高二下學期3月周考數(shù)學試卷

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁高二下數(shù)學周考時間：120分鐘；滿分：150分第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知1，，，8是等比數(shù)列，那么的值等于（

）A．1 B．4 C．8 D．162．已知向量，滿足，，且與的夾角為，則的值為（

）A． B． C． D．3．已知等比數(shù)列的前三項和為84，，則的公比為（

）A． B． C．2 D．44．等比數(shù)列的前項和是,且,若,則(

)A． B． C． D．5．等比數(shù)列的首項，前n項和為，若，則數(shù)列的前10項和為A．65 B．75 C．90 D．1106．已知，，成等差數(shù)列，且公差為，若，，成等比數(shù)列，則公差A． B．C．或 D．或7．已知直線與圓交于兩點，則弦最短時，（

）A．2 B．1 C． D．8．德國大數(shù)學家高斯年少成名，被譽為數(shù)學界的王子，19歲的高斯得到了一個數(shù)學史上非常重要的結論，就是《正十七邊形尺規(guī)作圖之理論與方法》，在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法，現(xiàn)有函數(shù)，設數(shù)列滿足，若存在使不等式成立，則的取值范圍是.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．記正項等比數(shù)列的前n項和為，則下列數(shù)列為等比數(shù)列的有（

）A． B． C． D．10．若數(shù)列滿足：對，若，則，稱數(shù)列為“鯉魚躍龍門數(shù)列”.下列數(shù)列是“鯉魚躍龍門數(shù)列”的有（

）A． B． C． D．11．已知等差數(shù)列，前項和為，則下列結論正確的是（

）A． B．的最大值為C．的最小值為 D．12．提丟斯·波得定律是關于太陽系中行星軌道的一個簡單的幾何學規(guī)則，它是在1766年由德國的一位中學老師戴維斯·提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，即數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太陽系第顆行星與太陽的平均距離(以天文單位為單位).現(xiàn)將數(shù)列的各項乘以10后再減，得到數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列從第3項起，每項是前一項的2倍，則下列說法正確的是（

）A．數(shù)列的通項公式為B．數(shù)列的第2021項為C．數(shù)列的前項和D．數(shù)列的前項和第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51（n>3），Sn＝100，則公差d＝．14．已知數(shù)列滿足，，則的通項公式是.15．若，，則；16．設為數(shù)列的前項和，，則．四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。17．（10分）2022年4月16日，神舟13號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，這趟神奇之旅意義非凡，尤其是“天宮課堂”在廣大學生心中引起強烈反響，激起了他們對太空知識的濃厚興趣．某中學在進行太空知識講座后，從全校學生中隨機抽取了200名學生進行筆試，并記錄下他們的成績，將數(shù)據(jù)分成6組，并整理得到如下頻率分布直方圖(1)求這部分學生成績的中位數(shù)、平均數(shù)（同組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)為了更好的了解學生對太空知識的掌握情況，學校決定在成績高的第組中用分層抽樣的方法抽取5名學生，進行第二輪面試，最終從這5名學生中隨機抽取2人參加市太空知識競賽，求90分（包括90分）以上的同學恰有1人被抽到的概率．18．（12分）已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項和為，且滿足.(1)求的值及數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.19．（12分）如圖正方體的棱長為2，E是棱的中點，過的平面與棱相交于點F.

(1)求證：F是的中點；(2)求點D到平面的距離.20．（12分）已知數(shù)列滿足，，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．21．（12分）已知數(shù)列的首項，前項和為，且．(1)求的通項公式；(2)令，數(shù)列的前項和為，記，若對任意正整數(shù)，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．22．（12分）已知橢圓C的中心在坐標原點，兩焦點在x軸上，離心率為，點P在C上，且的周長為6．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點的動直線l與C相交于A，B兩點，點B關于x軸的對稱點為D，直線AD與x軸的交點為E，求的面積的最大值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義即可得出，從而求出【詳解】解：，，，8是等比數(shù)列；；．故選：．2．B【分析】根據(jù)平面向量的夾角公式即可求解．【詳解】解：∵，，且與的夾角為，∴，∴．故選：B．3．B【分析】根據(jù)已知結合等比數(shù)列的通項與前項和列式聯(lián)立得出答案.【詳解】由可設的公比為，等比數(shù)列的前三項和為84，，，解得，故選：B.4．D【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)成等比數(shù)列，列方程求解【詳解】設,則,所以由等比數(shù)列性質(zhì)知成等比數(shù)列所以,得,所以所以故選：D5．A【分析】由的首項，前項和為，，求出，可得，再求數(shù)列前10項和．【詳解】∵的首項，前項和為，，解得故數(shù)列的前項和為故選A.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項與求和，考查學生的計算能力，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎．6．C【分析】根據(jù)等差中項、等比中項性質(zhì)列方程組解得，，即得公差.【詳解】因為，，成等差數(shù)列，所以，又，，成等比數(shù)列，所以，上述兩式聯(lián)立解得或，所以公差或，故選C．【點睛】本題考查等差中項、等比中項性質(zhì)，考查基本求解能力.7．A【分析】求出直線所過定點，當⊥時，最小，根據(jù)直線垂直與斜率的關系即可得到答案.【詳解】變形為，故直線過定點，因為，則該定點在圓內(nèi)，而的圓心為，半徑為，設圓心到該直線的距離為，因為，則當最大時，取得最小值，而當時，最大，即取得最小值，因為，則.故選：A8．【分析】根據(jù)題意先求，然后利用倒序相加法求，則由可得，求出的最小值即可求得的取值范圍【詳解】因為，所以，由，，所以，所以，所以由，得，，，所以，令，（）則當，遞減，當時，遞增，因為，所以，所以，即的取值范圍是，故答案為：9．AB【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義和前n項公式和逐項分析判斷.【詳解】由題意可得：等比數(shù)列的首項，公比，即，對A：，且，即為等比數(shù)列，A正確；對B：，且，即為等比數(shù)列，B正確；∵，則有：對C：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，C錯誤；對D：，均不為定值，即不是等比數(shù)列，D錯誤；故選：AB.10．BD【分析】舉特例，可說明A不符合題意，同理可說明C不符合題意；依據(jù)“鯉魚躍龍門數(shù)列”的定義，可說明B,D.【詳解】對于A,不妨取，但，不滿足，故A錯誤；對于B,,對，若,則，則,即，故B正確；對于C，不妨取，但，不滿足，故C錯誤；對于D,,對，若,則，則，故，即，故D正確；故選：BD11．ACD【分析】先由數(shù)列為等差數(shù)列，得再由等差數(shù)列通項公式和求和公式對選項逐一分析即可.【詳解】對于A,數(shù)列為等差數(shù)列，，數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，故A正確，對于B,數(shù)列為遞減的等差數(shù)列，的最大值為，故B錯，對于C,由得的最小值為,即，故C正確，對于D,故D正確.故選：ACD12．CD【分析】由題意可得數(shù)列由此可得數(shù)列從第2項起構成公比為2的等比數(shù)列，從而可求出其通項公式，判斷選項A，由于，所以可求出數(shù)列的通項公式，從而可判斷B，對于C，利用分組求和可求出數(shù)列的前項和，對于D，利用錯位相減法可求出數(shù)列的前項和【詳解】數(shù)列各項乘以10再減4得到數(shù)列故該數(shù)列從第2項起構成公比為2的等比數(shù)列，所以故A錯誤；從而所以故B錯誤當時；當時0.3.當時也符合上式，所以故C正確因為所以當時當2時，所以所以又當時也滿足上式，所以，故D正確.故選：CD.13．2【分析】由數(shù)列的前n項和定義、等差數(shù)列的等和性、等差數(shù)列的通項公式及等差前n項和公式計算可得.【詳解】{an}為等差數(shù)列，故由Sn－Sn－3＝51（n>3）可得an－2＋an－1＋an＝51，由等差數(shù)列的等和性可得：3an－1＝51，即：an－1＝17，所以a1＋an＝a2＋an－1＝20，所以，解得：n＝10，所以，解得d＝2．故答案為：2.14．【分析】根據(jù)所給遞推關系可得，，與原式作差即可求解.【詳解】因為①所以，當時，②，①-②可得，，所以，所以數(shù)列的通項公式是.故答案為：.15．【分析】設，求出，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義即得.【詳解】解：設，所以，，，所以，所以數(shù)列是一個以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：.16．【分析】首先利用數(shù)列的遞推關系式的應用求出數(shù)列的通項公式，進一步利用前項和公式求出結果．【詳解】設為數(shù)列的前項和，①當時，解得，當時，②①-②得，即（常數(shù)），所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．則（首項符合通項）．故，所以.故答案為：．【點睛】本題考查的知識要點：數(shù)列的遞推關系式的應用，等比數(shù)列的前項和的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型．17．(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖按照中位數(shù)和平均數(shù)的計算方法即可求得答案；（2）確定第組中的人數(shù)，從而求得5名學生中每組抽取的人數(shù)，列舉出抽取兩人的所有情況，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.【詳解】（1）設中位數(shù)為x,平均數(shù)為,因為前三個矩形面積為，故，解得；.（2）人，人,即第五組有30人，第六組有20人,人，人，即需從第五組抽取3人，從第六組抽取兩人,設從抽取的5人中抽取2人，設五組的三人為，第六組的兩人為,則共有抽法為，共10種，其中恰有一人得分為90及以上的抽法有6種，故90分（包括90分）以上的同學恰有1人被抽到的概率．18．(1)，(2)【分析】（1）當時，，兩式相減得，由，可求出的值；（2）由（1）知，由絕對值的定義結合等差數(shù)列的前項和公式即可求出數(shù)列的前項和.【詳解】（1）因為，所以時，，所以.又由數(shù)列為等比數(shù)列，所以.又因為，所以，綜上.（2）由（1）知，當時，，當時，所以.19．(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，由面面平行的性質(zhì)得到線線平行，進而得到，結合E是棱的中點，得到結論；（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，根據(jù)空間向量求解出點到平面的距離.【詳解】（1）連接，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，故，故，又E是棱的中點，所以F是的中點.

（2）以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，則，令，得，故，

點D到平面的距離為.20．（1）（2）【分析】（1）由等差中項可知數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)已知可求得其公差，從而可得其通項公式；（2）分析可知應用錯位相減法求數(shù)列的和．【詳解】（1）由知，數(shù)列是等差數(shù)列，設其公差為，則，所以，，即數(shù)列的通項公式為．（2），，，兩式相減得：，整理得：，所以．21．(1)(2)14．【分析】（1）由得出等差數(shù)列，再應用等差數(shù)列通項求解；（2）先應用裂項相消得出前n項和，再把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值求解.【詳解】（1）由．當時，兩式相減得：，整理得：所以，，（）所以，是以1為首項，公差為3的等差數(shù)列．所以（2）由