2024-2025學年高一數(shù)學下學期期末考試模擬試卷03含解析

高考資源網(wǎng)（ks5u），您身邊的高考專家歡迎廣闊老師踴躍來稿，稿酬豐厚。ks5u高考資源網(wǎng)（ks5u），您身邊的高考專家歡迎廣闊老師踴躍來稿，稿酬豐厚。ks5u2024-2025學年高一數(shù)學下學期期末考試模擬試卷0303具體解析——老師版卷I（選擇題）一、選擇題（本題共計8小題，每題3分，共計24分）1.已知復數(shù)，則等于(

)A. B. C. D.【答案】A【考點】復數(shù)的模復數(shù)代數(shù)形式的混合運算【解答】解：復數(shù)，

則.

故選.2.如圖所示正三棱錐中，是上一點，，且，，則三棱錐的外接球的表面積為

A. B. C. D.【答案】D【考點】球的表面積和體積球內(nèi)接多面體棱錐的結構特征【解答】解：∵三棱錐是正三棱錐，

∴．

∵，，

∴平面，

∴，，

即，，兩兩垂直．

∵，

∴.

設外接球的半徑為，

則，

∴球的表面積.

故選.3.如圖，已知，分別是棱長為的正方體—的棱，的中點，則截面與底面的夾角的余弦值是(

)

A. B. C. D.【答案】A【考點】二面角的平面角及求法【解答】解：因為平面，過作與，連接，

如圖，

則即為截面與底面所成二面角的平面角.

正方體的棱長為，

在中，，

因為，

所以，

所以，

所以.

故選4.已知正三棱錐的四個頂點，，，都在球的球面上，是正三角形，正三棱錐的高為，且＝＝＝，則球的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【考點】球的表面積和體積柱體、錐體、臺體的體積計算球內(nèi)接多面體5.棱長為的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖，則圖中三角形（正四面體的截面）的面積是（）A. B. C. D.【答案】C【考點】簡潔組合體的結構特征【解答】解：棱長為的正四面體的四個頂點都在同一個球面上，若過該球球心的一個截面如圖為，則圖中，為中點，則，

在中，，，

∴，

∴三角形的面積是，

故選．6.在《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，底面為正方形，底面，則下列結論中錯誤的是（）

A.B.平面C.與平面所成的角等于與平面所成的角D.與所成的角等于與所成的角【答案】D【考點】異面直線及其所成的角空間中直線與平面之間的位置關系直線與平面所成的角7.為了了解某校高三名學生的數(shù)學學業(yè)水平測試成果，制成樣本頻率分布直方圖如圖，規(guī)定不低于分為及格，不低于分為優(yōu)秀，則及格率與優(yōu)秀人數(shù)分別是(

)

A.， B.， C.， D.，【答案】C【考點】頻數(shù)與頻率頻率分布直方圖【解答】解：由頻率分布直方圖得，及格率為

，

優(yōu)秀的頻率，

優(yōu)秀的人數(shù).

故選.8.考察底為等腰直角三角形的直三棱柱的條棱，甲從這條棱中任選一條，乙從這條棱中任選一條，則這兩條棱相互垂直的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【考點】古典概型及其概率計算公式空間中直線與直線之間的位置關系【解答】解：由題意知本題是一個古典概型，

試驗發(fā)生包含的事務是甲從這條棱中任選一條，乙從這條棱中任選一條，共有種結果，

滿意條件的事務是這兩條棱相互垂直，

當甲選底面上的一條直角邊時，乙有種選法，共有條直角邊，乙共有種結果，

當甲選底面上的一條斜邊時，乙有種選法，幾何體有條地面的斜邊，共有種結果，

當甲選三條側棱之一時，乙有種選法，共有種結果，

綜上所述共有種結果，

∴兩條棱相互垂直的概率是：，

故選二、多選題（本題共計4小題，每題3分，共計12分）9.如圖所示，在四邊形中，，，，將四邊形沿對角線折成四面體，使平面平面，則下列結論正確的是（

）

A.B.C.四面體的體積為D.直線與平面所成角為【答案】B,C【考點】柱體、錐體、臺體的體積計算空間中直線與平面之間的位置關系兩條直線垂直的判定直線與平面所成的角【解答】解：對于，若，又，，

則平面，所以，明顯與題意沖突，故錯誤；

對于，因為，平面平面，

平面平面，平面，

所以平面，又平面，所以．

因為，，所以，，

所以，所以，即，故正確；

對于，四面體的體積，故正確；

對于，由前面知道平面，

所以為直線與平面所成角的平面角，

所以，故錯誤．

故選．10.已知，表示直線，，，表示平面．定義：若把命題中的直線改為平面，平面改為直線，得到的命題為真命題，則命題叫做對偶命題．下列命題為對偶命題的是（

）A.，，則 B.，，則

C.，，則 D.，，則【答案】A,C,D【考點】空間中直線與平面之間的位置關系空間中平面與平面之間的位置關系空間中直線與直線之間的位置關系【解答】解：將各個選項中命題的直線改為平面，平面改為直線，則：

，，，則依據(jù)平行線的傳遞性可知，故該選項正確；

，，，則不肯定成立，故該選項錯誤；

，，，則肯定成立，故該選項正確；

，，，則肯定成立，故該選項正確.

故選.11.下列命題中是真命題的有(

)A.有，，三種個體按的比例分層抽樣調(diào)查，假如抽取的個體數(shù)為，則樣本容量為B.一組數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)相同C.若甲組數(shù)據(jù)的方差為，乙組數(shù)據(jù)為，，，，，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是甲D.一組數(shù)，，，，，，，，，的分位數(shù)為【答案】B,D【考點】分層抽樣方法極差、方差與標準差眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)【解答】解：，乙、丙抽取的個體數(shù)分別為，，

則樣本容量為

，故錯誤；

，平均數(shù)為

，

中位數(shù)為，眾數(shù)為，故正確；

，乙的平均數(shù)為

，

方差為

，

則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙，故錯誤；

，將該組數(shù)據(jù)總小到大排列，，，，，，，，，，

由

，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，故正確．

故選．12.甲、乙、丙、丁名志愿者報名參與三項志愿者活動，每人限報一項，每項活動均有人報名，則(

)A.不同的報名方法有種B.不同的報名方法有種C.甲，乙報名參與同一項志愿者活動的概率是D.甲，乙報名參與同一項志愿者活動的概率是【答案】B,D【考點】古典概型及其概率計算公式排列、組合的應用【解答】解：人分三組參與三項活動共種，

甲、乙參與同一項，丙、丁兩人各選一項，共種，

所求概率．

故選．卷II（非選擇題）三、填空題（本題共計4小題，每題3分，共計12分）13.“”由個大寫的英文字母構成，若從這個字母中任選個，則取到的個字母中恰有個字母為中心對稱圖形的概率為________.【答案】【考點】古典概型及其概率計算公式列舉法計算基本領件數(shù)及事務發(fā)生的概率【解答】解：從，，，，，這個字母中任取個有，，

，，，，，

，，，共種不同的取法，

則取到的個字母中恰有個字母為中心對稱圖形的有，

，，，，，共種不同的取法，

故所求概率為．

故答案為：．14.中，，邊上的中線，則________.【答案】【考點】余弦定理【解答】解：由余弦定理得，

因為

，，

所以

，

解得

，

此時所以.

故答案為：.15.魔方又叫魯比克方塊，是由匈牙利建筑學教授魯比克·艾爾內(nèi)于年獨創(chuàng)的機械益智玩具，與華容道、獨立鉆石棋一起被國外智力專家并稱為智力嬉戲界的三大不行思議．而魔方受歡迎的程度更是智力嬉戲界的奇跡．通常意義下的魔方，即指三階魔方，三階魔方可以看作是將一個各面上均涂有顏色的正方體的棱三等分，然后沿等分線把正方體切開所得，共由個色塊組成．現(xiàn)有一個復原好的三階魔方，白面朝上，只可以扭動最外側的六個表面，某人按規(guī)定將魔方隨機扭動兩次，每次均順時針轉動，記事務為“頂面白色色塊的個數(shù)為”，則事務發(fā)生的概率________．

【答案】【考點】古典概型及其概率計算公式【解答】解：總的基本領件共有種，事務包含種，

故所求的概率．

故答案為：．16.拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子（六個面上的點數(shù)分別為），事務為“正面朝上的點數(shù)為”，事務為“正面朝上的點數(shù)為偶數(shù)”，則________.【答案】【考點】互斥事務的概率加法公式【解答】解：由題意可得，，

且事務與事務互斥，

∴．

故答案為：．四、解答題（本題共計4小題，每題10分，共計40分）17.記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，點在邊上，.證明：；若，求．【答案】證明：在中，由正弦定理得，

．

又，

∴，

即．解：若，則，，

則

整理得

，

又，

∴，

等式兩邊同除以，得，

令，

則，即，

即，

∴或.

當時，，，

此時（舍），

∴，

∴

．【考點】正弦定理余弦定理【解答】證明：在中，由正弦定理得，

．

又，

∴，

即．解：若，則，，

則

整理得

，

又，

∴，

等式兩邊同除以，得，

令，

則，即，

即，

∴或.

當時，，，

此時（舍），

∴，

∴

．18.隨著智能手機的普及，高校生癡迷智能手機的現(xiàn)象特別嚴峻．為了調(diào)查雙休日高校生運用智能手機的時間，采納不記名方式隨機調(diào)查了大一年級名學生，將名高校生運用智能手機的時間分成組：，，，，分別加以統(tǒng)計，得到如下頻率分布直方圖，依據(jù)頻率分布直方圖完成下列問題．估計學生運用智能手機的平均時間（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；用分層抽樣的方法從運用手機時間在區(qū)間，的學生中抽取名學生，再從這名學生中隨機抽取名學生，求這名學生取自不同區(qū)間的概率．

【答案】解：依據(jù)題意，平均時間的估計值為，

所以學生運用智能手機的平均時間為小時．用分層抽樣的方法從運用時間在區(qū)間，中抽取的人數(shù)分別為，，分別設為，，，，，全部的基本領件為，，，，，，，，，，共種，設這名學生取自不同區(qū)間為事務，符合條件的總事務數(shù)為種，∴，故這名學生取自不同區(qū)間的概率為．【考點】頻率分布直方圖列舉法計算基本領件數(shù)及事務發(fā)生的概率分層抽樣方法【解答】解：依據(jù)題意，平均時間的估計值為，

所以學生運用智能手機的平均時間為小時．用分層抽樣的方法從運用時間在區(qū)間，中抽取的人數(shù)分別為，，分別設為，，，，，全部的基本領件為，，，，，，，，，，共種，設這名學生取自不同區(qū)間為事務，符合條件的總事務數(shù)為種，∴，故這名學生取自不同區(qū)間的概率為．19.袋中裝有個形態(tài)、大小完全相同的球，其中黑球個、白球個、紅球個．規(guī)定取出一個黑球記分，取出一個白球記分，取出一個紅球記分；在抽取這些球的時候，誰也無法看到球的顏色，首先由甲取出個球，并不再將它們放回原袋中，然后由乙取出剩余的個球．規(guī)定取出球的總積分多者獲勝．求甲、乙成平局的概率；假如可以選擇先后取球的依次，你會先取還是后取，為什么？【答案】解：記黑球為，號；白球為，號；紅球為，號．

則甲取球的全部可能性共有下列種狀況：

，，，，，，，

，，，，，，，

，，，，，．

平局時甲、乙兩人的得分均應當為分，

所以，甲應取出黑、白、紅小球各一個，共有種狀況．

故平局的概率為．甲獲勝時，得分只能是分或分，

即取出的個小球只能是紅白，紅白，或紅黑，共有種狀況，

故甲（先取者）獲勝的概率為．

所以乙（后取者）獲勝的概率為．

故先取后取獲勝的可能性是一樣的．【考點】列舉法計算基本領件數(shù)及事務發(fā)生的概率古典概型及其概率計算公式【解答】解：記黑球為，號；白球為，號；紅球為，號．

則甲取球的全部可能性共有下列種狀況：

，，，，，，，

，，，，，，，

，，，，，．

平局時甲、乙兩人的得分均應當為分，

所以，甲應取出黑、白、紅小球各一個，共有種狀況．

故平局的概率為．甲獲勝時，得分只能是分或分，

即取出的個小球只能是紅白，紅白，或紅黑，共有種狀況，

故甲（先取者）獲勝的概率為．

所以乙（后取者）獲勝的概率為．

故先取后取獲勝的可能性是一樣的．20.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點．

證明：；若是邊長為的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積．【答案】證明：在中，，為的中點，

所以，

因為平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

又平面，

所以．解：如圖，取的三