新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第20講 直線、平面平行垂直的判定與性質(zhì)（講）（解析版）

第03講直線、平面平行與垂直的判定與性質(zhì)本講為高考命題熱點(diǎn)，常出現(xiàn)在大題的第一問(wèn)，分值約為6分，文科常考察平行，理科常考察垂直，相對(duì)來(lái)說(shuō)較為固定，考察邏輯推理能力，空間想象能力?？键c(diǎn)一直線與平面平行(1)直線與平面平行的定義直線l與平面α沒(méi)有公共點(diǎn)，則稱直線l與平面α平行.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面a?α，b?α，a∥b?a∥α性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b考點(diǎn)二平面與平面平行(1)平面與平面平行的定義沒(méi)有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面叫做平行平面.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面α∥β，a?α?a∥β如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b考點(diǎn)三直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面α內(nèi)的任意直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a?α,b?α))?l⊥α性質(zhì)定理兩直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b考點(diǎn)四直線與平面所成的角(1)定義：一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是0°的角.(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).考點(diǎn)五二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以該點(diǎn)為垂足，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構(gòu)成的角叫做二面角的平面角.(3)二面角的范圍：[0，π].考點(diǎn)六直線與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形表示符號(hào)表示判定定理一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，則在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l?β))?l⊥α考點(diǎn)七常用結(jié)論1.平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)平行于同一平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.(3)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.2.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化3.三個(gè)重要結(jié)論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面.(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則它垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個(gè)重要方法).(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.4.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，就垂直于這個(gè)平面”.5.三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化高頻考點(diǎn)一直線與平面平行的判定【例1】(2019·全國(guó)Ⅰ卷)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).(1)證明：MN∥平面C1DE；(2)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離.(1)證明如圖，連接B1C，ME.因?yàn)镸，E分別為BB1，BC的中點(diǎn)，所以ME∥B1C，且ME＝eq\f(1,2)B1C.又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn)，所以ND＝eq\f(1,2)A1D.由題設(shè)知A1B1綉DC，可得B1C綉A1D，故ME綉ND，因此四邊形MNDE為平行四邊形，所以MN∥ED.又MN?平面C1DE，DE?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.(2)解過(guò)點(diǎn)C作C1E的垂線，垂足為H.由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，又BC∩C1C＝C，BC，C1C?平面C1CE，所以DE⊥平面C1CE，故DE⊥CH.所以CH⊥平面C1DE，故CH的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到平面C1DE的距離.由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝eq\r(17)，故CH＝eq\f(4\r(17),17).從而點(diǎn)C到平面C1DE的距離為eq\f(4\r(17),17).【方法技巧】1.利用線面平行的判定定理證明直線與平面平行的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線.2.利用面面平行的性質(zhì)證明線面平行時(shí)，關(guān)鍵是構(gòu)造過(guò)該直線與所證平面平行的平面，這種方法往往借助于比例線段或平行四邊形.【跟蹤訓(xùn)練】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：GH∥平面PAD.證明如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn).又M是PC的中點(diǎn)，所以AP∥OM.根據(jù)直線和平面平行的判定定理，則有PA∥平面BMD.因?yàn)槠矫鍼AHG∩平面BMD＝GH，根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)定理，所以PA∥GH.因?yàn)镚H?平面PAD，PA?平面PAD，所以GH∥平面PAD.高頻考點(diǎn)二線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2】(2021·河南、江西五岳聯(lián)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝eq\f(1,2)AD＝2，E為PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是PC上的點(diǎn).(1)若EF∥平面PAD，證明：F為PC的中點(diǎn)；(2)求點(diǎn)C到平面PBD的距離.(1)證明因?yàn)锽C∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD.因?yàn)镻∈平面PBC，P∈平面PAD，所以可設(shè)平面PBC∩平面PAD＝PM，又因?yàn)锽C?平面PBC，所以BC∥PM，因?yàn)镋F∥平面PAD，EF?平面PBC，所以EF∥PM，從而得EF∥BC.因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以F為PC的中點(diǎn).(2)解因?yàn)镻A⊥底面ABCD，∠DAB＝90°，AB＝BC＝PA＝eq\f(1,2)AD＝2，所以PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝2eq\r(2)，PD＝eq\r(PA2＋AD2)＝2eq\r(5)，BD＝eq\r(BA2＋AD2)＝2eq\r(5)，所以S△DPB＝eq\f(1,2)PB·eq\r(DP2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PB))\s\up12(2))＝6.設(shè)點(diǎn)C到平面PBD的距離為d，由VC－PBD＝VP－BCD，得eq\f(1,3)S△DPB·d＝eq\f(1,3)S△BCD·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×BC×AB×PA，則6d＝eq\f(1,2)×2×2×2，解得d＝eq\f(2,3).【方法技巧】在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定注意定理成立的條件，通常應(yīng)嚴(yán)格按照定理成立的條件規(guī)范書寫步驟，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說(shuō)清經(jīng)過(guò)已知直線的平面和已知平面相交，這時(shí)才有直線與交線平行.【跟蹤訓(xùn)練】如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn).(1)求證：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(1)證明如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.因?yàn)镺，M分別為AC，EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF是矩形，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.又因?yàn)镺E?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)解l∥m，證明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.高頻考點(diǎn)三面面平行的判定與性質(zhì)【例3】(經(jīng)典母題)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴GH是△A1B1C1的中位線，則GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面.(2)∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.又G，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，A1B1綉AB，∴A1G綉EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.又∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.【遷移1】在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)”，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，∵D為BC的中點(diǎn)，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性質(zhì)及D，D1分別為BC，B1C1的中點(diǎn)知，D1C1綉B(tài)D，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，因此平面A1BD1∥平面AC1D.【遷移2】在本例中，若將條件“E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤包c(diǎn)D，D1分別是AC，A1C1上的點(diǎn)，且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求eq\f(AD,DC)的值.解連接A1B交AB1于O，連接OD1.由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，則eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)＝1.又由題設(shè)eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.【方法技巧】1.判定面面平行的主要方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)線面垂直的性質(zhì)(垂直于同一直線的兩平面平行).2.面面平行條件的應(yīng)用(1)兩平面平行，分別構(gòu)造與之相交的第三個(gè)平面，交線平行.(2)兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線與另一個(gè)平面平行.【跟蹤訓(xùn)練】1.(2022·成都五校聯(lián)考)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M，N分別為AD，PA的中點(diǎn).(1)證明：平面BMN∥平面PCD；(2)若AD＝6，求三棱錐P－BMN的體積.(1)證明連接BD，如圖所示.∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD為正三角形.∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，∴BM⊥AD.∵AD⊥CD，CD，BM?平面ABCD，∴BM∥CD.又BM?平面PCD，CD?平面PCD，∴BM∥平面PCD.∵M(jìn)，N分別為AD，PA的中點(diǎn)，∴MN∥PD.又MN?平面PCD，PD?平面PCD，∴MN∥平面PCD.又BM，MN?平面BMN，BM∩MN＝M，∴平面BMN∥平面PCD.(2)解在(1)中已證BM⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，BM?平面ABCD，∴BM⊥平面PAD.又AD＝6，∠BAD＝60°，∴BM＝3eq\r(3).∵PA＝PD，PA⊥PD，AD＝6，∴PA＝PD＝eq\f(\r(3),2)AD＝3eq\r(2)，∵M(jìn)，N分別為AD，PA的中點(diǎn)，∴S△PMN＝eq\f(1,4)S△PAD＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)×(3eq\r(2))2＝eq\f(9,4).∴三棱錐P－BMN的體積V＝VB－PMN＝eq\f(1,3)S△PMN·BM＝eq\f(1,3)×eq\f(9,4)×3eq\r(3)＝eq\f(9\r(3),4).高頻考點(diǎn)四線面垂直的判定與性質(zhì)【例4】(2019·全國(guó)Ⅱ卷)如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)證明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱錐E－BB1C1C的體積.(1)證明由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1?平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)解由(1)知∠BEB1＝90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.如圖，作EF⊥BB1，垂足為F，則EF⊥平面BB1C1C，且EF＝AB＝3.所以四棱錐E－BB1C1C的體積V＝eq\f(1,3)×3×6×3＝18.【方法技巧】1.證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)面面垂直的性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l?β?l⊥α).2.證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì).因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思路.高頻考點(diǎn)五面面垂直的判定與性質(zhì)【例5】(2020·全國(guó)Ⅰ卷)如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點(diǎn)，∠APC＝90°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAC；(2)設(shè)DO＝eq\r(2)，圓錐的側(cè)面積為eq\r(3)π，求三棱錐P－ABC的體積.(1)證明由題設(shè)可知，PA＝PB＝PC.由△ABC是正三角形，可得△PAC≌△PAB，△PAC≌△PBC.又∠APC＝90°，故∠APB＝90°，∠BPC＝90°.從而PB⊥PA，PB⊥PC，又PA，PC?平面PAC，PA∩PC＝P，故PB⊥平面PAC，又PB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.(2)解設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，由題設(shè)可得rl＝eq\r(3)，l2－r2＝2，解得r＝1，l＝eq\r(3).從而AB＝eq\r(3).由(1)可得PA2＋PB2＝AB2，故PA＝PB＝PC＝eq\f(\r(6),2).所以三棱錐P－ABC的體積為eq\f(1,3)·eq\f(1,2)·PA·PB·PC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(6),8).【方法技巧】1.判定面面垂直的方法主要是：(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).2.已知平面垂直時(shí)，解題一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，將問(wèn)題