新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第18講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖與空間幾何體的表面積和體積（講）（原卷版）

第01講空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖與空間幾何體的表面積和體積本講為高考命題熱點(diǎn)，其中幾何體的結(jié)構(gòu)特征三視圖直觀圖在前幾年常以選擇題固定出現(xiàn)，5分分值，結(jié)合幾何體的體積與表面積，難度較小，但是對(duì)于單選題或填空題的壓軸題，偶爾會(huì)出現(xiàn)外接球內(nèi)切球問題，有一定難度，考察學(xué)生邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，空間想象能力.考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)考點(diǎn)二直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法來(lái)畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半.考點(diǎn)三三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線.(2)畫出的三視圖要長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等.考點(diǎn)四空間幾何體的表面積與體積1.多面體的表(側(cè))面積多面體的各個(gè)面都是平面，則多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和.2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l3.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底h臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3考點(diǎn)五方法技巧1.常見旋轉(zhuǎn)體的三視圖(1)球的三視圖都是半徑相等的圓.(2)水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖二者為全等的等腰三角形.(3)水平放置的圓臺(tái)的正視圖和側(cè)視圖二者為全等的等腰梯形.(4)水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖二者為全等的矩形.2.在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來(lái)，即“眼見為實(shí)、不見為虛”.在三視圖的判斷與識(shí)別中要特別注意其中的虛線.3.直觀圖與原平面圖形面積間關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形.4.正方體與球的切、接常用結(jié)論正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R(1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq\r(3)a；(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.5.長(zhǎng)方體的共頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).6.正四面體的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),4)a，內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，其半徑R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長(zhǎng)).高頻考點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】（1）給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.3（2）以下四個(gè)命題中，真命題為()A.側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐B.底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體C.直四棱柱是直平行六面體D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)（3）若四面體的三對(duì)相對(duì)棱分別相等，則稱之為等腰四面體，若四面體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直，則稱之為直角四面體，以長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的頂點(diǎn)為四面體的頂點(diǎn)，可以得到等腰四面體、直角四面體的個(gè)數(shù)分別為()A.2，8 B.4，12C.2，12 D.12，8【方法技巧】1.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種幾何體的概念，要善于通過舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一個(gè)反例.2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.3.既然棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略.高頻考點(diǎn)二空間幾何體與三視圖【例2】(1)(2020·全國(guó)Ⅱ卷)如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為()A.EB.FC.GD.H(2)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在側(cè)視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()A.2eq\r(17) B.2eq\r(5)C.3 D.2【方法技巧】1.由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認(rèn).二要熟悉常見幾何體的三視圖.2.由三視圖還原到直觀圖要抓住關(guān)鍵幾點(diǎn)：(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面.(2)根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置.(3)確定幾何體的直觀圖形狀.(4)要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖形成原理.【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱BB1的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，E，C1的平面截去該正方體的上半部分，則剩余幾何體的側(cè)視圖為()2.(2022·邯鄲檢測(cè))一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為()A.2eq\r(2) B.2eq\r(5)C.2eq\r(6) D.4eq\r(2)高頻考點(diǎn)三空間幾何體的直觀圖【例3】已知等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________.【方法技巧】1.畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測(cè)畫法，其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標(biāo)軸成45°或135°)和“二測(cè)”(平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，平行于x軸和z軸的線段長(zhǎng)度不變)來(lái)掌握.2.按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形.【變式訓(xùn)練】1.如圖，一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖(斜二測(cè)畫法)是一個(gè)底角為45°、腰和上底長(zhǎng)均為2的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是()A.2＋eq\r(2) B.1＋eq\r(2)C.4＋2eq\r(2) D.8＋4eq\r(2)2.(2020·全國(guó)Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為()A.eq\f(\r(5)－1,4) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4) D.eq\f(\r(5)＋1,2)高頻考點(diǎn)四空間幾何體的表面積與側(cè)面積【例4】（1）已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A.12eq\r(2)π B.12πC.8eq\r(2)π D.10π（2）(2020·北京卷)某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為()A.6＋eq\r(3) B.6＋2eq\r(3)C.12＋eq\r(3) D.12＋2eq\r(3)【方法技巧】空間幾何體表面積的求法(1)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用，并弄清底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理.(3)以三視圖為載體的需確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量.高頻考點(diǎn)五空間幾何體的體積【例5】(1)祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A.158 B.162C.182 D.324(2)(2019·天津卷)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為eq\r(2)的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為eq\r(5).若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為________.【方法技巧】1.求規(guī)則幾何體的體積，主要利用“直接法”代入體積公式計(jì)算.第(2)題求解的關(guān)鍵在于兩點(diǎn)：(1)圓柱的高恰為圓錐高的一半；(2)圓柱的底面圓的直徑恰是四棱錐底面正方形對(duì)角線的一半.2.若已知三視圖求體積，應(yīng)注意三視圖中的垂直關(guān)系在幾何體中的位置，確定幾何體中的線面垂直等關(guān)系，進(jìn)而利用公式求解.高頻考點(diǎn)六不規(guī)則幾何體的體積【例6】如圖，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為________.【方法技巧】1.求不規(guī)則幾何體的體積：當(dāng)一個(gè)幾何體的形狀不規(guī)則時(shí)，常通過分割或者補(bǔ)形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€(gè)或幾個(gè)規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計(jì)算.2.本題利用“割”的方法把幾何體分割成易求體積的三棱錐、三棱柱(也可分割成四棱錐).另外，經(jīng)?？紤]把棱錐補(bǔ)成棱柱，把臺(tái)體補(bǔ)成錐體，把三棱錐補(bǔ)成四棱錐，把三棱柱補(bǔ)成四棱柱，把不規(guī)則幾何體補(bǔ)成規(guī)則幾何體，補(bǔ)一個(gè)同樣的幾何體等.【變式訓(xùn)練】(2020·浙江卷)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.eq\f(7,3) B.eq\f(14,3)C.3 D.6答案A解析由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)三棱柱和一個(gè)三棱錐組成的組合體，它們的公共面是等腰直角三角形，如圖所示.由三視圖知，三棱柱ABC－A′B′C′的高為2，三棱錐P－A′B′C′的高為1，又S△ABC＝eq\f(1,2)×2×1＝1，所以該幾何體體積V＝V三棱錐P－A′B′C′＋V棱柱ABC－A′B′C′＝eq\f(1,3)×1×1＋1×2＝eq\f(7,3)(cm3).高頻考點(diǎn)七多面體與球的切、接問題【例7】(2022·長(zhǎng)沙檢測(cè))在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是________.【遷移】本例中若將“直三棱柱”改為“棱長(zhǎng)為4的正方體”，則此正方體外接球和內(nèi)切球的體積各是多少？【方法技巧】1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作