51-2024年四川省廣元市中考數學試卷

第1頁（共1頁）2024年四川省廣元市中考數學試卷一、選擇題（每小題給出的四個選項中，只有一個符合題意．每小題3分，共30分）1．（3分）將﹣1在數軸上對應的點向右平移2個單位，則此時該點對應的數是（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．32．（3分）下列計算正確的是（）A．a3+a3＝a6 B．a6÷a3＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（ab2）2＝a2b43．（3分）一個幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）在“五?四”文藝晚會節(jié)目評選中，某班選送的節(jié)目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析這組數據，下列說法錯誤的是（）A．中位數是95 B．方差是3 C．眾數是95 D．平均數是945．（3分）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，E為AD延長線上一點，∠AOC＝128°，則∠CDE等于（）A．64° B．60° C．54° D．52°6．（3分）如果單項式﹣x2my3與單項式2x4y2﹣n的和仍是一個單項式，則在平面直角坐標系中點（m，n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（3分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△ADE，點B，C的對應點分別為點D，E，連接CE，點D恰好落在線段CE上，若CD＝3，BC＝1，則AD的長為（）A． B． C．2 D．8．（3分）我市把提升城市園林綠化水平作為推進城市更新行動的有效抓手，從2023年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”，現需要購買A、B兩種綠植，已知A種綠植單價是B種綠植單價的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株．設B種綠植單價是x元，則可列方程是（）A． B． C． D．9．（3分）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，點P從點A出發(fā)沿A→C→B以1cm/s的速度勻速運動至點B，圖②是點P運動時，△ABP的面積y（cm2）隨時間x（s）變化的函數圖象，則該三角形的斜邊AB的長為（）A．5 B．7 C． D．10．（3分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c過點C（0，﹣2）與x軸交點的橫坐標分別為x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2≤x2＜3，則下列結論：①a﹣b+c＜0；②方程ax2+bx+c+2＝0有兩個不相等的實數根；③a+b＞0；④；⑤b2﹣4ac＞4a2.其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（把正確答案直接寫在答題卡對應題目的橫線上．每小題4分，共24分）11．（4分）分解因式：（a+1）2﹣4a＝．12．（4分）2023年10月諾貝爾物理學獎授予三位“追光”科學家，以表彰他們“為研究物質中的電子動力學而產生阿秒光脈沖的實驗方法”．什么是阿秒？1阿秒是10﹣18秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個阿秒光學脈沖是43阿秒，將43阿秒用科學記數法表示為秒．13．（4分）點F是正五邊形ABCDE邊DE的中點，連接BF并延長與CD延長線交于點G，則∠BGC的度數為．14．（4分）若點Q（x，y）滿足，則稱點Q為“美好點”，寫出一個“美好點”的坐標．15．（4分）已知y＝x與y＝（x＞0）的圖象交于點A（2，m），點B為y軸上一點，將△OAB沿OA翻折，使點B恰好落在y＝（x＞0）上點C處，則B點坐標為．16．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，則AC+BC的最大值為．三、解答題（要求寫出必要的解答步驟或證明過程．共96分）17．（6分）計算：（2024﹣π）0+|﹣2|+tan60°﹣（）﹣2．18．（8分）先化簡，再求值：÷﹣，其中a，b滿足b﹣2a＝0．19．（8分）如圖，已知矩形ABCD．（1）尺規(guī)作圖：作對角線AC的垂直平分線，交CD于點E，交AB于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接AE、CF，求證：四邊形AFCE是菱形．20．（9分）廣元市開展“蜀道少年”選拔活動，旨在讓更多的青少年關注蜀道、了解蜀道、熱愛蜀道、宣傳蜀道，進一步挖掘和傳承古蜀道文化、普及蜀道知識，為此某校開展了“蜀道文化知識競賽”活動，并從全校學生中抽取了若干學生的競賽成績進行整理、描述和分析（競賽成績用x表示，總分為100分，共分成五個等級：A：90≤x≤100；B：80≤x＜90；C：70≤x＜80；D：60≤x＜70；E：90≤x＜60）．并繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖．抽取學生成績等級人數統(tǒng)計表等級ABCDE人數m2730126其中扇形圖中C等級區(qū)域所對應的扇形的圓心角的度數是120°．（1）樣本容量為，m＝；（2）全校1200名學生中，請估計A等級的人數；（3）全校有5名學生得滿分，七年級1人，八年級2人，九年級2人，從這5名學生中任意選擇兩人在國旗下分享自己與蜀道的故事，請你用畫樹狀圖或列表的方法．求這兩人來自同一個年級的概率．21．（9分）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質發(fā)生折射時，入射角α的正弦值與折射角β的正弦值的比值叫做介質的“絕對折射率”，簡稱“折射率”．它表示光在介質中傳播時，介質對光作用的一種特征．（1）若光從真空射入某介質，入射角為α，折射角為β，且cosα＝，β＝30°，求該介質的折射率；（2）現有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質，如圖①所示，點A，B、C、D分別是長方體棱的中點，若光線經真空從矩形A1D1D2A2對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C處射出，如圖②，已知α＝60°，CD＝10cm，求截面ABCD的面積．22．（10分）近年來，中國傳統(tǒng)服飾備受大家的青睞，走上國際時裝周舞臺，大放異彩．某服裝店直接從工廠購進長、短兩款傳統(tǒng)服飾進行銷售，進貨價和銷售價如表：價格/類別短款長款進貨價（元/件）8090銷售價（元/件）100120（1）該服裝店第一次用4300元購進長、短兩款服裝共50件，求兩款服裝分別購進的件數；（2）第一次購進的兩款服裝售完后，該服裝店計劃再次購進長、短兩款服裝共200件（進貨價和銷售價都不變），且第二次進貨總價不高于16800元．服裝店這次應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？23．（10分）如圖，已知反比例函數y1＝和一次函數y2＝mx+n的圖象相交于點A（﹣3，a），B（a+，﹣2）兩點，O為坐標原點，連接OA，OB．（1）求y1＝與y2＝mx+n的解析式；（2）當y1＞y2時，請結合圖象直接寫出自變量x的取值范圍；（3）求△AOB的面積．24．（10分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O經過A、C兩點，交AB于點D，CO的延長線交AB于點F，DE∥CF交BC于點E．（1）求證：DE為⊙O的切線；（2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求⊙O的半徑．25．（12分）數學實驗，能增加學習數學的樂趣，還能經歷知識“再創(chuàng)造”的過程，更是培養(yǎng)動手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強在學習《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產生了如下問題，請同學們幫他解決．在△ABC中，點D為邊AB上一點，連接CD．（1）初步探究如圖2，若∠ACD＝∠B，求證：AC2＝AD?AB；（2）嘗試應用如圖3，在（1）的條件下，若點D為AB中點，BC＝4，求CD的長；（3）創(chuàng)新提升如圖4，點E為CD中點，連接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的長．26．（14分）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線F：y＝﹣x2+bx+c經過點A（﹣3，﹣1），與y軸交于點B（0，2）．（1）求拋物線的函數表達式；（2）在直線AB上方拋物線上有一動點C，連接OC交AB于點D，求的最大值及此時點C的坐標；（3）作拋物線F關于直線y＝﹣1上一點的對稱圖象F′，拋物線F與F′只有一個公共點E（點E在y軸右側），G為直線AB上一點，H為拋物線F′對稱軸上一點，若以B，E，G，H為頂點的四邊形是平行四邊形，求G點坐標．

2024年四川省廣元市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題給出的四個選項中，只有一個符合題意．每小題3分，共30分）1．（3分）將﹣1在數軸上對應的點向右平移2個單位，則此時該點對應的數是（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3【分析】將﹣1在數軸上對應的點向右平移2個單位，可列算式﹣1+2，求得此時該點對應的數是1，于是得到問題的答案．【解答】解：由題意得﹣1+2＝1，所以﹣1在數軸上對應的點向右平移2個單位，此時該點對應的數是1，故選：B．【點評】此題重點考查數軸、有理數的運算等知識，根據題意正確地列出算式是解題的關鍵．2．（3分）下列計算正確的是（）A．a3+a3＝a6 B．a6÷a3＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（ab2）2＝a2b4【分析】根據完全平方式，合并同類項，冪的乘方與積的乘方，同底數冪的除法法則進行計算，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故A不符合題意；B、a6÷a3＝a3，故B不符合題意；C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故C不符合題意；D、（ab2）2＝a2b4，故D符合題意；故選：D．【點評】本題考查了完全平方式，合并同類項，冪的乘方與積的乘方，同底數冪的除法，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．3．（3分）一個幾何體如圖水平放置，它的俯視圖是（）A． B． C． D．【分析】找到從上面看所得到的圖形即可，注意看見的棱用實線表示，看不見的棱用虛線表示．【解答】解：從上面看，是一個正方形，正方形內部有一條捺向的對角線實線．故選：C．【點評】本題考查了三視圖的知識，俯視圖是從物體的上面看得到的視圖．4．（3分）在“五?四”文藝晚會節(jié)目評選中，某班選送的節(jié)目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析這組數據，下列說法錯誤的是（）A．中位數是95 B．方差是3 C．眾數是95 D．平均數是94【分析】根據平均數、中位數、眾數及方差的定義逐一計算即可判斷．【解答】解：把這組數據從小到大排列為91，92，94，95，95，95，96，故中位數是95，故選項A說法正確，不符合題意；平均數為（91+92+94+95×3+96）＝94，故選項D說法正確，不符合題意．方差為[（91﹣94）2+（92﹣94）2+（94﹣94）2+3×（95﹣94）2+（96﹣94）2]＝，故選項B說法錯誤，符合題意；眾數是95，故選項C說法正確，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了方差、眾數、平均數、中位數，解答本題的關鍵是掌握相關統(tǒng)計量的定義．5．（3分）如圖，已知四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，E為AD延長線上一點，∠AOC＝128°，則∠CDE等于（）A．64° B．60° C．54° D．52°【分析】根據圓周角定理先求出∠ABC＝64°，再根據圓內接四邊形的性質求出∠ADC的度數，最后根據鄰補角的定義即可求出答案．【解答】解：∵∠AOC＝128°，∴∠ABC＝64°，∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠ADC＝180°﹣64°＝116°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADC＝64°．故答案為：A．【點評】本題主要考查圓周角定理、圓內接四邊形的性質等，靈活運用以上知識點是解題的關鍵．6．（3分）如果單項式﹣x2my3與單項式2x4y2﹣n的和仍是一個單項式，則在平面直角坐標系中點（m，n）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據兩個單項式的和仍是一個單項式，可求出m，n的值，進而得出點（m，n）所在象限．【解答】解：因為單項式﹣x2my3與單項式2x4y2﹣n的和仍是一個單項式，所以2m＝4，2﹣n＝3，解得m＝2，n＝﹣1，所以點（2，﹣1）所在的象限為第四象限．故選：D．【點評】本題主要考查了坐標與圖形性質，能根據題意求出m，n的值并熟知每個象限內點的坐標特征是解題的關鍵．7．（3分）如圖，將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△ADE，點B，C的對應點分別為點D，E，連接CE，點D恰好落在線段CE上，若CD＝3，BC＝1，則AD的長為（）A． B． C．2 D．【分析】連接BD，根據旋轉的性質得出∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，再根據勾股定理求出BD的長，最后在等腰直角三角形ABD中解直角三角形求出AD的長即可．【解答】解：如圖，連接BD，∵將△ABC繞點A順時針旋轉90°得到△ADE，點B，C的對應點分別為點D，E，連接CE，點D恰好落在線段CE上，∴∠BCD＝90°，AB＝AD，∠BAD＝90°，又CD＝3，BC＝1，∴BD＝，∴AD＝，故選：A．【點評】本題主要考查了旋轉的性質，熟記旋轉前后對應邊、對應角相等是解題的關鍵．8．（3分）我市把提升城市園林綠化水平作為推進城市更新行動的有效抓手，從2023年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”，現需要購買A、B兩種綠植，已知A種綠植單價是B種綠植單價的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株．設B種綠植單價是x元，則可列方程是（）A． B． C． D．【分析】根據A，B兩種綠植單價間的關系，可得出A種綠植單價是3x元，利用數量＝總價÷單價，結合用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株，即可列出關于x的分式方程，此題得解．【解答】解：∵A種綠植單價是B種綠植單價的3倍，B種綠植單價是x元，∴A種綠植單價是3x元．根據題意得：+50＝．故選：C．【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．9．（3分）如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，點P從點A出發(fā)沿A→C→B以1cm/s的速度勻速運動至點B，圖②是點P運動時，△ABP的面積y（cm2）隨時間x（s）變化的函數圖象，則該三角形的斜邊AB的長為（）A．5 B．7 C． D．【分析】由面積公式和圖象可知AC×BC＝12，AC+BC＝7，再根據完全平方公式即可得出AC2+BC2的值，進而得出答案．【解答】解：當點P運動到C處時，△ABP的面積y＝6，即AC×BC＝6，即AC×BC＝12，又由圖象可知，點P從點A出發(fā)沿A→C→B以1cm/s的速度勻速運動至點B的時間為7s，即AC+BC＝7，∴（AC+BC）2＝49，∴AC2+BC2+2AC×BC＝49，∴AC2+BC2＝25，∵AC2+BC2＝AB2，∴AB＝5．故選：A．【點評】本題主要考查動點問題的函數圖象，根據圖象得到有用信息是解題的關鍵．10．（3分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c過點C（0，﹣2）與x軸交點的橫坐標分別為x1，x2，且﹣1＜x1＜0，2≤x2＜3，則下列結論：①a﹣b+c＜0；②方程ax2+bx+c+2＝0有兩個不相等的實數根；③a+b＞0；④；⑤b2﹣4ac＞4a2.其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據題干條件逐一判斷每一個小選項即可．【解答】解：①∵拋物線開口向上，﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴當x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＞0，故①不符合題意；②∵拋物線y＝ax2+bx+c過點C（0，﹣2），∴函數的最小值y＜﹣2，∴ax2+bx+c＝﹣2有兩個不相等的實數根；∴方程ax2+bx+c+2＝0有兩個不相等的實數根；故②符合題意；③∴﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴拋物線的對稱軸為直線，且，且，而a＞0，∴﹣3a＜b＜﹣a，∴a+b＜0，故③不符合題意；④∵拋物線y＝ax2+bx+c過點C（0，﹣2），∴c＝﹣2，∵x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＞0，即3a﹣3b+3c＞0，當x＝3時，y＝9a+3b+c＞0，∴12a+4c＞0，∴12a＞8，∴，故④符合題意；⑤：﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，∴x2﹣x1＞2，由根與系數的關系可得：，，∴＝＝＝，∴，∴b2﹣4ac＞4a2，故⑤符合題意；綜上，②④⑤正確，符合題意，正確個數有三個．故選：C．【點評】本題主要考查了二次函數的圖象和性質、二次函數和一元二次方程的關系、根的判別式、拋物線與x軸交點問題等知識，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．二、填空題（把正確答案直接寫在答題卡對應題目的橫線上．每小題4分，共24分）11．（4分）分解因式：（a+1）2﹣4a＝（a﹣1）2．【分析】首先利用完全平方把（a+1）2展開，然后再合并同類項，再利用完全平方公式進行分解即可．【解答】解：（a+1）2﹣4a＝a2+2a+1﹣4a＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2．故答案為：（a﹣1）2．【點評】此題主要考查了公式法分解因式，關鍵是掌握完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．12．（4分）2023年10月諾貝爾物理學獎授予三位“追光”科學家，以表彰他們“為研究物質中的電子動力學而產生阿秒光脈沖的實驗方法”．什么是阿秒？1阿秒是10﹣18秒，也就是十億分之一秒的十億分之一．目前世界上最短的單個阿秒光學脈沖是43阿秒，將43阿秒用科學記數法表示為4.3×10﹣17秒．【分析】用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負整數指數冪．【解答】解：∵1阿秒是10﹣18秒，∴43阿秒＝43×10﹣18＝4.3×10﹣17．故答案為：4.3×10﹣17．【點評】本題主要考查了科學記數法﹣表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．13．（4分）點F是正五邊形ABCDE邊DE的中點，連接BF并延長與CD延長線交于點G，則∠BGC的度數為18°．【分析】由正五邊形的對稱性得出BG是正五邊形ABCDE的對稱軸，進而得到BG⊥DE，再求出正五邊形的外角的度數，由三角形內角和定理即可得出答案．【解答】解：由正五邊形的性質可知，BG是正五邊形ABCDE的對稱軸，∴∠DFG＝90°，∵∠FDG是正五邊形ABCDE的外角，∴∠FDG＝＝72°，∴∠BGC＝90°﹣72°＝18°，故答案為：18°．【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正五邊形的性質以及三角形內角和定理是正確解答的關鍵．14．（4分）若點Q（x，y）滿足，則稱點Q為“美好點”，寫出一個“美好點”的坐標（2，﹣1）（答案不唯一，滿足x+y＝1且x≠0，y≠0）．【分析】根據“美好點”的定義，把已知等式左邊通分并利用同分母分式的加法法則計算后，得到x與y的關系式，寫出一個即可．【解答】解：根據題意得：+＝＝，即x+y＝1，當x＝2，y＝﹣1時，“美好點”的坐標為（2，﹣1）（答案不唯一，滿足x+y＝1且x≠0，y≠0）．故答案為：（2，﹣1）（答案不唯一，滿足x+y＝1且x≠0，y≠0）．【點評】此題考查了解分式方程，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．15．（4分）已知y＝x與y＝（x＞0）的圖象交于點A（2，m），點B為y軸上一點，將△OAB沿OA翻折，使點B恰好落在y＝（x＞0）上點C處，則B點坐標為（0，4）．【分析】依據題意，由A在y＝x上，可得m＝2，故A（2，2），又A在反比例函數y＝上，進而可得k＝2×2＝4，進而可得反比例函數為y＝，再由翻折的性質，BC⊥OA，進而可設BC為y＝﹣x+b，則B為（0，b），設直線BC與直線OA的交點為P，建立求出P（b，b），又B與C關于直線OA對稱，且B（0，b），可得C（b，b），又C在反比例函數y＝上，最后可得b×b＝4，求出b可以得解．【解答】解：由題意，∵A在y＝x上，∴m＝2．∴A（2，2）．又A在反比例函數y＝上，∴k＝2×2＝4．∴反比例函數為y＝．由翻折的性質，BC⊥OA，∴可設BC為y＝﹣x+b，∴B為（0，b）．設直線BC與直線OA的交點為P，∴．∴P（b，b）．又B與C關于直線OA對稱，且B（0，b），∴C（b，b）．又C在反比例函數y＝上，∴b×b＝4．∴b＝4或b＝﹣4（舍去）．∴B（0，4）．故答案為：（0，4）．【點評】本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．16．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝5，tan∠C＝2，則AC+BC的最大值為5．【分析】過點B作BD⊥AC，垂足為D，如圖1，首先推導出；延長DC到E，使EC＝CD＝x，連接BE，如圖2，得到；由輔助圓﹣定弦定角模型，作△ABE的外接圓，如圖3，當弦AE過圓心O，即AE是直徑時，弦最大，最后由勾股定理可得．【解答】解：過點B作BD⊥AC，垂足為D，如圖1所示：∵tan∠C＝2，在Rt△BCD中，設DC＝x，則BD＝2x，由勾股定理可得，∴，即，∴，延長DC到E，使EC＝CD＝x，連接BE，如圖2所示：∴，∵BD⊥DE，DE＝2x＝BD，∴△BDE是等腰直角三角形，則∠E＝45°，在△ABE中，AB＝5，∠E＝45°，由輔助圓﹣定弦定角模型，作△ABE的外接圓，如圖3所示：由圓周角定理可知，點E在⊙O上運動，AE是⊙O的弦，求的最大值就是求弦AE的最大值，根據圓的性質可知，當弦AE過圓心O，即AE是直徑時，弦最大，如圖4所示：∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∵∠E＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝5，∴BE＝AB＝5，則由勾股定理可得，即的最大值為，故答案為：．【點評】本題考查胡不歸問題，勾股定理，等腰直角三角形，圓周角定理，解直角三角形，熟練掌握動點最值問題﹣定弦定角模型的解法是解決問題的關鍵．三、解答題（要求寫出必要的解答步驟或證明過程．共96分）17．（6分）計算：（2024﹣π）0+|﹣2|+tan60°﹣（）﹣2．【分析】原式利用零指數冪、負整數指數冪法則，絕對值的代數意義，以及特殊角的三角函數值計算即可求出值．【解答】解：原式＝1+2﹣+﹣4＝1+2﹣4＝3﹣4＝﹣1．【點評】此題考查了實數的運算，零指數冪、負整數指數冪，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．18．（8分）先化簡，再求值：÷﹣，其中a，b滿足b﹣2a＝0．【分析】先根據分式混合運算的法則把原式進行化簡，再把b＝2a代入進行計算即可．【解答】解：原式＝?﹣＝﹣＝，∵b﹣2a＝0，∴b＝2a，∴原式＝＝．【點評】本題考查的是分式的化簡求值，熟知分式混合運算的法則是解題的關鍵．19．（8分）如圖，已知矩形ABCD．（1）尺規(guī)作圖：作對角線AC的垂直平分線，交CD于點E，交AB于點F；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）連接AE、CF，求證：四邊形AFCE是菱形．【分析】（1）根據要求作出圖形；（2）證明四邊相等可得結論．【解答】（1）解：如圖1所示：（2）證明：如圖2設EF與AC的交點為O，由（1）可知，直線EF是線段AC的垂直平分線，∴EA＝EC，FA＝FC，∠COE＝∠AOF＝90°，OA＝OC，又∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠ECO＝∠FAO，在△COE和△AOF中，，∴△COE≌△AOF（ASA），∴EC＝FA，∴EA＝EC＝FA＝FC，∴四邊形AFCE是菱形．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，線段垂直平分線的性質，菱形的判定，矩形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．20．（9分）廣元市開展“蜀道少年”選拔活動，旨在讓更多的青少年關注蜀道、了解蜀道、熱愛蜀道、宣傳蜀道，進一步挖掘和傳承古蜀道文化、普及蜀道知識，為此某校開展了“蜀道文化知識競賽”活動，并從全校學生中抽取了若干學生的競賽成績進行整理、描述和分析（競賽成績用x表示，總分為100分，共分成五個等級：A：90≤x≤100；B：80≤x＜90；C：70≤x＜80；D：60≤x＜70；E：90≤x＜60）．并繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖．抽取學生成績等級人數統(tǒng)計表等級ABCDE人數m2730126其中扇形圖中C等級區(qū)域所對應的扇形的圓心角的度數是120°．（1）樣本容量為90，m＝15；（2）全校1200名學生中，請估計A等級的人數；（3）全校有5名學生得滿分，七年級1人，八年級2人，九年級2人，從這5名學生中任意選擇兩人在國旗下分享自己與蜀道的故事，請你用畫樹狀圖或列表的方法．求這兩人來自同一個年級的概率．【分析】（1）由C等級的人數除以所占比例得出樣本容量，即可得出m的值；（2）由全校學生人數乘以A等級的人數所占的比例即可；（3）畫樹狀圖，共有20種等可能的結果，其中選擇的兩人來自同一個年級的結果有4種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）樣本容量為：30÷＝90，∴m＝90﹣27﹣30﹣12﹣6＝15，故答案為：90，15；（2）1200×＝200（名），答：全校1200名學生中，估計A等級的人數有200名；（3）把七年級1人記為A，八年級2人分別記為B、C，九年級2人分別記為D、E，畫樹狀圖如下：共有20種等可能的結果，其中選擇的兩人來自同一個年級的結果有4種，即BC、CB、DE、ED，∴這兩人來自同一個年級的概率＝＝．【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率以及扇形統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表等知識．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識點為：概率＝所求情況數與總情況數之比．21．（9分）小明從科普讀物中了解到，光從真空射入介質發(fā)生折射時，入射角α的正弦值與折射角β的正弦值的比值叫做介質的“絕對折射率”，簡稱“折射率”．它表示光在介質中傳播時，介質對光作用的一種特征．（1）若光從真空射入某介質，入射角為α，折射角為β，且cosα＝，β＝30°，求該介質的折射率；（2）現有一塊與（1）中折射率相同的長方體介質，如圖①所示，點A，B、C、D分別是長方體棱的中點，若光線經真空從矩形A1D1D2A2對角線交點O處射入，其折射光線恰好從點C處射出，如圖②，已知α＝60°，CD＝10cm，求截面ABCD的面積．【分析】（1））根據，求出sinα，再計算出sinβ，直接按照折射率公式計算即可；（2）首先根據α＝60°，折射率為，算出，即，在Rt△ODC中，設，OC＝3x，可算出，得到OD＝＝，又因為四邊形ABCD是矩形，點O是AD中點，故AD＝，直接算矩形面積即可．【解答】解：（1）∵，∴如圖，設，則c＝4x，由勾股定理得，，∴，又∵β＝30°，∴，∴折射率為：；（2）由題意可得α＝60°，折射率為，∴，∴，∵四邊形ABCD是矩形，點O是AD中點∴AD＝2OD，∠D＝90°，又∵∠OCD＝β，∴，在Rt△ODC中，設，OC＝3x，由勾股定理得，，∴，∴OD＝＝，∴AD＝2OD＝，∴截面ABCD的面積為：AD×CD＝＝cm2．【點評】本題屬于解直角三角形的應用問題，根據三角函數正確計算是解題的關鍵．22．（10分）近年來，中國傳統(tǒng)服飾備受大家的青睞，走上國際時裝周舞臺，大放異彩．某服裝店直接從工廠購進長、短兩款傳統(tǒng)服飾進行銷售，進貨價和銷售價如表：價格/類別短款長款進貨價（元/件）8090銷售價（元/件）100120（1）該服裝店第一次用4300元購進長、短兩款服裝共50件，求兩款服裝分別購進的件數；（2）第一次購進的兩款服裝售完后，該服裝店計劃再次購進長、短兩款服裝共200件（進貨價和銷售價都不變），且第二次進貨總價不高于16800元．服裝店這次應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？【分析】（1）依據題意，設購進短款服裝x件，購進長款服裝y件，可得，計算即可得解；（2）依據題意，設第二次購進m件短款服裝，則購進（200﹣m）件長款服裝，從而80m+90（200﹣m）≤16800，故m≥120，又設利潤為w元，進而w＝（100﹣80）m+（120﹣90）（200﹣m）＝﹣10m+6000，再結合一次函數的性質，即可判斷得解．【解答】解：（1）由題意，設購進短款服裝x件，購進長款服裝y件，∴．∴．答：長款服裝購進30件，短款服裝購進20件．（2）由題意，設第二次購進m件短款服裝，則購進（200﹣m）件長款服裝，∴80m+90（200﹣m）≤16800．∴m≥120．又設利潤為w元，則w＝（100﹣80）m+（120﹣90）（200﹣m）＝﹣10m+6000．∵﹣10＜0∴w隨m的增大而減小．∴當m＝120時，利潤w最大為：﹣10×120+6000＝4800（元）．答：當購進120件短款服裝，80件長款服裝時有最大利潤，最大利潤是4800元．【點評】本題主要考查了一次函數的應用、二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關鍵．23．（10分）如圖，已知反比例函數y1＝和一次函數y2＝mx+n的圖象相交于點A（﹣3，a），B（a+，﹣2）兩點，O為坐標原點，連接OA，OB．（1）求y1＝與y2＝mx+n的解析式；（2）當y1＞y2時，請結合圖象直接寫出自變量x的取值范圍；（3）求△AOB的面積．【分析】（1）先根據反比例函數圖象上點的坐標特征得出，求得a＝3，進一步利用待定系數法求得y1＝與y2＝mx+n的解析式；（2）根據圖象即可求解；（3）利用S△AOB＝S△BOC+S△AOC即可求得．【解答】解：（1）∵反比例函數y1＝和一次函數y2＝mx+n的圖象相交于點A（﹣3，a），B（a+，﹣2）兩點∴k＝，∴a＝3，∴點A（﹣3，3），B（，∴k＝﹣3×3＝﹣9，∴y1＝﹣，把A（﹣3，3），B，﹣2）代入y＝mx+n得，解得，∴y2＝﹣；（2）由圖象可知，當y1＞y2時，自變量x的取值范圍為﹣3＜x＜0或；（3）若AB與y軸相交于點C，∴C（0，1），∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC＝＝＝．【點評】本題是反比例函數與一次函數的交點問題，考查了待定系數法求函數解析式，三角形的面積，數形結合是解題的關鍵．24．（10分）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，⊙O經過A、C兩點，交AB于點D，CO的延長線交AB于點F，DE∥CF交BC于點E．（1）求證：DE為⊙O的切線；（2）若AC＝4，tan∠CFD＝2，求⊙O的半徑．【分析】（1）連接OD，根據等腰直角三角形的性質得到∠CAB＝45°，根據圓周角定理得到∠COD＝2∠CAB＝90°，根據平行線的性質得到∠EDO＝90°根據切線的判定定理得到DE為⊙O的切線；（2）過點C作CH⊥AB于點H，根據等腰直角三角形的性質得到CH＝AH＝＝2，根據三角函數的定義得到FH＝，根據勾股定理得到，根據三角函數的定義即可得到結論．【解答】（1）證明：連接OD，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴△ACB為等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴∠COD＝2∠CAB＝90°，∵DE∥CF，∴∠COD+∠EDO＝180°，∴∠EDO＝90°∴DE為⊙O的切線；（2）解：過點C作CH⊥AB于點H，∵△ACB為等腰直角三角形，AC＝4，∴CH＝AH＝＝2，∵tan∠CFD＝＝2，∴FH＝，在Rt△CFH中，由勾股定理得CF2＝CH2＝FH2，∴，∵tan∠CFD＝＝＝＝2，∴OD＝．故⊙O的半徑為．【點評】本題考查了切線的判定和性質，圓周角定理，平行線的性質，解直角三角形，等腰直角三角形的性質，勾股定理，正確地作出輔助線是解題的關鍵．25．（12分）數學實驗，能增加學習數學的樂趣，還能經歷知識“再創(chuàng)造”的過程，更是培養(yǎng)動手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強在學習《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產生了如下問題，請同學們幫他解決．在△ABC中，點D為邊AB上一點，連接CD．（1）初步探究如圖2，若∠ACD＝∠B，求證：AC2＝AD?AB；（2）嘗試應用如圖3，在（1）的條件下，若點D為AB中點，BC＝4，求CD的長；（3）創(chuàng)新提升如圖4，點E為CD中點，連接BE，若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的長．【分析】（1）由∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，證明△ACD∽△ABC，得＝，則AC2＝AD?AB；（2）設AD＝m，則AD＝BD＝m，AB＝2m，根據相似三角形的性質得＝＝，則AC2＝2m2，求得AC＝m，所以＝＝，而BC＝4，則CD＝BC＝2；（3）作BF⊥DC交DC的延長線于點F，設CE＝DE＝n，則CB＝CD＝2n，再證明∠FBC＝30°，所以CF＝CB＝n，求得EF＝2n，BF＝n，則BD＝2n，BE＝n，作CH∥EB交AB的延長線于點H，則△HDC∽△BDE，所以＝＝＝2，則HC＝2n，HD＝4n，再證明△ACD∽△AHC，得＝＝＝，則AD＝AC＝2，AH＝AC＝14，所以HD＝4n＝12，則n＝，求得BE＝．【解答】（1）證明：如圖2，∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD?AB．（2）解：如圖3，設AD＝m，∵點D為AB中點，∴AD＝BD＝m，AB＝2m，由（1）得△ACD∽△ABC，∴＝＝，∴AC2＝AD?AB＝m×2m＝2m2，∴AC＝m或AC＝m（不符合題意，舍去），∴＝＝＝，∵BC＝4，∴CD＝BC＝×4＝2，∴CD的長是2．（3）解：如圖4，作B