全國卷“超級全能生”2025屆高三數(shù)學(xué)4月聯(lián)考試題甲卷理含解析

PAGE12-（全國卷）“超級全能生”2025屆高三數(shù)學(xué)4月聯(lián)考試題（甲卷）理（含解析）留意事項：1.本試題卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘。2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡的相應(yīng)位置。3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效。4.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。5.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，滿分60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|lnx<2}，則A∩B＝A.{x|－1≤x≤1}B.{x|－1≤x<e2}C.{x|0<x≤1}D.{x|0<x<e2}2.若復(fù)數(shù)z滿意(z－|z|)(1＋i)＝－3－i，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在象限為A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.如圖，已知等邊三角形ABC的外接圓是等邊三角形EFG的內(nèi)切圓，向△EFG內(nèi)任投一粒黃豆，則黃豆落在陰影部分的概率是A.B.C.D.4.已知圓C在第一象限與x，y軸和直線l：x＋y－2＝0都相切，則圓C的半徑r＝A.2－B.2＋C.1D.2－或2＋5.已知函數(shù)f(x)＝，則f(f(4))＝A.1B.2C.3D.46.已知函數(shù)f(x)＝cosωx＋sinωx(ω>0)的圖象關(guān)于x＝對稱，則ω的最小值為A.1B.C.2D.7.已知a，b滿意，|a|＋|b|＝a·b＝2，|a＋b|＝，則a與b夾角的余弦值為A.B.C.D.8.化簡＝A.B.C.D.29.已知(x＋4)5＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3＋a4(x＋2)4＋a5(x＋2)5，則a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝A.242B.243C.404D.40510.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，AA1＝6，D為CC1中點，E為BB1上一點，，∠A1AC＝60°，M為平面AA1C1C上一點，且BM//平面ADE，則點M的軌跡的長度為A.1B.C.D.211.已知雙曲線C：(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A(0，a)，a＝(1，－)，P為C右支上一點，當|PA|＋|PF1|取得最小值時，＝λa，則C的離心率為A.B.2C.D.12.已知函數(shù)f(x)＝(x>e，e為自然對數(shù)的底數(shù))，g(x)＝(a∈R)，若f(x)－g(x)＝0有解，則a的取值范圍為A.(0，＋∞)B.[e，＋∞)C.[2－，＋∞)D.(－∞，2－]二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若x，y滿意約束條件，則z＝x－3y的最小值為。14.已知橢圓E：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過坐標原點的直線交E于P，Q兩點，且PF2⊥F2Q，且＝a2，|PF2|＋|F2Q|＝4，則E的標準方程為。15.已知△ABC中角A，B，C所對的邊為a，b，c，AB＝3，AC＝3，點D在BC上，∠BAD＋∠BAC＝π，記△ABD的面積為S1，△ABC的面積為S2，，則BC＝。16.在古代數(shù)學(xué)中把正四棱臺叫做方亭，數(shù)學(xué)家劉徽用切割的方法奇妙地推導(dǎo)了方亭的體積公式，如圖正四棱臺的下底面邊長為a，上底面邊長為b，高為h，則體積V＝(a2＋ab＋b2)h，某景區(qū)安排在景區(qū)內(nèi)挖一條景觀河，河的橫截面為等腰梯形，上口寬10米，下口寬6米，深2米，河的總長度為1638米(按直線長度計算)，把挖出的土堆成一個正四棱臺形態(tài)的地基，設(shè)計地基的高為6米，側(cè)面與底面所成的二面角為45°，則正四棱臺地基的底面邊長為。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答。第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。17.(12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿意3(a1＋a3)＝S4，且a1，a3＋1，a4成等差數(shù)列。(I)求{an}的通項；(II)設(shè)bn＝an·log2an＋1，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求使Tn>2024成立的n的最小值。18.(12分)為了考察購物商場播放背景音樂對消費者的購物消費是否有促進作用，某商場對往年同期的銷售額進行了統(tǒng)計整理，在往年數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，比較播放背景音樂的樓層和不播放背景音樂的樓層與往年同期相比銷售額是否上漲，得到了如表所示的2×2列聯(lián)表：(I)能否在犯錯誤的概率不超過0。01的前提下認為播放背景音樂對促進消費者消費有效果？(II)為了進一步了解消費者對背景音樂的需求，該商場從播放背景音樂的樓層隨機抽取10位幸運消費者，從不播放背景音樂的樓層分別隨機抽取了5位幸運消費者贈送禮品并進行采訪，然后又從15位幸運消費者中隨機抽取3位進行深化調(diào)查，記抽取的3位幸運消費者中從播放背景音樂的樓層抽取的幸運消費者數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。(參考公式：，其中n＝a＋b＋c＋d)19.(12分)已知梯形ABCD中，AB//CD，AB＝4，AD＝BC＝CD＝2，點E為AB中點，把△ADE沿DE折起，點A到達平面ABCD外一點P處，點F為AD中點。(I)求證：PB//平面CEF；(II)當PB＝時，求二面角D－CE－F的余弦值。20.(12分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點為F，過點F的直線交E于A，B兩點，設(shè)E的準線與x軸的交點為K，當S△KAF＝2S△KBF時，S△KBF＝。(I)求拋物線E的標準方程；(II)若點N(3，0)，M(－3，0)，過點N的直線l與E交于P，Q兩點，求證：N點到直線MP和直線MQ的距離相等。21.(12分)已知函數(shù)f(x)＝mex－x(m∈R)有兩個零點x1，x2，且x1<x2。(I)求m的取值范圍；(II)當x2≥4x1時，不等式恒成立，求a的取值范圍。(二)選考題：共10分。請考生在第22，23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計分，作答時，請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。22.[選修4－4：坐標系與參數(shù)方程](10分)在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線l的直角坐標方程為x－y＋2＝0。(I)以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求曲線