新高考一輪復習核心考點講與練考點20 橢圓原卷版

考點20橢圓（核心考點講與練）1.橢圓的定義平面內與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡（或集合）叫做橢圓.這兩定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距.其數學表達式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c為常數：(1)若a＞c，則集合P為橢圓；(2)若a＝c，則集合P為線段；(3)若a＜c，則集合P為空集.2.橢圓的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的關系c2＝a2－b21.橢圓的定義揭示了橢圓的本質屬性，正確理解、掌握定義是關鍵，應注意定義中的常數大于|F1F2|，避免了動點軌跡是線段或不存在的情況.2.求橢圓的標準方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系數法).先“定位”，就是先確定橢圓和坐標系的相對位置，以橢圓的中心為原點的前提下，看焦點在哪條坐標軸上，確定標準方程的形式；再“定量”，就是根據已知條件，通過解方程(組)等手段，確定a2，b2的值，代入所設的方程，即可求出橢圓的標準方程.若不能確定焦點的位置，這時的標準方程?？稍O為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)3.解決中點弦、弦長及最值與范圍問題一般利用“設而不求”的思想，通過根與系數的關系構建方程求解參數、計算弦長、表達函數.4.求橢圓離心率的3種方法(1)直接求出a，c來求解e.通過已知條件列方程組，解出a，c的值．(2)構造a，c的齊次式，解出e.由已知條件得出關于a，c的二元齊次方程，然后轉化為關于離心率e的一元二次方程求解．(3)通過取特殊值或特殊位置，求出離心率．橢圓的定義一、單選題1．（2022·內蒙古通遼·二模（理））橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點，若SKIPIF1<0的周長為SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·天津市第四十七中學模擬預測）已知SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0和雙曲線SKIPIF1<0的公共的左右焦點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的離心率，若SKIPIF1<0在第一象限內的交點為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的關系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.（2021廣東省深圳市高級中學等九校聯(lián)考）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，點A是橢圓上位于x軸上方的一點，且SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的斜率為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．1二、多選題4．（2022·山東淄博·模擬預測）已知橢圓SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，左右頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．P是橢圓上異于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的點，則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0周長為4 B．SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0面積為2，則點P橫坐標為SKIPIF1<05．（2022·山東濟寧·二模）設橢圓C：SKIPIF1<0的左?右焦點分別為SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，上?下頂點分別為SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，點P是C上異于SKIPIF1<0?SKIPIF1<0的一點，則下列結論正確的是（

）A．若C的離心率為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0C．若C上存在四個點P使得SKIPIF1<0，則C的離心率的范圍是SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0恒成立，則C的離心率的范圍是SKIPIF1<0三、填空題6．（2022·寧夏·銀川一中二模（文））已知橢圓C：SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓C上任意一點，則SKIPIF1<0的最小值為______．四、解答題7．（2022·江西景德鎮(zhèn)·三模（文））SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的右焦點，其中SKIPIF1<0.點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點，圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0與坐標原點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓上異于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的動點，且SKIPIF1<0的周長小于SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的標準方程；(2)連接SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.橢圓的標準方程一、單選題1．（2022·全國·模擬預測（文））已知橢圓C：SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，右頂點為A，O為坐標原點，過OA的中點且與坐標軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點，若四邊形OMAN是正方形，則C的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.（2021福建省莆田市第十五中學二模）阿基米德(公元前SKIPIF1<0年—公元前SKIPIF1<0年)不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“通近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓SKIPIF1<0的對稱軸為坐標軸，焦點在SKIPIF1<0軸上，且橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，面積為SKIPIF1<0則橢圓SKIPIF1<0的方程為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0二、多選題3．（2022·遼寧·模擬預測）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（如圖），離心率為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0垂直于x軸，且在第二象限中交E于點A，直線SKIPIF1<0交E于點B（異于點A），則下列說法正確的是（

）A．若橢圓E的焦距為2，則短軸長為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的周長為4aC．若SKIPIF1<0的面積為12，則橢圓E的方程為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的面積的比值為SKIPIF1<04．（2022·重慶八中模擬預測）如圖所示，用一個與圓柱底面成SKIPIF1<0角的平面截圓柱，截面是一個橢圓.若圓柱的底面圓半徑為2，SKIPIF1<0，則（

）A．橢圓的長軸長等于4B．橢圓的離心率為SKIPIF1<0C．橢圓的標準方程可以是SKIPIF1<0D．橢圓上的點到一個焦點的距離的最小值為SKIPIF1<05．（2022·全國·模擬預測）已知O為坐標原點，橢圓E的方程為SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為E上一點，過點A作兩條直線分別與E交于B，C兩點，且直線AB與直線AC的傾斜角互補，則下列結論正確的是（

）A．橢圓E的長軸長為SKIPIF1<0B．直線BC的斜率為定值C．點O到直線BC的距離為定值D．若SKIPIF1<0，則直線BC的方程為SKIPIF1<0三、填空題6．（2022·遼寧鞍山·二模）在平面直角坐標系中，△ABC滿足A(-1，0)，B(1，0)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∠ACB的平分線與點P的軌跡相交于點I，存在非零實數SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則頂點C的軌跡方程為________．四、解答題7．（2022·山東泰安·二模）已知橢圓C：SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，過其右焦點SKIPIF1<0且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點，且SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l：SKIPIF1<0與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，線段EF的中點為Q，在y軸上是否存在定點P，使得∠EQP＝2∠EFP恒成立？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．8．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學模擬預測）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若橢圓SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，右頂點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，且在橢圓位于x軸上方的部分，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0軸上一點，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程．橢圓的幾何性質1.（2021天津市第二中學高三上學期期中）已知橢圓SKIPIF1<0的左右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線與橢圓交于A，B兩點，若SKIPIF1<0，則橢圓離心率e的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0直線與橢圓的位置關系1.（2022北京市一六一中學高三上學期期中）已知橢圓SKIPIF1<0的左?右頂點分別為A，B，右焦點為F，直線SKIPIF1<0.（1）若橢圓W的左頂點A關于直線SKIPIF1<0的對稱點在直線SKIPIF1<0上，求m的值；（2）過F的直線SKIPIF1<0與橢圓W相交于不同的兩點C，D（不與點A，B重合），直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于點M，求證：A，D，M三點共線.2.（2021四川省成都市嘉祥外國語高級中學高三上學期期中）已知橢圓C：SKIPIF1<0(a>b>0)的左頂點為A，右焦點為F，過點A作斜率為SKIPIF1<0的直線與橢圓C相交于A，B兩點，且AB⊥OB，O為坐標原點.（1）求橢圓的離心率e；（2）若b＝1，過點F作與直線AB平行的直線l，l與橢圓C相交于P，Q兩點，①求直線OP的斜率與直線OQ的斜率乘積；②點M滿足2SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，直線MQ與橢圓的另一個交點為N，求SKIPIF1<0的值.1.（2021年全國高考乙卷）設B是橢圓SKIPIF1<0的上頂點，點P在C上，則SKIPIF1<0的最大值為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.22.（2021年全國高考乙卷）設SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的上頂點，若SKIPIF1<0上的任意一點SKIPIF1<0都滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率的取值范圍是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<03.（2021年全國新高考Ⅰ卷）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的兩個焦點，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的最大值為（）A.13 B.12 C.9 D.64.（2021年全國高考甲卷）已知SKIPIF1<0為橢圓C：SKIPIF1<0的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0的面積為________．一、單選題1．（2022·安徽·模擬預測（理））SKIPIF1<0?SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點，點SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上一點，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·湖北武漢·二模）若橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<03．（2022·遼寧·建平縣實驗中學模擬預測）下列與橢圓SKIPIF1<0焦點相同的橢圓是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·廣東汕頭·二模）已知橢圓C的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線AB過SKIPIF1<0與該橢圓交于A，B兩點，當SKIPIF1<0為正三角形時，該橢圓的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·江蘇泰州·模擬預測）我國自主研發(fā)的“嫦娥四號”探測器成功著陸月球，并通過“鵲橋”中繼星傳回了月球背面影像圖．假設“嫦娥四號”在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道繞月飛行，其軌道的離心率為e，設月球的半徑為R，“嫦娥四號”到月球表面最近的距離為r，則“嫦娥四號”到月球表面最遠的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題6．（2022·湖南·雅禮中學二模）已知曲線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，焦點為SKIPIF1<0?SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，則下列說法正確的有（

）A．SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的一條對稱軸B．SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0C．對C上任意一點P皆有SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<07．（2022·重慶·模擬預測）“出租車幾何”或“曼哈頓距離”（ManhattanDistance）是由十九世紀的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種被使用在幾何度量空間的幾何學用語．在平面直角坐標系SKIPIF1<0內，對于任意兩點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，定義它們之間的“歐幾里得距離”SKIPIF1<0，“曼哈頓距離”為SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．若點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上任意一點，則SKIPIF1<0為定值B．對于平面上任意一點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則動點SKIPIF1<0的軌跡長度為SKIPIF1<0C．對于平面上任意三點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上的兩個動點，則SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<08．（2022·重慶·模擬預測）已知橢圓的離心率為SKIPIF1<0，短軸長為SKIPIF1<0，兩個焦點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為橢圓上一點，記SKIPIF1<0，則下列結論中正確的是（

）A．SKIPIF1<0的周長與點SKIPIF1<0的位置無關B．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的面積取到最大值C．SKIPIF1<0的外接圓半徑最小為SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的內切圓半徑最大為SKIPIF1<09．（2022·全國·模擬預測）雙曲線SKIPIF1<0的左，右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點P在C上.若SKIPIF1<0是直角三角形，則SKIPIF1<0的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．2三、填空題10．（2022·全國·模擬預測）已知O為坐標原點，橢圓SKIPIF1<0的左焦點為F，A為C上一點，AF與x軸垂直．若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，則C的離心率為__________．11．（2022·湖南衡陽·二模）已知橢圓SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0有相同的焦點SKIPIF1<0，橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，雙曲線SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的第一象限的交點，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是___________.12．（2022·江蘇·南京市第一中學三模）橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、下頂點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，右焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點共線，則SKIPIF1<0的離心率為____________．13．（2022·江蘇·海安高級中學二模）如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是平面上兩點，|F1F2|＝10，圖中的一系列圓是圓心分別為F1，F(xiàn)2的兩組同心圓，每組同心圓的半徑依次是1，2，3，…，點A，B，C分別是其中兩圓的公共點．請寫出一個圓錐曲線的離心率的值為_____________，使得此圓錐曲線可以同時滿足：①以F1，F(xiàn)2為焦點；②恰經過A，B，C中的兩點．14．（2022·天津市第四中學模擬預測）設橢圓SKIPIF1<0的左焦點為F，下頂點為A，上頂點為B，SKIPIF1<0是等邊三角形.（1）橢圓的離心率為___________；（2）設直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線與橢圓交于點SKIPIF1<0（SKIPIF1<0異于點SKIPIF1<0），線段SKIPIF1<0的垂直平分線與直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，與直線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.（i）SKIPIF1<0