2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)雙城融合學(xué)區(qū)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)雙城融合學(xué)區(qū)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.1．（2分）在下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A． B． C．0 D．92．（2分）36的平方根是（）A．6 B．﹣6 C．4或9 D．±63．（2分）二次根式中，字母a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)＞14．（2分）下列分式中，是最簡分式的是（）A． B． C． D．5．（2分）下列各式從左到右的變形正確的是（）A． B． C． D．6．（2分）若最簡二次根式與最簡二次根式是同類二次根式，則x的值為（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝37．（2分）如果把分式中的x，y都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（）A．?dāng)U大3倍 B．不變 C．縮小3倍 D．?dāng)U大2倍8．（2分）張華在一次數(shù)學(xué)活動中，利用“在面積一定的矩形中，正方形的周長最短”的結(jié)論，推導(dǎo)出“式子的最小值是2”．其推導(dǎo)方法如下：在面積是1的矩形中設(shè)矩形的一邊長為x，則另一邊長是，矩形的周長是；當(dāng)矩形成為正方形時，就有，解得x＝1，這時矩形的周長最小，因此的最小值是2．模仿張華的推導(dǎo)，你求得式子的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）若分式的值是0，則x的值為．10．（2分）比較大?。?223．11．（2分）與的最簡公分母是．12．（2分）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x3﹣5x＝．13．（2分）若，請寫出一個符合條件的x的值．14．（2分）已知﹣＝3，則分式的值為．15．（2分）若的小數(shù)部分為a，整數(shù)部分為b，則的值為．16．（2分）對于正數(shù)x，規(guī)定f（x）＝．f（1）＝＝，f（2）＝＝，f（）＝＝，則：（1）f（x）+f（）＝；（2）f（2020）+f（2019）+…+f（2）+f（1）+f（）+…+f（）+f（）＝．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）17．（5分）計算：．18．（5分）計算：．19．（5分）計算：．20．（5分）化簡：（﹣）÷．21．（5分）計算：．22．（5分）解方程：+1＝．23．（6分）先化簡分式，再從﹣2，﹣1，1，這4個數(shù)中選擇一個合適的數(shù)作為a的值代入求值．24．（6分）列方程解應(yīng)用題2022年北京市教育委員會印發(fā)《關(guān)于推進(jìn)“互聯(lián)網(wǎng)+基礎(chǔ)教育”的工作方案》的通知．《方案》中指出：雙師課堂是在空中課堂基礎(chǔ)上的深化，將傳統(tǒng)單師授課模式變革為名師團(tuán)隊支持下新型教學(xué)場景．某校為響應(yīng)國家號召，利用暑期在各班安裝能夠進(jìn)行雙師教學(xué)的電腦．該校南樓安裝的48臺由甲隊完成，北樓安裝的30臺由乙隊完成．已知甲隊比乙隊每天多安裝3臺，且兩隊同時開工，恰好同時完成任務(wù)．甲、乙兩隊每天各安裝能夠進(jìn)行雙師教學(xué)多少臺？25．（6分）我們之前學(xué)習(xí)有理數(shù)時，知道兩個數(shù)的乘積為1則這兩個數(shù)互為倒數(shù)．在學(xué)習(xí)二次根式的過程中，小明研究發(fā)現(xiàn)有一些特殊的無理數(shù)之間具有互為倒數(shù)的關(guān)系．例如：由，可得與互為倒數(shù)，即或，類似地，，可得或．根據(jù)小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問題：（1）＝，＝（n為正整數(shù)）；（2）若，則a＝；（3）求的值．26．（6分）現(xiàn)場學(xué)習(xí)：先閱讀下面的材料，然后解答問題：通過觀察，發(fā)現(xiàn)方程：x+的解為x1＝2，x2＝；x+的解為x1＝3，x2＝；x+的解為x1＝4，x2＝；（1）猜想關(guān)于x的方程x+的解是；（2）猜想關(guān)于x的方程x+的解是；（3）用上述方法求關(guān)于x的方程的解．27．（7分）小石根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．下面是小石的探究過程，請補(bǔ)充完整：（1）具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：＝（填寫運(yùn)算結(jié)果）；（2）觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：；（3）證明你的猜想．（4）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律：①化簡：＝；②若（a，b均為正整數(shù)），則a﹣b的值為．28．（7分）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：，則是“和諧分式”．（1）下列分式中，屬于“和諧分式”的是（填序號）；①②③④（2）請將“和諧分式”化為一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，并寫出化簡過程；（3）應(yīng)用：先化簡，并求x取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù)．

2022-2023學(xué)年北京市昌平區(qū)雙城融合學(xué)區(qū)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個.1．（2分）在下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A． B． C．0 D．9【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義對四個選項進(jìn)行逐一分析即可．【解答】解：A、是分?jǐn)?shù)，所以是有理數(shù)，故本選項錯誤；B、是開方開不盡的數(shù)，是無理數(shù)，故本選項正確；C、0是整數(shù)，是有理數(shù)，故本選項錯誤；D、9是整數(shù)，是有理數(shù)，故本選項錯誤．故選：B．【點評】本題考查的是無理數(shù)的定義，初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．2．（2分）36的平方根是（）A．6 B．﹣6 C．4或9 D．±6【分析】根據(jù)平方根的定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：36的平方根是±6．故選：D．【點評】此題主要考查了平方根，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵，注意一個正數(shù)有兩個平方根．3．（2分）二次根式中，字母a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)＞1【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于或等于0，即可求a的取值范圍．【解答】解：根據(jù)題意得：a﹣1≥0，解得a≥1．故選C．【點評】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)．二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．4．（2分）下列分式中，是最簡分式的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用分式的基本性質(zhì)結(jié)合最簡分式的定義：分子與分母不含公因式的分式叫做最簡分式，進(jìn)而判斷即可．【解答】解：A、＝x，不是最簡分式，不符合題意；B、＝，不是最簡分式，不符合題意；C、＝x﹣y，不是最簡分式，不符合題意；D、，是最簡分式，符合題意；故選：D．【點評】此題主要考查了最簡分式，正確掌握最簡分式的定義（分子與分母不含公因式的分式叫做最簡分式）是解題關(guān)鍵．5．（2分）下列各式從左到右的變形正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)依次進(jìn)行判斷即可，注意乘除一個數(shù)或代數(shù)式時要保證不為0．【解答】解：A、當(dāng)c≠0時，才成立，所以選項A不正確；B、，所以選項B不正確；C、當(dāng)a＝b時，才成立，所以選項C不正確；D、∵a是分母，∴a≠0，∴，所以選項D正確；故選：D．【點評】本題考查了分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是關(guān)鍵．6．（2分）若最簡二次根式與最簡二次根式是同類二次根式，則x的值為（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3【分析】根據(jù)同類二次根式的定義得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵最簡二次根式與最簡二次根式是同類二次根式，∴x+3＝2x，解得：x＝3，故選：D．【點評】本題考查了同類二次根式和最簡二次根式，能根據(jù)同類二次根式的定義得出x+3＝2x是解此題的關(guān)鍵，注意：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式．7．（2分）如果把分式中的x，y都擴(kuò)大3倍，那么分式的值（）A．?dāng)U大3倍 B．不變 C．縮小3倍 D．?dāng)U大2倍【分析】依題意，分別用3x和3y去代換原分式中的x和y，利用分式的基本性質(zhì)化簡即可．【解答】解：分別用3x和3y去代換原分式中的x和y，得＝＝，可見新分式與原分式相等．故選：B．【點評】解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)．規(guī)律總結(jié)：解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論．8．（2分）張華在一次數(shù)學(xué)活動中，利用“在面積一定的矩形中，正方形的周長最短”的結(jié)論，推導(dǎo)出“式子的最小值是2”．其推導(dǎo)方法如下：在面積是1的矩形中設(shè)矩形的一邊長為x，則另一邊長是，矩形的周長是；當(dāng)矩形成為正方形時，就有，解得x＝1，這時矩形的周長最小，因此的最小值是2．模仿張華的推導(dǎo)，你求得式子的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】仿照題干中的方法解答即可．【解答】解：（x＞0）＝x+，在面積是，4的長方形中設(shè)長方形的一邊長為x，則另一邊長為，長方形的周長是2（x+），∵在面積一定的長方形中，正方形的周長最短，∴當(dāng)長方形成為正方形時，就有x＝（x＞0），解得：x＝2，經(jīng)檢驗，x＝2是原方程的解，這時長方形的周長2（x+）＝8最小，因此x+（x＞0）的最小值是4．∴式子（x＞0）的最小值是4．故選：B．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，理解題干中的方法并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本題共16分，每小題2分）9．（2分）若分式的值是0，則x的值為2．【分析】根據(jù)分式的值為零的條件得到x﹣2＝0且x≠0，易得x＝2．【解答】解：∵分式的值是0，∴x﹣2＝0且x≠0，∴x＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了分式的值為零的條件：當(dāng)分式的分母不為零，分子為零時，分式的值為零．10．（2分）比較大?。?2＞23．【分析】分別計算32和23，再比較大小即可．【解答】解：∵32＝9，23＝8，∴9＞8，即32＞23．故答案為：＞．【點評】本題考查了有理數(shù)的乘方以及有理數(shù)的大小比較，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．11．（2分）與的最簡公分母是6a2b3c．【分析】根據(jù)最簡公分母的定義解決此題．【解答】解：根據(jù)最簡公分母的定義，這兩個分式的的最簡公分母為6a2b3c．故答案為：6a2b3c．【點評】本題主要考查最簡公分母的定義，熟練掌握最簡公分母的定義是解決本題的關(guān)鍵．12．（2分）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x3﹣5x＝x（x+）（x﹣）．【分析】首先提取公因式，再進(jìn)一步運(yùn)用平方差公式．【解答】解：原式＝x（x2﹣5）＝x（x+）（x﹣）．故答案為x（x+）（x﹣）．【點評】此題考查了實數(shù)范圍內(nèi)的因式分解．注意：5＝（）2．13．（2分）若，請寫出一個符合條件的x的值1．【分析】先根據(jù)二次根式化簡，再結(jié)合分母不為0即可得出答案．【解答】解：，∴|x|＝x，且x≠0∴x為大于0的一切自然數(shù)．故答案為：1（答案不唯一）．【點評】本題考查了二次根式和分式的定義，熟練掌握二次根式和分式的定義是解決此題的關(guān)鍵．14．（2分）已知﹣＝3，則分式的值為．【分析】由已知條件可知xy≠0，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，先將分式的分子、分母同時除以xy，再把﹣＝3代入即可．【解答】解：∵﹣＝3，∴x≠0，y≠0，∴xy≠0．∴＝＝＝＝＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)及求分式的值的方法，把﹣＝3作為一個整體代入，可使運(yùn)算簡便．15．（2分）若的小數(shù)部分為a，整數(shù)部分為b，則的值為5．【分析】確定a、b的值，代入計算即可．【解答】解：∵3＜＜4，又∵a是的小數(shù)部分，b是它的整數(shù)部分，∴a＝﹣3，b＝3，∴＝（﹣3）（+3）＝14﹣9＝5，故答案為5．【點評】考查實數(shù)的運(yùn)算，無理數(shù)的估算，得出的整數(shù)部分和小數(shù)部分，即a、b的值，是正確計算的前提．16．（2分）對于正數(shù)x，規(guī)定f（x）＝．f（1）＝＝，f（2）＝＝，f（）＝＝，則：（1）f（x）+f（）＝1；（2）f（2020）+f（2019）+…+f（2）+f（1）+f（）+…+f（）+f（）＝2019.5．【分析】（1）利用題目給出的已知條件可知，f（x）+f（）＝+＝+＝1；（2）利用（1）得到的規(guī)律可化簡計算出結(jié)果．【解答】解：（1）f（x）+f（）＝+＝+＝1；故答案為：1；（2）原式＝f（2020）+f（）+f（2019）+f（）+…+f（2）+f（）+f（1）＝1+1+1+…+1+＝2019+＝2019.5．故答案為：2019.5．【點評】本題考查了分式的加減，有理數(shù)的加減，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，熟練地掌握分式的加減運(yùn)算．三、解答題（本題共68分，第17-22題，每小題5分，第23-26題，每小題5分，第27，28題，每小題5分）17．（5分）計算：．【分析】先根據(jù)乘方法則計算，再把除法化為乘法，再約分得到答案．【解答】解：原式＝﹣??＝﹣．【點評】本題考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法則是解題的關(guān)鍵．18．（5分）計算：．【分析】先把分母化成同分母，再根據(jù)同分母相加減，分母不變，分子相加減，即可得出答案．【解答】解：＝﹣＝＝＝﹣1．【點評】本題考查了分式的加減，熟練掌握分式加減的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．19．（5分）計算：．【分析】根據(jù)二次根式的乘法、除法法則運(yùn)算，注意結(jié)果是最簡二次根式．【解答】解：原式＝＝＝．【點評】本題主要考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法則是解題關(guān)鍵．20．（5分）化簡：（﹣）÷．【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算即可求出答案．【解答】解：原式＝×x﹣×x＝﹣＝【點評】本題考查分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．21．（5分）計算：．【分析】先化簡各式，然后再進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：＝+3﹣3+（﹣2）＝+3﹣3﹣2＝﹣+1．【點評】本題考查了實數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地化簡各式是解題的關(guān)鍵．22．（5分）解方程：+1＝．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：4x+2x+6＝7，移項合并得：6x＝1，解得：x＝，經(jīng)檢驗，x＝是分式方程的解．【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．23．（6分）先化簡分式，再從﹣2，﹣1，1，這4個數(shù)中選擇一個合適的數(shù)作為a的值代入求值．【分析】先根據(jù)分式的加法和除法法則化簡題目中的式子，然后在﹣2、﹣1、1、這4個數(shù)中選取使原分式有意義的值代入計算即可．【解答】解：原式＝＝＝＝，根據(jù)分式有意義的條件，a≠﹣2且a≠﹣1且a≠1，且a≠0，所以當(dāng)時，原式＝．【點評】本題主要考查了分式有意義的條件、分式的化簡求值以及最簡二次根式的知識，解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則．24．（6分）列方程解應(yīng)用題2022年北京市教育委員會印發(fā)《關(guān)于推進(jìn)“互聯(lián)網(wǎng)+基礎(chǔ)教育”的工作方案》的通知．《方案》中指出：雙師課堂是在空中課堂基礎(chǔ)上的深化，將傳統(tǒng)單師授課模式變革為名師團(tuán)隊支持下新型教學(xué)場景．某校為響應(yīng)國家號召，利用暑期在各班安裝能夠進(jìn)行雙師教學(xué)的電腦．該校南樓安裝的48臺由甲隊完成，北樓安裝的30臺由乙隊完成．已知甲隊比乙隊每天多安裝3臺，且兩隊同時開工，恰好同時完成任務(wù)．甲、乙兩隊每天各安裝能夠進(jìn)行雙師教學(xué)多少臺？【分析】設(shè)乙隊每天安裝x臺，則甲隊每天安裝（x+3）臺，根據(jù)兩隊同時開工，恰好同時完成任務(wù)，即所用的時間相等，即可列方程求解．【解答】解：設(shè)乙隊每天安裝x臺，則甲隊每天安裝（x+3）臺．由題意得：＝，解得：x＝5．經(jīng)檢驗：x＝5是原方程的根，則x+3＝8．答：甲隊每天安裝能夠進(jìn)行雙師教學(xué)的電腦8臺，乙隊每天安裝能夠進(jìn)行雙師教學(xué)的電腦5臺．【點評】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．25．（6分）我們之前學(xué)習(xí)有理數(shù)時，知道兩個數(shù)的乘積為1則這兩個數(shù)互為倒數(shù)．在學(xué)習(xí)二次根式的過程中，小明研究發(fā)現(xiàn)有一些特殊的無理數(shù)之間具有互為倒數(shù)的關(guān)系．例如：由，可得與互為倒數(shù)，即或，類似地，，可得或．根據(jù)小明發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，解決下列問題：（1）＝﹣，＝﹣（n為正整數(shù)）；（2）若，則a＝±；（3）求的值．【分析】（1）仿照閱讀材料分母有理化即可；（2）解關(guān)于m的方程并檢驗，可得答案；（3）先分母有理化，再相加即可．【解答】解：（1）＝＝，＝＝﹣，故答案為：﹣，﹣；（2）∵，∴（2+a）（2﹣a）＝1，∴12﹣a2＝1，∴a＝±，經(jīng)檢驗，a＝±都滿足題意，故答案為：±；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣++﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．【點評】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能把二次根式分母有理化．26．（6分）現(xiàn)場學(xué)習(xí)：先閱讀下面的材料，然后解答問題：通過觀察，發(fā)現(xiàn)方程：x+的解為x1＝2，x2＝；x+的解為x1＝3，x2＝；x+的解為x1＝4，x2＝；（1）猜想關(guān)于x的方程x+的解是x1＝5，x2＝；（2）猜想關(guān)于x的方程x+的解是x1＝a，x2＝；（3）用上述方法求關(guān)于x的方程的解．【分析】（1）通過給定的例題即可確定；（2）通過給定的例題即可確定；（3）先將原方程變形，通過前面的方法可得x+1＝a+1或x+1＝，進(jìn)一步求解即可．【解答】解：（1）關(guān)于x的方程x+的解為x1＝5，x2＝，故答案為：x1＝5，x2＝；（2）關(guān)于x的方程x+的解是x1＝a，x2＝，故答案為：x1＝a，x2＝；（3）關(guān)于x的方程化為＝，∴x+1＝a+1或x+1＝，∴x1＝a，x2＝．【點評】本題考查了解分式方程，看懂給定的例題中方程的解是解題的關(guān)鍵．27．（7分）小石根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．下面是小石的探究過程，請補(bǔ)充完整：（1）具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：＝5（填寫運(yùn)算結(jié)果）；（2）觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用