圓錐曲線解答題練習題

圓錐曲線解答題練習題

一、解答題

1.已知點尸(1,0),直線/:x=—1,M為直角坐標平面上的動點，過動點Af作/的垂

線，垂足為點。，且滿足QF-(MQ+MF)=O,記M的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)若過戶的直線與曲線。交于P,Q兩點，直線OP,OQ與直線x=l分別交于4,

8兩點，試判斷以A8為直徑的圓是否經(jīng)過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說

明理由.

【答案】⑴/=4%；(2)是，(-1,0)和(3,0).

【解析】

【分析】

⑴設(shè)M七y)，則。(―l,y),再由Q尸《MQ+MEXO可得(2,-y7(—2x,->)=0,

化簡可得所求軌跡方程；

(2)設(shè)直線PQ的方程為x=?/y+l,0(不，乂)，Q(W，%)，聯(lián)立J，=4A，則

x=my+1

X4

X+%=4m,%%二-4,由題意可得直線OP的方程為y=dx=一犬，直線。。的

x\y

4(4、(4、

方程為y=—x,則A1,—,B1,—，從而可求出A3中點7的坐標T。,—2機)，

%IyjIy2)

再求出|A8|,可得圓的半徑，進而可求出圓的方程，從而可得答案

【詳解】

⑴設(shè)〃(x,y),.?.點*1,0),直線/：x=—l,

???。（-1,力

,/QF-（MQ+MF）=O.

.?.（2,_y>（_2x,_y）=-4x+y2=（）,

二C的方程為y2=4;c.

（2）設(shè)直線PQ的方程為了=my+1,P（X],y）,Q（x2,y2）,

y2=4x

聯(lián)立）,

x=/ny+1

2

整理得：y-4my-4=Q,△=16>+16>0，X+%=4根，y,y2=-4,

X4

直線OP的方程為y=,x=一%,

苞乂

4

同理：直線。。的方程為y=—x,

%

44

令x=l得，A1,一,B1,—,

IyjIM

設(shè)A8中點T的坐標為（七,%），

￡4

則芍=1,_乂%_2（乂+%）

力=O=

2y%

所以

吐卜近尸口5

圓的半徑為r='⑹1+16.

2

試卷第2頁，總115頁

所以以A3為直徑的圓的方程為(x—1)2+(y+2加『=4〃，+4.

展開可得(x-1)-+y2+Amy=4,

令y=0,可得(x_ly=4,解得X=3或X=—1.

從而以AB為直件的圓經(jīng)過定點(-L0)和(3,0).

【點睛】

此題考查軌跡方程的求法，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查圓的方程，考查定點問

題，屬于中檔題

2.圓C過點A(6,0),B(l,5),且圓心在直線/:2x-7y+8=0上.

(1)求圓C的方程：

(2)P為圓C上的任意一點，定點。(8,0),求線段PQ中點M的軌跡方程.

2

(11\1Q

【答案】(1)(x-3)2+(y-2)2=13；(2)x--+(y-l)2=—.

I2J4

【解析】

【分析】

(1)求得線段AB垂直平分線的方程，與直線/方程聯(lián)立，求得圓心C的坐標，由|C4|

求得半徑，由此求得圓C的方程.

(2)設(shè)出M點坐標，由此求得P點坐標，將尸點的坐標代入圓C的方程，化簡求得M

點的軌跡方程.

【詳解】

(1)直線A3的斜率A=±m(xù)=-i,

1—6

所以A3的垂直平分線〃?的斜率為L

AB的中點的橫坐標和縱坐標分別為x=1，y=29=-.

2222

因此，直線”的方程為y—|=(x—g).即x-y-1=0.

又圓心在直線I上，所以圓心是直線m與直線/的交點.聯(lián)立方程組

%—y—1=0

2x—7y+8=0

x=3

解得〈c

U=2

所以圓心坐標為C(3,2),又半徑r=|C4|=JB,

試卷第4頁，總115頁

則所求圓的方程是（x—3）2+（y—2）2=13.

（2）設(shè)線段P。的中點M（x,y）,P（$,%）

9一

2

M為線段PQ的中點，則《

2

x=2x-8

解得《0

Jo=2），

P（2x—8,2y）代入圓（7中得（21-8-3）2+（2卜-2）2=13,

11?+（5=4

即線段PQ中點M的軌跡方程為X-------

2；4

【點睛】

本小題主要考查圓的方程的求法，考查動點軌跡方程的求法，屬于中檔題.

3.已知動點P與平面上兩定點4卜夜,0)、B(夜,0)連線的斜率的積為定值-

(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)若耳(-1,0),鳥(1,0)過片的直線/交軌跡C于M、N兩點，且直線/傾斜角為

45°,求gN的面積.

【答案】(1)y+y2=l(x^±V2)：(2)

【解析】

【分析】

(1)設(shè)點尸(x,y),則依題意有一^?—匕尸=-2，化簡可得所求軌跡方程；

(2)由題意可得直線/的方程為：y=x+l,再與橢圓方程聯(lián)立方程求出交點坐標，從

而可求出M巴N的面積為g恒乙卜回一%卜

【詳解】

VV1X1

(1)設(shè)點P(x,y)則依題意有一'—f=---」個=-7，整理得一+丁=1,

X+A/2x—v222

由于尤工±V2,

所以所求動點P的軌跡C的方程為：'+y2=](xw±V2).

(2)直線/的斜率左=tan450=l,

故直線/的方程為：y=x+\,

與橢圓方程聯(lián)立，消去x得：3/-2y-l=0,

…1

、=1或)=——.

試卷第6頁，總115頁

???MEN的面積為g閨閭也_%|=￡

【點睛】

此題考查軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題

4.已知圓O:T2+）3=4與x軸的正半軸交于點4,過圓O上任意一點P作x軸的垂

線，垂足為。，線段P。的中點的軌跡記為曲線「，設(shè)過原點0且異于兩坐標軸的直線

與曲線「交于B,C兩點，直線AB與圓。的另一個交點為M,直線AC與圓。的另一

個交點為M設(shè)直線AB,AC的斜率分別為勺，七?

（1）求匕?用的值;

\AB\\AC\

（2）判斷七招+上￡是否為定值？若是，求出此定值；否則，請說明理由.

【答案】（1）—（2）是定值，定值為』

44

【解析】

【分析】

（1）設(shè)線段PQ中點為D（x,y）,則P（x,2y）,將點P代入圓方程,求出曲線「方程

2

?+y2=l,設(shè)3（毛,%）,%%。0,則。（一知一%）,求出匕?右，結(jié)合3點在橢圓

上，即可得出結(jié)論；

\AB\?|AC|_|jfi|||yc|

（2）設(shè)6*）網(wǎng)工詡（雅》NN

IAM||加||yj

分別設(shè)直線48,4（7為》=叫，+2,x=my+2，旦町加2==T，將直線48,AC

2?V|rvA

方程分別與圓、橢圓聯(lián)立,求出力,無，加，后,即可求出結(jié)果.

【詳解】

解：（1）設(shè)線段尸。中點為。（x,y）,則尸（x,2y）,

代入圓方程即得D點軌跡方程為二+丁=1，

4-

2

設(shè)5(%),%),則C(—%,—%),IL寸+y：=l,

試卷第8頁，總115頁

。

則k\k?y_yf

xo-2一尤0-2x；-4

4

片-4

-----1-

4，

（2）分別設(shè)直線A8,AC為了=町丁+2,X=J巧y+2,

1）

且見色=^p=-4

x=仍y+24犯

=>（喈+4）y24-4町y=0=>%

x2+4y2=4m；+4

仍

x=y+2=>（喈+l"+4町'=0=%=__夫

[x2+y2=4A\7+1

4m24肛_16ml

同理可得：比=一

m;+4zn；+4'）”+16

\AB\_\yH\|人。|_1%1=1+16

"\AM\~\yM\~+|AN「|%|一4（/+4）

\AB\\AC\=5喈+20=5

加以|AM||AN|一4（叫2+4）=『

【點睛】

本題考查求曲線的軌跡方程，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，合理應(yīng)用兩點間的距離

公式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

5.已知拋物線C:Y=2p），（p>0）上一點M（m,9）到其焦點下的距離為10.

（1）求拋物線C的方程;

（2）設(shè)過焦點F的的直線/與拋物線C交于A8兩點，且拋物線在A8兩點處的切線

分別交x軸于P,Q兩點，求?忸。|的取值范圍.

【答案】（I）f=4y（ID[2,4w）

【解析】

【分析】

（I）由拋物線的定義，可得到9+"=10,即可求出P,從而得到拋物線的方程；（II）

2

直線l的斜率一定存在，可設(shè)斜率為3直線/為y=丘+1,設(shè)A%,，Bx2,

y-kx^\10

由｛2/可得d一46一4=0,X]+x,=4Z,%%=-4,然后對y尤求導,

x=4y4

可得到24的斜率及方程表達式，進而可表示出|AP|,同理可得到忸0的表達式，然

后對|4尸卜|80化簡可求出范圍.

【詳解】

解：（I）已知M（根,9）到焦點戶的距離為10,則點M到準線的距離為1（）.

?.?拋物線的準線為y=-K,.?.9+4=10,

22

解得P=2,.?.拋物線的方程為丁=分.

（II）由己知可判斷直線/的斜率存在，設(shè)斜率為2,因為尸（0,1）,則/：y=kx+l.

，巾2，?）y=kx-\-\

2

設(shè)Axp，由｛2消去y得，x-4Ax-4=0?

x=4Ay

玉+%=4&,x]x2=-4.

試卷第10頁，總115頁

11r2?

由于拋物線。也是函數(shù)y無2的圖象，且y，=]X,則R4：y-^-=jxl（x-xl）.

令y=0,解得X=《X],尸（；玉,0）,從而|AP|=；Jk（4+%2）

同理可得，忸°|=；內(nèi)（4+々2），

222

；.|AP|?忸0=^（%,X2）（4+X1）（4+X2）

=看“中2）[16+4（西2+電2）+（中2）2]=2川+1.

?.?左220，.」明.忸。的取值范圍為[2,+8）.

【點睛】

本題考查了拋物線的方程的求法，考查了拋物線中弦長的有關(guān)計算，考查了計算能力,

屬于難題.

22

6.已知橢圓c：L+2L=i,點尸(0,3),直線=與橢圓c交于不同的兩點

43

M,N.

(1)當左="!?時，求的面積；

2

(2)設(shè)直線與橢圓C的另一個交點為。，當M為線段PQ的中點時，求k的值.

【答案】⑴6(2)±|

2

【解析】

【分析】

(1)將直線>=(》一1與橢圓方程聯(lián)立，消元得到/—萬一2=0，求出”,"的坐標，

即可求出面積；

(2)”(%,%),根據(jù)中點坐標關(guān)系得。(2題,2%-3),將P,Q兩點坐標代入橢圓

方程，相減，求出M點坐標，即可求出結(jié)論.

【詳解】

1,

y=-X—1

解：(1)<2=>x2—%—2=0

3x2+4/=12

=>xM=-1,xN=2,所以S=；x4x|x材一%附|=6：

(2)設(shè)加(%,％)，則。(2%,2%-3),

分別代入橢圓方程可得：

豆+豆=1,片+：=],

43T3~4

R_9

兩式相減得為―z_3,

-3-~4

試卷第12頁，總115頁

3

即為=5，,/=±1，

所以《=2史.=?5

/2

【點睛】

本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查相交弦有關(guān)的中點問題，要注意點差法的應(yīng)用,

屬于中檔題.

22

7.已知橢圓C:二+二=1（。＞人＞0）與直線x=—怎有且只有一個交點，點P為

ab

橢圓C上任一點，斤（一1,0），￡（1,0），若尸的最小值為］.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）設(shè)直線/：丁="+6與橢圓C交于不同兩點A5,點o為坐標原點，且

g（Q4+O8）,當皮2的面積S最大時，求丁=溫『-21Mgi的取值范圍.

0M

^￡1（）[3-472,1）.

【答案】（I）+=；2

【解析】

【分析】

（1）設(shè)點P（x,y）,根據(jù)題意，得到a=J為，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示，得到

P^PB,=-y2+cr-l,根據(jù)其最小值，求出。=22=啦，即可得出橢圓方程;

（2）設(shè)A（%,y）,8（馬,力）,M（事,為），聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理,

由弦長公式，以及點到直線距離公式，求出AOB的面積S的最值，得到加2=2無2+1；

2

得出點M的軌跡為橢圓G:5+y2=1（y*0）,且點6,鳥為橢圓G的左、右焦點，

=溫1-2|1明|=5+2/_4及，根據(jù)

記用用，則?+l）,得到了

導數(shù)的方法求出最值.

【詳解】

（1）設(shè)點P（x,y）,由題意知a=回,C:x2+2y2=a2,則

2222

PP.PP2=x+y-l=-y+?-l,

試卷第14頁，總115頁

當y=±匕時，取得最小值，即=

222

l=g=>a=2,6=0故橢圓。的標準方程為三+工=1：

2242

（2）設(shè)4（石,y］）,8（孫％），”（瓦,%），則

由《x+2y4得（2左2+1卜2+電依+2病一4=0

y=kx^m'7

4mk2m2-4

=…"Ri'中2=kF

\m\

則點O到直線/：y=丘+根的距離d=f-

VFTT

4mk、“2m2-4

S=；4|AB|=；.-4——；—

2k2+l,2k2+1

加2+（4左2+2一加2）

+2-m2

5/2?

2^713/I=五

S取得最大值0，當且僅當加2=4公+2一加2即加2=2/+［,①

%,+x22mk2k,2A21

此時x%=KXQ+加=------F〃2=—,

02~~2k1+\~~~mmm

1,m

即機二一，k=-=-普代入①式整理得至+城

Xq=1（%力0）1

2九2%

y02

即點M的軌跡為橢圓C：］+y2=i(yN0),

且點耳,￡為橢圓C的左、右焦點，即四用+|M鳥|=20

記f=|幽,則聞+

從而丁=曲-2眼閭=/2（2&—）="+2—40,則T，=2-5

令T'iO可得121,即在T在（血一U）單調(diào)遞減，在（1,a+1）單調(diào)遞增，

且T（1）=3_40,T（&_1）=I>T（^+1）=5_4&,

故T的取值范圍為［3-40,1）.

【點睛】

本題主要考查求橢圓的方程，考查求橢圓中的范圍問題，熟記橢圓的方程，橢圓的簡單

性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.

試卷第16頁，總115頁

(2Ji也、22

8.已知點M——在橢圓C：「+與=1(a>h>0)上，且點M到C的左、

(33Ja2b2

右焦點的距離之和為20.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)。為坐標原點，若C的弦A6的中點在線段(不含端點。，M)上，求

的取值范圍.

45

【答案】(1)y+/=l；(2)

35

【解析】

【分析】

(1)本小題根據(jù)已知條件直接求出a=0，6=1,再求出橢圓方程即可.

(2)本小題先設(shè)A、B兩點，再將Q4.O8轉(zhuǎn)化為只含由的表達式，最后根據(jù)機的范

圍確定OA-05的范閨，即可解題.

【詳解】

（273也、r2V2

解：（1）?.?點M+，一在橢圓C：=+4=1（a>b>0）上,

133Ja2b2

41,?r-

??彳+方=1'乂2a=2日

??ci=>/2?b—\-

???橢圓C的方程:一+/二1

2

(2)設(shè)點A、8的坐標為A(M，X),B(x2,y2),則A5中點(一；&,X；%.)在線

段OM上，且左OM=(,則王+/=2(y+%)，

又、+y：=1,=1，兩式相減得Q---當」----）+（乂-%）（乂+%）=°，

y.-y,x.+x,,

易知玉一%工0，yt+y2^O,所以丫_；=_2（.+.；）=—'則心8=一1?

設(shè)48方程為〉=一%+機，代入]+丁=1并整理得3/—4小+2加2一2=0.

x+x2/7?（2、

由△=8（3—加2）>0解得加2<3,又由I2=e0,-廣，則0<加<6.

23VV3J

1

?士E,口.4機2（tn-1）

由韋達定理得X|+X2=，X1-X2=--------，

故OA-O3

二王/+弘必

=4%2+（—%+m）（—%2+m）

=2%%2-m^+工2）+機2

4（/一1）4m22

=-------------+m

33

.4

="T——

3

又：.0</n<>/3

?e?OA-OB的取值范I同是（一1,§].

【點睛】

本題考查求橢圓的標準方程，相交弦的中點等問題，是偏難題.

試卷第18頁，總115頁

22/O且離心率為且.

9.已知橢圓C:*+3=1（〃＞力＞o）過點

2

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）若點p與點。均在橢圓。上，且RQ關(guān)于原點對稱，問：橢圓上是否存在點M

（點M在一象限），使得為等邊三角形？若存在，求出點M的坐標；若不存

在，請說明理由.

【答案】（1）—+/⑵存在,d嚕智］

4

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)己知條件，列出不等式組，求解。=2力=1,即可求解橢圓的橢圓

的方程；（2）設(shè)直線的斜率為左，則直線0W:y=乙，代入橢圓的方程，解得M

點的坐標，同理可得直線P2的方程，代入求解所以X”=2等,="5,即可

求解點M的坐標.

試題解析：（1）由題意，c,解得a=2,b=L

I—=—

a2

a2=b2+c2

2

所以橢圓。的標準方程為三+y2=i.

4-

（2）由題意知直線PQ經(jīng)過坐標原點。，假設(shè)存在符合條件的點M，則直線OM的

斜率存在且大于零，。河_LPQ,10Ml=①

設(shè)直線的斜率為左，則直線=日,

聯(lián)立方程組｛尤2241+4/'“J+4A2

所以QM=2.

1+45

同理可得直線PQ的方程為y=-LX\OP\=2/上左③

k11U2+4

將②③代入①式得2口+叱=3（1+￡）,

'1+4/\/+4

化簡得11公一1=0,所以左=巫

11

綜上所述，存在符合條件的點用

考點：橢圓的標準方程；直線與橢圓的位置關(guān)系.

【方法點晴】本題主要考查了橢圓的標準方程及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解

答中涉及到橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用、函數(shù)與方程思想等知識點的綜合考查，著重考查了

學生的推理與運算能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，此類問題的解答中把直線的方程與

圓錐曲線的方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為方程的根與系數(shù)的關(guān)系、判別式和韋達定理的應(yīng)用是解答

的關(guān)鍵，試題運算量大，有一定的難度，屬于難題.

試卷第20頁，總115頁

10.已知橢圓E:二+二=1（4>?！?）的上頂點為8,左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,

ah

離心率e=@,△8耳月的面積為百.

2

（1）求橢圓E的標準方程；

⑵直線/:丁=依+加伊貢1）與橢圓E相交于點P,Q,則直線BP，BQ的斜

率分別為匕，白，且，k\+k1=t,其中f是非零常數(shù)，則直線/是否經(jīng)過某個定點A?

若是，請求出A的坐標.

【答案】⑴^+/=1；（2）直線/經(jīng)過定點

【解析】

【分析】

（1）由題可得bc=G,e=正，再結(jié)合即可求解橢圓標準方程；

2

（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，表示出韋達定理，求出&+&，結(jié)合韋達定理可得上與m

2k

的代換式——=t,代入丁二丘+機整理成點斜式即可求解

m+1

【詳解】

（1）因為3（0,。），6鳥的面積s=，x2cxb=%=百，且e=￡=走，

2a2

故解得。=2,c—>/3?b=1,則a?=4,Z?2=1?

則橢圓E的標準方程為三+V=1.

4-

（2）假設(shè)P（玉，y）,。（9,必），

X22

,消去y整理得（4左2+1）%2+8knx+4>-4=0,

直線與橢圓聯(lián)立得《L

y=kx+m,

-8km4m2-4

則Xj+X又因為8(0,1),

2赤Fi=kT

,y—1i%—1

所以匕=以一，％2=二一，則

玉X2

y1-ly-l_(kx+m-l)x+(kx+m-l)x_

KiI-I2—i22l—Iy

%X2

2

n74m-4(八-8k〃

即23+(叱l)(西+w)”代入韋達定理得」EH"")心”

x,x24m~-4

4/C2+1

即2M4病4)+(mT)(8板)化簡得也紇

4m2-4m~~l

2k

因為加w±l,則-----=t,

722+1

2k2，2、

即2Z=r(m+l),——1=加代入直線得y=履+：%—1=上［尤+7)-1,

所以恒過(一：一1),故直線/經(jīng)過定點A1/,一1).

【點睛】

本題考查橢圓標準方程的求解，由直線與橢圓的位置關(guān)系求證直線過定點問題，韋達定

理的使用，考查了數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，屬于中檔題

試卷第22頁，總115頁

11.Ft,B分別是橢圓E：0+*=l(a>O〉O)的左、右焦點，忻閭=4,M是E

上一點，加工與x軸垂直，S.\MF^3\MF2\.

(1)求E的方程；

(2)設(shè)4，B,C,。是橢圓E上的四點，AC與3。相交于工，且AC_L8O,

求四邊形A8CZ)的面積的最小值.

r2V264

【答案】(1)—+^-=1；(2)—.

849

【解析】

【分析】

(1)結(jié)合橢圓的定義以及已知條件求出I嗎|=學，轉(zhuǎn)化求解。，。得到

橢圓方程.

(2)設(shè)直線AC的斜率為2,4%，y),。(馬，期)，則直線AC的方程為y=%(x—2),

22

聯(lián)立三+工=1及y=A(x-2)得(1+2左2口2一8二工+822—8=o,利用韋達定理，弦

84

長公式，結(jié)合直線斜率，求出BO,然后推出四邊形的面積，利用基本不等式求解最值

即可.

【詳解】

解：(1)由于眼制+四用=2a,則用=]■,|M用=￡,

又忻以之，得/=8.

22

又恒用=2c=4,則c=2,于是從=4,故￡的方程為￡+(=1.

(2)當直線AC的斜率存在且不為零時，設(shè)宜線AC的斜率為3

A(玉,yj,ax?,%)，則直線AC的方程為丁=%(％—2),

22

聯(lián)立亍+\=1及y=&(x-2)得(1+2/b2一8k2%+8k2-8=o,

8A:?8女2—8

所以X1+々=

1+2&②1+2公

+

1+2公

由于直線BD的斜率為J，用-器代換上式中的k可得\BD\=R1+")

k+2

116(1+A:2)-

VAC1BD,四邊形ABCD的面積為S=-\AC\-\BD\=，—'，八.

2(k+2)(l+2kI

由(1+2巧伊+2)?

所以SN—,當1+2左2=爐+2時，即&=±1時取等號.

9

當直線AC的斜率不存在或斜率為零時，四邊形ABCD的面積S=8，

64

綜上可得，四邊形ABCD面積的最小值為一.

9

【點睛】

本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力,

屬于中檔題.

試卷第24頁，總115頁

12.已知A、B分別是橢圓C：5+4=l（a〉b>0）的左、右頂點，P為橢圓C的下

a*b'

頂點，F(xiàn)為其右焦點?點M是橢圓C上異于A、B的任一動點，過點A作直線1_|_*軸?

以線段AF為直徑的圓交直線AM于點A、N,連接FN交直線1于點H.點G的坐標為

（-b,0）,且|PF|JPG|=2?,橢圓C的離心率為;.

（1）求橢圓C的方程；

（2）試問在x軸上是否存在一個定點T,使得直線MH必過該定點T?若存在，求出點

T的坐標，若不存在，說明理由.

22

【答案】（1）_+y_=i；（2）見解析

43

【解析】

【分析】

a-'/lb=2>/6

（1）根據(jù)題意可得｛c_1，解得即可；（2）假設(shè)在x軸上存在一個定點T（t,O）,

.1~2

設(shè)動點M（Xo，yo）,根據(jù)直線與直線的垂直的斜率的關(guān)系以及直線的斜率公式即可求

出.

【詳解】

（1）山題意得|PF|=a,|PG|=J^b,

a-\[2b=2>/622

?.」c1，，2=21=百，二所求橢圓的方程為三+上=1.

—=—43

.a2

（2）假設(shè)在x軸上存在一個定點T（t,O）,使得直線MH必過定點T（t,O）,

設(shè)動點M（Xo，yo）,由于M點異于A,B,故丫（尸0,

22

由點M在橢圓上，故有包+%=1，

43

??力丁?①

又由⑴知A（—2,0）,F（l,0）,

直線AM的斜率k.=

又點N是以線段AF為直徑的圓與直線AM的交點，F(xiàn)N

X。+2/I、

.,?直線FN的方程y=一一5—（X-1）,

y。

y=（-2-1）（3（x0+2）^1

??.<y0，,即H-2,-^L

v__o\y。,

3（x°+2）

,-.M.H兩點連線的斜率=,°y0=y；-3（x0+2）,②

MH-x°+2-y°（x°+2）

——-3（x0+2）

將①式代入②式，并整理得kMH=—~,

4yo

又P,T兩點連線的斜率卜口=

若直線MH必過定點T（t,O）,則必有kMH=kPT恒成立,

3x+2

n|J-（o）,Yo

即A-，

4yox0-t

整理得4y；=-3（x0+2）（xo-1）,（3）

試卷第26頁，總115頁

將①式代入③式，

得4乂3(3：。)=-3(x0+2)(x°—t)，

解得t=2,故直線MH過定點(2,0).

【點睛】

本題主要考查橢圓的方程，主要考查直線與桶圓的位置關(guān)系，意在考查學生對這些知識

的理解掌握水平和分析推理計算能力.

13.在平面直角坐標系中，有定點F(O,1),例(―5,-1),動點P滿足|PF\^PM-OF\.

(1)求動點P的軌跡「的方程；

(2)過點。(0,4)作直線，交曲線「于兩點A，B,以A，8為切點作曲線「的切線，

交于點P,連接。4,OB,OP.

(i)證明：點P在一條定直線上；

(ii)記5,邑分別為AOP,ABOP的面積，求，+$2的最小值.

2

【答案】(1)x=4y;(2)(i)證明見解析；(ii)16.

【解析】

【分析】

(1)利用數(shù)量積的坐標表示和向量的模的坐標公式即可化筒IPEHPATOFI，求得

動點尸的軌跡「的方程；

(2)(i)由過。(0,4)的直線與曲線「相交有兩個點，可設(shè)直線方程為丁="+4,

將直線方程與曲線「的方程聯(lián)立可得玉+々=4攵，玉々=-16,再利用導數(shù)的幾何意

義求出以A，3為切點的切線方程，即可聯(lián)立解出點P的坐標，從而得出點尸在一條

定直線上；(過)根據(jù)51+52=5k.-5徵"，求出弦長|AB|以及O,P到直線AB的

距離，即可得到其表達式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到4+§2的最小值.

【詳解】

(1)設(shè)點P(x,y),則尸尸=(-x,l-y),OF=(0,1).

由|PFRPMOF|,得Jx2+(y_i『=1]_力整理得「：x2=4y.

(2)(i)設(shè)43：y=kx+4,A(XQJ,8(々,%)，P(%,%)，則x；=4y,x；=4%，

y=Ax+4,

聯(lián)立直線AB與拋物線「：《I=>X2-4^-16=0,所以玉+々=4%,

[x=4y

試卷第28頁，總115頁

xtx2=-16；

2

由y='%2,求導得y'=，x,切線Q4：y-X="-xJ，即y='x_+

-42

2

同理，切線P8：）=區(qū)》一三,

-24

聯(lián)立Q4,必可得與=與&%=牛=一4,即尸（2幺④，所以，點p在

條定直線y=T上.

（ii）因為|AB|=J1+左2歸一%|=4,1+公］A?+4,設(shè)。，尸到直線A3的距離為

,4■「為+4|_2（：+4）所以

4,則4=%

Jl+產(chǎn)Vi+F2

5+52=5,廠5.8=5.|(4-4)=：4"不

，即鳥+52=4-公+4.（爐+2）,其關(guān)于k2遞增，顯然，當左=0時，取得最小值

"2"6.

【點睛】

本題主要考查數(shù)量積的坐標表示，向量的模的坐標公式，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)

用，導數(shù)幾何意義的應(yīng)用，以及拋物線中的面積問題的解法，意在考查學生的數(shù)學運算

能力和轉(zhuǎn)化能力，綜合性強，屬于較難題.

2V2I

14.已知橢圓c：二v+4=1（。＞。＞0）,。為坐標原點，長軸長為4,離心率e=—.

a2b22

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)直線/的方程為：y=A（x—l）,點A為橢圓。在*軸正半軸上的頂點，過點A

作AB，/,垂足為M,點3在橢圓上（不同于點A）且滿足：2〃B=5AM，求直

線/的斜率&.

【答案】（1）￡+二=1；⑵后=±矩.

433

【解析】

【分析】

（1）由長軸長為4求〃，再由離心率e=』求c,根據(jù)橢圓的性質(zhì)求b,從而得到橢圓

2

方程.

（2）橢圓C的右頂點A為（2,0）.宜線/：x=」y+l,直線A6的方程為了=-@+2,

k

分別與橢圓方程聯(lián)立，求出的縱坐標，利用向量關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解直線的斜率即可.

【詳解】

（1）由橢圓的離心率6=,，長軸長為4可知a=2,c=l,，b2=3，

2

22

橢圓。的方程為二+匕=1.

43

（2）橢圓。的右頂點A為（2,0）.

由題可知左。0,直線/：x='y+l,直線AB的方程為％=—6+2,

K

1,

x=-y+lk

由Jk，可知丁用二至一^，

x=-Ay+2+

試卷第30頁，總115頁

由得W+4））J2@"則獷

7、-/、、/12kk、5k

則鏟丁目

；2MB=5AM，；.2（%-y”）=5（%-0）,2=777T

yDK十4/v?17K?1

?：k^0,：.k2=~,解之，左=±3叵.

33

【點睛】

本題考查橢圓的簡單性質(zhì)以及橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,

同時考查了平面向量的坐標運算，考查計算能力，屬于綜合題.

15.已知點A(xi,_yi),D(X2,”)其中(xi<X2)是曲線爐=%-(這0).上的兩點，

A,。兩點在x軸上的射影分別為點B,C且|BC|=3.

(I)當點B的坐標為(1,0)時，求直線AO的方程：

S,

(II)記AA。。的面積為0,梯形A8CO的面積為S2,求U的范圍

【答案】(I)y=x+2；(ID

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)A8和C,。