12.3 角的平分線的性質(zhì) 人教版八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期學(xué)案

12.3角的平分線的性質(zhì)【典型例題】◆角平分線性質(zhì)基本運用1．如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別為30，40，15，點P是△ABC三個內(nèi)角平分線的交點，則S△PAB：S△PBC：S△PCA＝．2．在四邊形ABCD中，∠ADC與∠BCD的角平分線交于點E，∠DEC＝115°，過點B作BF∥AD交CE于點F，CE＝2BF，∠CBF＝∠BCE，連接BE，S△BCE＝4，則CE＝．3．如圖，已知△ABC中BC邊上的垂直平分線DE與∠BAC的平分線交于點E，EF⊥AB交AB的延長線于點F，EG⊥AC交于點G．求證：（1）BF＝CG；（2）AF＝（AB+AC）．◆角平分線中常見輔助線4．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝12，CD＝18，E為BC邊中點，若AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，∠AED＝120°，則AD的長為．5．如圖，D是∠EAF平分線上的一點，若∠ACD+∠ABD＝180°，請說明CD＝DB的理由．6．如圖，在△ABD中，∠BAD＝80°，C為BD延長線上一點，∠BAC＝130°，∠ABD的角平分線與AC交于點E，連接DE．（1）求證：點E到DA.DC的距離相等；（2）求∠BED的度數(shù)．7．如圖，AD是△ABC的角平分線，點F、E分別在邊AC.AB上，連接DE.DF，且∠AFD+∠B＝180°．（1）求證：BD＝FD；（2）當(dāng)AF+FD＝AE時，求證：∠AFD＝2∠AED．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在x軸的正半軸上運動，點B在y軸的正半軸上運動，△AOB的外角平分線相交于點C，如圖1所示，連接CO．（1）求證：CO平分∠AOB；（2）延長CB交∠BAO的平分線于點D，如圖2所示，求證：∠D＝∠COA．9．如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一點，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求證：AD＝CD+AB．10．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于點E，連接BE，且AE⊥BE，求證：AB＝AD+BC．【練一練】1．如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點E．（1）求∠EDA的度數(shù)；（2）若AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．2．如圖，BF是∠DBC的平分線，CF是∠ECB的平分線．（1）請問點F是否在∠BAC的平分線上，試說明理由；（2）猜想∠A與∠BFC的數(shù)量關(guān)系．3．在四邊形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于點E，點F在線段CE上運動．（1）如圖1，已知∠A＝∠D＝90°①若BF平分∠ABC，則∠BFC＝°②若∠BFC＝90°，試說明∠DEC＝∠ABC；（2）如圖2，已知∠A＝∠D＝∠BFC，試說明BF平分∠ABC．課后作業(yè)：1．如圖，△ABC的邊AB與△EDC的邊ED相交于點F，連接CF．已知AC＝EC，BC＝DC，∠BCD＝∠ACE．（1）求證：AB＝ED；（2）求證：FC平分∠BFE．2．如圖，已知AC∥BD，AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，點E在線段CD上．（1）求∠AEB的度數(shù)；（2）求證：CE＝DE．參考答案【典型例題】◆角平分線性質(zhì)基本運用1．6：8：3．解：∵點P是△ABC三個內(nèi)角平分線的交點，∴P點到三邊的距離相等，設(shè)這個距離為m，∴S△PAB：S△PBC：S△PCA＝×AB×m﹣×BC×m﹣×AC×m＝AB：BC：AC＝30：40：15＝6：8：3．故答案為6：8：3．2．4．解：∵∠CBF＝∠BCE，∴可以假設(shè)∠BCE＝4x，則∠CBF＝5x，∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，設(shè)∠ADE＝∠EDC＝y(tǒng)，∵AD∥BF，∴∠A+∠ABF＝180°，∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，∴2y+13x＝180°①，∵∠DEC＝115°，∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65°②，由①②解得，∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，∴∠CFB＝90°，∴BF⊥EC，∴CE＝2BF，設(shè)BF＝m，則CE＝2m，∵S△BCE＝?EC?BF＝4，∴×2m×m＝4，∴m＝2或﹣2（舍棄），∴CE＝2m＝4，故答案為4．3．證明：（1）連接BE和CE，∵DE是BC的垂直平分線，∴BE＝CE，∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴∠BFE＝∠EGC＝90°，EF＝EG，在Rt△BFE和Rt△CGE中∴Rt△BFE≌Rt△CGE（HL），∴BF＝CG；（2）∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴∠AFE＝∠AGE＝90°，∠FAE＝∠GAE，在△AFE和△AGE中∴△AFE≌△AGE，∴AF＝AG，∵BF＝CG，∴（AB+AC）＝（AF﹣BF+AG+CG）＝（AF+AF）＝AF，即AF＝（AB+AC）．◆角平分線中常見輔助線4．26．解：如圖，在線段AD上截取AF＝AB，DC＝DG，連接EF，EG．∵E是BC的中點，∴BE＝CE＝BC，∵AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，EA＝EA，∴△ABE≌△AFE（SAS），同法可證，△DEG≌△DEC（SAS），∴BE＝FE，∠AEB＝∠AEF，CE＝EG，∠CED＝∠GED，∵BE＝CE，∴EF＝EG，∵∠AED＝120°，∠AEB+∠CED＝180°﹣120°＝60°，∴∠AEF+∠GED＝60°，∴∠FEG＝60°，∴△FEG是等邊三角形．∴FG＝GE＝EF＝BC，∵AD＝AF+FG+GD，∴AD＝AB+CD+BC＝2+18+6＝26，故答案為26．5．解：過點D分別作AE，AF的垂線，交AE于M，交AF于N則∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分線，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BFD＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．6．證明：（1）過E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABD，∴EH＝EF，∵∠BAC＝130°，∴∠FAE＝∠CAD＝50°，∴EF＝EG，∴EG＝EH，∴ED平分∠CDG，∴點E到DA.DC的距離相等；（2）∵ED平分∠CDG，∴∠HED＝∠DEG，設(shè)∠DEG＝y(tǒng)，∠GEB＝x，∵∠EFA＝∠EGA＝90°，∴∠GEA＝∠FEA＝40°，∵∠EFB＝∠EHB＝90°，∠EBF＝∠EBH，∴∠FEB＝∠HEB，∴2y+x＝80﹣x，2y+2x＝80，y+x＝40，即∠DEB＝40°．7．證明：（1）過點D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，如圖1所示：∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMB＝∠DNF＝90°，又∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，又∵∠AFD+∠B＝180°，∠AFD+∠DFN＝180°，∴∠B＝∠DFN，在△DMB和△DNF中，∴△DMB≌△DNF（AAS）∴BD＝FD；（2）在AB上截取AG＝AF，連接DG．如圖2所示，∵AD平分∠BAC，∴∠DAF＝∠DAG，在△ADF和△ADG中．，∴△ADF≌△ADG（SAS）．∴∠AFD＝∠AGD，F(xiàn)D＝GD又∵AF+FD＝AE，∴AG+GD＝AE，又∵AE＝AG+GE，∴FD＝GD＝GE，∴∠GDE＝∠GED又∵∠AGD＝∠GED+∠GDE＝2∠GED．∴∠AFD＝2∠AED8．【解答】證明：（1）過C分別向x軸、y軸、AB作垂線，垂足為H2，H1，H3，∵BC平分∠ABH1，∴CH1＝CH3，∵AC平分∠BAH2，∴CH2＝CH3，∴CH1＝CH2，∴CO平分∠AOB；（2）作射線AE，∵BC為角平分線，∴∠1＝∠ABC，∵∠EBD＝∠ABC，∠OBD＝∠1，∴∠EBD＝∠ABD，∵AD平分∠BAO，∴∠OAD＝∠BAD，∵∠OBE＝∠AOB+∠BAO，∠DBE＝∠BAD+∠D，∵∠OBE＝2∠DBE，∠BAO＝2∠BAD，∴∠D＝∠AOB＝45°，∵∠COA＝AOB＝45°，∴∠D＝∠COA．9．證明：如圖：過M作ME⊥AD于E，∵∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，∴∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，在△MCD和△MED中∴△MCD≌△MED（AAS），∴CD＝DE，同理：AE＝AB，∴AD＝AE+DE＝CD+AB．10．證明：如圖，取AF＝AD，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠EAF，在△ADE和△AFE中，，∴△ADE≌△AFE（SAS），∴∠AED＝∠AEF，∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠ABE＝90°，∴∠DAE+∠CBE＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABE＝∠CBE，∵∠AEF+∠BEF＝∠AEB＝90°，∠AED+∠BEC＝180°﹣∠AEB＝180°﹣90°＝90°，∴∠BEF＝∠BEC，在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴BF＝BC，∵AB＝AF+BF，∴AB＝AD+BC．【練一練】1．解：（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，∴∠BAC＝60°∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°∴∠EDA＝90°﹣∠BAD＝60°（2）過點D作DF⊥AC于點F．∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DF＝DE＝3又AB＝10，AC＝8，∴．2．證明：（1）點F在∠BAC的平分線上，理由是：如圖，過點F作FG⊥AB的延長線于G，作FH⊥AC的延長線于H，作FK⊥BC于K，∵BF是∠DBC的平分線，∴FG＝FK，∵CF是∠ECB的平分線，∴FK＝FH，∴FG＝FH，∴點F在∠BAC的平分線上；（2）猜想：∠BFC＝90°﹣∠BAC．證明：設(shè)∠ABC＝α，∠ACB＝β；則∠DBC＝∠BAC+β，∠BCE＝∠BAC+α，∵BF、CF分別是△ABC的外角∠DBC和∠ECB的平分線，∴∠FBC+∠FCB＝+，＝，＝90°+∠BAC，∴∠BFC＝180°﹣90°﹣∠BAC，＝90°﹣∠BAC．即猜想成立．3．解：（1）①∵∠A＝∠D＝90°，∴∠A+∠D＝180°，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CE平分∠BCD，BF平分∠ABC，∴∠CBF＝，∠BCF＝，∴∠CBF+∠BCF＝＝90°，∴∠BFC＝90°；故答案為：90②∵∠BFC＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCF，∴∠CBF＝∠DEC，由①知：AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠CBF＝∠ABC，∴∠DEC＝∠ABC；（2）如圖2，延長BF交于點M，∵∠BFC＝∠D，∠BFC+∠CFM＝180°，∴∠CFM+∠D＝180°，∴∠FMD+∠DCF＝180°，∵∠FMD+∠EMF＝180°，∴∠DCF＝∠EMF，∵CE平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠BCF＝∠EMF，∵∠EFM＝∠BFC，∴∠FEM＝∠CBF，∵∠CFB＝∠A，同理得∠FEM＝∠ABF，∴∠ABF＝∠CBF，∴BF平分∠ABC．課后作業(yè)：1．證明：（1）∵∠BCD＝∠ACE，∴∠BCD+∠ACD＝∠ACE+∠ACD，即∠BCA＝∠DCE，在△ABC與△EDC中，∴△ABC≌△EDC（SAS），∴AB＝ED；（2）過點C作CG⊥AB，CH⊥DE，垂足分別為G，H，∵△ABC≌△EDC，∴∠B＝∠D，∵CG⊥AB，CH⊥DE，∴∠BGC＝∠DHC＝90°，在△BCG與△DCH中，∴△BCG≌△DCH（AAS