新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章 第05講 空間向量及其應(yīng)用 講（教師版）

第05講空間向量及其應(yīng)用(精講）目錄第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：空間向量的線性運(yùn)算題型二：共線、共面向量定理的應(yīng)用題型三：空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用角度1：求空間向量的數(shù)量積角度2：利用數(shù)量積求長度角度3：利用數(shù)量積求夾角角度4：利用向量解決平行和垂直問題角度5：向量的投影和投影向量題型四：利用空間向量證明平行與垂直第四部分：高考真題感悟第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶第一部分：知識點精準(zhǔn)記憶知識點一：空間向量的有關(guān)概念1、概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．2、幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為SKIPIF1<0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量SKIPIF1<0長度相等而方向相反的向量，稱為SKIPIF1<0的相反向量，記為SKIPIF1<0共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合的向量

共面向量平行于同一個平面的向量知識點二：空間向量的有關(guān)定理1、共線向量定理：對空間任意兩個向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的充要條件是存在實數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．（1）共線向量定理推論：如果SKIPIF1<0為經(jīng)過點SKIPIF1<0平行于已知非零向量SKIPIF1<0的直線,那么對于空間任一點SKIPIF1<0,點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的充要條件是存在實數(shù)SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0①，若在SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0，則①可以化作：SKIPIF1<0（2）拓展(高頻考點）：對于直線外任意點SKIPIF1<0，空間中三點SKIPIF1<0共線的充要條件是SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<02、共面向量定理如果兩個向量SKIPIF1<0不共線，那么向量SKIPIF1<0與向量SKIPIF1<0共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0（1）空間共面向量的表示如圖空間一點SKIPIF1<0位于平面SKIPIF1<0內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．或者等價于：對空間任意一點SKIPIF1<0，空間一點SKIPIF1<0位于平面SKIPIF1<0內(nèi)（SKIPIF1<0四點共面）的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，該式稱為空間平面SKIPIF1<0的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．（2）拓展對于空間任意一點SKIPIF1<0，四點SKIPIF1<0共面（其中SKIPIF1<0不共線）的充要條件是SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）．3、空間向量基本定理如果向量三個向量SKIPIF1<0不共面，那么對空間任意向量SKIPIF1<0存在有序?qū)崝?shù)組SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0知識點三：空間向量的數(shù)量積1、空間兩個向量的夾角（1）定義：如圖已知兩個非零向量SKIPIF1<0，在空間任取一點SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則么SKIPIF1<0叫做向量SKIPIF1<0的夾角，記SKIPIF1<0.（特別注意向量找夾角口訣：共起點找夾角）（2）范圍：SKIPIF1<0．特別地，（1）如果SKIPIF1<0，那么向量SKIPIF1<0互相垂直，記作SKIPIF1<0．(2)由概念知兩個非零向量才有夾角，當(dāng)兩非零向量同向時，夾角為0；反向時，夾角為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為非零向量)．(3)零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定SKIPIF1<0與任何向量SKIPIF1<0都是共線的，即SKIPIF1<0．兩非零向量的夾角是唯一確定的．（3）拓展（異面直線所成角與向量夾角聯(lián)系與區(qū)別）若兩個向量SKIPIF1<0所在直線為異面直線，兩異面直線所成的角為SKIPIF1<0，(1)向量夾角的范圍是0<<SKIPIF1<0><SKIPIF1<0，異面直線的夾角SKIPIF1<0的范圍是0<SKIPIF1<0<SKIPIF1<0，(2)當(dāng)兩向量的夾角為銳角時，SKIPIF1<0；當(dāng)兩向量的夾角為SKIPIF1<0時，兩異面直線垂直；當(dāng)兩向量的夾角為鈍角時，SKIPIF1<0.2、空間向量的數(shù)量積定義：已知兩個非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的數(shù)量積，記作SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.3、向量SKIPIF1<0的投影3.1．如圖(1)，在空間，向量SKIPIF1<0向向量SKIPIF1<0投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面SKIPIF1<0內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量SKIPIF1<0共線的向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0稱為向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量．類似地，可以將向量SKIPIF1<0向直線SKIPIF1<0投影(如圖(2))．3.2．如圖(3)，向量SKIPIF1<0向平面SKIPIF1<0投影，就是分別由向量SKIPIF1<0的起點SKIPIF1<0和終點SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線，垂足分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0稱為向量SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的投影向量．這時，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角就是向量SKIPIF1<0所在直線與平面SKIPIF1<0所成的角．4、空間向量數(shù)量積的幾何意義：向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的數(shù)量積等于SKIPIF1<0的長度SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影SKIPIF1<0的乘積或等于SKIPIF1<0的長度SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影SKIPIF1<0的乘積.5、數(shù)量積的運(yùn)算：（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0(交換律)．（3）SKIPIF1<0(分配律).知識點四：空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示：數(shù)量積SKIPIF1<0共線（平行）SKIPIF1<0SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0均非零向量）模SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0夾角SKIPIF1<0SKIPIF1<0知識點五：直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量如圖①,SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0的方向向量,在直線SKIPIF1<0上取SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0是直線SKIPIF1<0上的任意一點,則點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上的充要條件是存在實數(shù)SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<02、平面法向量的概念如圖，若直線SKIPIF1<0，取直線SKIPIF1<0的方向向量SKIPIF1<0，我們稱SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量；過點SKIPIF1<0且以SKIPIF1<0為法向量的平面完全確定，可以表示為集合SKIPIF1<0．3、平面的法向量的求法求一個平面的法向量時，通常采用待定系數(shù)法，其一般步驟如下:設(shè)向量：設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0選向量：選取兩不共線向量SKIPIF1<0列方程組：由SKIPIF1<0列出方程組解方程組：解方程組SKIPIF1<0賦非零值：取其中一個為非零值（常取SKIPIF1<0)得結(jié)論：得到平面的一個法向量.知識點六：空間位置關(guān)系的向量表示1、空間中直線、平面的平行設(shè)直線SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的方向向量分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則線線平行SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)線面平行SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0面面平行SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<02、空間中直線、平面的垂直設(shè)直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則線線垂直SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0線面垂直SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0面面垂直SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0?SKIPIF1<0第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的一個法向量分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則()A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交但不垂直

D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合【答案】A由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0//SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0故選：A2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)平面SKIPIF1<0法向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則k等于()A．2

B．SKIPIF1<0

C．4

D．SKIPIF1<0【答案】C由題可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0故選：C3．（2022·全國·高二單元測試）若直線l的方向向量SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，則直線l與平面SKIPIF1<0的位置關(guān)系是__________________．【答案】平行由題可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線l與平面SKIPIF1<0的位置關(guān)系是平行故答案為：平行4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是直線SKIPIF1<0的一個方向向量．若SKIPIF1<0，則()A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0【答案】D由題可知：SKIPIF1<0故選：D5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）若SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個法向量，則下列向量中能作為平面SKIPIF1<0的法向量的是()A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0【答案】D由題可知：SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一個法向量，向量SKIPIF1<0故選：D第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：空間向量的線性運(yùn)算典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，給出下列各式：①SKIPIF1<0SKIPIF1<0．②SKIPIF1<0SKIPIF1<0．③SKIPIF1<0SKIPIF1<0．④SKIPIF1<0SKIPIF1<0．其中運(yùn)算結(jié)果為向量SKIPIF1<0的共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D對①，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；對②，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；對③，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；對④，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴以上4個算式運(yùn)算的結(jié)果都是向量SKIPIF1<0．故選：D．例題2．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)高二期末（理））如圖，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A由題意得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.故選：A題型歸類練1．（2022·全國·高二期末）如圖所示，在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0可表示為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D解：因為在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：D.2．（2022·全國·高二單元測試）如圖所示，在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________.【答案】2解：因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故答案為：2.3．（2022·全國·高二開學(xué)考試）如圖，在三棱錐P—ABC中，M是側(cè)棱PC的中點，且SKIPIF1<0，則x＋y＋z的值為______．【答案】0在三棱錐P—ABC中，M是側(cè)棱PC的中點，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故答案為0.題型二：共線、共面向量定理的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·天津·南開中學(xué)高一期末）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一點，若SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】D由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,因為B,P,D三點共線，所以SKIPIF1<0，故選：D例題2．（2022·山西太原·高一期中）在SKIPIF1<0中，點D在BC上，且SKIPIF1<0，過D的直線分別交直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：依題意SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0三點共線，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；故選：C例題3．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知在正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為空間任意兩點，如果有SKIPIF1<0，那么點SKIPIF1<0必在平面_________內(nèi).【答案】SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0四點共面，即點SKIPIF1<0必在平面SKIPIF1<0內(nèi)．故答案為：SKIPIF1<0．例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）對于空間任意一點SKIPIF1<0和不共線的三點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有如下關(guān)系：SKIPIF1<0，則（

）A．四點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必共面B．四點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必共面C．四點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必共面D．五點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0必共面【答案】B因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以四點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0共面．故選：B題型歸類練1．（2022·全國·高二）已知空間SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點共面，且其中任意三點均不共線，設(shè)SKIPIF1<0為空間中任意一點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】DSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四點共面，且其中任意三點均不共線可得SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0故選：D2．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）A，B，C三點不共線，對空間內(nèi)任意一點O，若SKIPIF1<0，則P，A，B，C四點（

）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．無法判斷是否共面【答案】B因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即SKIPIF1<0即SKIPIF1<0由空間向量共面定理可知，SKIPIF1<0共面，則P，A，B，C四點一定共面故選：B3．（2022·全國·高二）若空間中任意四點O，A，B，P滿足SKIPIF1<0，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對【答案】A因為m＋n＝1，所以m＝1－n，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共線．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有公共起點A，所以P，A，B三點在同一直線上，即P∈AB.故選：A.4．（2022·黑龍江·鶴崗一中高一期中）在△ABC中，點M是SKIPIF1<0上一點，且SKIPIF1<0，P為SKIPIF1<0上一點，向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．16 B．12 C．8 D．4【答案】B因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0三點共線，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立．所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．故選：B題型三：空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用角度1：求空間向量的數(shù)量積典型例題例題1．（2022·全國·高二）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D例題2．（2022·上海長寧·二模）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_________．【答案】2因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故答案為：2例題3．（2022·新疆烏魯木齊·二模（理））在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】A解：因為三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A.例題4．（2022·福建·莆田第二十五中學(xué)高二期中）如圖，在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】BSKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：B題型歸類練1．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知正四面體SKIPIF1<0的棱長為1，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.根據(jù)向量的減法法則，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C.2．（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0兩兩垂直，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0的值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由題意得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D.3．（2022·全國·高二單元測試）已知SKIPIF1<0是長方體外接球的一條直徑，點SKIPIF1<0在長方體表面上運(yùn)動，長方體的棱長分別是1，1，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D設(shè)外接球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0是球心，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D4．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知平面SKIPIF1<0內(nèi)有兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C解：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：C.5．（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．-5【答案】C因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C6．（2022·吉林·長春市第二十九中學(xué)高二階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=________.【答案】SKIPIF1<0由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．角度2：利用數(shù)量積求長度典型例題例題1．（2022·四川綿陽·高二期末（理））如圖，空間四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A．例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在棱長為1的正方體SKIPIF1<0中，若點SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0內(nèi)的動點，且滿足SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】B如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以線段AM的長的最小值為SKIPIF1<0．故選：B．例題3．（2022·江蘇常州·高二期中）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為3，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0___________.【答案】SKIPIF1<0如圖所示，以點SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0分別在SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸上，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值是______.【答案】SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，-SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（當(dāng)SKIPIF1<0時取最小值）故答案為：SKIPIF1<0題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，同一頂點為端點的三條棱長都等于1，且彼此的夾角都是60°，則此平行六面體的對角線AC1的長為（

）．A．6 B．SKIPIF1<0 C．3 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即AC1的長為SKIPIF1<0.故選：B2．（2022·河南平頂山·高二期末（理））在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】B解：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：B.3．（2022·江蘇連云港·高二期中）已知空間中非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）．A．SKIPIF1<0 B．97 C．SKIPIF1<0 D．61【答案】C∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：C.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在平行六面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．9 D．3【答案】D在平行六面體SKIPIF1<0中，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故選：D.5．（2022·貴州貴陽·高二期末（理））在空間直角坐標(biāo)系中，已知點ASKIPIF1<0，若點P滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0_______．【答案】SKIPIF1<0解：設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；故答案為：SKIPIF1<06．（2022·浙江·玉環(huán)市玉城中學(xué)高二期中）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________________【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.4．（2022·全國·高二）設(shè)空間向量SKIPIF1<0是一組單位正交基底，若空間向量SKIPIF1<0滿足對任意的SKIPIF1<0的最小值是2，則SKIPIF1<0的最小值是_________．【答案】SKIPIF1<0以SKIPIF1<0方向為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0又因為SKIPIF1<0是任意值，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.取SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0又因為SKIPIF1<0是任意值，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.角度3：利用數(shù)量積求夾角典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為______________.【答案】SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為SKIPIF1<0.例題2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則實數(shù)SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0由題意得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0例題3．（2022·江蘇宿遷·高二期中）若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D設(shè)向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0故選：D題型歸類練1．（2022·全國·高二）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C2．（2022·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高二階段練習(xí)）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，點P滿足SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B如圖，以D為坐標(biāo)原點，DA為x軸，DC為y軸，SKIPIF1<0為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為3，則SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0，故選：B3．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．90° B．60° C．30° D．0°【答案】A因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，故選：A.4．（2022·江蘇·南京市中華中學(xué)高二開學(xué)考試）在空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．17或SKIPIF1<0【答案】D由題意，向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：D.5．（2022·吉林·長春外國語學(xué)校高二開學(xué)考試）已知空間向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C由題設(shè)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選：C.角度4：利用向量解決平行和垂直問題典型例題例題1．（2022·四川雅安·高二期末（理））向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是直線SKIPIF1<0