人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（第2課時(shí)）》示范教學(xué)設(shè)計(jì)

實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（第2課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)1．能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出一元二次方程，解決與平均變化率有關(guān)的問(wèn)題．2．能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理．教學(xué)重點(diǎn)利用一元二次方程解決和平均變化率相關(guān)的問(wèn)題．教學(xué)難點(diǎn)分析題意，建立正確的數(shù)學(xué)模型．教學(xué)過(guò)程新課導(dǎo)入上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了如何用一元二次方程解決傳播問(wèn)題，這節(jié)課我們繼續(xù)探究實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程——平均變化率問(wèn)題．平均變化率包括平均增長(zhǎng)率和平均下降率，解決該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是分清基本量和變化后的量及變化的次數(shù)．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問(wèn)題】?jī)赡昵吧a(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元．隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元．哪種藥品成本的年平均下降率較大？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生思考：怎么求“成本的年下降額”？怎么求“成本的年下降率”？并通過(guò)分析，和學(xué)生一起寫(xiě)出表達(dá)式：成本的年下降額＝前一年成本－本年成本；【分析】甲種藥品成本的年平均下降額為(5000－3000)÷2＝1000（元），乙種藥品成本的年平均下降額為(6000－3600)÷2＝1200（元）．顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大．【思考】乙種藥品成本的年平均下降額較大，能說(shuō)明乙種藥品成本的年平均下降率較大嗎？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合下降額和下降率的計(jì)算方法，得出結(jié)論：成本的年平均下降額（元）不等同于年平均下降率（百分?jǐn)?shù)）．【問(wèn)題】怎樣判斷哪種藥品成本的年平均下降率較大？【師生活動(dòng)】教師進(jìn)行引導(dǎo)，學(xué)生組內(nèi)交流討論，需要分別求出這兩種藥品成本的年平均下降率，然后進(jìn)行比較．【答案】解：①設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x，則一年后甲種藥品成本為5000(1－x)元，兩年后甲種藥品成本為5000(1－x)2元，于是有5000(1－x)2＝3000．解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5％．②設(shè)乙種藥品成本的年平均下降率為y，于是有6000(1－y)2＝3600．解方程，得y1≈1.775，y2≈0.225．根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，乙種藥品成本的年平均下降率約為22.5％．所以，兩種藥品成本的年平均下降率相等．【思考】解出甲種藥品成本的年平均下降率后，為什么選擇22.5％作為答案？【答案】根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，藥品成本的年平均下降率應(yīng)是小于1的正數(shù)，所以應(yīng)選取22.5％作為答案．【問(wèn)題】通過(guò)對(duì)平均下降率問(wèn)題的探究，你能總結(jié)出解決平均下降率問(wèn)題的公式嗎？【師生活動(dòng)】教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合探究過(guò)程，對(duì)解題思路進(jìn)行分析：設(shè)基數(shù)為a，平均下降率為x，則第一次下降后的數(shù)量為a(1－x)，第二次下降后的數(shù)量為a(1－x)(1－x)，即a(1－x)2．以此類(lèi)推，第n次下降后的數(shù)量為a(1－x)n．如果下降n次后的數(shù)量為b，那么可列方程a(1－x)n＝b．【答案】平均下降率公式：a(1－x)n＝b．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)對(duì)藥品成本下降問(wèn)題進(jìn)行探究，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)出解決平均下降率問(wèn)題的公式；同時(shí)還結(jié)合實(shí)際，提醒學(xué)生對(duì)解方程的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，選出符合問(wèn)題實(shí)際意義的答案．【問(wèn)題】某村種的水稻2019年平均每公頃產(chǎn)8000kg，2021年平均每公頃產(chǎn)9680kg，求該村水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率．【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立對(duì)題目進(jìn)行分析：設(shè)該村水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x．用含x的代數(shù)式表示：（1）2020年種的水稻平均每公頃的產(chǎn)量為8000(1＋x)kg；（2）2021年種的水稻平均每公頃的產(chǎn)量為8000(1＋x)2kg．根據(jù)分析結(jié)果，列方程進(jìn)行求解．【答案】解：設(shè)該村水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為x．于是有8000(1＋x)2＝9680．解方程，得x1＝0.1，x2＝－2.1．根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，該村水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率為10％．【思考】你能總結(jié)出解決平均增長(zhǎng)率問(wèn)題的公式嗎？【師生活動(dòng)】仿照對(duì)平均下降率公式的分析過(guò)程，學(xué)生獨(dú)立完成對(duì)平均增長(zhǎng)率問(wèn)題的公式的探究過(guò)程：設(shè)基數(shù)為a，平均增長(zhǎng)率為x，則第一次增長(zhǎng)后的數(shù)量為a(1＋x)，第二次增長(zhǎng)后的數(shù)量為a(1＋x)(1＋x)，即a(1＋x)2．以此類(lèi)推，第n次增長(zhǎng)后的數(shù)量為a(1＋x)n．如果增長(zhǎng)n次后的數(shù)量為b，那么可列方程a(1＋x)n＝b．【答案】平均增長(zhǎng)率公式：a(1＋x)n＝b．【設(shè)計(jì)意圖】完成對(duì)平均增長(zhǎng)率問(wèn)題的解決思路的探究，得出解題公式，同時(shí)再一次強(qiáng)調(diào)，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義對(duì)答案進(jìn)行取舍．【新知】求平均增長(zhǎng)率（下降率）問(wèn)題：一般列方程a(1±x)n＝b．其中a為原始數(shù)據(jù)，b為增長(zhǎng)（下降）后的數(shù)據(jù)，n為變化次數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率（下降率）．解出所列的方程后，既要檢驗(yàn)是否為方程的解，又要檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義．二、典例精講【例1】為進(jìn)一步發(fā)展基礎(chǔ)教育，自2019年以來(lái)，某縣加大了教育經(jīng)費(fèi)的投入，2019年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)6000萬(wàn)元，2021年投入教育經(jīng)費(fèi)8640萬(wàn)元．假設(shè)該縣這兩年投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率相同．（1）求這兩年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率；（2）若該縣教育經(jīng)費(fèi)的投入還將保持相同的年平均增長(zhǎng)率，請(qǐng)你預(yù)算2022年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)多少萬(wàn)元．【師生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題，教師巡視糾錯(cuò)．【答案】解：（1）設(shè)這兩年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x．根據(jù)題意，得6000(1＋x)2＝8640．解得x1＝0.2，x2＝－2.2（不合題意，舍去）．答：這兩年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為20％．（2）因?yàn)?021年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)8640萬(wàn)元，且年平均增長(zhǎng)率為20％，所以2022年該縣投入的教育經(jīng)費(fèi)為8640×(1＋20％)＝10368（萬(wàn)元）．答：2022年該縣投入教育經(jīng)費(fèi)10368萬(wàn)元．【例2】某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬(wàn)元，由于改進(jìn)技術(shù)，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是361萬(wàn)元．假設(shè)該公司2，3，4月每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率都相同．（1）求每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率；（2）請(qǐng)你預(yù)測(cè)4月份該公司的生產(chǎn)成本．【師生活動(dòng)】學(xué)生以組為單位進(jìn)行交流討論，解答本題．【答案】解：（1）設(shè)每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為x．根據(jù)題意，得400(1－x)2＝361．解得x1＝0.05，x2＝1.95（不合題意，舍去）．答：每個(gè)月生產(chǎn)成本的下降率為5％．（2）361×(1－5％)＝342.95（萬(wàn)元）．答：4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬(wàn)元．【歸納】在平均增長(zhǎng)率（下降率）問(wèn)題中，要注意下面三個(gè)關(guān)系：①增長(zhǎng)還是下降；②變化前和變化后的量；③增長(zhǎng)（下降）的次數(shù)或增長(zhǎng)（下降）的周