,2,-2}B.{-1,1}

C.{2,-2)D.{1,-1,0,2,-2)

(2)已知51110(=錯誤！，貝Utan(a+;r)+錯誤！=.

解析(1)當(dāng)上為偶數(shù)時，A=錯誤!+錯誤!=2；

當(dāng)上為奇數(shù)時，4=錯誤！一錯誤！=—2.

所以A的值構(gòu)成的集合是{2,-2).

(2)：sina=錯誤！>0,

為第一或第二象限角.

tan(a+兀)+錯誤！=tana+錯誤！

=錯誤!+錯誤！=錯誤！。

①當(dāng)a是第一象限角時,cosa=錯誤！=錯誤!，

原式=錯誤！=錯誤!；

②當(dāng)a是第二象限角時，cosa=-dl—sin2(x=一錯誤!,

原式=錯誤！=—錯誤！。

綜合①②知，原式=錯誤!或一錯誤!.

答案(1)C(2)方或一錯誤！

課時作業(yè)

X基礎(chǔ)保分練

1.已知sin(兀+a)=錯誤！，則cosa的值為。

A.土錯誤！B.錯誤！Co錯誤！D.土錯誤！

答案D

解析:sin(兀+a)=-sin

sina=一錯誤!,cosa=±錯誤！=土錯誤！。

2.已知sina=錯誤!，則sin%—cos%的值為0

A.一錯誤！B.一錯誤！Co錯誤！Do錯誤！

答案B

角星析sin%—cos%=sin2a—cos2a=2sin2a—1

2.

=,一]=一錯誤！。

3.已知tana=1,且a目錯誤!,則sina等于()

A.一錯誤!B。錯誤！

C.錯誤!D.一錯誤！

答案A

解析a=錯誤!>0,且aG錯誤！，

sina(0,

...sin2a=錯誤！=錯誤！=錯誤！=錯誤！，

sina=一錯誤！。

4.若。e錯誤!，則錯誤!等于()

A.sin。一cos8B.cos0-sin6

C.土(sin0--cos6)D.sin8+cos0

答案A

解析因為錯誤！

=錯誤！=錯誤！

=Isin0—cos0I,

又錯誤！,所以sin。-cos0>0,

所以原式=$111。-cos0。故選A。

5.(2017?廣州檢測)cos錯誤！=錯誤!，則sin錯誤!等于()

Ao錯誤！B.錯誤！C.一錯誤！D.一錯誤！

答案A

解析sin錯誤！=sin錯誤！

=cos錯誤！=錯誤!。

6.(2017?孝感模擬)已知tana=3,則錯誤！的值是()

Ao錯誤!B.2

C.—]D.—2

答案B

解析原式=錯誤！

=錯誤！

=錯誤!=2。

7.若sin(7i—a)=-2sin錯誤！,則sina?cosa的值為()

C.錯誤!或一錯誤!D。錯誤！

答案A

解析由sin（兀一。）=-2sin錯誤!，

可得sina=_2cosa,

則tana=~2,

sina-cosa=錯誤！=錯誤！=一錯誤！。

8.若角。的終邊落在第三象限，則錯誤!+錯誤!的值為（）

A.3B.13

C.1D.-1

答案B

解析由角a的終邊落在第三象限，

得sina<0,cosa<0,

故原式=錯誤!+錯誤！=錯誤！+錯誤！=—1—2

=—3o

9.在△ABC中，若1211&=錯誤！，則sinA=.

答案錯誤！

解析因為tanA=錯誤!>0,所以A為銳角，

1122

由tans,?=錯誤!以及sinA+cosA=l,

可求得sin4=錯誤！。

10.已知a為鈍角，sin錯誤！=錯誤！，則sin錯誤！=.

答案一錯誤！

解析因為a為鈍角，所以cos錯誤!=—錯誤！，

所以sin錯誤！=cos錯誤！

=cos錯誤！=一錯誤！。

11.若/（cos尤）=cos2無，則/（sin15°）=。

答案一錯誤！

解析/（sin15。）=/（cos75°）=cos150°

=cos（180。-30。）=一8$30。=一錯誤！.

12.若cos（2兀-a）=錯誤！，且aG錯誤！，則sin（7t—a）

答案一錯誤！

解析由誘導(dǎo)公式可知cosQir—a）=<：050￡=錯誤!，

sin（7t—a）=sina,由sin2a+cos2a=l,可得sina=土錯誤!,

,.,0（6錯誤!，.入1110￡=—錯誤!。

X技能提升練

13.若sinacos6是方程4x2+2mx+m=0的兩根，則根的值為()

A.1+錯誤！B.1—錯誤！

C.1±V5D.—1一錯誤！

答案B

解析由題意知sin6+cos9=一錯誤!,sin3cos夕=錯誤!，

又(sin0+cos0)2=i+2sin8cosa

???錯誤!=1+錯誤！，

解得機=1又/=4療一