常微分方程第一章

常微分方程第一章常微分方程第一章//常微分方程第一章一階微分方程1.1學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解微分方程有關(guān)的基本概念,如微分方程、方程階數(shù)、解、通解、初始條件、初值問題等的定義和提法.掌握處理微分方程的三種主要方法:解析方法,定性方法和數(shù)值方法.2.掌握變量分離法，用變量替換將某些方程轉(zhuǎn)化為變量分離方程,掌握一階線性方程的猜測檢驗(yàn)法,常數(shù)變易法和積分因子法,靈活運(yùn)用這些方法求解相應(yīng)方程,理解和掌握一階線性方程的通解結(jié)構(gòu)和性質(zhì).3.能夠大致描述給定一階微分方程的斜率場,通過給定的斜率場描述方程解的定性性質(zhì);理解和掌握歐拉方法,能夠利用歐拉方法做簡單的近似計算.4.理解和掌握一階微分方程初值問題解的存在唯一性定理,能夠利用存在唯一性定理判別方程解的存在性及唯一性并解決及之相關(guān)的問題,了解解對初值的連續(xù)相依性和解對初值的連續(xù)性定理,理解適定性的概念.5.理解自治方程平衡點(diǎn),平衡解,相線的概念,能夠畫出給定自治方程的相線,判斷平衡點(diǎn)類型進(jìn)而定性分析滿足不同初始條件解的漸近行為.6.理解和掌握一階單參數(shù)微分方程族的分歧概念,掌握發(fā)生分歧的條件,理解和掌握各種分歧類型和相應(yīng)的分歧圖解,能夠畫出給定單參數(shù)微分方程族的分歧圖解,利用分歧圖解分析解的漸近行為隨參數(shù)變化的狀況.7.掌握在給定的假設(shè)條件下,建立及實(shí)際問題相應(yīng)的常微分方程模型,并能夠靈活運(yùn)用本章知識進(jìn)行模型的各種分析.1.2基本知識：基本概念什么是微分方程:聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)及它們的導(dǎo)數(shù)（或微分）間的關(guān)系式（一般是指等式），稱之為微分方程.常微分方程和偏微分方程:如果在微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個，則稱這種微分方程為常微分方程,例如,.如果在微分方程中，自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上，則稱這種微分方程為偏微分方程.例如,.本書在不特別指明的情況下,所說的方程或微分方程均指常微分方程.微分方程的階數(shù):微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù).例如，是二階常微分方程；及是二階偏微分方程.n階常微分方程的一般形式：,這里是的已知函數(shù)，而且一定含有的項(xiàng)；是未知函數(shù)，是自變量.線性及非線性：（1）如果方程的左端是及的一次有理式，則稱為n階線性微分方程.（2）一般n階線性微分方程具有形式：這里,…,,是的已知函數(shù).（3）不是線性方程的方程稱為非線性方程.（4）舉例：方程是二階線性微分方程；方程是二階非線性微分方程；方程是一階非線性微分方程.解和隱式解：如果將函數(shù)代入方程后，能使它變?yōu)楹愕仁剑瑒t稱函數(shù)為方程的解.如果關(guān)系式?jīng)Q定的隱函數(shù)是方程的解，則稱為方程的隱式解.通解及特解：把含有n個獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱為n階方程的通解.其中解對常數(shù)的獨(dú)立性是指，對及其階導(dǎo)數(shù)關(guān)于個常數(shù)的雅可比行列式不為0,即.為了確定微分方程一個特定的解，通常給出這個解所必須滿足的條件，稱為定解條件.常見的定解條件是初始條件,階微分方程的初始條件是指如下的個條件：，這里是給定的n+1個常數(shù).求微分方程滿足定解條件的解，就是所謂定解問題.當(dāng)定解條件為初始條件時，相應(yīng)的定解問題稱為初值問題.把滿足初始條件的解稱為微分方程的特解.初始條件不同，對應(yīng)的特解也不同.解析方法1．變量分離方程形如的方程為變量分離方程，其中分別為的連續(xù)函數(shù).方程解法如下：若，則上式確定方程的隱式通解.如果存在，使得，則也是方程的解.2.可化為變量分離方程的方程(1)齊次方程形如的方程為齊次方程，為的連續(xù)函數(shù).解法如下：做變量替換，即，有，從而原方程變?yōu)?，整理有，此為變量分離方程，可求解.(2)形如的方程,其中為常數(shù).的情形.此時方程化為可解得.即的情形:令則有此為變量分離方程.的情形對的情況,直接做變量替換.當(dāng)不全為零,求的解為.令,則方程組化為.原方程化為的齊次方程可求解.3．一階線性微分方程(1)一般形式：，若，則可寫成的形式.(2)一階齊次線性微分方程：，通解為為任意常數(shù).(3)一階非齊次線性微分方程：，.(4)齊次線性微分方程的性質(zhì)性質(zhì)1必有零解;性質(zhì)2通解等于任意常數(shù)及一個特解的乘積;性質(zhì)3任意兩個解的線性組合也是該微分方程的解.(5)非齊次線性微分方程的性質(zhì)性質(zhì)1沒有零解;性質(zhì)2非齊次方程的解加上對應(yīng)齊次方程的解仍為非齊次方程的解;性質(zhì)3任意兩個非齊次方程的解的差是相應(yīng)齊次方程的解.(6)一階非齊次線性微分方程的解法：(i)猜測-檢驗(yàn)法對于常系數(shù)的情形，即為常數(shù),此時方程為,為常數(shù).對應(yīng)齊次方程的通解為,只需再求一個特解,這時根據(jù)為特定的函數(shù),可猜測不同的形式特解.事實(shí)上,當(dāng),為給定常數(shù),且時可設(shè)待定特解為,而當(dāng)時,可設(shè)特解形式為,后代入方程可確定待定常數(shù).當(dāng)為或它們的線性組合時,其中為給定常數(shù).這時可設(shè)待定特解為代入方程后確定的值.當(dāng)具有多項(xiàng)式形式,其中為給定常數(shù)且,這時可設(shè)待定特解為代入方程可求得的值.對于有上述幾種線性組合的形式,則可設(shè)待定特解是上述形式特解的線性組合.(ii)常數(shù)變易法:令，代入方程，求出后可求得通解為.(iii)積分因子法:方程改寫為,將,乘方程兩端得即,從而通解為，即.注意,非齊次線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)是:非齊次線性微分方程的通解等于其對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解加上非齊次線性微分方程的一個特解.4.伯努利(Bernoulli)方程.形如的方程,其中是常數(shù)且是連續(xù)函數(shù),稱為伯努利方程.伯努利方程可通過變量替換化為,這是關(guān)于未知函數(shù)的線性方程,可求其通解.定性方法及數(shù)值方法：斜率場：一階微分方程的解代表平面上的一條曲線，稱之為微分方程的積分曲線.微分方程的通解對應(yīng)于平面上的一族曲線，稱之為微分方程的積分曲線族.滿足初始條件的特解就是通過點(diǎn)的一條積分曲線.方程的積分曲線上的每一點(diǎn)處的切線斜率剛好等于函數(shù)在這點(diǎn)的值.也就是，積分曲線的每一點(diǎn)以及這點(diǎn)上的切線斜率恒滿足方程；反之，如果在一條曲線每點(diǎn)上其切線斜率剛好等于函數(shù)在這點(diǎn)的值，則這一條曲線就是方程的積分曲線.這樣，可以用在平面的某個區(qū)域內(nèi)定義過各點(diǎn)的小線段，其斜率為，一般稱這樣的小線段為斜率標(biāo)記.而對平面上內(nèi)任一點(diǎn),有這樣一個小線段及之對應(yīng),這樣在內(nèi)形成一個方向場,稱為斜率場.斜率場是幾何直觀上描述解的常用方法歐拉方法：求微分方程初值問題的解，可以從初始條件出發(fā)，按照一定的步長依照某種方法逐步計算微分方程的近似解,這里這樣求出的解稱為數(shù)值解.利用歐拉公式,可求初值問題的近似解，這種方法稱為歐拉方法.歐拉方法具有一階誤差精度.如果我們先用歐拉公式求出近似解,再利用梯形公式進(jìn)行校正,得到的近似解將具有2階誤差精度,具體為預(yù)測:,校正:,這種方法稱為改進(jìn)的歐拉方法.解的存在性、唯一性及解對初值的連續(xù)相依性1.利普希茨（lipschitz）條件:函數(shù)稱為在區(qū)域內(nèi)關(guān)于滿足利普希茨條件，是指如果存在常數(shù)，使得不等式對于所有的都成立,其中稱為利普希茨常數(shù).2.基本定理(1)解的存在性定理:設(shè)在矩形區(qū)域內(nèi)連續(xù).如果,那么，存在和函數(shù),定義于區(qū)間內(nèi)，是初值問題的解.(2)解的唯一性定理:設(shè)在矩形區(qū)域內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足利普希茨條件.如果并且是初值問題在區(qū)間內(nèi)的兩個解，那么對任意的,,即解是唯一的.注記1:存在性定理和唯一性定理結(jié)合在一起稱為初值問題解的存在唯一性定理，敘述如下：設(shè)在矩形區(qū)域內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足利普希茨條件.如果,那么，存在和函數(shù),定義于區(qū)間內(nèi)，是初值問題的唯一解.因而當(dāng)我們判斷初值問題解的存在唯一性時，要檢查需要滿足的條件.注記2:由于利普希茨條件較難檢驗(yàn)，常用在上對有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)來代替.事實(shí)上，如果在上存在且連續(xù)，則在上有界.設(shè)在上,這時,其中.但反過來滿足利普希茨條件的函數(shù)不一定有偏導(dǎo)數(shù)存在.例如在任何區(qū)域內(nèi)都滿足利普希茨條件，但它在處沒有導(dǎo)數(shù).(3)解對初值的連續(xù)相依性定理設(shè)在矩形區(qū)域內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足利普希茨條件.如果，是初值問題在區(qū)間內(nèi)的解，其中,那么，對任意給定的，必能找到正數(shù)，使得當(dāng)時，初值問題的解在區(qū)間內(nèi)也有定義，并且.(4)解對初值的連續(xù)性定理設(shè)在矩形區(qū)域內(nèi)連續(xù)且關(guān)于滿足利普希茨條件.如果，是初值問題的解,那么作為的三元函數(shù)在它存在的范圍內(nèi)是連續(xù)的.3.初值問題的適定性當(dāng)一個微分方程初值問題的解存在,唯一并且解連續(xù)的依賴于初始條件時,我們稱該問題是適定的.那么,對于常微分方程初值問題,只要在所在的區(qū)域內(nèi),連續(xù)并且關(guān)于滿足利普希茨條件,則該初值問題是適定的.自治方程的平衡點(diǎn)及相線1.自治方程當(dāng)一階微分方程的右端項(xiàng)只是的函數(shù)而及自變量無關(guān),即時,稱為自治方程.2.平衡解及平衡點(diǎn)對自治方程而言,若有解,則稱是方程的平衡解,而點(diǎn)稱為方程的一個平衡點(diǎn).3.相線相線是僅僅對自治方程而言的一種簡化的斜率場.自治方程的斜率場在水平直線上的斜率標(biāo)記是一樣的,這樣只要知道一條豎直直線上的斜率標(biāo)記,我們就可以知道整個斜率場.因而,在一個豎直的直線上,我們用向上的箭頭表示正的導(dǎo)數(shù),用向下的箭頭表示負(fù)的導(dǎo)數(shù).對于導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),用實(shí)心圓點(diǎn)來標(biāo)記它,則形成該自治方程的相線.4.畫相線的基本步驟(1)畫出-線(豎直線),(2)找到并在-線上標(biāo)記平衡點(diǎn),不連續(xù)點(diǎn)或定義域外的點(diǎn)(3)找到的區(qū)間,在這些區(qū)間上畫上向上的箭頭,(4)找到的區(qū)間,在這些區(qū)間上畫上向下的箭頭.5.初值問題解的漸近行為(1)趨向于平衡點(diǎn),如;(2)在無限時間內(nèi)趨于無窮,如;(3)在有限時間內(nèi)趨于無窮(爆破),如;(4)在有限時間內(nèi)停止(導(dǎo)數(shù)趨于無窮),如.6.平衡點(diǎn)的分類對于自治方程,如果在內(nèi)連續(xù),那么它的解當(dāng)增加時要么(在有限或無限時間里)趨于或,要么漸近趨于平衡點(diǎn).因而,平衡點(diǎn)在自治方程的研究中起著重要的作用.(1)匯對于初值接近的解,當(dāng)增加時,都漸近趨于.對于這樣的平衡點(diǎn),我們稱之為匯,它是穩(wěn)定的.(2)源對于初值接近的解,當(dāng)增加時,都遠(yuǎn)離.對于這樣的平衡點(diǎn),我們稱之為源,它是不穩(wěn)定的.(3)結(jié)點(diǎn)既不是源也不是匯的平衡點(diǎn),我們稱之為結(jié)點(diǎn),它也是不穩(wěn)定的.7.判斷平衡點(diǎn)類型的線性化方法1.如果是自治方程的一個平衡點(diǎn),即,那么(1)是源當(dāng)且僅當(dāng)在附近嚴(yán)格單調(diào)增加;(2)是匯當(dāng)且僅當(dāng)在附近嚴(yán)格單調(diào)遞減.2.(線性化定理)如果是自治方程的一個平衡點(diǎn),即,并且是連續(xù)可微的,那么(1)若則是源;(2)若,則是匯;(3)若,則需要進(jìn)一步的信息決定其類型.分歧一階微分方程解的漸近行為隨參數(shù)變化發(fā)生了類型的變化,我們稱之為分歧現(xiàn)象(或分支,分叉).1.分歧發(fā)生的條件對于單參數(shù)微分方程族,是一個分歧值的必要條件是:存在平衡點(diǎn),使得.這樣我們要找分歧點(diǎn)可以通過求解方程組,得到解,為可能的分歧值,而是可能發(fā)生分歧的平衡點(diǎn).2.分歧圖解及分歧類型分歧圖解是平面上方程在分歧值附近的所有相線的圖,用以強(qiáng)調(diào)當(dāng)參數(shù)經(jīng)過分歧值時相線所經(jīng)歷的變化.(1)鞍結(jié)點(diǎn)分歧在分歧圖解(圖1-1)中,當(dāng)從左到右經(jīng)過分歧值時,方程的平衡點(diǎn)從兩個變?yōu)橐粋€再變?yōu)椴淮嬖?這種分歧一般稱之為鞍結(jié)點(diǎn)分歧.這類分歧圖解在分歧值附近是拋物線的形狀(2)在分歧圖解(圖1-2)中,當(dāng)從右到左經(jīng)過分歧值時,方程的平衡點(diǎn)由三個變?yōu)橐粋€,這種分歧一般稱之為音叉分歧.圖1-1鞍結(jié)點(diǎn)分歧圖1-2音叉分歧圖1-3跨越分歧圖1-4復(fù)合分歧(3)在分歧圖解(圖1-3)中,當(dāng)時,方程有一個平衡點(diǎn);當(dāng)時,方程有兩個平衡點(diǎn).是一個分歧值.雖然在分歧值的兩側(cè)方程都有兩個平衡點(diǎn)，但平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性會改變.當(dāng)時,是一個匯,它是穩(wěn)定的;當(dāng)時,是一個源,它是不穩(wěn)定的.這類分歧一般稱為跨越分歧.(4)在分歧圖解(圖1-4)中,當(dāng)從左到右變化時,相應(yīng)的方程平衡點(diǎn)依次由一個變?yōu)閮蓚€,三個,兩個再變回一個,這種分歧一般稱之為復(fù)合分歧.一階微分方程的應(yīng)用1.增長和衰減問題設(shè)為正在增長或衰減的某研究對象的總量.如果假設(shè)它隨時間的變化率及當(dāng)前數(shù)目成正比,其比例系數(shù)為,則有,或.設(shè)可微,因而是連續(xù)函數(shù).Malthus人口模型滿足上述微分方程,雖然對人口問題,是離散的,只能取整數(shù)值,但該模型系統(tǒng)在一定情況下提供了很好的近似對某一生物種群進(jìn)行研究時,該生物種群的增長往往受資源和環(huán)境的限制,引進(jìn)參量,稱為最大承載量,用以表示自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大數(shù)量,并且假定（1）當(dāng)基數(shù)很小時，增長率及當(dāng)前數(shù)成正比；（2）當(dāng)基數(shù)很大，達(dá)到資源和環(huán)境不能承受的時候，數(shù)量開始減少，即增長率為負(fù)的.此時方程可改寫為,稱為具有增長率和最大承載量的Logistic模型，該模型最早由荷蘭生物學(xué)家Verhulst在1838年提出.2.溫度問題牛頓冷卻定律(亦適應(yīng)于加熱的情況)說明物體的溫度隨時間的變化率及物體所處的周圍環(huán)境的溫差成正比,設(shè)是物體的溫度,是所處環(huán)境的溫度,那么物體溫度隨時間的變化率為,牛頓冷卻定律可表示為,其中是正的比例系數(shù),而負(fù)號表示在冷卻過程中,物體溫度大于周圍環(huán)境溫度,變化率.在加熱過程中,此時.3.稀釋問題一容器最初容納升鹽水溶液,其中含鹽克.每升含鹽克的鹽水溶液以升/分的速度注入,同時,攪拌均勻的溶液以升/分的速度流出,問在任何時刻,容器中的含鹽量.設(shè)為任何時刻容器中的含鹽量.的變化率等于鹽的注入率減去流出率.鹽的注入率是克/分.要決定流出率,首先計算在時刻,容器中的溶液的體積,它等于最初的體積加上注入的體積后減去流出的體積.因此,在任一時刻,鹽水的體積是.在任何時刻的濃度是,由此得流出率為/分.于是得到微分方程,即,這是一個一階線性方程.4.電路一個簡單的回路是包含有電阻(歐姆),電容(法拉)和電源(伏特),如圖1-5.圖1-5電路圖1-6電路由電路學(xué)知識，的電壓及電阻的電壓之和應(yīng)為電源的電壓.電路中的電流(安培)為,其中為電量從而處的電壓為,由此我們可以建立電路的模型如下：,即.對于一個包含有電阻(歐姆),電感(亨利)和電源(伏特)的回路,如圖1-6.電路中的電流應(yīng)滿足的基本方程為.種群生態(tài)學(xué)中的模型設(shè)表示一個生物種群的數(shù)量,為時間,最簡單的種群模型是Malthus模型.Malthus模型的解預(yù)測了種群數(shù)量的指數(shù)增長.由于種群數(shù)量大的時候，對資源的競爭加劇，因此單位增長率會隨種群數(shù)目增大而減小，因此更為合理的假設(shè)是(*)這里是單位增長率，因?yàn)闉樵鲩L率，是種群數(shù)量,而.當(dāng)考慮種群數(shù)量的變化時.對而言,其代數(shù)形式并不重要,而關(guān)鍵是其單調(diào)性,凸凹性,這樣我們可以對其進(jìn)行大致分類:(1)若在上是遞減的，稱(*)為Logistic型；(2)若在上是先增后減的，稱(*)為Allee效應(yīng)型；(3)若在上是遞減再遞增最后遞減的，稱(*)為Hysteresis型.1.3典型例題：考慮微分方程,問(1)為何值時,將保持不變?(2)為何值時,將增加?(3)為何值時,將減少?解:因?yàn)楫?dāng)時,將保持不變;當(dāng)時,將增加;當(dāng)時,將減少.由知,(1)當(dāng),即時,將保持不變.(2)當(dāng),即或時,將增加.(3)當(dāng),即或時,將減少.假定在鄱陽湖中一種魚類的數(shù)量隨時間的變化按Logistic模型增長,增長率為,最大承載量為,即有.如果每年要從湖中捕獲一定量的魚,試按下述不同情形對模型做適當(dāng)修改,(1)每年捕獲10噸?(2)每年捕獲總量的三分之一?(3)捕獲量及總量的平方根成正比?解:(1).(2).(3),其中是捕獲量及總量平方根的比例系數(shù).求解方程解：變量分離得.兩邊積分.通解為,為任意正常數(shù).求解方程解：變量分離得,兩邊積分.即,為任意常數(shù),整理得,為任意正的常數(shù).求解方程.解:將方程改寫為,這是齊次方程,做變量替換，即，有，從而原方程變?yōu)榧蠢梅蛛x變量法求得,代回原變量得通解為,為任意常數(shù)求解方程.解:方程改寫為令，則，從而當(dāng)時，,,即,為任意常數(shù)．此外，還有解，即．求解方程解:解方程組的解為.令,則原方程化為.令,則可化為變量分離方程解得,代回原變量有,為任意常數(shù).求解方程,其中(1),(2)(3)(4)(5)解:對應(yīng)齊次方程的通解為,下面用猜測-檢驗(yàn)法求特解(1)設(shè)代入,有解得,從而,原方程的通解為,為任意常數(shù).(2)設(shè)代入,有解得,從而,原方程的通解為,為任意常數(shù).不能設(shè)形式的特解,因?yàn)樗窍鄳?yīng)齊次方程的解,不可能是非齊次方程的解,設(shè)代入,有解得,從而,原方程的通解為,為任意常數(shù).(4)設(shè)代入,有有,解得,從而,原方程的通解為,為任意常數(shù).(5)根據(jù)疊加原理,由前面4個小題知方程有特解原方程的通解為,為任意常數(shù).求方程的通解.解:將方程改寫為.求齊次線性微分方程,得通解為.(常數(shù)變易法)令代入原方程得,從而可得原方程的通解為,為任意常數(shù).求方程的通解.解:此為的伯努利方程.令可得，此為線性方程可求通解為,代回原變量得,即,為任意常數(shù).此外,原方程還有解.用積分因子法求解方程.解:方程改寫為,積分因子為,乘方程兩端得,即,有,為任意常數(shù).若連續(xù)且,試求函數(shù)的一般表達(dá)式.解:設(shè),則可導(dǎo)且,這樣有,得,又,得.從而,進(jìn)而.求具有性質(zhì)的函數(shù),已知存在.解:首先令,由已知可得,化簡有,知.由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義變形為,積分得,由,知,所以滿足條件的函數(shù)為.下面給定8個微分方程和4個斜率場,請選出斜率場相應(yīng)的微分方程,并說明理由.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)圖1-7圖1-8圖1-9圖1-10解:圖1-7對應(yīng)于(4),圖1-8對應(yīng)于(3),圖1-9對應(yīng)于(2),圖1-10對應(yīng)于(7).這是因?yàn)閳D1-7的斜率場豎直方向上的斜率標(biāo)記一樣,知方程的右端項(xiàng)僅是自變量的函數(shù),且當(dāng),,當(dāng)時,,只有(4)滿足要求.圖1-8的斜率場知方程右端項(xiàng)為是的函數(shù),且當(dāng)時,,只有(3)滿足.圖1-9的斜率場知方程為自治方程有平衡點(diǎn),且在時,,知只有(2)滿足要求.圖1-10的斜率場知方程右端項(xiàng)為是的函數(shù),且有平衡解,只有(7)滿足要求.利用歐拉方法和改進(jìn)的歐拉方法,對步長,在區(qū)間上求初值問題的近似解.解:這里.利用歐拉公式,和改進(jìn)的歐拉方法,預(yù)測:,校正:,分別計算如下表:歐拉方法改進(jìn)的歐拉方法預(yù)測的校正的真解00010010.10.10001.01000.10000.10050.100320.20.20101.04040.20150.20300.202730.30.30501.09300.30720.30980.309340.40.41431.17160.41940.42340.422850.50.53151.28250.54130.54700.546360.60.65981.43530.67690.68490.684170.70.80331.64530.83180.84290.842380.80.96781.93661.01401.02991.029690.91.16152.34911.23601.25921.26021011.39642.94991.51791.55371.5574討論微分方程在怎樣的區(qū)域內(nèi)滿足存在唯一性定理的條件,并求通過點(diǎn)(0,0)的一切解.解:由,知它在全平面內(nèi)連續(xù),又由于,在除去的區(qū)域內(nèi)連續(xù),從而在除去的有界閉區(qū)域內(nèi)有界,進(jìn)而滿足利普希茨條件,知方程滿足初始條件的解在充分小的鄰域內(nèi)存在并且唯一.當(dāng)時,函數(shù)是方程過(0,0)的解.當(dāng)時,方程可變形為,積分得,為任意常數(shù).當(dāng)時,得特解是過(0,0)的另一個解,其實(shí),除零解外,過(0,0)的所有解可以表示為,,,其中是滿足,的任意常數(shù),這些解的定義區(qū)間為,但本質(zhì)上在充分小的鄰域內(nèi)方程所確定的過(0,0)的解只有四個,即函數(shù),及.舉例說明一階微分方程初值問題解的存在唯一性定理中,關(guān)于在矩形區(qū)域內(nèi)連續(xù),關(guān)于滿足利普希茨條件是保證解的存在唯一的非必要條件.解:(1)當(dāng)連續(xù)條件不滿足時,解也可能是存在唯一的.如方程,顯然,在以原點(diǎn)為心的任何矩形區(qū)域內(nèi)不連續(xù),間斷點(diǎn)為直線,但過原點(diǎn)的解存在唯一,這個解就是.(2)當(dāng)利普希茨條件不滿足時,解也可能是唯一的.如,由于,當(dāng)無界,因而在以原點(diǎn)為心的任何矩形領(lǐng)域內(nèi)不滿足利普希茨條件.然而方程的所有解為,為任意常數(shù),及.過原點(diǎn)有唯一解.對微分方程而言,利用存在唯一性定理,說明滿足下列初始條件的解是否存在,如果存在你能否知道這個解或有關(guān)這個解的一些性質(zhì).(1)，(2)，(3),(4).解:由方程的右端項(xiàng)為僅為的函數(shù)在全平面上連續(xù)可微,從而由存在唯一性定理,給定初始條件的解是存在并且是唯一的.首先由知方程有三個平衡解.(1)初始條件為,初值位于的上方,由唯一性,滿足這個初始條件的解一定大于,且,知這個解遞增,并且隨著的遞增,也遞增并且越來越大,知在增加時,在有限時間內(nèi)爆破,趨向于.當(dāng)減少時,遞減,并且隨著的遞減趨于,也遞減趨向于0,遞減越來越來越緩慢,知,.(2)初始條件為,而平衡解滿足這一初始條件,由唯一性,滿足這個初始條件的解就是平衡解.(3)初始條件為,初值位于這兩個平衡解的中間,由唯一性,滿足這個初始條件的解一定滿足,且由,知這個解遞增,并且隨著的遞增,也遞增但隨著趨向于,趨向于0,增長越來越緩慢,知,.同樣,,.(4)初始條件為,初值位于的下方,由唯一性,滿足這個初始條件的解一定小于,且,及前面類似討論知,在增加時,在有限時間內(nèi)爆破,趨向于.當(dāng)時,.考慮自治微分方程,其中連續(xù)可微.設(shè)是方程的一個解并且在處取得極值.若,試證明.證明:由于連續(xù)可微,知方程滿足存在唯一性定理的條件.因?yàn)槭欠匠痰囊粋€解,必可微,又因?yàn)樵谔幦〉脴O值,則由極值的必要條件知,從而,知是方程的一個平衡解,并且這個解滿足初始條件,而這個解滿足同樣的初始條件,由解的唯一性,知.指出下列方程的平衡點(diǎn)并說明類型.(1),(2),(3),(4).解:(1)由得平衡點(diǎn)為和.因?yàn)?所以是匯;而,所以是源.(2)由得平衡點(diǎn)為和.當(dāng)時,,知為匯;而,知為源.相反,當(dāng)時,,知為源;而,知為匯.同樣和都為匯.(3)總是大于0,知方程無平衡點(diǎn).(4)由得平衡點(diǎn),且當(dāng)時,,知,都為結(jié)點(diǎn).在下列微分方程中找出及所畫相線圖相應(yīng)的微分方程.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)圖1-11解:(a)對應(yīng)于(7),(b)對應(yīng)于(2),(c)對應(yīng)于(6),(d)對應(yīng)于(3).找出下列單參數(shù)微分方程族的分歧值,指出分歧的類型,并畫出在分歧值附近微分方程的相線圖.(1)，(2)，(3),(4).解:(1)當(dāng)時,方程有一個平衡點(diǎn),當(dāng)時,方程沒有平衡點(diǎn),當(dāng)時,方程有兩個平衡點(diǎn)和,知是方程的分歧值,這是鞍結(jié)點(diǎn)分歧,相線如圖1-12.(2)由分歧的必要條件,若為分歧值則滿足,得或.當(dāng)或時,方程有一個平衡點(diǎn),當(dāng)或時,方程有兩個平衡點(diǎn)和,當(dāng)時,方程沒有平衡點(diǎn),知和是方程的分歧值,在每個分歧值處均為鞍結(jié)點(diǎn)分歧.相線如圖1-13.(3)當(dāng)時,方程有一個平衡點(diǎn),當(dāng)時,方程有兩個平衡點(diǎn)和,知是方程的分歧值,這是跨越式分歧,相線如圖1-14.(4)由分歧的必要條件,若為分歧值則滿足,得或.當(dāng),方程有兩個平衡點(diǎn),當(dāng)時,方程也有兩個平衡點(diǎn).或時,方程有一個平衡點(diǎn),當(dāng)時,方程有三個平衡點(diǎn),知和是方程的分歧值.這是復(fù)合式分歧.設(shè),方程的實(shí)根為;時,方程的實(shí)根為;時,方程的實(shí)根為,且,相線如圖1-15.圖1-12圖1-13圖1-14圖1-15找出下列單參數(shù)微分方程族的分歧值,判斷分歧類型,并畫出在分歧值附近微分方程的分歧圖解.(1),(2)解:(1)由,解方程組,得,當(dāng)時,方程僅有一個平衡點(diǎn),當(dāng)時,方程有兩個平衡點(diǎn)和,知是分歧值,此為跨越式分歧,如圖1-16.圖1-16的分歧圖解圖1-17的分歧圖解(2)由,解方程組,得,當(dāng)時,方程僅有一個平衡點(diǎn),當(dāng)時,方程有三個平衡點(diǎn)和,知是分歧值,此為音叉分歧,如圖1-17.考慮一個特定區(qū)域內(nèi)某一動物物種的增長模型:設(shè)參數(shù)長時間內(nèi)保持固定,但隨之人類涉足這一區(qū)域,使得該物種在這一區(qū)域的最大承載量逐漸減少.(1)設(shè),對固定的和不同的,畫出函數(shù)的草圖;(2)當(dāng)為何值時,發(fā)生分歧;(3)當(dāng)逐漸連續(xù)遞減趨于分歧值時,該物種的數(shù)量將發(fā)生怎樣的變化.解:(1)當(dāng)時,在的圖像分別為圖1-18~21.圖1-18圖1-19圖1-20圖1-21(2)當(dāng)時,方程有三個平衡解.當(dāng),方程有兩個平衡解,知時發(fā)生分歧.(3)在時,方程有三個平衡點(diǎn),其中是匯,而是源.此時當(dāng)物種的初始數(shù)量大于時,將逐漸趨于平衡解;當(dāng)物種的初始數(shù)量小于時,將逐漸趨于平衡解.而當(dāng)時,方程有兩個平衡點(diǎn),只有是匯,而是結(jié)點(diǎn).當(dāng)時,如果物種的數(shù)量沒有達(dá)到最大承載量,那么,該物種將逐漸減少而趨向滅亡;如果物種的數(shù)量超過最大承載量,那么,該物種將逐漸減少而趨向于最大承載量;如果物種的數(shù)量為,那么物種的數(shù)量將長期保持為.某人以每年5%的利息存款20000元,復(fù)利計算.求(1)三年后存折中本息共有多少元?(2)如果沒有續(xù)存和提取,多少年后可使存款增加一倍?解:設(shè)為在時刻的存款額.開始時,,隨著利息的積累,隨時間增加而增長,利息及存折中的數(shù)額成正比,比例系數(shù)恰好是利率,于是,此時利用增長衰減模型有,得.由初始條件,求得,這樣,這是在任何時刻的存款額.(1)當(dāng)時,.(2)為使存款翻倍則,這樣應(yīng)滿足,得年.已知菌群的增長速度及當(dāng)前數(shù)量成正比,如果在1小時后數(shù)量為1000個,4小時后為3000個,求(1)細(xì)菌數(shù)在時刻的近似表達(dá)式?(2)一開始有細(xì)菌多少?解:(1)設(shè)為在時刻的細(xì)菌數(shù)量.利用增長衰減模型有,為比例系數(shù).方程的解為,當(dāng)時,.當(dāng)時,,求得,這樣,這是在任何時刻的細(xì)菌的數(shù)量表達(dá)式.(2)當(dāng)時,,這是初始時刻細(xì)菌的數(shù)量.已知放射性同位素以及當(dāng)前量成正比的速度衰減,其比例常數(shù)僅及該放射性物質(zhì)有關(guān).如果最初有該物質(zhì)50毫克,兩小時后減少了10%,(1)求時刻,該物質(zhì)的質(zhì)量表達(dá)式?(2)4小時后的質(zhì)量是多少?(3)對放射性材料而言,半衰期指的是質(zhì)量比最初減半所需要的時間,求該材料的半衰期.解:(1)設(shè)為在時刻的放射性同位素質(zhì)量.則模型為,為比例系數(shù),方程的解為,由時,,得,于是,又因?yàn)闀r,,得,,因此.(2)當(dāng)時,(3)質(zhì)量減半時,得,.一50升的容器中有水10升,當(dāng)時,每升含鹽1克的鹽水溶液以每分鐘4升的速度注入,同時,均勻的液體以每分鐘2升的速度流出,試求剛發(fā)生溶液溢出時,容器中的含鹽量?解:設(shè)為任何時刻容器中的含鹽量.的變化率等于鹽的注入率減去流出率.鹽的注入率是4克/分.要決定流出率,首先計算在時刻,容器中的溶液的體積,它等于最初的體積加上注入的體積后減去流出的體積.因此,在任一時刻,鹽水的體積是.在任何時刻的濃度是,由此得流出率為/分.于是得到微分方程,即,這是一個一階線性方程.積分因子為,乘方程兩端得,得,當(dāng),,知,因此.而注滿容器所需時間為,從而發(fā)生溢出時,即,剛發(fā)生溶液溢出時,容器中的含鹽量為48克.一個回路中電源為伏特,電阻為10歐姆,電感為0.5亨利和初始電流為6安培,求在任何時刻,電路中的電流,并分析電流的長時間行為?解:對于一個包含有電阻,電感和電源的回路電路中的電流應(yīng)滿足的基本方程為.此時,代入得,這是非齊次常系數(shù)線性方程,對應(yīng)齊次方程通解為,猜測非齊次方程的一個特解為代入有即,得.從而,因此原方程的通解為,又初始電流為6安培,即當(dāng),,得,故在任何時刻,電路中的電流.當(dāng)時,所有的解及之差的絕對值,在這個意義下所有的解都將趨向于穩(wěn)態(tài)電流這一周期特解.一個電路回路中有電源伏特,電阻為歐姆,電容法拉,電容上沒有初始電量,求任何時刻,電容器兩端的電壓和電路中的電流,并分析其長時間行為?解:設(shè)的電壓,由電路學(xué)知識，電路的模型如下：,即.由,得,對應(yīng)齊次方程的通解為,猜測非齊次方程的一個特解為代入解得,知,由初始時刻電容無電量知,得,于是.而電流.及例29一樣,當(dāng)時,電容器兩端的電壓和電路中的電流將分別趨向于穩(wěn)態(tài)電壓和穩(wěn)態(tài)電流.1.4習(xí)題答案1.(1)12150,(2)2.52.2(1),(2),(3).(1),(2),(3).見例1.7071.見例27.(1),(2),(3)一樣.(1)1065,(2)17669,(3)32600,(4)168見例2.(1)趨向于2000,(2)魚的數(shù)量遞減趨于0...(1)為任意常數(shù).(2)為任意常數(shù).(3)為任意常數(shù).(4)為任意常數(shù).(5)為任意常數(shù),此外也是解.(6)為任意常數(shù).(7)為任意常數(shù),此外也是解.(8)為任意常數(shù).(9)為任意常數(shù),此外也是解.(10)為任意常數(shù).(1).(2).(3).(4).見例12.見例13..(1)為任意常數(shù).(2)為任意常數(shù).(3)為任意常數(shù).(4).(5).(6).(7).(1)為任意常數(shù).(2)為任意常數(shù).(3)為任意常數(shù).(4)為任意常數(shù).直接代入方程驗(yàn)證即可..(1)為任意常數(shù).(2)為任意常數(shù).(3)為任意常數(shù).(4)為任意常數(shù).(1)為任意常數(shù).(2)為任意常數(shù).(3)為任意常數(shù).(4)為任意常數(shù).(5)為任意常數(shù),此外也是解.(6)為任意常數(shù).注:上面的不定積分在這里代表某一個原函數(shù).