2.5.2圓的一般方程課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

圓的一般方程第2章平面解析幾何初步湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課標(biāo)要求1.掌握圓的一般方程,能夠進(jìn)行圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化;2.了解二元二次方程表示圓的條件.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)圓的一般方程我們將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(

>0)叫作圓的一般方程.

沒有xy項(xiàng)

名師點(diǎn)睛1.圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)形式,其方程是一種特殊的二元二次方程,圓心和半徑長需要代數(shù)運(yùn)算才能得出,且圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D,E,F為常數(shù))具有以下特點(diǎn):(1)x2,y2項(xiàng)的系數(shù)均為1;(2)沒有xy項(xiàng);(3)D2+E2-4F>0.D2+E2-4F2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的圖形

方程條件方程的解的情況圖形x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F<0沒有實(shí)數(shù)解不表示任何圖形D2+E2-4F=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解表示一個(gè)點(diǎn)D2+E2-4F>0無窮多個(gè)解表示以點(diǎn)

為圓心,以

為半徑的圓過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)方程x2+y2+2x+1=0表示圓.(

)(2)當(dāng)B=0時(shí),方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0一定表示圓.(

)(3)若D2+E2-4F>0,點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外的充要條件是

+Dx0+Ey0+F>0.(

)2.A=C≠0且B=0是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的什么條件?××√提示必要不充分條件.若方程表示圓,則應(yīng)滿足三個(gè)條件:①A=C≠0,②B=0,③D2+E2-4AF>0.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一圓的一般方程的理解【例1】

若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圓,求:(1)實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)圓心坐標(biāo)和圓的面積;(3)若原點(diǎn)在方程表示的圓外,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.分析

根據(jù)方程表示圓的條件求解.規(guī)律方法

1.判斷形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程是否為圓的方程的方法形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圓時(shí)可有如下兩種方法:(1)由圓的一般方程的定義令D2+E2-4F>0,若成立則表示圓,否則不表示圓.(2)將方程配方后,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征求解.2.點(diǎn)與圓的一般方程之間的關(guān)系[提醒]求解含參數(shù)的圓的一般方程的易錯(cuò)點(diǎn).不要忘記x2+y2+Dx+Ey+F=0中D2+E2-4F>0的條件.變式訓(xùn)練1(1)若方程x2+y2-2y+m2-m+1=0表示圓,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(

)A.(-2,1) C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(0,1)D解析

由方程x2+y2-2y+m2-m+1=0表示圓,則(-2)2-4(m2-m+1)>0,解得0<m<1.所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0,1).故選D.(2)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圓,則圓心坐標(biāo)是

,半徑是

.

(-2,-4)5解析

由題可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.當(dāng)a=-1時(shí),方程為x2+y2+4x+8y-5=0,該方程表示圓,配方可得(x+2)2+(y+4)2=25.因此該圓的圓心坐標(biāo)為(-2,-4),半徑為5.當(dāng)a=2時(shí),方程不表示圓.(3)若原點(diǎn)在圓x2+y2-ax+2ay+2a2+a-1=0的外部,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

探究點(diǎn)二待定系數(shù)法求圓的一般方程【例2】

已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).(1)求△ABC的外接圓的一般方程;(2)若點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上,求a的值.解

(1)設(shè)△ABC外接圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,即△ABC的外接圓的一般方程為x2+y2-8x-2y+12=0.(2)由(1)知,△ABC的外接圓的一般方程為x2+y2-8x-2y+12=0,∵點(diǎn)M(a,2)在△ABC的外接圓上,∴a2+22-8a-2×2+12=0,即a2-8a+12=0,解得a=2或6.規(guī)律方法

待定系數(shù)法求圓的兩種方程的解題策略

已知條件方程形式方程的量圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑列方程標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)法求出a,b,r已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系一般方程待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F變式訓(xùn)練2求圓心在直線y=x上,且經(jīng)過點(diǎn)A(-1,1),B(3,-1)的圓的一般方程.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:圓的一般方程的性質(zhì)2.方法歸納:將圓的一般方程利用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)方程后求圓心與半徑,利用定義法結(jié)合D2+E2-4F>0判斷是否表示圓,待定系數(shù)法求圓的一般方程.3.注意事項(xiàng):求解二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的問題要注意三個(gè)條件(A=C≠0,②B=0,③D2+E2-4AF>0)缺一不可.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)12345678910111213141516A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.圓x2+y2-4x+6y=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是(

)A.(2,3),3D解析

由圓的一般方程x2+y2-4x+6y=0可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-2)2+(y+3)2=13,所以圓心坐標(biāo)為(2,-3),半徑為

,故選D.123456789101112131415162.若圓C:x2+y2+(m-2)x+(m-2)y+m2-3m+2=0過坐標(biāo)原點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的值為(

)A.1 B.2C.2或1 D.-2或-1A解析

由圓C過原點(diǎn)可得m2-3m+2=0,解得m=2或m=1.當(dāng)m=2時(shí),原方程為x2+y2=0,它是一個(gè)點(diǎn),不是圓;123456789101112131415163.（多選題）與圓C:x2+y2-2x-35=0同圓心,且面積為圓C面積的一半的圓的方程為(

)A.(x-1)2+y2=3B.(x-1)2+y2=6C.(x-1)2+y2=9D.(x-1)2+y2=18BD123456789101112131415164.若點(diǎn)P(1,1)在圓C:x2+y2+x-y+k=0的外部,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(

)C123456789101112131415165.圓心在x軸上,且過點(diǎn)(-1,-3)的圓與y軸相切,則該圓的一般方程是(

)A.x2+y2+10y=0 B.x2+y2-10y=0C.x2+y2+10x=0 D.x2+y2-10x=0C解析

設(shè)圓心坐標(biāo)為(t,0),因?yàn)閳A心在x軸上且圓與y軸相切,所以r=|t|,所以圓心坐標(biāo)為(-5,0),半徑為5,該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+5)2+y2=25,整理得該圓的一般方程為x2+y2+10x=0.123456789101112131415166.已知圓x2+y2+ax+by-6=0的圓心坐標(biāo)為(3,4),則圓的半徑是

.

123456789101112131415167.若圓x2+y2+2mx+2y-1=0的圓心在直線y=x+1上,則m=

,該圓的半徑為

.

2解析

由x2+y2+2mx+2y-1=0可得(x+m)2+(y+1)2=m2+2,所以圓心坐標(biāo)為(-m,-1).因?yàn)閳A心(-m,-1)在直線y=x+1上,所以-1=-m+1,解123456789101112131415168.在平面直角坐標(biāo)系中,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-3,0),B(2,0),C(0,-4),經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)的圓記為M.(1)求BC邊上的中線AD所在直線的一般式方程;(2)求圓M的一般方程.解

(1)由B(2,0),C(0,-4),知線段BC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-2).又A(-3,0),所以直線AD的方程為

,整理得x+2y+3=0.即中線AD所在直線的一般式方程為x+2y+3=0.1234567891011121314151612345678910111213141516B級(jí)關(guān)鍵能力提升練9.以下直線中,將圓x2+y2-4x-2y+1=0平分的是(

)A.x-y-1=0 B.x-y+1=0 C.2x-y=0 D.2x-y+3=0A解析

圓x2+y2-4x-2y+1=0的方程可化為(x-2)2+(y-1)2=4,∴該圓的圓心坐標(biāo)為(2,1).若直線平分圓,則(2,1)必在直線上.∵2-1-1=0,點(diǎn)(2,1)在直線x-y-1=0上,故A正確;∵2-1+1≠0,點(diǎn)(2,1)不在直線x-y+1=0上,故B錯(cuò)誤;∵2×2-1≠0,點(diǎn)(2,1)不在直線2x-y=0上,故C錯(cuò)誤;∵2×2-1+3≠0,點(diǎn)(2,1)不在直線2x-y+3=0上,故D錯(cuò)誤.故選A.12345678910111213141516B1234567891011121314151611.直線l:ax-y+b=0,圓M:x2+y2-2ax+2by=0,則直線l與圓M在同一坐標(biāo)系中的圖形只可能是(

)D解析

由圓的方程知圓過原點(diǎn),故A,C錯(cuò)誤;該圓圓心為(a,-b),直線y=ax+b,B中,由直線得a<0,b<0,由圓得a>0,-b>0,∴b<0,故B不成立;D中,由直線得a>0,b<0,由圓得a>0,-b>0,∴b<0,符合題意.故選D.12345678910111213141516C所以圓的一般方程為x2+y2-4x-4y+4=0.又因?yàn)辄c(diǎn)D(4,a)在圓上,所以42+a2-4×4-4a+4=0,解得a=2.故選C.1234567891011121314151613.方程x2+y2-2ax-4ay+6a2-a=0表示圓心在第一象限的圓,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

(0,1)解析

將方程x2+y2-2ax-4ay+6a2-a=0配方,得(x-a)2+(y-2a)2=a-a2.因?yàn)榉匠蘹2+y2-2ax-4ay+6a2-a=0表示圓心在第一象限的圓,1234567891011121314151614.已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圓心在直線x+y-1=0上,且圓心在第二象限,半徑長為,則圓C的一般方程是

.

x2+y2+2x-4y+3=0又圓心在第二象限,所以D=2,E=-4,即圓的一般方程為x2+y2+2x-4y+3=0.1234567891011121314151615.已知曲線C:x2+y2-4mx+2my+20m-20=0.求證:當(dāng)m≠2時(shí),曲線C是一個(gè)圓,且圓心在一條直線上.證明(方法1