第24講 衛(wèi)星變軌問(wèn)題 雙星模型（講義）（解析版）

第24講衛(wèi)星變軌問(wèn)題雙星模型目錄復(fù)習(xí)目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建考點(diǎn)一衛(wèi)星的變軌問(wèn)題【夯基·必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1兩類變軌的起因知識(shí)點(diǎn)2變軌前后各運(yùn)行物理參量的比較【提升·必考題型歸納】考向變軌前后各運(yùn)行物理參量的比較考點(diǎn)二天體追及相遇問(wèn)題【夯基·必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)天體追及相遇問(wèn)題基本規(guī)律【提升·必考題型歸納】考向天體追及相遇問(wèn)題基本規(guī)律的應(yīng)用考點(diǎn)三雙星和多星問(wèn)題【夯基·必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1雙星模型知識(shí)點(diǎn)2多星模型【提升·必考題型歸納】考向1雙星模型考向2多星模型真題感悟掌握衛(wèi)星變軌問(wèn)題和追及相遇問(wèn)題的基本規(guī)律。掌握雙星模型和多星模型的基本規(guī)律?？键c(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）衛(wèi)星變軌問(wèn)題（2）天體的追及相遇問(wèn)題（3）雙星模型和多星模型2023年湖北卷第2題2022年浙江卷第8題2021年天津卷第5題高考對(duì)這不內(nèi)容的考查比較頻繁，多以選擇題的形式出現(xiàn)，題目的背景材料多為我國(guó)在航天領(lǐng)域取得的成就，比如神州飛船、天宮軌道艙等?？键c(diǎn)一衛(wèi)星的變軌問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)1兩類變軌的起因兩類變軌離心運(yùn)動(dòng)近心運(yùn)動(dòng)示意圖變軌起因衛(wèi)星速度突然增大衛(wèi)星速度突然減小萬(wàn)有引力與向心力的大小關(guān)系GMmr2GMmr2知識(shí)點(diǎn)2變軌前后各運(yùn)行物理參量的比較（1）速度：設(shè)衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運(yùn)行時(shí)的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過(guò)A點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)速率分別為vA、vB。在A點(diǎn)加速，則vA>v1，在B點(diǎn)加速，則v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。（2）加速度：因?yàn)樵贏點(diǎn)，衛(wèi)星只受到萬(wàn)有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)加速度也相同。（3）周期：設(shè)衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上的運(yùn)行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長(zhǎng)軸)、r3，由開(kāi)普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1<T2<T3。（4）機(jī)械能：在一個(gè)確定的圓(橢圓)軌道上機(jī)械能守恒。若衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道的機(jī)械能分別為E1、E2、E3，則E1<E2<E3。①在A點(diǎn)，由圓周Ⅰ變至橢圓Ⅱ時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)向后噴氣，推力做正功，動(dòng)能增加、勢(shì)能不變、機(jī)械能增加；②在B點(diǎn)，由橢圓Ⅱ變至圓周Ⅲ時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)向后噴氣，推力做正功，動(dòng)能增加、勢(shì)能不變、機(jī)械能增加；反之也有相應(yīng)的規(guī)律?？枷蜃冘壡昂蟾鬟\(yùn)行物理參量的比較1．2021年6月17日，神舟十二號(hào)載人飛船與天和核心艙成功對(duì)接，對(duì)接過(guò)程如圖所示，天和核心艙處于半徑為的圓軌道Ⅲ；神舟十二號(hào)飛船處于半徑為的圓軌道Ⅰ，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，通過(guò)變軌操作后，沿橢圓軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)到處與核心艙對(duì)接，則神舟十二號(hào)飛船（）A．沿軌道Ⅰ運(yùn)行的速度小于天和核心艙沿軌道Ⅲ運(yùn)行的速度B．在軌道Ⅰ上運(yùn)行的周期大于在軌道Ⅱ上運(yùn)行的周期C．神舟十二號(hào)飛船在飛向核心艙的過(guò)程中，引力勢(shì)能增大，動(dòng)能減小，機(jī)械能守恒D．在軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的加速度小于在軌道Ⅱ上運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的加速度【答案】C【詳解】A．由萬(wàn)有引力提供向心力有得可知，運(yùn)行速度大小與環(huán)繞物體的質(zhì)量無(wú)關(guān)，r越小，運(yùn)行速度越大，高軌低速，即：沿軌道Ⅰ運(yùn)行的速度大于沿軌道Ⅲ運(yùn)行的速度，故A錯(cuò)誤；B．由開(kāi)普勒第三定律可知，高軌長(zhǎng)周期，在軌道Ⅰ上運(yùn)行的周期小于在軌道Ⅱ上運(yùn)行的周期，故B錯(cuò)誤；C．在神舟十二號(hào)飛向核心艙的過(guò)程中，在橢圓軌道上只受引力作用，萬(wàn)有引力做負(fù)功,引力勢(shì)能增大，動(dòng)能減小，機(jī)械能守恒，故C正確；D．由萬(wàn)有引力提供向心力有得可知與地球距離相等的位置，加速度大小相同，故D錯(cuò)誤。故選C。2．2021年5月15日，我國(guó)“天問(wèn)一號(hào)”探測(cè)器成功在火星表面著陸。若某探測(cè)器登陸火星前先后沿圖示圓軌道I、橢圓軌道II、圓軌道II運(yùn)行，B為軌道II的近火點(diǎn)。假設(shè)探測(cè)器的質(zhì)量不變，則探測(cè)器（）

A．在軌道I上運(yùn)行的周期大于在軌道II上運(yùn)行的周期B．在軌道II上運(yùn)行的向心加速度小于在軌道I上運(yùn)行的向心加速度C．在軌道II上的動(dòng)能總是大于在軌道III上的動(dòng)能D．由軌道II變軌到軌道III時(shí)在B處需要點(diǎn)火減速【答案】AD【詳解】A．根據(jù)開(kāi)普勒第三定律可知探測(cè)器在軌道I上運(yùn)行的周期大于在軌道II上運(yùn)行的周期，故A正確；B．根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有解得所以在軌道II上運(yùn)行的向心加速度大于在軌道I上運(yùn)行的向心加速度，且在A點(diǎn)的向心加速度相等，故B錯(cuò)誤；C．探測(cè)器在軌道II上的A點(diǎn)加速進(jìn)入軌道I，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有解得可知探測(cè)器在軌道I的速度小于III的速度，進(jìn)而可知在軌道II上A點(diǎn)的動(dòng)能小于在軌道III上的動(dòng)能，故C錯(cuò)誤；D．由軌道II變軌到軌道III時(shí)在B處需要點(diǎn)火減速，故D正確。故選AD?？键c(diǎn)二天體追及相遇問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)天體追及相遇問(wèn)題基本規(guī)律繞同一中心天體，在同一軌道平面內(nèi)不同高度上同向運(yùn)行的衛(wèi)星，因運(yùn)行周期的不同，兩顆衛(wèi)星有時(shí)相距最近，有時(shí)又相距最遠(yuǎn)，這就是天體中的“追及相遇”問(wèn)題。相距最遠(yuǎn)當(dāng)兩衛(wèi)星位于和中心天體連線的半徑上兩側(cè)時(shí)，兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)，從運(yùn)動(dòng)關(guān)系上，兩衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)關(guān)系應(yīng)滿足(ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3，…)相距最近兩衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)方向相同，且位于和中心天體連線的半徑上同側(cè)時(shí)，兩衛(wèi)星相距最近，從運(yùn)動(dòng)關(guān)系上，兩衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)關(guān)系應(yīng)滿足(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)考向天體追及相遇問(wèn)題基本規(guī)律的應(yīng)用1．我國(guó)的北斗三號(hào)衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)由24顆中圓地球軌道衛(wèi)星、3顆地球靜止軌道衛(wèi)星和3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星共30顆衛(wèi)星組成。如圖所示，A、C為地球靜止軌道衛(wèi)星，B為在赤道平面的中圓地球軌道衛(wèi)星，繞行方向均與地球自轉(zhuǎn)方向一致。已知地球自轉(zhuǎn)周期為，衛(wèi)星B的運(yùn)行周期為，圖示時(shí)刻，衛(wèi)星A與衛(wèi)星B相距最近。下列說(shuō)法正確的是（）

A．衛(wèi)星A、B、C的向心加速度的大小關(guān)系為B．衛(wèi)星C向后噴氣加速可沿圓軌道追上衛(wèi)星AC．經(jīng)過(guò)時(shí)間，衛(wèi)星A與衛(wèi)星B又一次相距最近D．衛(wèi)星A、C的發(fā)射速度小于第一宇宙速度【答案】AC【詳解】A．根據(jù)得如圖可知，A正確；B．衛(wèi)星C向后噴氣加速做離心運(yùn)動(dòng)，不能追上同軌道的A，B錯(cuò)誤；C．根據(jù)衛(wèi)星A與衛(wèi)星B又一次相距最近的時(shí)間間隔為，C正確；D．第一宇宙速度是最小發(fā)射速度，則衛(wèi)星A、C的發(fā)射速度大于第一宇宙速度，D錯(cuò)誤；故選AC。2．地球的兩顆衛(wèi)星繞地球在同一平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，環(huán)繞方向如圖所示。已知衛(wèi)星一運(yùn)行的周期為，地球的半徑為，衛(wèi)星一和衛(wèi)星二到地球中心的距離分別為，，引力常量為G，某時(shí)刻兩衛(wèi)星與地心連線之間的夾角為，下列說(shuō)法正確的是（）

A．衛(wèi)星二的機(jī)械能一定大于衛(wèi)星一的機(jī)械能B．地球的質(zhì)量C．衛(wèi)星二圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期D．從圖示時(shí)刻開(kāi)始，經(jīng)過(guò)時(shí)間兩衛(wèi)星第一次相距最近【答案】D【詳解】A．因?yàn)槲粗獌尚l(wèi)星的質(zhì)量，所以無(wú)法比較它們機(jī)械能的大小，A錯(cuò)誤；B．對(duì)衛(wèi)星一由牛頓第二定律解得地球質(zhì)量為故B錯(cuò)誤；C．由開(kāi)普勒第三定律可得衛(wèi)星二圍繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期故C錯(cuò)誤；D．兩衛(wèi)星共線且在同一側(cè)時(shí)相距最近，設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間，兩衛(wèi)星第一次相距最近解得故D正確。故選D。考點(diǎn)三雙星和多星問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)1雙星模型(1)模型構(gòu)建：繞公共圓心轉(zhuǎn)動(dòng)的兩個(gè)星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，如圖所示。(2)特點(diǎn)：①各自所需的向心力由彼此間的萬(wàn)有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2②兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1＋r2＝L。知識(shí)點(diǎn)2多星模型(1)模型構(gòu)建：所研究星體的萬(wàn)有引力的合力提供做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同。(2)三星模型：①三顆星體位于同一直線上，兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運(yùn)行(如圖甲所示)。②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上(如圖乙所示)。(3)四星模型：①其中一種是四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖丙所示)。②另一種是三顆質(zhì)量相等的星體始終位于正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(如圖丁所示)。考向1雙星模型1．如圖1所示，河外星系中兩黑洞A、B的質(zhì)量分別為和，它們以兩者連線上的某一點(diǎn)O為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。為研究方便，簡(jiǎn)化為如圖2所示的示意圖，黑洞A、B均可看成球體，。下列說(shuō)法正確的是（）

A．黑洞A的運(yùn)行線速度大小小于黑洞B的運(yùn)行線速度大小B．若兩黑洞間的距離一定，把黑洞B上的物質(zhì)移到黑洞A上，他們之間的引力變大C．若兩黑洞間的距離一定，把黑洞A上的物質(zhì)移到黑洞B上，他們運(yùn)行的周期變大D．人類要把宇航器發(fā)射到距黑洞A較近的區(qū)域進(jìn)行探索，發(fā)射速度一定大于第三宇宙速度【答案】BD【詳解】A.黑洞A、B運(yùn)行的角速度相同，A的半徑較大，則A的線速度更大，A錯(cuò)誤；B.設(shè)它們相距為L(zhǎng)，角速度為ω，根據(jù)牛頓第二定律得；可得則當(dāng)B的質(zhì)量減小，A的質(zhì)量增加時(shí)，兩個(gè)質(zhì)量的乘積變大，故它們的引力變大，B正確；C.根據(jù)；整理得根據(jù)可知角速度不變，周期不變，C錯(cuò)誤；D.人類要把航天器發(fā)射到距黑洞A較近的區(qū)域進(jìn)行探索，必須沖出太陽(yáng)系，所以發(fā)射速度一定大于第三宇宙速度，D正確。故選BD。2．中國(guó)天眼FAST已發(fā)現(xiàn)約500顆脈沖星，成為世界上發(fā)現(xiàn)脈沖星效率最高的設(shè)備，如在球狀星團(tuán)M92第一次探測(cè)到“紅背蜘蛛”脈沖雙星。如圖是相距為L(zhǎng)的A、B星球構(gòu)成的雙星系統(tǒng)繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)情景，其運(yùn)動(dòng)周期為T。C為B的衛(wèi)星，繞B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，周期也為T，忽略A與C之間的引力，且A與B之間的引力遠(yuǎn)大于C與B之間的引力。引力常量為G，則（）A．A、B的軌道半徑之比為 B．C的質(zhì)量為C．B的質(zhì)量為 D．A的質(zhì)量為【答案】D【詳解】B．C繞B做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由萬(wàn)有引力提供向心力，有解得故不能求出C的質(zhì)量，故B錯(cuò)誤；C．雙星系統(tǒng)在萬(wàn)有引力作用下繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)A研究對(duì)B研究解得雙星的總質(zhì)量故C錯(cuò)誤；D．A的質(zhì)量故D正確；A．A、B的軌道半徑之比為故A錯(cuò)誤。故選D?？枷?多星模型3．宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用，三星質(zhì)量也相同?，F(xiàn)已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖甲所示；另一種是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，如圖乙所示。設(shè)兩種系統(tǒng)中三個(gè)星體的質(zhì)量均為m，且兩種系統(tǒng)中各星間的距離已在圖中標(biāo)出，引力常量為G，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．直線形三星系統(tǒng)中星體做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為B．直線形三星系統(tǒng)中星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為C．三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為D．三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小為【答案】D【詳解】A．直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力做向心力；根據(jù)星體受到另兩個(gè)星體的引力作用可得星體做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小為故A錯(cuò)誤；B．直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力做向心力；根據(jù)星體受到另兩個(gè)星體的引力作用可得解得星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為故B錯(cuò)誤；C．根據(jù)幾何關(guān)系可得：三角形三星系統(tǒng)中星體受另外兩個(gè)星體的引力作用，圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為由萬(wàn)有引力提供向心力得解得三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為故C錯(cuò)誤；D．三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運(yùn)動(dòng)的加速度大小為故D正確。故選D。4．宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對(duì)它們的引力作用，設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為m，四顆星穩(wěn)定地分布在邊長(zhǎng)為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，已知這四顆星均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，引力常量為G。則下列說(shuō)法正確的是（）A．星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為B．若實(shí)驗(yàn)觀測(cè)得到星體的半徑為R，則星體表面的重力加速度為C．星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為D．每個(gè)星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力大小為【答案】ABC【詳解】A．根據(jù)題意可知四星系統(tǒng)模型如下所示，四邊形頂點(diǎn)到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離即為星體做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r，根據(jù)圖中幾何關(guān)系可得故A正確；B．物體在星體表面所受的重力等于星體對(duì)其施加的萬(wàn)有引力，設(shè)物體質(zhì)量為，根據(jù)萬(wàn)有引力定律有解得故B正確；CD．根據(jù)題意可知，任意一個(gè)星體都受到其他三個(gè)星體的引力作用，根據(jù)對(duì)稱性可知每個(gè)星體所受引力合力大小相等，且指向?qū)蔷€的交點(diǎn)O。對(duì)上圖模型中右上角星體分析受力，可知其所受萬(wàn)有引力合力大小為星體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律有聯(lián)立兩式可得故C正確，D錯(cuò)誤。故選ABC。1．（2023年湖北高考真題）2022年12月8日，地球恰好運(yùn)行到火星和太陽(yáng)之間，且三者幾乎排成一條直線，此現(xiàn)象被稱為“火星沖日”?；鹦呛偷厍驇缀踉谕黄矫鎯?nèi)沿同一方向繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)，火星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比約為，如圖所示。根據(jù)以上信息可以得出（

）

A．火星與地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期之比約為B．當(dāng)火星與地球相距最遠(yuǎn)時(shí)，兩者的相對(duì)速度最大C．火星與地球表面的自由落體