專(zhuān)題1.9 三角形的證明章末拔尖卷（北師大版）（解析版）

第1章三角形的證明章末拔尖卷【北師大版】參考答案與試題解析選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（2023上·湖北荊門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在AB，AC邊上，DB=DE=AE，BE=BC，則∠BAC的度數(shù)為（

）

A．60° B．75° C．30° D．45°【答案】D【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)．設(shè)∠DBE=x°，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)依次表示出∠DBE=∠DEB=x°，∠A=2x°，∠C=3x°，然后利用三角形內(nèi)角和定理列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)∠DBE=x°，∵DB=DE=AE，∴∠DBE=∠DEB=x°,∠A=∠EDA，∴∠A=∠EDA=∠DBE+∠DEB=2∠DBE=2x°∵BE=BC，∴∠BEC=∠C，∴∠BEC=∠C=∠A+∠EDA=3x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=3x°，∵2x°+3x°+3x°=180°，∴2x=45，即∠BAC=45°．故選D．2．（3分）（2023上·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B=∠D=90°，AC=CE，B，C，D三點(diǎn)在同一直線上，添加下列條件，不能判定△ABC≌△CDE的是（A．AB=CD B．AB=DE C．∠ACE=90° D．∠A+∠E=90°【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定的方法，即可得到答案．【詳解】解：∵∠B=∠D,AC=CE，A、AB=CD，滿足HL的條件，能證明△ABC?△CDE，不符合題意；B、AB=DE，不滿足證明三角形全等的條件，符合題意；C、∠ACE=90°，得到∠ACB=∠E，滿足AAS，能證明△ABC?△CDE，不符合題意；D、∠A+∠E=90°，得到∠ACB=∠E，滿足AAS，能證明△ABC?△CDE，不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握證明三角形全等的幾種方法：SSS,3．（3分）（2023上·安徽滁州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=AC，D為底邊BC的中點(diǎn)，BC=4cm，S△ABC=12cm2，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N．O為線段MNA．4cm B．4.5cm C．6cm【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．連接AD，AO，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再根據(jù)MN是線段AB的垂直平分線可知，AO=BO，得出OB+OD=AO+OD，說(shuō)明當(dāng)A、O、D三點(diǎn)共線時(shí)，AO+OD最小，即OB+OD最小，由此即可得出結(jié)論．【詳解】解：連接AD，AO，∵AB=AC，D為底邊BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC解得AD=6cm∵M(jìn)N是線段AB的垂直平分線，∴AO=BO，∴OB+OD=AO+OD，∴當(dāng)A、O、D三點(diǎn)共線時(shí)，AO+OD最小，即OB+OD最小，且最小值為AD=6cm故選：C．4．（3分）（2023上·北京海淀·八年級(jí)北京市十一學(xué)校?？计谀┤鐖D，從等邊三角形內(nèi)一點(diǎn)P向三邊作垂線，垂足分別是Q、R、S，PQ=3，PR=4，PS=5，則△ABC的面積是（）A．48 B．483 C．96 D．【答案】B【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線，得出PQ+PR+PS=AD是解答此題的關(guān)鍵．先連接AP、BP、CP，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，根據(jù)S△ABC=12BC?(PQ+PR+PS)=12【詳解】解：連接AP、BP、CP，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，\∵△ABC是等邊三角形，∵S∴PQ+PR+PS=AD，∴AD=3+4+5=12，∵∠ABC=60°，∴AB=12×2∴S故選：B．5．（3分）（2023上·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，EF⊥BC，垂足為F，EF與AC交于點(diǎn)O，若OA=4，A．12 B．11 C．9 D．7【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)．由題意知AC=7，∠B=∠C，∠BFE=90°，則∠BAC=180°?2∠B，∠E=90°?∠B，∠AOE=∠E，可得【詳解】解：OA=4，OC=3，∴AC=7，∵AB=AC=7，∴∠B=∠C，∴∠BAC=180°?2∠B，∵∠AOE=∠BAC?∠E=90°?∠B=∠E，∴AE=OA=4，∴BE=AB+AE=11，故選：B．6．（3分）（2023上·福建廈門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知∠MAN=60°，點(diǎn)B,D在邊AN上，且點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)，AB=2，點(diǎn)C是邊AM上一動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終保持CB=CD，若AC=m，則AD的長(zhǎng)為（

）A．12m+1 B．12m+2 C．【答案】D【分析】本題考查了含30°的直角三角形，等腰三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握含30°的直角三角形，等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，作CF⊥BD于F，則∠ACF=30°，BF=DF，AF=12AC=【詳解】解：如圖，作CF⊥BD于F，∵∠MAN=60°，CB=CD，∴∠ACF=30°，∴AF=1∴DF=BF=AF?AB=1∴AD=AB+BD=2+2×1故選：D．7．（3分）（2023上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在4×4的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A、B都在格點(diǎn)上，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．△ABC的面積為10 B．∠BAC=90°C．AB=25 D．點(diǎn)A到直線BC【答案】A【分析】求出AC、BC，根據(jù)三角形的面積公式可以判斷A；根據(jù)勾股定理逆定理可以判斷B；根據(jù)勾股定理可以判斷C；根據(jù)三角形的面積結(jié)合點(diǎn)到直線的距離的意義可以判斷D．【詳解】解：∵AC=12+22∴AC∴∠BAC=90°，故B、C正確，不符合題意；∴S設(shè)點(diǎn)A到直線BC的距離是?，∵S∴1∴?=2，∴點(diǎn)A到直線BC的距離是2，故D正確，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形的面積公式、點(diǎn)到直線的距離，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．（3分）（2023上·廣東深圳·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在三角形ABC，AB2+AC2=BC2，且AB=AC，H是BC上中點(diǎn)，F(xiàn)是射線AH上一點(diǎn)．E是AB上一點(diǎn)，連接EF，EC，BF=FE，點(diǎn)G在AC上，連接BG，∠ECG=2∠GBCA．92 B．82 C．72【答案】D【分析】延長(zhǎng)EA到K，是的AK=AG，連接CK，先由勾股定理的逆定理可以得到△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∠ACB=∠ABC=45°，由BF=FE，得到∠FBE=∠FEB，設(shè)∠BFE=x，則∠EBF=12180°?∠BFE=90°?12x，然后證明CB=FC=FE，得到∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC則∠FCA=90°?12x，EBF=12180°?∠BFE=90°?12x即可證明∠EFC=∠AFE+∠AFC=【詳解】解：延長(zhǎng)EA到K，是的AK=AG，連接CK，∵在三角形ABC，AB2+A∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵BF=FE，∴∠FBE=∠FEB，設(shè)∠BFE=x，則∠EBF=∵H是BC上中點(diǎn)，F(xiàn)是射線AH上一點(diǎn)，∴AH⊥BC，∴AH是線段BC的垂直平分線，∠FAC=45°，∴CB=FC=FE，∴∠FBC=∠FCA，∠AFB=∠AFC∴∠FCA=90°?12∴∠AFB=∠AFC=180°?∠FAC?∠FCA=45°+1∴∠AFE=∴∠EFC=∴EF∴CF=2設(shè)∠ECG=2∠GBC=2y，∵AG=AK，AB=AC，∠KAC=∠GAB=90°，∴△ABG≌△ACK（SAS），∠K=∠AGB=∠ACB+∠GBC=∴∠ECK=∴∠ECK=∠K，∴EK=EC，∵EK=AE+AK=AE+AG=92∴EF=EK=92∴CF=9，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定，線段垂直平分線的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（3分）（2023上·福建廈門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，將△ABC沿AD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，當(dāng)BE<CE時(shí)，△ABCA．30°<∠B<45° B．30°<∠B<90°C．45°<∠C<90° D．30°<∠C<60°【答案】B【分析】設(shè)BC中點(diǎn)為F，當(dāng)E與F重合時(shí)，此時(shí)BE=CE由折疊的性質(zhì)得AE=AC，由等邊三角形的定義得△ACE為等邊三角形，由BE<CE，E在F的左側(cè)，①當(dāng)E在線段BF上（不與B、F重合），∠CAE>60°，即可求解；②當(dāng)E與B重合時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)∠ABC=∠C=45°；③E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，由三角形的外角于內(nèi)角的關(guān)系得∠B>∠AEB，從而可得2∠C<90°，即可求解．【詳解】解：設(shè)BC中點(diǎn)為F，如圖，當(dāng)E與F重合時(shí)，此時(shí)BE=CE由折疊得AE=AC，∴CE=AE=AC，∴△ACE為等邊三角形，∴∠C=60°，∴∠B=30°，∵BE<CE，∴E在F的左側(cè)，①如圖，當(dāng)E在線段BF上（不與B、F重合）

∴∠CAE>60°，由折疊得∠AEC=∠C，∴∠CAE=180°?2∠C，∴180°?2∠C>60°，∴∠C<60°，∵∠B+∠C=90°，∴∠B>30°，②如圖，當(dāng)E與B重合時(shí)

此時(shí)AB=AC，∴∠ABC=∠C=45°；③如圖，E在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∴∠B>∠AEB，∵∠AEC=∠C∴∠ABC>∠C，∵∠ABC+∠C=90°，∴2∠C<90°，∴∠C<45°，∴∠ABC>45°，∵∠C>0，∠ABC<90°，∴0<∠C<45°，45°<∠ABC<90°；綜上所述：0<∠C<60°，30°<∠B<90°；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定及性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，直角三角形的特征等，能根據(jù)E的不同位置進(jìn)行分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．10．（3分）（2023上·湖北十堰·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，連接MD，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥MD，交BM于點(diǎn)N．CD與BM相交于點(diǎn)E，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①AC=BE；②DM=DN；③∠AMD=45°；④NE=3ME．其中正確的有（）個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，利用ASA證明△BDN≌△CDM，△BDE≌△CDA，再證明△DMN是等腰直角三角形，即可判斷結(jié)論①②③正確；過(guò)點(diǎn)D作DF⊥MN于點(diǎn)F，則∠DFE=90°=∠CME，可利用AAS證明△DEF≌△CEM，即可判斷結(jié)論④正確；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．【詳解】解：∵CD⊥AB，∴∠BDC=∠ADC=90°，∵∠ABC=45°，∴BD=CD，∵BM⊥AC，∴∠AMB=∠ADC=90°，∴∠A+∠DBN=90°，∠A+∠DCM=90°，∴∠DBN=∠DCM，∵DN⊥MD，∴∠CDM+∠CDN=90°，∵∠CDN+∠BDN=90°，∴∠CDM=∠BDN，∴△BDN≌△CDM(ASA)∴DN=DM，AC=BE∵∠MDN=90°，∴△DMN是等腰直角三角形，∴∠DMN=45°，∴∠AMD=90°?45°=45°，故①②③正確；如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥MN于點(diǎn)F，則∠DFE=90°=∠CME，∵DN⊥MD，DN=DM∴MN=2FM=2FN，∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE，在△DEF和△CEM中，∠DEF=∠CEM∠DFE=∠CME∴△DEF≌△CEM(AAS∴ME=EF，∴MN=2MF=4ME∴NE=3ME故④正確；故選：A．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（2023上·浙江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，CE平分∠ACB，CD⊥AB于點(diǎn)D．若AE=CE=BC，則∠DCE的度數(shù)是．【答案】18°/18度【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得∠DCE=12∠BCE=12∠ACE，根據(jù)等邊對(duì)等角可得【詳解】解：∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵CE=BC，CD⊥AB，∴∠DCE=1∵AE=CE，∴∠A=∠ACE，∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A+∠ACE+∠DCE=∠ACE+∠ACE+1∴∠ACE=36°，∴∠DCE=1故答案為：18°．12．（3分）（2023上·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=6，PQ=AB，P、Q兩點(diǎn)分別在AC和過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線AX上運(yùn)動(dòng)，要使△ABC【答案】6或12/12或6【分析】分情況討論：①Rt△ABC≌Rt△QPAHL，此時(shí)AP=BC=6，可據(jù)此求出P的位置；②Rt△QPA≌Rt△BAC【詳解】解：①當(dāng)AP=CB時(shí)，∵∠C=∠QAP=90°，在Rt△ABC與RtAP=CB∴Rt△ABC≌∴AP=BC=6；②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí)，AP=AC，在Rt△QPA與RtAP=AC∴Rt△QPA≌∴AP=AC=12，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，Rt△ABC才能和Rt綜上所述，AP=6或12，故答案為：6或12．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握兩個(gè)三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵，當(dāng)題中沒(méi)有明確全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角時(shí)，要分情況討論，以免漏解．13．（3分）（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCD是矩形，頂點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別為?1，0，5，0，5，2，?1，2，點(diǎn)E【答案】32，2或【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線，勾股定理．分情況討論是解題的關(guān)鍵．由題意知，分OE為底，OE為腰兩種情況求解：設(shè)Pa，2，則?1≤a≤5，分①當(dāng)OE為底，則P在OE的垂直平分線與CD的交點(diǎn)；②當(dāng)OE為腰，且OP=OE=3時(shí)，a2+22【詳解】解：由題意知，分OE為底，OE為腰兩種情況求解：設(shè)Pa，2①當(dāng)OE為底，則P在OE的垂直平分線與CD的交點(diǎn)，∴P3②當(dāng)OE為腰，且OP=OE=3時(shí)，∴a2解得，a=5或a=?∴P5當(dāng)OE為腰，且PE=OE=3時(shí)，∴a?32解得，a=3?5或a=3+∴P3?綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為32，2或5故答案為：32，2或514．（3分）（2023上·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線PQ與△ABC的外角平分線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E．若BC=6，AC=4．則CE的長(zhǎng)度是．【答案】1【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等，垂直平分線上的點(diǎn)到兩端距離相等．連接AP,BP，通過(guò)證明Rt△CPD≌Rt△CPEHL，得出CD=CE，在證明【詳解】解：連接AP,BP，∵CP平分∠DCE，PD⊥BC，PE⊥AC，∴PD=PE，在Rt△CPD和RtCP=CPPD=PE∴Rt△CPD≌∴CD=CE，∵PQ是AB的垂直平分線，∴AP=BP，在Rt△APE和RtAP=BPPD=PE∴Rt△APE≌∴AE=BD，∴CE=AE?AC=BD?AC=BC?CD整理得：2CE=BC?AC=6?4=2，∴CE=1，故答案為：1．15．（3分）（2023下·四川成都·八年級(jí)四川師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C，D，P都在格點(diǎn)上，連接AP，CP，CD，則∠PAB－∠PCD＝．【答案】45°【分析】如圖，取CD邊上的格點(diǎn)E，連接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,證明△APE為等腰直角三角形，從而可得答案．【詳解】如圖，取CD邊上的格點(diǎn)E，連接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD．由題意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10．∴AE2＝AP2+PE2．∴△APE是等腰直角三角形．∴∠PAE＝45∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．（3分）（2023·河北保定·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，已知O為直線BC上一定點(diǎn)，點(diǎn)A在直線外一定點(diǎn)．在直線BC上取點(diǎn)P，使得以O(shè)、A、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形．(1)當(dāng)∠AOC=30°時(shí)，如果我們通過(guò)分類(lèi)討論、畫(huà)圖嘗試可以找到滿足條件的點(diǎn)P共有個(gè)．(2)若在直線BC上有且只有兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)P，則∠AOC=．【答案】（1）4；（2）60°、120°或90°.【分析】（1）分OA為腰或底分別討論畫(huà)出圖形即可．（2）若在直線BC上有兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)P，則∠AOC=60°或120°或90°．【詳解】解：（1）如圖所示，若OA為腰時(shí)，點(diǎn)P4、P1、P2即為所求；若OA為等腰三角形的底，點(diǎn)P3即為所求；故答案為4．（2）若在直線BC上有兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)P，則∠AOC=60°或120°或90°故答案為60°、120°或90°．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等腰三角形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)由分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考常考題型．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（6分）（2023下·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)長(zhǎng)沙市雅禮實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知AB⊥CF于點(diǎn)B，DE⊥CF于點(diǎn)E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．(1)求證：△ABH≌△DEG；(2)求證：CE＝FB．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析．【分析】（1）由HL可證明ΔABH（2）證明ΔABC?ΔDEF【詳解】（1）證明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠DEG＝∠ABH＝90°，在Rt△ABH和Rt△DEG中，∵BH=∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）；（2）∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL），∴AB＝DE，在△ABC和△DEF中，∵∠ABC∴△ABC≌△DEF（AAS），∴BC＝EF，∴CE＝FB．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定、垂直的定義；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（6分）（2023上·福建龍巖·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為AC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，且DE=DF，連接BD，點(diǎn)G在BC的延長(zhǎng)線上，且CD=CG．(1)求證：△ABC是等邊三角形；(2)若BF=3，求CG的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)CG=2【分析】（1）只要證明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，推出AB=BC，又AB=AC，得到AB=BC=AC（2）由CD=CG，可得CF=12CG，△ABC是等邊三角形，BC=BF+CF=AC=2CD=2CG，即可得BF+12【詳解】（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，∴∠AED=∠CFD=90°，∵D為AC的中點(diǎn)，∴AD=DC，且DE=DF∴Rt∴∠A=∠C，∴AB=BC，且AB=AC，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形．（2）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∵DF⊥BC∴∠CDF=30°，∵CD=CG∴CF=1∵D為AC的中點(diǎn)，∴AD=DC，∵BC=BF+CF=AC=2CD=2CG∴BF+1∴CG=【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．19．（8分）（2023上·海南儋州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為了強(qiáng)化實(shí)踐育人，有效開(kāi)展勞動(dòng)教育和綜合實(shí)踐活動(dòng)，我市某中學(xué)現(xiàn)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，學(xué)校決定開(kāi)發(fā)該空地作為學(xué)生勞動(dòng)實(shí)踐基地．經(jīng)學(xué)校課外實(shí)踐活動(dòng)小組測(cè)量得到：∠BAD=90°，AD=3m，AB=4m，BC=13m(1)四邊形ABCD的面積；(2)點(diǎn)D到BC的距離．【答案】(1)四邊形ABCD的面積為36(2)點(diǎn)D到BC的距離DE為60【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及逆定理是解本題的關(guān)鍵．（1）連接BD，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD2，再利用勾股定理的逆定理判斷得到Rt（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，利用等面積法計(jì)算即可．【詳解】（1）解：連結(jié)BD，在Rt△ABD中，∵AD=3，AB=4∴BD=在△BCD中，∵BD2∴B∴△BCD是直角三角形，且∠BDC∴S答：四邊形ABCD的面積為36m（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E∵S∴DE=BD?CD答：點(diǎn)D到BC的距離DE為601320．（8分）（2023上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：在邊長(zhǎng)為1的小正方形方格紙中，把頂點(diǎn)落在方格交點(diǎn)上的線段、三角形、四邊形分別稱(chēng)為格點(diǎn)線段、格點(diǎn)三角形、格點(diǎn)四邊形，請(qǐng)按要求畫(huà)圖：（1）在圖1中畫(huà)出一個(gè)面積為1的格點(diǎn)等腰直角三角形ABC；（2）在圖2中畫(huà)出一個(gè)面積為13的格點(diǎn)正方形DEFG；（3）在圖3中畫(huà)出一條長(zhǎng)為5，且不與正方形方格紙的邊平行的格點(diǎn)線段H1（4）在圖4中畫(huà)出一個(gè)周長(zhǎng)為32+10【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解；（3）見(jiàn)詳解；（4）見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的定義以及面積公式，即可求解；（2）根據(jù)勾股定理畫(huà)出邊長(zhǎng)為13的正方形，即可；（3）根據(jù)勾股定理畫(huà)出長(zhǎng)為5的線段，即可；（4）根據(jù)勾股定理畫(huà)出長(zhǎng)為2，22，10【詳解】（1）∵S△ABC∴△ABC即為所求；（2）∵EF=FG=GD=DE=22∴正方形DEFG的面積為13；（3）HI=32（4）∵KL=12+12=且(∴△JKL是直角三角形，且周長(zhǎng)為32【點(diǎn)睛】本題主要考查網(wǎng)格中的勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．21．（8分）（2023上·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，D是AC上的一點(diǎn)，CD=1.5，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P(1)當(dāng)t=2秒時(shí)，求AP的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，求t的值；(3)過(guò)點(diǎn)D做DE⊥AP于點(diǎn)E．在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，能使DE=CD？【答案】(1)4(2)t的值為52或25(3)t的值為52或【分析】（1）由勾股定理得，AP=C（2）當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，由題意知，分當(dāng)AP=BP，當(dāng)AB=BP，當(dāng)AB=AP，三種情況求解即可；（3）由勾股定理得，AE=AD2?DE2=2，如圖2，連接PD，證明Rt△PDE≌Rt△PDCHL，則PE=PC，設(shè)PE=PC=x【詳解】（1）解：當(dāng)t=2秒時(shí)，BP=4，∴CP=4，由勾股定理得，AP=C∴AP的長(zhǎng)為42（2）解：當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，由題意知，分當(dāng)AP=BP，當(dāng)AB=BP，當(dāng)AB=AP，三種情況求解；如圖1，由勾股定理得，AB=A①當(dāng)AP=BP=2t時(shí)，CP=8?2t，由勾股定理得，AP2?C解得，t=5②當(dāng)AB=BP=45時(shí)，2t=4解得，t=25③當(dāng)AB=AP時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)可知，PC=BC=8，∴BP=PC+BC=16，∴2t=16，解得，t=8；綜上所述，t的值為52或25或（3）解：∵CD=1.5，∴DE=CD=1.5，AD=2.5，由勾股定理得，AE=A如圖2，連接PD，∵DE=CD，PD=PD，∴Rt△PDE≌∴PE=PC，設(shè)PE=PC=x，則AP=x+2，由勾股定理得，AP2?P解得，x=3，∴BP=2t=5，解得，t=5由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，當(dāng)BP=2t=8+3時(shí)，DE=CD成立，解得，t=11綜上所述，當(dāng)t的值為52或112時(shí)，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，并分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．22．（8分）（2023上·云南普洱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在等邊△ABC中，動(dòng)點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED=EC．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是AB中點(diǎn)時(shí)，求證：AE=BD．(2)當(dāng)點(diǎn)E不是AB中點(diǎn)時(shí)，判斷線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖2說(shuō)明理由．(3)點(diǎn)E在直線AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)∠DEC=120°時(shí)，若BC=4，請(qǐng)直接寫(xiě)出CD的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)當(dāng)點(diǎn)E為AB上任意一點(diǎn)時(shí)，AE=DB．理由見(jiàn)解析(3)CD的長(zhǎng)是6或12【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∠BCE=∠ACE=12∠ACB=30°，再由等腰三角形的性質(zhì)等∠D=∠BCE=30°（2）過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，則∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，再證△AEF是等邊三角形，得AE=EF=AF，然后證△BDE≌△FEC(SAS)，得（3）分兩種情況，①點(diǎn)E在AB上時(shí)，證∠D=∠DEB，∠CEB=90°，則BE=BD，BE=12BC=2②點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，證∠BEC=∠ECF=30°，∠DEB=90°，則BE=BC=4，BD=2BE=8，得CD=BD+BC=12；即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，∴AE=BE，∠BCE=∠ACE=1∵ED=EC，∴∠D=∠BCE=30°，∵∠D+∠BED=∠ABC=60°，∴∠D=∠BED=30°，∴BD=BE，∴AE=BD；（2）解：AE=BD，理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AC于點(diǎn)F，則∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，∴∠AEF=∠AFE=∠A．∴△AEF是等邊三角形，∴AE=EF=AF，∵AB=BC，∴AB?AE=BC?AF，即BE=CF，∵ED=EC，∴∠D=∠BCE，∵∠D+∠BED=∠ABC=60°，∠BCE+∠ECF=∠ACB=60°，∴∠BED=∠ECF，在△BDE和△FEC中，ED=CE∠BED=∠FCE∴△BDE≌△FEC(SAS∴BD=FE，∴AE=BD；（3）解：分兩種情況：①如圖3，點(diǎn)E在AB上時(shí)，∵ED=EC，∠DEC=120°，∴∠D=∠ECF=30°，∵∠ABC=60°，∴∠DEB=∠ABC?∠D=60°?30°=30°，∴∠D=∠DEB，∠CEB=∠DEC?∠DEB=120°?30°=90°，∴BE=BD，BE=1∴BD=BE=2，∴CD=BD+BC=2+4=6；②如圖4，點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵ED=EC，∠DEC=120°，∴∠D=∠ECF=30°，∵∠ABC=60°，∴∠BEC=∠ABC?∠ECF=60°?30°=30°，∴∠BEC=∠ECF=30°，∠DEB=∠DEC?∠DEC=120°?30°=90°，∴BE=BC=4，∴BD=2BE=8，CD=BD+BC=8+4=12；綜上所述，CD的長(zhǎng)為6或12．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形