南京市鼓樓區(qū)第二十九中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期3月階段性數(shù)學(xué)試題（含解析）

第36頁/共36頁第二十九中學(xué)2023-2024學(xué)年下學(xué)期3月階段性練習(xí)九年級數(shù)學(xué)一．選擇題（共6小題，每題2分，共12分）1.沒有穩(wěn)固的國防，就沒有人民的安寧，2023年，中國國防預(yù)算約為15537億元，將15537億元用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.2.下列計(jì)算結(jié)果是的是（）A. B. C. D.3.若有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果是（）A. B. C. D.4.如圖，中，，過點(diǎn)A作平行線交過點(diǎn)C的圓的切線于點(diǎn)D，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.5.如圖，將先向下平移1個單位，再繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，頂點(diǎn)落到了點(diǎn)處，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.6.如圖，已知正方形的邊長為，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿折疊得到，點(diǎn)落在邊上，連接．現(xiàn)有如下4個結(jié)論：①；②；③；④．在以上個結(jié)論中正確的有（

）A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④二．填空題（共10小題，每題2分，共20分）7.已知，則＝_________.8.設(shè)，是關(guān)于x的方程的兩個根，，則_____．9.若一個圓錐的底面圓的半徑是2，側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是，則該圓錐的母線長為________．10.點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上一點(diǎn)，則的值為__________11.若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為_______________．12.將一個半徑為3的圓形紙片，沿著兩條半徑剪開形成兩個扇形，若其中的一個扇形的面積是，則另一個扇形的圓心角的度數(shù)是______．13.某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場采取了降價(jià)措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降1元，商場平均每天可多售出2件．如果降價(jià)后商場銷售這批襯衫每天盈利1250元，那么襯衫的單價(jià)降了多少元？設(shè)襯衫的單價(jià)降了x元，則可列方程為__________________．14.如圖，是的內(nèi)接三角形，，，把繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，則對應(yīng)點(diǎn)、之間的距離為_______．15.如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，點(diǎn)在對角線上，若，，則的長為_______．16.如圖，在半徑為5的⊙中，弦，是弦所對的優(yōu)弧上的動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，線段的長為_____．三．解答題（共11小題，共88分）17.計(jì)算18.解不等式組，并寫出該不等式組的所有非負(fù)整數(shù)解．19.如圖，在平行四邊形中，過點(diǎn)作，垂足為，連接，為線段上一點(diǎn)，且．（1）求證：．（2）若，，，求的長．20.某中學(xué)舉行“校園電視臺主持人”選拔賽，將參加本校選拔賽的40名選手的成績分成五組，并繪制了下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．分?jǐn)?shù)段頻數(shù)頻率2m1214n4（1）表中________________；（2）請?jiān)趫D中補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖：（3）甲同學(xué)的比賽成績是40位參賽選手成績的中位數(shù)，據(jù)此推測他的成績落在________分?jǐn)?shù)段內(nèi)；（4）選拔賽中，成績在分以上選手，男生和女生各占一半，學(xué)校從中隨機(jī)確定2名選手參加全市決賽，則恰好是一名男生和一名女生的概率為________．21.圖①是一輛登高云梯消防車的實(shí)物圖，圖②是其工作示意圖，起重臂是可伸縮的（），且起重臂可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動，張角為，轉(zhuǎn)動點(diǎn)A距離地面的高度為．（1）當(dāng)起重臂長度為，張角為時，求云梯消防車最高點(diǎn)C距離地面的高度；（2）某日、一居民家突發(fā)險(xiǎn)情，該居民家距離地面的高度為，請問該消防車能否實(shí)施有效救援？（參考數(shù)據(jù)：）22.已知二次函數(shù)的圖像如圖所示．（1）求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將該拋物線進(jìn)行左右平移，使其經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，請直接寫出平移的方法．23.以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，圖中的點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，．（2）利用網(wǎng)格和無刻度直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在上找一點(diǎn)P，使．②如圖③，在上找一點(diǎn)P，使．24.近兩年直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音平臺上對一款成本價(jià)為元的商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件元銷售，每天可賣出30件．通過市場調(diào)查，該商售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件，設(shè)每件商品降價(jià)x元．（x為5的倍數(shù)）（1）每件商品降價(jià)x元時，日銷售量為______件；（2）若日銷售盈利為元，為盡快減少庫存，x的值應(yīng)為多少；（3）設(shè)日銷售盈利為Q元，當(dāng)x為何值時，Q取值最大，最大值是多少？25.如圖，已知，∠B＝90°．（1）作⊙O，使得圓心O在線段AC上，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且與AB相切于點(diǎn)D；（2）若AD＝3，⊙O的半徑為4，求BC的長．26.如圖，在矩形中，為的中點(diǎn)，的外接圓分別交，于點(diǎn)，．（1）求證：與相切；（2）若，，求的半徑．27.【問題情境】在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小昕同學(xué)將一大一小兩個三角板按照如圖1所示的方式擺放．其中，，．問題探究】小昕同學(xué)將三角板繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時，延長交于點(diǎn)，求的長．（2）若點(diǎn)、、在同一條直線上，求點(diǎn)到直線的距離．（3）連接，取的中點(diǎn)，三角板由初始位置（圖1），旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、、首次在同一條直線上（如圖3），求點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長．（4）如圖4，為中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)到直線的距離的最大值是_____．第二十九中學(xué)2023-2024學(xué)年下學(xué)期3月階段性練習(xí)九年級數(shù)學(xué)一．選擇題（共6小題，每題2分，共12分）1.沒有穩(wěn)固的國防，就沒有人民的安寧，2023年，中國國防預(yù)算約為15537億元，將15537億元用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變形為a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，n是負(fù)數(shù)．【詳解】解：15537億故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查科學(xué)記數(shù)法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．解題關(guān)鍵是正確確定a的值以及n的值．2.下列計(jì)算結(jié)果是的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法法則，冪的乘方法則以及同底數(shù)冪的除法法則；合并同類項(xiàng)時，只把系數(shù)相加，所得結(jié)果作為合并后的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減；熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．分別利用合并同類項(xiàng)的法則，同底數(shù)冪的乘法法則，同底數(shù)冪的除法法則和冪的乘方法則分別求出，即可選出答案．【詳解】解：A、與不是同類項(xiàng)，不能合并，故此選項(xiàng)不符合題意；B、，故此選項(xiàng)符合題意；C、，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．3.若有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結(jié)果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置推出，然后化簡絕對值即可得到答案．【詳解】解：由題意得：，∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷式子符號，有理數(shù)的加減法計(jì)算，整式的加減計(jì)算，化簡絕對值，正確根據(jù)題意得到是解題的關(guān)鍵．4.如圖，中，，過點(diǎn)A作的平行線交過點(diǎn)C的圓的切線于點(diǎn)D，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接OA．由可得出，從而可利用“SSS”證明，即得出，再根據(jù)等腰對等角可得出．由切線的性質(zhì)可得出，從而得出，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．【詳解】如圖，連接OA．∵，∴．∵OB=OB，OC=OA，∴(SSS)，∴．∵OB=OC，∴，∵CD為⊙O切線，∴，∴．∵，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，弧、弦、圓心角的關(guān)系，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．5.如圖，將先向下平移1個單位，再繞點(diǎn)按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度，得到，頂點(diǎn)落到了點(diǎn)處，則點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平移及旋轉(zhuǎn)定義畫出圖形，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平移的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平移作圖及旋轉(zhuǎn)作圖，正確理解性質(zhì)作出圖形是解題的關(guān)鍵．6.如圖，已知正方形的邊長為，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，將沿折疊得到，點(diǎn)落在邊上，連接．現(xiàn)有如下4個結(jié)論：①；②；③；④．在以上個結(jié)論中正確的有（

）A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①②③④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)證明兩三角形即可判斷①；根據(jù)折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得，得，所以，即可判斷②；根據(jù)折疊的性質(zhì)和線段中點(diǎn)的定義可得，設(shè)，表示出、，根據(jù)點(diǎn)是的中點(diǎn)求出、，從而得到的長度，再利用勾股定理列出方程求解即可判斷④；先求的面積，根據(jù)和等高，可知，，即可判斷③．【詳解】解：由折疊得：，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，故①正確；點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，，，，，，，，故②正確；設(shè)，則，由得：，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，，在中，根據(jù)勾股定理得：，，解得：，，，，故④正確，，和等高，，，故③錯誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，翻折變換的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共10小題，每題2分，共20分）7.已知，則＝_________.【答案】##【解析】【分析】將變形為3x=5y，后利用比例的性質(zhì)，計(jì)算即可．【詳解】因?yàn)?，所?x=5y，所以=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的基本性質(zhì)，熟練掌握比例的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.設(shè)，是關(guān)于x的方程的兩個根，，則_____．【答案】【解析】【分析】運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系定理，具體化求解即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x的方程x2﹣kx+k﹣2＝0的兩個根，，∴＝k，＝k﹣2，∴＝1﹣2＝﹣1．故答案為﹣1．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握定理并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．9.若一個圓錐的底面圓的半徑是2，側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是，則該圓錐的母線長為________．【答案】4【解析】【分析】設(shè)該園錐的母線長為l，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長即可求解．【詳解】解：設(shè)該圓錐的母線長為l，根據(jù)題意得：，解得：，即該圓錐的母線長為4．故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算：理解圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長是解題的關(guān)鍵．10.點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上一點(diǎn)，則的值為__________【答案】6【解析】【分析】把點(diǎn)代入即可求得值，將變形，代入即可．【詳解】解：∵點(diǎn)是二次函數(shù)圖像上，∴則．∴故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求待定系數(shù)是解題的關(guān)鍵．11.若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為_______________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的根的判別式可以得出關(guān)于的不等式，由此進(jìn)一步求出相應(yīng)的解集即可得出答案.【詳解】∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，∴，即：，解得：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式的運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.12.將一個半徑為3的圓形紙片，沿著兩條半徑剪開形成兩個扇形，若其中的一個扇形的面積是，則另一個扇形的圓心角的度數(shù)是______．【答案】120゜【解析】【分析】先求解扇形的面積是的這個扇形的圓心角，再利用減去這個圓心角即可得到答案.【詳解】解：由題意得：則另一個扇形的圓心角的度數(shù)是故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是求解扇形的圓心角，掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵.13.某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，商場采取了降價(jià)措施．假設(shè)在一定范圍內(nèi)，襯衫的單價(jià)每降1元，商場平均每天可多售出2件．如果降價(jià)后商場銷售這批襯衫每天盈利1250元，那么襯衫的單價(jià)降了多少元？設(shè)襯衫的單價(jià)降了x元，則可列方程為__________________．【答案】（40﹣x）（20+2x）＝1250【解析】【分析】設(shè)襯衫的單價(jià)降了x元．根據(jù)題意等量關(guān)系：降價(jià)后的銷量×每件的利潤=1250，根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】設(shè)襯衫的單價(jià)降了x元．根據(jù)題意，得(40﹣x)(20+2x)＝1250故答案：（40﹣x）（20+2x）＝1250【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程．14.如圖，是內(nèi)接三角形，，，把繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，則對應(yīng)點(diǎn)、之間的距離為_______．【答案】2【解析】【分析】連接、、，根據(jù)圓周角定理求出，得到是等邊三角形，求出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接、、，由圓周角定理得，，是等邊三角形，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心的概念和性質(zhì)，掌握圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．15.如圖，正方形的邊長為4，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，點(diǎn)在對角線上，若，，則的長為_______．【答案】【解析】【分析】如圖所示，連接交于點(diǎn)，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，，解直角三角形得到，則，再證明，進(jìn)一步得到，求出，即可求出．【詳解】解：如圖所示，連接交于點(diǎn)，四邊形是正方形，平分，，，，，，，，∴，，，，，，，，．故答案：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，正方形的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．16.如圖，在半徑為5的⊙中，弦，是弦所對的優(yōu)弧上的動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交射線于點(diǎn)，當(dāng)是以為腰的等腰三角形時，線段的長為_____．【答案】8或【解析】【分析】根據(jù)題意，以為腰的等腰三角形有兩種情況，當(dāng)AB=AP時，利用垂徑定理及相似三角形的性質(zhì)列出比例關(guān)系求解即可，當(dāng)AB=BP時，通過角度運(yùn)算，得出BC=AB=8即可．【詳解】解：①當(dāng)AB=AP時，如圖，連接OA、OB，延長AO交BP于點(diǎn)G，故AG⊥BP，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，∵在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，∴，由垂徑定理可知，∴，在Rt△OAH中，在Rt△CAP中，，且∴，在Rt△PAG與Rt△PCA中，∠GPA=∠APC，∠PGA=∠PAC，∴Rt△PAG∽Rt△PCA∴，則，∴；②當(dāng)AB=BP時，如下圖所示，∠BAP=∠BPA，∴在Rt△PAC中，∠C=90°-∠BPA=90°-∠BAP=∠CAB，∴BC=AB=8故答案為8或【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)及圓周角定理、相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用上述知識進(jìn)行推理論證．三．解答題（共11小題，共88分）17.計(jì)算【答案】2【解析】【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對值，二次根式的性質(zhì)化簡，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序計(jì)算．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】特殊角的三角函數(shù)值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，絕對值，二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算，熟練掌握各知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．18.解不等式組，并寫出該不等式組的所有非負(fù)整數(shù)解．【答案】不等式組解集為．非負(fù)整數(shù)解為0，1，2．【解析】【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．詳解】解：由①得：，由②得：，∴不等式組的解集為．∴該不等式組的所有非負(fù)整數(shù)解為0，1，2．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．19.如圖，在平行四邊形中，過點(diǎn)作，垂足為，連接，為線段上一點(diǎn)，且．（1）求證：．（2）若，，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）利用兩角對應(yīng)相等，證明兩個三角形相似，即可得△ADF∽△DEC.（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出線段DE的長度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出線段AE的長度.【小問1詳解】解：證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC∴∠ADF=∠DEC，∠ADF=∠DEC∵∵∠AFD+∠AFE=180°，∴∠AFD=∠C在△ADF與△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC，∴△ADF∽△DEC【小問2詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴在Rt△ADE中，由勾股定理得：，所以AE的長為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理，熟悉相關(guān)性質(zhì)并能熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．20.某中學(xué)舉行“校園電視臺主持人”選拔賽，將參加本校選拔賽的40名選手的成績分成五組，并繪制了下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．分?jǐn)?shù)段頻數(shù)頻率2m1214n4（1）表中________________；（2）請?jiān)趫D中補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖：（3）甲同學(xué)的比賽成績是40位參賽選手成績的中位數(shù)，據(jù)此推測他的成績落在________分?jǐn)?shù)段內(nèi)；（4）選拔賽中，成績在分以上的選手，男生和女生各占一半，學(xué)校從中隨機(jī)確定2名選手參加全市決賽，則恰好是一名男生和一名女生的概率為________．【答案】（1）．（2）見解析（3）（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)，變形計(jì)算，求出m、n的值．（2）根據(jù)(1)中的數(shù)據(jù)補(bǔ)全圖形．（3）根據(jù)中位數(shù)的概念即一組有序數(shù)據(jù)的中間一個數(shù)據(jù)或中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)求解可得．（4）利用列表或畫樹狀圖列舉出所有的可能，再根據(jù)概率公式計(jì)算即可得解．【小問1詳解】根據(jù)題意，得，故答案為：．【小問2詳解】根據(jù)，補(bǔ)全圖形如下：．【小問3詳解】由于共有40個數(shù)據(jù)，其中位數(shù)是第20、21個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而第20、21個數(shù)據(jù)都落在內(nèi)，∴推測他的成績落在分?jǐn)?shù)段內(nèi)，故答案為：．【小問4詳解】畫樹狀圖：共有12種結(jié)果，其中一男一女的結(jié)果有8種，∴恰好是一名男生和一名女生的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率、頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表以及中位數(shù)的定義．熟練掌握中位數(shù)，直方圖，畫樹狀圖計(jì)算概率是解題的關(guān)鍵．21.圖①是一輛登高云梯消防車的實(shí)物圖，圖②是其工作示意圖，起重臂是可伸縮的（），且起重臂可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動，張角為，轉(zhuǎn)動點(diǎn)A距離地面的高度為．（1）當(dāng)起重臂長度為，張角為時，求云梯消防車最高點(diǎn)C距離地面的高度；（2）某日、一居民家突發(fā)險(xiǎn)情，該居民家距離地面的高度為，請問該消防車能否實(shí)施有效救援？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）9.5m；（2）可以有效救援．【解析】【分析】（1）過點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足為F，過點(diǎn)A作AG⊥CF，垂足為G，解直角三角形ACG即可；（2）當(dāng)起重臂最長，張角最大時，計(jì)算遠(yuǎn)臂點(diǎn)距離地面的最大高度，比較判斷即可．【詳解】（1）如圖1，過點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足為F，過點(diǎn)A作AG⊥CF，垂足為G，∵AE⊥BD，∴四邊形AEFG是矩形，∴∠EAG=90°，F(xiàn)G=AE=3.5，∴∠CAG=30°，∵AC=12，∴CG=ACsin30°=12×=6，∴CF=CG+FG=6+3.5=9.5(米)；（2）如圖2，過點(diǎn)C作CF⊥BD，垂足為F，過點(diǎn)A作AG⊥CF，垂足為G，∵AE⊥BD，∴四邊形AEFG是矩形，∴∠EAG=90°，F(xiàn)G=AE=3.5，∴∠CAG=60°，∵AC=20，∴CG=ACsin60°=20×≈17.32，∴CF=CG+FG=17.32+3.5=20.82＞18；∴能有效救援．【點(diǎn)睛】本題考查了生活實(shí)際問題中的解直角三角形，熟練把生活問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)解直角三角形模型問題是解題的關(guān)鍵．22.已知二次函數(shù)的圖像如圖所示．（1）求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）將該拋物線進(jìn)行左右平移，使其經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，請直接寫出平移的方法．【答案】（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)（2）向右平移1個單位長度，或向左平移3個單位長度【解析】【分析】（1）將代入，求得，再將拋物線化為頂點(diǎn)式即可；（2）令求得，根據(jù)圖象的平移規(guī)則“上加下減，左加右減”，即可求解．【小問1詳解】解：把代入得：，則，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)；【小問2詳解】解：當(dāng)時，，則，∴拋物線與x軸交于點(diǎn)，∴向右平移1個單位長度，或向左平移3個單位長度．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)知識．23.以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，圖中的點(diǎn)A、B、C、D均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，．（2）利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．①如圖②，在上找一點(diǎn)P，使．②如圖③，在上找一點(diǎn)P，使．【答案】（1）（2）圖見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行，對應(yīng)線段成比例即可得結(jié)論；（2）①根據(jù)勾股定理得的長為5，利用格點(diǎn)，再根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)即可找到點(diǎn)P；②作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，連接與的交點(diǎn)即為要找的點(diǎn)P，使．【小問1詳解】解：圖1中，∵，∴，故答案為：．【小問2詳解】解：①在網(wǎng)格圖②中，，如圖2所示，連接，交于點(diǎn)P，∵，∴，解得：，∴點(diǎn)P即為所要找的點(diǎn)；②如圖3所示，作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)P，∵，∴，∴點(diǎn)P即為所要找的點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖—相似變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，利用格點(diǎn)構(gòu)造相似三角形．24.近兩年直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活．某電商在抖音平臺上對一款成本價(jià)為元的商品進(jìn)行直播銷售，如果按每件元銷售，每天可賣出30件．通過市場調(diào)查，該商售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件，設(shè)每件商品降價(jià)x元．（x為5的倍數(shù)）（1）每件商品降價(jià)x元時，日銷售量為______件；（2）若日銷售盈利為元，為盡快減少庫存，x的值應(yīng)為多少；（3）設(shè)日銷售盈利為Q元，當(dāng)x為何值時，Q取值最大，最大值是多少？【答案】（1）（2）45（3）當(dāng)或35時，取值最大，最大值是4500【解析】【分析】（1）根據(jù)售價(jià)每降低5元，日銷售量增加10件列出對應(yīng)的代數(shù)式即可；（2）根據(jù)利潤（售價(jià)成本價(jià)）數(shù)量列出方程求解即可；（3）根據(jù)利潤（售價(jià)成本價(jià)）數(shù)量列出Q關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】解：由題意得，每件商品降價(jià)x元時，日銷售量為件，故答案為：【小問2詳解】解：由題意得，，∴，解得，∵為盡快減少庫存，∴的值應(yīng)為45；【小問3詳解】解：由題意得，，，∴當(dāng)時，取最大值，為5的倍數(shù)，∴當(dāng)或35時，取值最大，最大值是4500．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列代數(shù)式，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意列出對應(yīng)的解析式和方程是解題的關(guān)鍵．25.如圖，已知，∠B＝90°．（1）作⊙O，使得圓心O在線段AC上，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且與AB相切于點(diǎn)D；（2）若AD＝3，⊙O的半徑為4，求BC的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）作的角平分線交AB于D，過點(diǎn)D作交AC于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OD為半徑作即可；（2）利用勾股定理求出OA，再利用平行線分線段成比例定理求出BC即可．【小問1詳解】解：如圖，⊙O即為所求作．【小問2詳解】解：∵AB是的切線，∴，∴．∵，，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，切線的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找圓心O的位置．26.如圖，在矩形中，為的中點(diǎn)，的外接圓分別交，于點(diǎn)，．（1）求證：與相切；（2）若，，求的半徑．【答案】（1）見解析（2）2.5【解析】【分析】（1）連接并延長交于點(diǎn)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，易知垂直平分，再證，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)作，垂足為，連接、，根據(jù)（1）易知四邊形是矩形，則