山東省濱州市鄒平雙語學(xué)校三區(qū)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期期末高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁(yè)
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山東省濱州市鄒平雙語學(xué)校三區(qū)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期期末高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則的值是A.1或 B.或 C.1或 D.或2.某幾何體的三視圖如圖所示,若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,則該幾何體的體積為A. B. C. D.3.已知a,b∈R,,則()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a4.已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2,焦距為分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),若點(diǎn)為上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為()A. B. C. D.5.已知三點(diǎn)A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點(diǎn)的距離為()A. B.C. D.6.某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù),要求是:任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行,且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E,任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰,則不同的執(zhí)行方案共有()A.36種 B.44種 C.48種 D.54種7.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.已知直線過圓的圓心,則的最小值為()A.1 B.2 C.3 D.49.如圖,正方形網(wǎng)格紙中的實(shí)線圖形是一個(gè)多面體的三視圖,則該多面體各表面所在平面互相垂直的有()A.2對(duì) B.3對(duì)C.4對(duì) D.5對(duì)10.集合,,則()A. B. C. D.11.是定義在上的增函數(shù),且滿足:的導(dǎo)函數(shù)存在,且,則下列不等式成立的是()A. B.C. D.12.已知圓:,圓:,點(diǎn)、分別是圓、圓上的動(dòng)點(diǎn),為軸上的動(dòng)點(diǎn),則的最大值是()A. B.9 C.7 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的定義域?yàn)椋鋱D象如圖所示.函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足,且當(dāng)時(shí),.給出下列三個(gè)結(jié)論:①;②函數(shù)在內(nèi)有且僅有個(gè)零點(diǎn);③不等式的解集為.其中,正確結(jié)論的序號(hào)是________.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線與拋物線相切于點(diǎn),是上一點(diǎn)(不與重合),若以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過,則點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離的最小值是__________.15.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值為_____.16.的展開式中,項(xiàng)的系數(shù)是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),橢圓的離心率為是橢圓上兩點(diǎn),點(diǎn)滿足.(1)求的方程;(2)若點(diǎn)在圓上,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),求的取值范圍.18.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)).(1)求與的普通方程;(2)若與相交于,兩點(diǎn),且,求的值.19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,底面,.(1)求證:平面;(2)若直線與平面所成的角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.20.(12分)已知直線:與拋物線切于點(diǎn),直線:過定點(diǎn)Q,且拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與其到準(zhǔn)線距離之和的最小值為.(1)求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);(2)設(shè)直線與拋物線交于(異于點(diǎn)P)兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B,直線PA,PB的斜率分別為,那么是否存在實(shí)數(shù),使得?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B,求的值.22.(10分)已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)的圖象與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為,若三角形的面積大于,求參數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義求得后可得結(jié)論.【詳解】由題意得點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離.①當(dāng)時(shí),,∴,∴.②當(dāng)時(shí),,∴,∴.綜上可得的值是或.故選B.利用三角函數(shù)的定義求一個(gè)角的三角函數(shù)值時(shí)需確定三個(gè)量:角的終邊上任意一個(gè)異于原點(diǎn)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y,該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r,然后再根據(jù)三角函數(shù)的定義求解即可.2.C【解析】

由三視圖可知,該幾何體是三棱錐,底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,三棱錐的高為,所以該幾何體的體積,故選C.3.C【解析】

兩復(fù)數(shù)相等,實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等.【詳解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故選:C.本題考查復(fù)數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.4.D【解析】

先求出橢圓方程,再利用橢圓的定義得到,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求,從而可得的取值范圍.【詳解】由題設(shè)有,故,故橢圓,因?yàn)辄c(diǎn)為上的任意一點(diǎn),故.又,因?yàn)?,故,所?故選:D.本題考查橢圓的幾何性質(zhì),一般地,如果橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是,點(diǎn)為上的任意一點(diǎn),則有,我們常用這個(gè)性質(zhì)來考慮與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問題,本題屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】

選B.考點(diǎn):圓心坐標(biāo)6.B【解析】

分三種情況,任務(wù)A排在第一位時(shí),E排在第二位;任務(wù)A排在第二位時(shí),E排在第三位;任務(wù)A排在第三位時(shí),E排在第四位,結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰,分別求出三種情況的排列方法,即可得到答案.【詳解】六項(xiàng)不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F,如果任務(wù)A排在第一位時(shí),E排在第二位,剩下四個(gè)位置,先排好D、F,再在D、F之間的3個(gè)空位中插入B、C,此時(shí)共有排列方法:;如果任務(wù)A排在第二位時(shí),E排在第三位,則B,C可能分別在A、E的兩側(cè),排列方法有,可能都在A、E的右側(cè),排列方法有;如果任務(wù)A排在第三位時(shí),E排在第四位,則B,C分別在A、E的兩側(cè);所以不同的執(zhí)行方案共有種.本題考查了排列組合問題,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于中檔題.7.D【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,化簡(jiǎn)得到,再結(jié)合復(fù)數(shù)的表示,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,可得,所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選D.本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)的幾何意義,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,準(zhǔn)確化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】

圓心坐標(biāo)為,代入直線方程,再由乘1法和基本不等式,展開計(jì)算即可得到所求最小值.【詳解】圓的圓心為,由題意可得,即,,,則,當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)取等號(hào),故選:.本題考查最值的求法,注意運(yùn)用乘1法和基本不等式,注意滿足的條件:一正二定三等,同時(shí)考查直線與圓的關(guān)系,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】

畫出該幾何體的直觀圖,易證平面平面,平面平面,平面平面,平面平面,從而可選出答案.【詳解】該幾何體是一個(gè)四棱錐,直觀圖如下圖所示,易知平面平面,作PO⊥AD于O,則有PO⊥平面ABCD,PO⊥CD,又AD⊥CD,所以,CD⊥平面PAD,所以平面平面,同理可證:平面平面,由三視圖可知:PO=AO=OD,所以,AP⊥PD,又AP⊥CD,所以,AP⊥平面PCD,所以,平面平面,所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對(duì).本題考查了空間幾何體的三視圖,考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征,考查了面面垂直的證明,屬于中檔題.10.A【解析】

計(jì)算,再計(jì)算交集得到答案.【詳解】,,故.故選:.本題考查了交集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題.11.D【解析】

根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得,構(gòu)建新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得為上的增函數(shù),從而可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù),故.又有意義,故,故,所以.令,則,故在上為增函數(shù),所以即,整理得到.故選:D.本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,一般地,數(shù)的大小比較,可根據(jù)數(shù)的特點(diǎn)和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù),本題屬于中檔題.12.B【解析】試題分析:圓的圓心,半徑為,圓的圓心,半徑是.要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是;關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn),,故的最大值為,故選B.考點(diǎn):圓與圓的位置關(guān)系及其判定.【思路點(diǎn)睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑,要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是,再利用對(duì)稱性,求出所求式子的最大值.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.①③【解析】

利用奇函數(shù)和,得出函數(shù)的周期為,由圖可直接判斷①;利用賦值法求得,結(jié)合,進(jìn)而可判斷函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),可判斷②的正誤;采用換元法,結(jié)合圖象即可得解,可判斷③的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以,又,所以,即,所以,函數(shù)的周期為.對(duì)于①,由于函數(shù)是上的奇函數(shù),所以,,故①正確;對(duì)于②,,令,可得,得,所以,函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)為和.因?yàn)楹瘮?shù)的周期為,所以函數(shù)在內(nèi)有個(gè)零點(diǎn),分別是、、、、,故②錯(cuò)誤;對(duì)于③,令,則需求的解集,由圖象可知,,所以,故③正確.故答案為:①③.本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),涉及奇偶性、周期性和零點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn),考查學(xué)生分析問題的能力和數(shù)形結(jié)合能力,屬于中等題.14.【解析】

根據(jù)拋物線,不妨設(shè),取,通過求導(dǎo)得,,再根據(jù)以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過,則,得到,兩式聯(lián)立,求得點(diǎn)N的軌跡,再求解最值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€,不妨設(shè),取,所以,即,所以,因?yàn)橐跃€段為直徑的圓恰好經(jīng)過,所以,所以,所以,由,解得,所以點(diǎn)在直線上,所以當(dāng)時(shí),最小,最小值為.故答案為:2本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系直線的交軌問題,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.15.【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法求解再根據(jù)純虛數(shù)的定義求解即可.【詳解】解:復(fù)數(shù)為純虛數(shù),解得.故答案為:.本題主要考查了根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)求解參數(shù)的問題,屬于基礎(chǔ)題.16.240【解析】

利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式,令x的指數(shù)等于3,計(jì)算展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】由題意得:,只需,可得,代回原式可得,故答案:240.本題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用,相對(duì)不難.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】

(1)根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率,結(jié)合橢圓中的關(guān)系,即可求得的值,進(jìn)而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)出直線的方程為,由題意可知為中點(diǎn).聯(lián)立直線與橢圓方程,由韋達(dá)定理表示出,由判別式可得;由平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積定義,化簡(jiǎn)可得,代入弦長(zhǎng)公式化簡(jiǎn);由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo),代入圓的方程,化簡(jiǎn)可得,代入數(shù)量積公式并化簡(jiǎn),由換元法令,代入可得,再令及,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可確定的取值范圍,即確定的取值范圍,因而可得的取值范圍.【詳解】(1)分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn),則,橢圓的離心率為則解得,所以,所以的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,點(diǎn)滿足,則為中點(diǎn),點(diǎn)在圓上,設(shè),聯(lián)立直線與橢圓方程,化簡(jiǎn)可得,所以則,化簡(jiǎn)可得,而由弦長(zhǎng)公式代入可得為中點(diǎn),則點(diǎn)在圓上,代入化簡(jiǎn)可得,所以令,則,,令,則令,則,所以,因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增,所以,即所以本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法,直線與橢圓的位置關(guān)系綜合應(yīng)用,由韋達(dá)定理研究參數(shù)間的關(guān)系,平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用及換元法在求取值范圍問題中的綜合應(yīng)用,計(jì)算量大,屬于難題.18.(1),(2)0【解析】

(1)分別把兩曲線參數(shù)方程中的參數(shù)消去,即可得到普通方程;(2)把直線的參數(shù)方程代入的普通方程,化為關(guān)于的一元二次方程,再由根與系數(shù)的關(guān)系及此時(shí)的幾何意義求解.【詳解】(1)由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),消去參數(shù),可得;由曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),消去參數(shù),可得,即.(2)把為參數(shù))代入,得.,..解得:,即,滿足△..本題考查參數(shù)方程化普通方程,特別是直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,是中檔題.19.(1)證明見解析(2)【解析】

(1)由底面為菱形,得,再由底面,可得,結(jié)合線面垂直的判定可得平面;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線及過點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:底面為菱形,,底面,平面,又,平面,平面;(2)解:,,為等邊三角形,.底面,是直線與平面所成的角為,在中,由,解得.如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線及過點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,.,,,.設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為,.由,取,得;由,取,得..平面與平面所成銳二面角的余弦值為.本題考查直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力與思維能力,訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角,屬于中檔題.20.(1),(1,2);(2)存在,【解析】

(1)由直線恒過點(diǎn)點(diǎn)及拋物線C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與到準(zhǔn)線的距離之和的最小值為,求出拋物線的方程,再由直線與拋物線相切,即可求得切點(diǎn)的坐標(biāo);(2)直線與拋物線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求得直線PA,PB的斜率,求出斜率之和為定值,即存在實(shí)數(shù)使得斜率之和為定值.【詳解】(1)由題意,直線變?yōu)?x+1-m(2y+1)=0,所以定點(diǎn)Q的坐標(biāo)為拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),由拋物線C上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與到其焦點(diǎn)F的距離之和的最小值為,可得,解得或(舍去),故拋物線C的方程為又由消去y得,因?yàn)橹本€與拋物線C相切,所以,解得,此時(shí),所以點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,2)(2)設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù),點(diǎn),聯(lián)立,消去x得,則,依題意,可得,解得m<-1或,由(1)知P(1,2),可得,同理可得,所以=,故存在實(shí)數(shù)=滿足條件.本題主要考查拋物線方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目,通常聯(lián)立直線方程與拋物線方程,應(yīng)用一元二次

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