2021-2022學(xué)年河南省溫縣第一高級中學(xué)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（文）試題

20212022學(xué)年河南省溫縣第一高級中學(xué)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算得到，再根據(jù)模長公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：C.2．已知，是兩個(gè)不共線的非零向量，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量共線定理可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋源嬖?，使得，所以，又因?yàn)槭莾蓚€(gè)不共線的非零向量，所以，解得故選：A3．已知是三個(gè)不同的平面，a，b是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)線線、線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系，對各選項(xiàng)逐一分析即可得答案.【詳解】解：對A：若，則或與相交，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對B：若，則或與相交或與異面，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對C：若，則，故選項(xiàng)C正確；對D：若，則或與相交，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：C.4．已知向量，，則在方向上的投影為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求出，，即可求出投影.【詳解】由題意可得，，故在方向上的投影為.故應(yīng)選：A.5．給出下列說法：①回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心，且至少過一個(gè)樣本點(diǎn)；②兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1；③將一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都加一個(gè)相同的常數(shù)后，方差不變；④在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均減少0.5個(gè)單位.其中說法正確的是（

）A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④【答案】B【分析】①中，根據(jù)回歸直線方程的特征，可判定是不正確；②中，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義，可判定是正確的；③中，根據(jù)方差的計(jì)算公式，可判定是正確的；④中，根據(jù)回歸系數(shù)的含義，可判定是正確的.【詳解】對于①中，回歸直線恒過樣本點(diǎn)的中心，但不一定過一個(gè)樣本點(diǎn)，所以不正確；對于②中，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義，可得兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1，所以是正確的；對于③中，根據(jù)方差的計(jì)算公式，可得將一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都加一個(gè)相同的常數(shù)后，方差是不變的，所以是正確的；對于④中，根據(jù)回歸系數(shù)的含義，可得在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量增加一個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均減少0.5個(gè)單位，所以是正確的.故選：B.6．年月日是第七個(gè)“國家憲法日”.某中學(xué)開展主題為“學(xué)習(xí)憲法知識(shí)，弘揚(yáng)憲法精神”的知識(shí)競賽活動(dòng)，甲同學(xué)答對第一道題的概率為，連續(xù)答對兩道題的概率為.用事件表示“甲同學(xué)答對第一道題”，事件表示“甲同學(xué)答對第二道題”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件概率公式直接計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】，，.故選：D.7．若直線與曲線(θ為參數(shù))相切，則實(shí)數(shù)c等于（

）A．2或 B．6或 C．或8 D．4或【答案】C【分析】先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，再利用圓心到直線的距離等于半徑，即可得解.【詳解】由曲線(θ為參數(shù))化為普通方程得：，表示圓心為，半徑為的圓，因?yàn)橹本€與圓相切，故圓心到直線的距離為，即，解得：或所以實(shí)數(shù)c等于或8故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化，考查直線和圓的位置關(guān)系，判斷直線和圓的位置關(guān)系，一般先求圓心到直線的距離d，再比較d和r的大小關(guān)系判斷直線和圓的位置關(guān)系.8．在矩形中，邊的長分別為2，1，若分別是邊上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)條件，求得a,b的關(guān)系，代入數(shù)量積公式，即可求得答案.【詳解】如圖建系，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即，又，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的最值問題，關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，利用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得的函數(shù)表達(dá)式.9．在三棱錐中，平面，若，，，則此三棱錐的外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)的外接圓半徑為，三棱錐的外接球半徑為，根據(jù)正弦定理求出，記外接球的球心為，的外接圓圓心為，根據(jù)題中條件，得到，進(jìn)而可求出外接球的半徑，從而可得球的體積.【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，三棱錐的外接球半徑為，由題意，根據(jù)正弦定理可得，所以，記外接球的球心為，的外接圓圓心為，根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，則因?yàn)槠矫?，所以；又，所以，因此，所以此三棱錐的外接球的體積為.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解幾何體的外接球相關(guān)問題時(shí)，一般需要先確定幾何體底面外接圓的圓心及半徑，根據(jù)球的性質(zhì)，確定球心位置，結(jié)合題中條件列出等量關(guān)系求出球的半徑，進(jìn)而即可求解.10．若是等邊三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，且，，，分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．平面平面【答案】D【分析】由判斷A，由與垂直，證明線面垂直，再結(jié)合平行線判斷B，根據(jù)面面垂直的判定定理判斷C，根據(jù)正棱錐的性質(zhì)判斷D．【詳解】是等邊三角形所在平面外一點(diǎn)，且，，，分別是，，的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，故正確；，是中點(diǎn)，，，，平面，平面，，平面，故B正確；平面，平面，平面平面，故C正確；設(shè)，連結(jié)，不是等邊三角形的重心，與平面不垂直，平面與平面不垂直，故D錯(cuò)誤．故選：D．11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，是雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，得到，在中，由余弦定理求得，再根據(jù)，化簡求得，代入上式，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】如圖所示，點(diǎn)，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，，可得，在中，由余弦定理可得，即，即，又由，即，即，即，所以，可得，即，將代入，可得，即，可?故選：D.【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.12．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，若恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求函數(shù)導(dǎo)數(shù)后可知導(dǎo)函數(shù)為上的增函數(shù)，根據(jù)a分類討論，求的最小值即可求解.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，（1）若時(shí)，，所以在時(shí)單調(diào)遞增，恒成立，（2）若時(shí)，，由單調(diào)遞增知，存在，使得，故時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在時(shí)單調(diào)遞減，所以，即在上存在使得，所以時(shí)不滿足題意.綜上，，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對a分類討論，研究導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性求最小值，根據(jù)最值是否滿足不小1，判斷a所取范圍，屬于中檔題.二、填空題13．若變量x，y滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為________．【答案】【分析】作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖，內(nèi)部（含邊界）．作直線，，解得，即．變形為，當(dāng)直線的縱截距變大時(shí)，減小．平移直線，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，為最小值．故答案為：．14．已知函數(shù)，則________.【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，化簡極限表達(dá)式可得.由函數(shù)解析式，先求得導(dǎo)函數(shù)，即可求得在處的導(dǎo)數(shù)值.【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可得，函數(shù)，則，所以，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的定義及應(yīng)用，初等函數(shù)求導(dǎo)的簡單運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用(萬元)銷售額(萬元)根據(jù)上表可得回歸方程中的為，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為萬元時(shí)銷售額為______萬元.【答案】【分析】利用表格可得，，求出回歸直線方程，將代入可得此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為萬元時(shí)銷售額．【詳解】由表可計(jì)算，，因?yàn)辄c(diǎn)在回歸直線上,且，所以,解得,故回歸方程為，令得故答案為：16．已知，若點(diǎn)是拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則最小值是_____【答案】【分析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為．由題意得，所以，即的最小值為．令，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由此得，然后再根據(jù)基本不等式求解可得結(jié)果．【詳解】由題意得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為．又點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，∴，∴．令，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．∴的最小值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線定義及其應(yīng)用，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、距離等問題，解題的關(guān)鍵是首先得到的最小值，然后再根據(jù)基本不等式求出在最小值的最小值．考查推理論證和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用及計(jì)算能力，屬于中高檔題．三、解答題17．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為：．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)A，B是曲線、的公共點(diǎn)，若，求曲線的直角坐標(biāo)方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由，，可得曲線的極坐標(biāo)方程；（2）曲線的極坐標(biāo)方程與曲線的極坐標(biāo)方程聯(lián)立，設(shè)，得出根與系數(shù)的關(guān)系，再表示，解之可得曲線的直角坐標(biāo)方程．【詳解】（1）因?yàn)榍€的直角坐標(biāo)方程為，，，所以曲線的極坐標(biāo)方程為．（2）因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，由，得到，設(shè)，則，，則異號(hào)，不妨設(shè)，則，所以，則，因?yàn)?，所以，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的方法，即四個(gè)公式：，，運(yùn)用時(shí)注意極徑的幾何意義.18．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）求上的點(diǎn)到直線距離的最大值．【答案】（1）（）；；（2）．【分析】(1)消去參數(shù)t，即可求解的普通方程；將代入直線的極坐標(biāo)方程即可求解的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)出曲線上點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以的普通方程為（）．將代入，可得的直角坐?biāo)方程為．（2）由（1）可知，設(shè)上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)P到的距離為，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，故上的點(diǎn)到距離的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程及利用三角函數(shù)解決最值問題，屬于基礎(chǔ)題.19．已知函數(shù).（1）解關(guān)于的不等式；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分類討論去絕對值即可求解；（2）利用絕對值不等式求出，即可解出不等式.【詳解】解：（1）∵，由，則，當(dāng)時(shí)，，解得，；當(dāng)時(shí)，，解得，；當(dāng)時(shí)，，解得，，綜上，不等式的解集是；（2）∵，當(dāng)時(shí)“”成立，故，由關(guān)于x的不等式恒成立，可得，故，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查絕對值不等式的求解，解題的關(guān)鍵是分類討論去絕對值.20．如圖，已知四棱錐中，分別是的中點(diǎn)，底面，且（1）證明：平面；（2）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）中位線性質(zhì)、線面平行的判定有平面，由平行四邊形的判定及性質(zhì)有，結(jié)合線面平行的判定有平面，根據(jù)面面平行的判定和性質(zhì)可證平面.（2）由幾何體的組合關(guān)系有，結(jié)合三棱錐體積的求法求三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：在四棱錐中，是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴是△的中位線，即，又平面，平面，∴平面，∵且，∴四邊形是平行四邊形，有，∵平面，平面，∴平面，而，∴平面平面，又平面，∴平面.（2）連結(jié)，由，∴△的面積，又，∴三棱錐的體積為故三棱錐的體積為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）應(yīng)用線面平行、平行四邊形的判定及性質(zhì)證線面平行，再由面面平行的判定和性質(zhì)證線面平行；（2）將三棱錐分割為兩個(gè)棱錐，再由棱錐的組合關(guān)系結(jié)合棱錐的體積公式求體積.21．四棱錐中，平面，，，，.（1）求證：；（2）為中點(diǎn)，求到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)勾股定理，可得AC、CD長，則可證，又，根據(jù)線面垂直的判定定理，可證平面PCA，即可得證；（2）分別求得、的面積，利用等體積法，即可求得答案.【詳解】（1）中，因?yàn)?，所以，所以，，取AD中點(diǎn)F，連接CF，AC，如圖所示：由題意得：四邊形為正方形，所以，所以，，在中，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面PCA，因?yàn)槠矫?，所以；?）設(shè)到平面距離為h，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以到平面距離為，，，在中，，，所以，所以所以，又因?yàn)椋?，即，解得，所以到平面的距離為.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直的判定、性質(zhì)定理并靈活應(yīng)用，求面積時(shí)，需靈活應(yīng)用余弦定理、面積公式等知識(shí).22．已知函數(shù)（）.（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若對任意都有恒成立，求的最大整數(shù)值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2.【分析】（Ⅰ）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；（Ⅱ）首先利用參變分離出恒成立，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值.【詳解】（Ⅰ），