2024-2025新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測13圓與圓的位置關(guān)系含解析蘇教版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE4圓與圓的位置關(guān)系[A級基礎(chǔ)鞏固]1．兩圓C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0的位置關(guān)系是()A．相離 B．相切C．相交 D．內(nèi)含解析：選C法一(幾何法)：把兩圓的方程分別配方，化為標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝2，所以兩圓圓心為C1(1，0)，C2(2，－1)，半徑為r1＝2，r2＝eq\r(2)，則圓心比|C1C2|＝eq\r(（1－2）2＋（0＋1）2)＝eq\r(2)，r1＋r2＝2＋eq\r(2)，r1－r2＝2－eq\r(2)，故r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，兩圓相交．法二(代數(shù)法)：聯(lián)立方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x－3＝0，,x2＋y2－4x＋2y＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝－2，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝3，,y2＝0，))即方程組有2組解，也就是說兩圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，故可推斷兩圓相交．2．(多選)已知半徑為1的動(dòng)圓與圓(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是()A．(x－5)2＋(y－7)2＝25B．(x－5)2＋(y－7)2＝17C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25解析：選CD設(shè)動(dòng)圓圓心為(x，y)，若動(dòng)圓與已知圓外切，則eq\r(（x－5）2＋（y＋7）2)＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，則eq\r(（x－5）2＋（y＋7）2)＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.3．(多選)設(shè)r>0，圓(x－1)2＋(y＋3)2＝r2與圓x2＋y2＝16的位置關(guān)系不行能是()A．內(nèi)切 B．相交C．外離 D．外切解析：選CD兩圓的圓心距為d＝eq\r(（1－0）2＋（－3－0）2)＝eq\r(10)，兩圓的半徑之和為r＋4，因?yàn)閑q\r(10)<r＋4，所以兩圓不行能外切或外離，故選C、D.4．設(shè)兩圓C1，C2都和兩坐標(biāo)軸相切，且都過點(diǎn)(4，1)，則兩圓圓心的距離|C1C2|為()A．4 B．4eq\r(2)C．8 D．8eq\r(2)解析：選C∵兩圓與兩坐標(biāo)軸都相切，且都經(jīng)過點(diǎn)(4，1)，∴兩圓圓心均在第一象限且都在直線y＝x上．設(shè)兩圓的圓心分別為(a，a)，(b，b)，則有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，則a，b為方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的兩個(gè)根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝eq\r(（a－b）2＋（a－b）2)＝eq\r(32×2)＝8.5．已知圓C1：x2＋y2－m＝0，圓C2：x2＋y2＋6x－8y－11＝0，若圓C1與圓C2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．m<1 B．m>121C．1≤m≤121 D．1<m<121解析：選C圓C1的方程可化為x2＋y2＝m(m>0)，則圓心為C1(0，0)，半徑r1＝eq\r(m)；圓C2的方程可化為(x＋3)2＋(y－4)2＝36，則圓心為C2(－3，4)，半徑r2＝6.∵圓C1與圓C2有公共點(diǎn)，∴|r1－r2|≤|C1C2|≤r1＋r2，即|eq\r(m)－6|≤eq\r(（－3－0）2＋（4－0）2)≤eq\r(m)＋6，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|\r(m)－6|≤5，,\r(m)＋6≥5，))解得1≤m≤121.6．圓C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9與圓C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，則m的值為________．解析：圓C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圓心為(－2，m)，半徑長為3，圓C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圓心為(m，－1)，半徑長為2.依題意有eq\r(（－2－m）2＋（m＋1）2)＝3＋2，即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.答案：2或－57．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的長為2eq\r(3)，則a＝________．解析：兩圓的方程相減，得公共弦所在的直線方程為(x2＋y2＋2ay－6)－(x2＋y2)＝0－4?y＝eq\f(1,a)，又a>0，結(jié)合圖象(圖略)，再利用半徑、弦長的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形，可知eq\f(1,a)＝eq\r(22－（\r(3)）2)＝1?a＝1.答案：18．過兩圓x2＋y2－2y－4＝0與x2＋y2－4x＋2y＝0的交點(diǎn)，且圓心在直線l：2x＋4y－1＝0上的圓的方程是________．解析：設(shè)圓的方程為x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，則(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,1＋λ)，\f(λ－1,1＋λ)))代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝eq\f(1,3)，所以所求圓的方程為x2＋y2－3x＋y－1＝0.答案：x2＋y2－3x＋y－1＝09．求與圓C：x2＋y2－2x＝0外切且與直線l：x＋eq\r(3)y＝0相切于點(diǎn)M(3，－eq\r(3))的圓的方程．解：圓C的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，圓心C(1，0)，半徑為1.設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，由題意可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(（a－1）2＋b2)＝r＋1，,\f(b＋\r(3),a－3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1，,\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝0，,r＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－4\r(3)，,r＝6.))所以所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.10．已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圓C2：x2＋y2＋2x＝0.(1)當(dāng)m＝1時(shí)，推斷圓C1和圓C2的位置關(guān)系；(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使得圓C1和圓C2內(nèi)含？若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．解：(1)當(dāng)m＝1時(shí)，圓C1的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圓心為C1(1，－2)，半徑長為r1＝3，圓C2的方程為(x＋1)2＋y2＝1，圓心為C2(－1，0)，半徑長為r2＝1，兩圓的圓心距d＝eq\r(（1＋1）2＋（－2－0）2)＝2eq\r(2)，又r1＋r2＝3＋1＝4，r1－r2＝3－1＝2，所以r1－r2＜d＜r1＋r2，所以圓C1和圓C2相交．(2)不存在實(shí)數(shù)m，使得圓C1和圓C2內(nèi)含．理由如下：圓C1的方程可化為(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圓心C1的坐標(biāo)為(m，－2)，半徑為3.假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得圓C1和圓C2內(nèi)含，則圓心距d＝eq\r(（m＋1）2＋（－2－0）2)＜3－1，即(m＋1)2＜0，此不等式無解．故不存在實(shí)數(shù)m，使得圓C1和圓C2內(nèi)含．[B級綜合運(yùn)用]11．已知點(diǎn)M在圓C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，點(diǎn)N在圓C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，則|MN|的最大值是()A．5 B．7C．9 D．11解析：選C由題意知圓C1的圓心C1(－3，1)，半徑長r1＝2；圓C2的圓心C2(1，－2)，半徑長r2＝2.因?yàn)閮蓤A的圓心距d＝eq\r([1－（－3）]2＋[（－2）－1]2)＝5＞r1＋r2＝4，所以兩圓相離，從而|MN|的最大值為5＋2＋2＝9.故選C.12．圓x2＋y2－2x＋F＝0和圓x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直線方程是x－y＋1＝0，則()A．E＝－4，F(xiàn)＝8 B．E＝4，F(xiàn)＝－8C．E＝－4，F(xiàn)＝－8 D．E＝4，F(xiàn)＝8解析：選C由題意聯(lián)立兩圓方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋F＝0，,x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0，))得4x＋Ey－4－F＝0，則eq\f(E,4)＝－1，eq\f(－4－F,4)＝1，解得E＝－4，F(xiàn)＝－8，故選C.13．若圓x2＋y2＝r2與圓x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共點(diǎn)，則r滿意的條件是()A．r<eq\r(5)＋1 B．r>eq\r(5)＋1C．|r－eq\r(5)|<1 D．|r－eq\r(5)|≤1解析：選D由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，兩圓圓心之間的距離為eq\r(（－1）2＋22)＝eq\r(5).∵兩圓有公共點(diǎn)，∴|r－1|≤eq\r(5)≤r＋1，∴eq\r(5)－1≤r≤eq\r(5)＋1，即－1≤r－eq\r(5)≤1，∴|r－eq\r(5)|≤1.14．已知圓O1的方程為x2＋(y＋1)2＝4，圓O2的圓心為O2(2，1)．(1)若圓O1與圓O2外切，求圓O2的方程；(2)若圓O1與圓O2交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2eq\r(2)，求圓O2的方程．解：(1)設(shè)圓O1、圓O2的半徑分別為r1，r2，∵兩圓外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，∴r2＝|O1O2|－r1＝eq\r(（0－2）2＋（－1－1）2)－2＝2(eq\r(2)－1)，∴圓O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8eq\r(2).(2)由題意，設(shè)圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝req\o\al(2,3)，圓O1，O2的方程相減，即得兩圓公共弦AB所在直線的方程，為4x＋4y＋req\o\al(2,3)－8＝0.∴圓心O1(0，－1)到直線AB的距離為eq\f(|0－4＋req\o\al(2,3)－8|,\r(42＋42))＝eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq\r(2)，解得req\o\al(2,3)＝4或20.∴圓O2的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.[C級拓展探究]15．某同學(xué)在完成作業(yè)時(shí)發(fā)覺了一個(gè)現(xiàn)象：求得的公共弦AB(即兩個(gè)圓相交時(shí)，兩個(gè)交點(diǎn)的連線)所在直線的方程恰好與兩個(gè)圓的方程相減消掉二次項(xiàng)x2，y2后所得的方程一樣．由此，他提出了一個(gè)猜想：對于兩個(gè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，直線(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0就是兩個(gè)圓的公共弦所在直線的方程．你認(rèn)為他的猜想對嗎？請說明理由．解：他的猜想正確，證明