2.4.2簡單冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版

4.2簡單冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)第二章函數(shù)北師大版

數(shù)學(xué)

必修第一冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解冪函數(shù)的概念,會求冪函數(shù)的解析式.2.結(jié)合冪函數(shù)

的圖象,理解它們的變化規(guī)律.3.能利用冪函數(shù)的基本性質(zhì)解決相關(guān)問題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

冪函數(shù)的定義一般地,形如

(α為常數(shù))的函數(shù),即

是自變量、

是常數(shù)的函數(shù)稱為冪函數(shù).

名師點睛1.冪值前面的系數(shù)是1,否則不是冪函數(shù),如函數(shù)

就不是冪函數(shù).2.冪函數(shù)的定義域是使xα有意義的所有x的集合,因α的不同,定義域也不同.y=xα底數(shù)

底數(shù)

思考辨析y=1是冪函數(shù)嗎?提示

不是,它與y=x0=1(x≠0)不是同一函數(shù).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)函數(shù)f(x)=x2與函數(shù)f(x)=8x2都是冪函數(shù).(

)(2)一元二次函數(shù)都是冪函數(shù).(

)2.在函數(shù)①y=,②y=3x2,③y=x2+2x中,是冪函數(shù)的為

.(填序號)

××①

解析

函數(shù)y==x-4為冪函數(shù);函數(shù)y=3x2中x2的系數(shù)不是1,所以它不是冪函數(shù);函數(shù)y=x2+2x不是y=xα(α為常數(shù))的形式,所以它不是冪函數(shù).知識點2

冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.常見的五種冪函數(shù)的圖象2.冪函數(shù)的性質(zhì)

冪函數(shù)y=xy=x2y=x3

y=x-1定義域RRR

(-∞,0)∪(0,+∞)值域R

R

(-∞,0)∪(0,+∞)奇偶性

奇函數(shù)

單調(diào)性在R上是

在[0,+∞)上

,在(-∞,0]上

在R上是

在[0,+∞)上是增函數(shù)在(0,+∞)上

,

在(-∞,0)上

公共點(1,1)[0,+∞)

[0,+∞)[0,+∞)奇函數(shù)

偶函數(shù)

既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)

奇函數(shù)

增函數(shù)增函數(shù)單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞減名師點睛冪函數(shù)y=xα的上述性質(zhì)可歸納如下:(1)當(dāng)α>0時,圖象都經(jīng)過點(0,0),(1,1);在第一象限內(nèi),函數(shù)單調(diào)遞增.(2)當(dāng)α<0時,圖象都經(jīng)過點(1,1);在第一象限內(nèi),函數(shù)單調(diào)遞減,圖象向上與y軸無限接近,向右與x軸無限接近.思考辨析通過對5個冪函數(shù)圖象的觀察,哪個象限一定有冪函數(shù)的圖象?哪個象限一定沒有冪函數(shù)的圖象?提示

第一象限一定有冪函數(shù)的圖象,第四象限一定沒有冪函數(shù)的圖象.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)和(0,0).(

)(2)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交,則交點一定是原點.(

)×√2.如圖所示,圖中的曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象,已知n取±2,±四個值,則曲線C1,C2,C3,C4對應(yīng)的解析式中n的值依次為(

)B3.3.17-1與3.71-1的大小關(guān)系為

.

3.17-1>3.71-14.[人教A版教材習(xí)題]已知冪函數(shù)y=f(x)的圖象過點(2,),試求出此函數(shù)的解析式,并畫出圖象,判斷奇偶性、單調(diào)性.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一冪函數(shù)的概念【例1】

函數(shù)f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數(shù),且當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)單調(diào)遞增,試確定m的值.解

根據(jù)冪函數(shù)的定義,得m2-m-5=1,解得m=3,或m=-2.當(dāng)m=3時,f(x)=x2在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)m=-2時,f(x)=x-3在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,不符合要求.故m=3.規(guī)律方法

判斷一個函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y=xα(α為常數(shù))的形式,即(1)系數(shù)為1;(2)指數(shù)為常數(shù);(3)后面不加任何項.反之,若一個函數(shù)為冪函數(shù),則該函數(shù)必具有這種形式.變式訓(xùn)練1如果冪函數(shù)

的圖象不過原點,求實數(shù)m的值.解

由冪函數(shù)的定義得m2-3m+3=1,解得m=1,或m=2;當(dāng)m=1時,m2-m-2=-2,函數(shù)為y=x-2,其圖象不過原點,滿足條件;當(dāng)m=2時,m2-m-2=0,函數(shù)為y=x0,其圖象不過原點,滿足條件.綜上所述,m=1或m=2.探究點二冪函數(shù)的圖象C解析

函數(shù)y=xα是冪函數(shù),而y=αx是一次函數(shù),選項A,直線對應(yīng)函數(shù)為y=x,曲線對應(yīng)函數(shù)為y=x-1;選項B,直線對應(yīng)函數(shù)為y=2x,曲線對應(yīng)函數(shù)為選項C,直線對應(yīng)函數(shù)為y=2x,曲線對應(yīng)函數(shù)為y=x2;選項D,直線對應(yīng)函數(shù)為y=-x,曲線對應(yīng)函數(shù)為y=x3或y=x2.故選C.規(guī)律方法

對于函數(shù)y=xα(α為常數(shù))而言,其圖象有以下特點:(1)恒過點(1,1).(2)當(dāng)x∈(0,1)時,指數(shù)越大,冪函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);當(dāng)x∈(1,+∞)時,指數(shù)越大,冪函數(shù)的圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).(3)由冪函數(shù)的圖象確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系,即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象(類似于y=x-1或

,y=x3)來判斷.(4)當(dāng)α>0時,冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上都單調(diào)遞增;當(dāng)α<0時,冪函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上都單調(diào)遞減.變式訓(xùn)練2如圖所示,曲線C1與C2分別是函數(shù)y=xm和y=xn在第一象限內(nèi)的圖象,則下列結(jié)論正確的是(

)A.n<m<0 B.m<n<0C.n>m>0 D.m>n>0A解析

畫出直線y=x0的圖象,作出直線x=2,與三個函數(shù)圖象交于點(2,20),(2,2m),(2,2n).由三個點的位置關(guān)系可知,n<m<0.故選A.探究點三利用冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小【例3】

比較下列各組中兩個數(shù)的大小:規(guī)律方法

1.比較冪的大小的三種常用方法

2.利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小時要注意的問題比較大小的兩個實數(shù)必須轉(zhuǎn)化為同一個函數(shù)的同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi),否則無法比較大小.探究點四冪函數(shù)圖象的應(yīng)用【例4】

已知點(,2)在冪函數(shù)f(x)的圖象上,點

在冪函數(shù)g(x)的圖象上,問當(dāng)x滿足什么條件時,有(1)f(x)>g(x),(2)f(x)=g(x),(3)f(x)<g(x)?在同一直角坐標(biāo)系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的圖象,如圖所示:(1)當(dāng)x>1或x<-1時,f(x)>g(x);(2)當(dāng)x=1或x=-1時,f(x)=g(x);(3)當(dāng)-1<x<1且x≠0時,f(x)<g(x).變式訓(xùn)練3[2024湖南常德高一期末]已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象過點(2,4).(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)設(shè)函數(shù)h(x)=2f(x)-kx-1在[-1,1]上具有單調(diào)性,求實數(shù)k的取值范圍.解

(1)因為冪函數(shù)f(x)=xα的圖象過點(2,4),所以4=2α,解得α=2,所以函數(shù)f(x)=x2.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)冪函數(shù)的定義;(2)幾個常見冪函數(shù)的圖象;(3)冪函數(shù)的性質(zhì).2.方法歸納:待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū):對冪函數(shù)形式的判斷易出錯,只有形如y=xα(α為常數(shù))的函數(shù)為冪函數(shù),其他形式都不是冪函數(shù).學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)1234567891011121314A級必備知識基礎(chǔ)練1.[探究點二]函數(shù)

的圖象關(guān)于x軸對稱的圖象大致是(

)B123456789101112131412345678910111213142.[探究點四]在下列冪函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.f(x)=x-1 B.f(x)=x-2C.f(x)=x3 D.C12345678910111213143.[探究點一](多選題)

下列說法錯誤的是(

)A.冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限B.y=x0的圖象是一條直線D.若函數(shù)y=x2的值域是{y|0≤y≤4},則它的定義域一定是{x|-2≤x≤2}BCD123456789101112131412345678910111213144.[探究點四]當(dāng)x∈(1,+∞)時,函數(shù)y=xα的圖象恒在直線y=x的下方,則α的取值范圍是(

)A.(0,1) B.(-∞,0)C.(-∞,1) D.(1,+∞)C解析

由冪函數(shù)的圖象特征知α<1.12345678910111213145.[探究點二]冪函數(shù)y=xm與y=xn在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,則(

)A.-1<n<0<m<1B.n<-1,0<m<1C.-1<n<0,m>1D.n<-1,m>1B解析

由于y=xm在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,且為上凸函數(shù),故0<m<1.由于y=xn在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,且在直線x=1的右側(cè)時,y=xn的圖象在y=x-1的圖象的下方,故n<-1.故選B.123456789101112131412345678910111213147.[探究點四]已知冪函數(shù)

(m∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱,并且f(x)在第一象限內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù),則m=

.

1解析

因為冪函數(shù)

(m∈Z)的圖象關(guān)于y軸對稱,所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù),所以m2-2m-3為偶數(shù).又因為f(x)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減,所以m2-2m-3<0,即-1<m<3,又m∈Z,所以m=1.12345678910111213148.[探究點一、四]已知冪函數(shù)f(x)=(m-1)2xm2-4m+2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,函數(shù)g(x)=2x-k.(1)求m的值;(2)當(dāng)x∈[1,2]時,記f(x),g(x)的值域分別為集合A,B,若A∪B=A,求實數(shù)k的取值范圍.1234567891011121314解

(1)依題意,得(m-1)2=1,解得m=0或m=2.當(dāng)m=2時,f(x)=x-2在(0,+∞)上單調(diào)遞減,與題設(shè)矛盾,舍去,∴m=0.(2)由(1)可知f(x)=x2.當(dāng)x∈[1,2]時,f(x),g(x)單調(diào)遞增,∴A=[1,4],B=[2-k,4-k].∴實數(shù)k的取值范圍是[0,1].1234567891011121314B級關(guān)鍵能力提升練9.(多選題)下列不等式在a<b<0的條件下成立的是(

)ABC123456789101112131410.(多選題)已知函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(4,2),則下列結(jié)論正確的有(

)A.函數(shù)f(x)為增函數(shù)B.函數(shù)f(x)為偶函數(shù)C.若x>1,則f(x)>1ACD解析

因為函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(4,2),顯然f(x)在定義域[0,+∞)上為增函數(shù),所以A正確;f(x)的定義域為[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正確;12345678910111213141234567891011121314A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.無法判斷A123456789101112131412.(多選題)已知實數(shù)a,b滿足等式,則下列關(guān)系式可能成立的是(

)A.0<b<a<1 B.-1<a<b<0C.1<a<b D.a=bACD1234567891011121314從圖象知,若m=0或m=1,則a=b;若0<m<1,則0<b<a<1;若m>1,則1<a<b.故其中可能成立的是ACD.123456789101112131413.已知冪函數(shù)f(x)=(2m2-6m+5)xm+1為偶函數(shù).(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)若函數(shù)y=f(x)-2(a-1)x+1在區(qū)間(2,3)上為單調(diào)函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.解