6.5正態(tài)分布課件高二上學期數(shù)學北師大版選擇性

§5正態(tài)分布第六章概率北師大版

數(shù)學

選擇性必修第一冊基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引

課程標準1.通過誤差模型,了解服從正態(tài)分布的隨機變量.借助頻率分布直方圖,了解正態(tài)分布的特征及均值、方差.2.掌握正態(tài)分布的定義,會利用正態(tài)分布解決實際問題.3.借助正態(tài)分布中的“3σ原則”計算正態(tài)分布X~N(μ,σ2)在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率.基礎落實·必備知識一遍過知識點1

正態(tài)分布的概念及特點1.概念

與之前學過的離散型隨機變量區(qū)分由誤差引起的連續(xù)型隨機變量其分布密度函數(shù)圖象如圖所示,對應的分布密度函數(shù)解析式為φμ,,x∈(-∞,+∞),其中實數(shù)μ,σ(σ>0)為參數(shù),這一類隨機變量X的分布密度(函數(shù))稱為正態(tài)分布密度(函數(shù)),簡稱

,對應的圖象為正態(tài)分布密度曲線,簡稱

.

正態(tài)分布

正態(tài)曲線

正態(tài)分布是最常見、最重要的連續(xù)型隨機變量的分布,是刻畫誤差分布的重要模型,因此也稱為

.

如果隨機變量X服從正態(tài)分布,記為

,其中EX=

,DX=

.

誤差模型X~N(μ,σ2)

μσ22.特點如果一個隨機變量X服從正態(tài)分布,那么對于任何實數(shù)a,b(a<b),隨機變量X在區(qū)間(a,b]的概率可以用P(a<X≤b)來表示.它的幾何意義就是隨機變量X的分布密度曲線在區(qū)間(a,b]對應的曲邊梯形面積的值,如圖.思考辨析1.正態(tài)分布函數(shù)中的μ,σ的含義是什么?2.頻率分布直方圖隨著組距的增多其形狀會越來越像一條鐘形曲線,那么這條曲線是否存在函數(shù)解析式呢?提示

若X~N(μ,σ2),則EX=μ,DX=σ2,其中μ反映隨機變量取值的平均水平,σ衡量隨機變量總體波動大小.提示

存在.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)正態(tài)分布是對連續(xù)型隨機變量而言的.(

)(2)正態(tài)分布密度函數(shù)中的參數(shù)μ和σ的意義分別是樣本的均值和方差.(

)√×2.[人教A版教材習題]舉出兩個服從正態(tài)分布的隨機變量的例子.解

答案不唯一.(1)某地區(qū)16歲男孩的身高分布可以近似看成服從正態(tài)分布;(2)某年某地區(qū)考生的高考成績的分布近似看成服從正態(tài)分布.知識點2

正態(tài)曲線的性質(zhì)正態(tài)曲線有如下性質(zhì):(1)曲線在x軸的上方,與x軸不相交.(2)曲線是單峰的,關于直線x=μ對稱.(3)曲線的最高點位于x=μ處.(4)當x<μ時,曲線上升;當x>μ時,曲線下降;并且當曲線向左、右兩邊無限延伸時,以x軸為漸近線(如圖).因為正態(tài)分布完全由μ和σ確定,所以正態(tài)曲線還具有下列特點:(1)當σ一定時,曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移.(2)當μ一定時,曲線的形狀由σ確定.σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散;σ越小,曲線越“高瘦”,表示總體的分布越集中.思考辨析[人教A版教材習題]設隨機變量X~N(0,22),隨機變量Y~N(0,32),畫出正態(tài)分布密度曲線草圖,你能指出P(X≤-2)與P(X≤2)的關系,以及P(|X|≤1)與P(|Y|≤1)之間的大小關系嗎?提示

正態(tài)分布密度曲線草圖如圖所示.∵X~N(0,22),∴P(X≤-2)=P(X≥2),∴P(X≤2)=1-P(X≥2)=1-P(X≤-2),∴P(X≤-2)+P(X≤2)=1.由圖易知P(|X|>1)<P(|Y|>1),且P(|X|≤1)=1-P(|X|>1),P(|Y|≤1)=1-P(|Y|>1),故1-P(|X|>1)>1-P(|Y|>1),即P(|X|≤1)>P(|Y|≤1).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)正態(tài)曲線是一條鐘形曲線.(

)(2)正態(tài)曲線是單峰的,其與x軸圍成的面積是隨參數(shù)μ,σ的變化而變化的.(

)(3)正態(tài)曲線可以關于y軸對稱.(

)√×√D知識點3

正態(tài)分布的隨機變量在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值及3σ原則1.三個常用概率值如圖,正態(tài)分布隨機變量X在區(qū)間(μ-σ,μ+σ](σ>0)上取值的概率為陰影部分的面積.特別地,P(μ-σ<X≤μ+σ)≈

,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈

,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈

.

0.68260.95440.99742.3σ原則隨機變量X在區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]外取值的概率只有0.3%,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的,認為是小概率事件.因此,在實際應用中,通常認為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ]之間的值,并稱之為3σ原則.名師點睛對小概率事件的正確理解(1)小概率事件是針對“一次試驗”來說的,如果試驗次數(shù)多了,該事件當然是很有可能發(fā)生的;(2)當我們運用“小概率事件幾乎不可能發(fā)生”的原理進行推斷時,也有0.3%犯錯的可能.思考辨析

如圖,若服從正態(tài)分布的隨機變量X在區(qū)間(μ+σ,+∞)內(nèi)的概率為0.1,則在區(qū)間(μ-σ,μ+σ](σ>0)上的概率是多少?提示

0.8.自主診斷1.(多選題)已知在某市的一次學情檢測中,學生的數(shù)學成績X服從正態(tài)分布N(105,100),其中90分為及格線,120分為優(yōu)秀線,下列說法正確的是(

)(若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9974)A.該市學生數(shù)學成績的期望為105B.該市學生數(shù)學成績的標準差為100C.該市學生數(shù)學成績及格率超過0.99D.該市學生數(shù)學成績不及格的人數(shù)和優(yōu)秀的人數(shù)大致相等AD2.[人教A版教材習題]某市高二年級男生的身高X(單位:cm)近似服從正態(tài)分布N(170,52),隨機選擇一名本市高二年級的男生,求下列事件的概率:(1)165<X≤175;(2)X≤165;(3)X>175.解

∵X~N(170,52),∴μ=170,σ=5.∴(1)P(165<X≤175)=

P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682

6.(3)P(X>175)=P(X≤165)≈0.158

7.3.[人教A版教材習題]袋裝食鹽標準質(zhì)量為400g,規(guī)定誤差的絕對值不超過4g就認為合格.假設誤差服從正態(tài)分布,隨機抽取100袋食鹽,誤差的樣本均值為0,樣本方差為4.請你估計這批袋裝食鹽的合格率.解

設誤差為X,由題意得X~N(0,4),∴μ=0,σ=2,∴P(-4≤X≤4)≈0.954

4.因此估計這批袋裝食鹽的合格率為95.44%

.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一正態(tài)分布的概念及正態(tài)曲線的性質(zhì)A.-2 B.0 C.1 D.2D★(2)如圖所示是一個正態(tài)曲線,試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的密度函數(shù)的解析式,求出隨機變量的期望和方差.規(guī)律方法

利用正態(tài)曲線的性質(zhì)可以求參數(shù)μ,σ,具體方法如下:(1)正態(tài)曲線是單峰的,它關于直線x=μ對稱,由此性質(zhì)結合圖象求μ.(2)正態(tài)曲線在x=μ處達到峰值

,由此性質(zhì)結合圖象可求σ.變式訓練1(1)下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是(

)BA.σ1>σ2>σ3

B.σ3>σ2>σ1C.σ1>σ3>σ2

D.σ2>σ1>σ3A解析

由σ的意義可知,圖象越“高瘦”,數(shù)據(jù)越集中,σ2越小,故有σ1>σ2>σ3.探究點二服從正態(tài)分布的變量的概率問題【例2】

(1)已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,則P(0<ξ≤2)=(

)A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2C解析

∵隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),∴μ=2,圖象的對稱軸是直線x=2.∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,∴P(0<ξ≤4)=0.6,∴P(0<ξ≤2)=0.3.故選C.★(2)在某項測量中,測量結果服從正態(tài)分布N(1,4),求正態(tài)總體X在(-1,1]上取值的概率.解

由題意得μ=1,σ=2,所以P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)≈0.682

6.又因為正態(tài)曲線關于x=1對稱,所以P(-1<X≤1)=P(1<X<3)=P(-1<X≤3)≈0.341

3.規(guī)律方法

利用正態(tài)分布求概率的兩個方法

變式訓練2(1)若隨機變量ξ~N(10,σ2),P(9<ξ≤11)=0.4,則P(ξ>11)=

.

0.3解析

由P(9<ξ≤11)=0.4且正態(tài)曲線以ξ=10為對稱軸知,P(9<ξ≤11)=2P(10<ξ≤11)=0.4,∴P(10<ξ≤11)=0.2.∵P(ξ≥10)=0.5,∴P(ξ>11)=0.5-0.2=0.3.★(2)設隨機變量X~N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1).①求c的值;②求P(-4<X≤8).解

①由X~N(2,9)可知,正態(tài)分布密度函數(shù)圖象關于直線x=2對稱(如圖所示),又P(X>c+1)=P(X<c-1),故有2-(c-1)=(c+1)-2,所以c=2.②P(-4<X≤8)=P(2-2×3<X≤2+2×3)≈0.954

4.探究點三正態(tài)分布的實際應用【例3】

在某次大型考試中,某班同學的成績服從正態(tài)分布N(80,52),已知該班同學中成績在80~85分的有17人,該班成績在90分以上的同學有多少人?解

∵成績服從正態(tài)分布N(80,52),∴μ=80,σ=5,則μ-σ=75,μ+σ=85.∴成績在(75,85]上的同學占全班同學的68.26%,成績在[80,85]上的同學占全班同學的34.13%.設該班有x名同學,則x·34.13%=17,解得x≈50.∵μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90,∴成績在(70,90]上的同學占全班同學的95.44%,成績在90分以上的同學占全班同學的2.28%.即有50×2.28%≈1(人),即成績在90分以上的僅有1人.規(guī)律方法

1.本題利用轉化的思想方法,把普通的區(qū)間轉化為3σ區(qū)間,由特殊區(qū)間的概率值求出.2.解答正態(tài)分布的實際應用題,其關鍵是如何轉化,同時應熟練掌握正態(tài)分布在(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]三個區(qū)間內(nèi)的概率.在此過程中用到歸納思想和數(shù)形結合思想.變式訓練3某地高三學生有15000名,在一次調(diào)研測試中,數(shù)學成績ξ服從正態(tài)分布N(100,σ2),已知P(80<ξ<120)=0.70,若以按成績分層隨機抽樣的方式取100份試卷進行分析,則應從120分以上的試卷中抽取

份.

15解析

根據(jù)正態(tài)分布N(100,σ2),μ=100,P(80<ξ<120)=0.7,所以根據(jù)分層隨機抽樣,可得120分以上抽取份數(shù)為100×0.15=15.學以致用·隨堂檢測促達標12345678910111213A級必備知識基礎練14151.[探究點一]如圖所示是當σ取三個不同值σ1,σ2,σ3的三種正態(tài)曲線N(0,σ2)的圖象,那么σ1,σ2,σ3的大小關系是(

)A.σ1>1>σ2>σ3>0 B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0 D.0<σ1<σ2=1<σ3D123456789101112131415123456789101112132.[探究點二]在某次高三聯(lián)考數(shù)學測試中,學生成績ξ服從正態(tài)分布N(100,σ2)(σ>0),若ξ在(85,115]內(nèi)的概率為0.75,則任意選取一名學生,該學生成績高于115的概率為(

)A.0.25 B.0.1

C.0.125

D.0.5C14151415123456789101112133.[探究點三](多選題)

已知甲、乙兩個品種的陽山水蜜桃的質(zhì)量(單位:斤)分別服從正態(tài)分布,其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示,則下列說法正確的是(

)A.乙品種水蜜桃的平均質(zhì)量μ2=0.8B.甲品種水蜜桃的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C.甲品種水蜜桃的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D.乙品種水蜜桃的質(zhì)量服從的正態(tài)分布的參數(shù)σ2=1.99ABC14151234567891011121314154.[探究點二·2024重慶渝中月考]若隨機變量X~N(10,22),則下列選項錯誤的是(

)A.P(X≥10)=0.5B.P(X≤8)+P(X≤12)=1C.P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10)D.D(2X+1)=8D解析

根據(jù)隨機變量X~N(10,22)可知正態(tài)分布曲線的對稱軸為X=10,均值為10,方差為4,所以P(X≥10)=0.5,故A正確;P(X≤8)+P(X≤12)=P(X≥12)+P(X≤12)=1,故B正確;P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10),C正確;D(2X+1)=4DX=16,故D錯誤.123456789101112135.

[探究點三](多選題)

近年來中國進入一個鮮花消費的增長期,某農(nóng)戶貸款承包了一個新型溫室鮮花大棚,種植銷售紅玫瑰和白玫瑰.若這個大棚的紅玫瑰和白玫瑰的日銷量分別服從正態(tài)分布N(μ,302)和N(280,402),則下列選項正確的是(

)附:若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826.A.若紅玫瑰日銷售量范圍在(μ-30,280]的概率是0.6826,則紅玫瑰日銷售量的均值約為250B.紅玫瑰日銷售量比白玫瑰日銷售量更集中C.白玫瑰日銷售量比紅玫瑰日銷售量更集中D.白玫瑰日銷售量范圍在(280,320]的概率約為0.3413ABD1415解析

μ+30=280,μ=250,A正確;因為σ越小總體分布越集中,且30小于40,B正確,C不正確;P(280<X≤320)=P(μ<X≤μ+σ)≈0.682

6×=0.341

3,D正確.1234567891011121314151234567891011121314156.[探究點二]設隨機變量X~N(3,1),若P(X>4)=p,則P(2<X<4)=

.

1-2p解析

由X~N(3,1),得μ=3,所以P(3<X<4)=-p,即P(2<X<4)=2P(3<X<4)=1-2p.1234567891011121314157.[探究點三]一年時間里,某校高一學生經(jīng)常利用課余時間參加社區(qū)志愿者公益活動,據(jù)統(tǒng)計,他們參加社區(qū)志愿者公益活動時長X(單位:時)近似服從正態(tài)分布N(50,σ2),且P(30<X<70)=0.7,該校高一學生中參加社區(qū)志愿者公益活動超過30小時的人數(shù)有1275,估計該校高一年級學生人數(shù)為

.

15001234567891011121314158.[探究點三]某工廠包裝白糖的生產(chǎn)線,正常情況下包裝出來的白糖質(zhì)量服從正態(tài)分布N(500,52)(單位:g).(1)求正常情況下,任意抽取一包白糖,質(zhì)量小于485g的概率約為多少?(2)該生產(chǎn)線上的檢測員某天隨機抽取了兩包白糖,稱得其質(zhì)量均小于485g,檢測員根據(jù)抽檢結果,判斷出該生產(chǎn)線出現(xiàn)異常,要求立即停產(chǎn)檢修,檢測員的判斷是否合理?請說明理由.附:X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974.123456789101112131415解

(1)設正常情況下,該生產(chǎn)線上包裝出來的白糖質(zhì)量為X

g,由題意可知X~N(500,52).由于485=500-3×5,所以根據(jù)正態(tài)分布的對稱性與“3σ原則”可知P(X<485)=[1-P(500-3×5<X≤500+3×5)]≈×0.002

6=0.001

3.(2)檢測員的判斷是合理的.因為如果生產(chǎn)線不出現(xiàn)異常的話,由(1)可知,隨機抽取兩包檢查,質(zhì)量都小于485

g的概率約為0.001

3×0.001

3=0.000

001

69=1.69×10-6,幾乎為零,但這樣的事件竟然發(fā)生了,所以有理由認為生產(chǎn)線出現(xiàn)異常,檢測員的判斷是合理的.1234567891011121314159.已知隨機變量X~N(6,1),且P(5<X≤7)=a,P(4<X≤8)=b,則P(4<X≤7)=(

)BB級關鍵能力提升練12345678910111213141510.某中學有2000人參加2023年的市模擬考試,其中數(shù)學考試成績近似服從正態(tài)分布N(105,σ2)(σ>0),試卷滿分150分,統(tǒng)計結果顯示數(shù)學成績優(yōu)秀(高于120分)的人數(shù)占總人數(shù)的,則此次數(shù)學考試成績在105分到120分(含105分和120分)之間的人數(shù)約為(

)A.300 B.400

C.600

D.800B12345678910111213141512345678910111213141511.[2024廣東佛山月考]某企業(yè)瓷磚生產(chǎn)線上生產(chǎn)的瓷磚某項指標X~N(800,σ2),且P(X<801)=0.6,現(xiàn)從該生產(chǎn)線上隨機抽取10片瓷磚,記Y表示800≤X<801的瓷磚片數(shù),則EY=

.

1解析

由題意,X~N(800,σ2),所以正態(tài)曲線關于直線X=800對稱,所以P(X<800)=0.5,因為P(X<801)=P(X<800)+P(800≤X<801)=0.6,所以P(800≤X<801)=0.6-0.5=0.1,由題意,Y~B(10,0.1),所以EY=10×0.1=1.12345678910111213141512.為了解高三復習備考情況,某校組織了一次階段考試.若高三全體考生的數(shù)學成績近似服從正態(tài)分布N(100,17.52).已知成績在117.5分以上(不含117.5分)的學生有80人,則此次參加考試的學生成績低于或等于82.5分的概率為

;如果成績大于135分的為特別優(yōu)秀,那么本次參加考試的學生成績特別優(yōu)秀的概率為

.(若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544)

0.15870.0228

12345678910111213141512345678910111213141513.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,一條流水線年產(chǎn)量為10000件,該生產(chǎn)線分為兩段,流水線第一段生產(chǎn)的半成品的質(zhì)量指標會影響第二段生產(chǎn)成品的等級,具體見下表:第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標xx≤74或x>8674<x≤78或82<x≤8678<x≤82第二段生產(chǎn)的成品為一等品概率0.20.40.6第二段生產(chǎn)的成品為二等品概率0.30.30.3第二段生產(chǎn)的成品為三等品概率0.50.30.1從第一段生產(chǎn)的半成品中抽樣調(diào)查了100件,得到頻率分布直方圖如圖:若生產(chǎn)一件一等品、二等品、三等品的利潤分別是100元、60元、-100元.(1)以各組的中間值估計為該組半成品的質(zhì)量指標,估算流水線第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標的平均值;(2)將頻率估計為概率,試估算一條流水線一年能為該公司創(chuàng)造的利潤;(3)現(xiàn)在市面上有一種設備可以安裝到流水線第一段,價格是20萬元,使用壽命是1年,安裝這種設備后,流水線第一段半成品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布N(80,22),且不影響產(chǎn)量.請你幫該公司做出決策,決定是否要購買該設備.說明理由.(參考數(shù)據(jù):P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9544,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9974)123456789101112131415解

(1)平均值為72×0.1+76×0.25+80×0.3+84×0.2+88×0.15=80.2.(2)由頻率分布直方圖知,第一段生產(chǎn)的半成品質(zhì)量指標P(X≤74或X>86)=0.25,P(74<X≤78或82<X≤86)=0.45,P(78<X≤82)=0.3,設生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為X元,則P(X=100)=0.2×0.25+0.4×0.45+0.6×0.3=0.41,P(X=60)=0.3×0.25+0.3×0.45+0.3×0.3=0.3,P(X=-100)=0.5×0.25+0.3×0.45+0.1×0.3=0.29,所以生產(chǎn)一件成品的平均利潤是100×0.41+60×0.3-100×0.29=30(元),所以一條流水線一年能為該公司帶來利潤的估計值是30萬元.123456789101112131415(3)需購買該設備.因為μ-3σ=74,μ-σ=78,μ+σ=82,μ+3σ=86,設引入該設備后生產(chǎn)一件成品利潤為Y元,則P(Y=100)=0.002

6×0.2+0.314

8×0.4+0.682

6×0.6=0.536,P(Y=60)=0.002

6×0.3+0.314

8×0.3+0.682

6×0.3=0.3,P(Y=-100)=0.002

6×0.5+0.314

8×0.3+0.682

6×0.1=0.164,所以引入該設備后生產(chǎn)一件成品平均利潤為100×0.536+60×0.3-100×0.164=55.2(元),所以引入該設備后一條流水線一年能為該公司帶來利潤的估計值是55.2萬元,