全國(guó)卷“超級(jí)全能生”2025屆高三數(shù)學(xué)4月聯(lián)考試題甲卷理含解析

PAGE12-（全國(guó)卷）“超級(jí)全能生”2025屆高三數(shù)學(xué)4月聯(lián)考試題（甲卷）理（含解析）留意事項(xiàng)：1.本試題卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡的相應(yīng)位置。3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無(wú)效。4.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。5.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，滿分60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A＝{x||x|≤1}，B＝{x|lnx<2}，則A∩B＝A.{x|－1≤x≤1}B.{x|－1≤x<e2}C.{x|0<x≤1}D.{x|0<x<e2}2.若復(fù)數(shù)z滿意(z－|z|)(1＋i)＝－3－i，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為A.第一象限B.其次象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.如圖，已知等邊三角形ABC的外接圓是等邊三角形EFG的內(nèi)切圓，向△EFG內(nèi)任投一粒黃豆，則黃豆落在陰影部分的概率是A.B.C.D.4.已知圓C在第一象限與x，y軸和直線l：x＋y－2＝0都相切，則圓C的半徑r＝A.2－B.2＋C.1D.2－或2＋5.已知函數(shù)f(x)＝，則f(f(4))＝A.1B.2C.3D.46.已知函數(shù)f(x)＝cosωx＋sinωx(ω>0)的圖象關(guān)于x＝對(duì)稱，則ω的最小值為A.1B.C.2D.7.已知a，b滿意，|a|＋|b|＝a·b＝2，|a＋b|＝，則a與b夾角的余弦值為A.B.C.D.8.化簡(jiǎn)＝A.B.C.D.29.已知(x＋4)5＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋a3(x＋2)3＋a4(x＋2)4＋a5(x＋2)5，則a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝A.242B.243C.404D.40510.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，AA1＝6，D為CC1中點(diǎn)，E為BB1上一點(diǎn)，，∠A1AC＝60°，M為平面AA1C1C上一點(diǎn)，且BM//平面ADE，則點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度為A.1B.C.D.211.已知雙曲線C：(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A(0，a)，a＝(1，－)，P為C右支上一點(diǎn)，當(dāng)|PA|＋|PF1|取得最小值時(shí)，＝λa，則C的離心率為A.B.2C.D.12.已知函數(shù)f(x)＝(x>e，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，g(x)＝(a∈R)，若f(x)－g(x)＝0有解，則a的取值范圍為A.(0，＋∞)B.[e，＋∞)C.[2－，＋∞)D.(－∞，2－]二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若x，y滿意約束條件，則z＝x－3y的最小值為。14.已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P，Q兩點(diǎn)，且PF2⊥F2Q，且＝a2，|PF2|＋|F2Q|＝4，則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為。15.已知△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，AB＝3，AC＝3，點(diǎn)D在BC上，∠BAD＋∠BAC＝π，記△ABD的面積為S1，△ABC的面積為S2，，則BC＝。16.在古代數(shù)學(xué)中把正四棱臺(tái)叫做方亭，數(shù)學(xué)家劉徽用切割的方法奇妙地推導(dǎo)了方亭的體積公式，如圖正四棱臺(tái)的下底面邊長(zhǎng)為a，上底面邊長(zhǎng)為b，高為h，則體積V＝(a2＋ab＋b2)h，某景區(qū)安排在景區(qū)內(nèi)挖一條景觀河，河的橫截面為等腰梯形，上口寬10米，下口寬6米，深2米，河的總長(zhǎng)度為1638米(按直線長(zhǎng)度計(jì)算)，把挖出的土堆成一個(gè)正四棱臺(tái)形態(tài)的地基，設(shè)計(jì)地基的高為6米，側(cè)面與底面所成的二面角為45°，則正四棱臺(tái)地基的底面邊長(zhǎng)為。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必需作答。第22，23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。(一)必考題：共60分。17.(12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿意3(a1＋a3)＝S4，且a1，a3＋1，a4成等差數(shù)列。(I)求{an}的通項(xiàng)；(II)設(shè)bn＝an·log2an＋1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求使Tn>2024成立的n的最小值。18.(12分)為了考察購(gòu)物商場(chǎng)播放背景音樂(lè)對(duì)消費(fèi)者的購(gòu)物消費(fèi)是否有促進(jìn)作用，某商場(chǎng)對(duì)往年同期的銷售額進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，在往年數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，比較播放背景音樂(lè)的樓層和不播放背景音樂(lè)的樓層與往年同期相比銷售額是否上漲，得到了如表所示的2×2列聯(lián)表：(I)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0。01的前提下認(rèn)為播放背景音樂(lè)對(duì)促進(jìn)消費(fèi)者消費(fèi)有效果？(II)為了進(jìn)一步了解消費(fèi)者對(duì)背景音樂(lè)的需求，該商場(chǎng)從播放背景音樂(lè)的樓層隨機(jī)抽取10位幸運(yùn)消費(fèi)者，從不播放背景音樂(lè)的樓層分別隨機(jī)抽取了5位幸運(yùn)消費(fèi)者贈(zèng)送禮品并進(jìn)行采訪，然后又從15位幸運(yùn)消費(fèi)者中隨機(jī)抽取3位進(jìn)行深化調(diào)查，記抽取的3位幸運(yùn)消費(fèi)者中從播放背景音樂(lè)的樓層抽取的幸運(yùn)消費(fèi)者數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。(參考公式：，其中n＝a＋b＋c＋d)19.(12分)已知梯形ABCD中，AB//CD，AB＝4，AD＝BC＝CD＝2，點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，把△ADE沿DE折起，點(diǎn)A到達(dá)平面ABCD外一點(diǎn)P處，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)。(I)求證：PB//平面CEF；(II)當(dāng)PB＝時(shí)，求二面角D－CE－F的余弦值。20.(12分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)，設(shè)E的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，當(dāng)S△KAF＝2S△KBF時(shí)，S△KBF＝。(I)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(II)若點(diǎn)N(3，0)，M(－3，0)，過(guò)點(diǎn)N的直線l與E交于P，Q兩點(diǎn)，求證：N點(diǎn)到直線MP和直線MQ的距離相等。21.(12分)已知函數(shù)f(x)＝mex－x(m∈R)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1<x2。(I)求m的取值范圍；(II)當(dāng)x2≥4x1時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍。(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，假如多做，則按所做的第一題計(jì)分，作答時(shí)，請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑。22.[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2＝0。(I)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求曲線