7.1條件概率與全概率公式課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第七章隨機變量及其分布7.1條件概率與全概率公式人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第三冊基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)目錄索引

學(xué)習(xí)單元1

條件概率與全概率公式條件概率是概率論的重要概念,由此得出的乘法公式徹底解決了積事件概率的計算問題.全概率公式是概率論中一個基本且重要的公式,其基本思想是利用一組兩兩互斥的事件,將一個復(fù)雜事件表示為兩兩互斥事件的和事件,再由概率的加法公式和乘法公式求這個復(fù)雜事件的概率,它為計算某些事件的概率提供了有力的工具.本學(xué)習(xí)單元通過創(chuàng)設(shè)不同的情境,讓學(xué)生先直觀認識條件概率的意義,通過列舉試驗的樣本空間,發(fā)現(xiàn)條件概率的本質(zhì)是在縮小的樣本空間上的概率,然后從特殊到一般抽象出條件概率的定義.同樣地,通過具體實例,提煉出求復(fù)雜事件概率的基本思路,將其一般化得到全概率公式.利用全概率公式計算概率,體現(xiàn)了分解與綜合、化難為易的轉(zhuǎn)化思想.具體內(nèi)容結(jié)構(gòu)如下圖所示:學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合古典概型,了解條件概率,掌握條件概率的兩種求法.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解全概率公式.(邏輯推理)3.能夠利用條件概率公式與全概率公式解決一些簡單的實際問題.(數(shù)學(xué)建模)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

條件概率1.定義:一般地,設(shè)A,B為兩個隨機事件,且P(A)>0,我們稱P(B|A)=為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率,簡稱條件概率.

當(dāng)A為必然事件時,P(B|A)=P(B)2.概率的乘法公式:對任意兩個事件A與B,若P(A)>0,則

.

我們稱該式為概率的乘法公式.

P(AB)=P(A)P(B|A)名師點睛對于條件概率需注意的問題(1)利用條件概率公式求P(B|A)時一定要注意P(A)>0.(2)事件B在“事件A已發(fā)生”這個附加條件下發(fā)生的概率與沒有這個附加條件發(fā)生的概率一般是不相同的.微思考1.P(B|A)與P(AB)有何區(qū)別?2.若事件A,B互斥,則P(B|A)是多少?提示

P(B|A)的值是事件AB發(fā)生相對于事件A發(fā)生的概率的大小;而P(AB)是事件AB發(fā)生相對于原來的總空間而言,一般P(B|A)≠P(AB).提示

A與B互斥,即A,B不同時發(fā)生,則P(AB)=0,故P(B|A)=0.知識點2

條件概率的性質(zhì)條件概率只是縮小了樣本空間,因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).設(shè)樣本空間為Ω,P(A)>0,則(1)P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是兩個互斥事件,則P(B∪C|A)=

;

(3)設(shè)

和B互為對立事件,則P(|A)=

.

P(B|A)+P(C|A)

1-P(B|A)微思考條件概率與一般的古典概型的概率、與積事件的概率有何區(qū)別?試分辨下面的例子是什么類型的概率.拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子1次,(1)求出現(xiàn)大于3點的概率;(2)已知拋出的點數(shù)是偶數(shù),求出現(xiàn)大于3點的概率;(3)求出現(xiàn)大于3點的偶數(shù)點的概率.提示

條件概率與古典概型的區(qū)別在于樣本空間的不同,條件概率與積事件的區(qū)別在于所發(fā)生的事件不同.例子具體類型:拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子1次,(1)出現(xiàn)大于3點的概率.(古典概型,樣本空間中的樣本點數(shù)為6,則P1=)(2)已知拋出的點數(shù)是偶數(shù),求出現(xiàn)大于3點的概率.(條件概率,樣本空間中的樣本點數(shù)為3,P2=)(3)出現(xiàn)大于3點的偶數(shù)點的概率.(積事件概率,樣本空間中的樣本點數(shù)為6,P3=)知識點3

全概率公式1.定義:一般地,設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意的事件B?Ω,有

,我們稱此公式為全概率公式.

*2.貝葉斯公式:設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,則對任意的事件B?Ω,P(B)>0,有

.

注意此條件不可或缺

微思考1.全概率公式中蘊含了什么數(shù)學(xué)思想?有怎樣的作用?提示

全概率公式中蘊含了分類討論的數(shù)學(xué)思想.它將一個復(fù)雜事件的概率求解問題,轉(zhuǎn)化為在不同情況下發(fā)生的簡單事件的概率的求和問題.2.貝葉斯公式實現(xiàn)了怎樣的效果?提示

貝葉斯公式實現(xiàn)了條件概率中條件的互相轉(zhuǎn)換,把P(A|B)的求解問題轉(zhuǎn)化成運用P(B|A)來求.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1在必修第二冊“概率”的學(xué)習(xí)中,當(dāng)同一試驗中兩個事件A與B相互獨立時,則其積事件AB的概率為P(AB)=P(A)P(B).如果事件A與B為兩個隨機事件,如何表示積事件AB的概率呢?探究點一利用條件概率公式求條件概率問題2條件概率可以通過哪些方式來求?問題3如何從題意識別是求條件概率還是求積事件的概率?【例1】

集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙兩人各從A中任取一個數(shù),若甲先取(不放回),乙后取.在甲抽到奇數(shù)的條件下,求乙抽到的數(shù)比甲抽到的數(shù)大的概率.規(guī)律方法

求條件概率P(B|A)的關(guān)鍵是先求出P(AB),P(A),再利用條件概率公式求出P(B|A).在古典概型中,樣本空間Ω包含的樣本點的個數(shù)為n(Ω),事件A包含的樣本點的個數(shù)為n(A),事件AB包含的樣本點的個數(shù)為n(AB),探究點二求互斥事件的條件概率問題4條件概率相對于一般的概率,只是縮小了樣本空間.類比一般概率的性質(zhì),可否寫出條件概率的性質(zhì)?問題5互斥事件的條件概率如何計算?這種計算方法蘊含了怎樣的數(shù)學(xué)思想?【例2】

一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字,每位數(shù)字都可從0~9這十個數(shù)中任選一個.某人在銀行自助提款機上取錢時,忘記了密碼的最后一位數(shù)字,求:(1)任意按最后一位數(shù)字,不超過3次就按對的概率;(2)如果他記得密碼的最后一位的數(shù)字不大于4,不超過3次就按對的概率.規(guī)律方法

當(dāng)所求事件的概率相對較復(fù)雜時,往往把該事件分成兩個(或多個)互斥的較簡單的事件之和,求出這些較簡單事件的概率,再利用P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)便可求得所求事件的概率.但應(yīng)注意這個公式在“B與C互斥”這一前提下才成立.探究點三全概率公式的應(yīng)用問題6什么是全概率公式?與互斥事件的條件概率有何區(qū)別?【例3】

有一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三廠同時生產(chǎn)的,其中甲廠產(chǎn)品占50%,乙廠產(chǎn)品占30%,丙廠產(chǎn)品占20%,甲廠產(chǎn)品正品率為95%,乙廠產(chǎn)品正品率為90%,丙廠產(chǎn)品正品率為85%.如果從這批產(chǎn)品中隨機抽取一件,求該產(chǎn)品是正品的概率.解

設(shè)A,B,C分別表示抽得產(chǎn)品是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的,D表示抽得產(chǎn)品為正品,則由已知,P(A)=50%,P(B)=30%,P(C)=20%,P(D|A)=95%,P(D|B)=90%,P(D|C)=85%,從而任取一件產(chǎn)品為正品的概率可由全概率公式得到:P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)規(guī)律方法

利用全概率公式求概率為了求復(fù)雜事件的概率,往往可以把它分解成若干個互不相容的簡單事件,然后利用條件概率和概率的乘法公式,求出這些簡單事件的概率,最后將概率相加,得到最終結(jié)果,這一方法其實就是全概率公式的應(yīng)用.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)條件概率的理解;(2)利用定義或縮小樣本空間求條件概率;(3)全概率公式、貝葉斯公式.2.方法歸納:定義法、縮小樣本空間法、轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū):(1)分不清“在誰的條件下”,求“誰的概率”;(2)事件拆分不合理或不全面.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標(biāo)12345678910111213A級必備知識基礎(chǔ)練1.若P(A)=0.2,P(B)=0.18,P(AB)=0.12,則P(A|B)和P(B|A)分別等于(

)C123456789101112132.盒中有10只同一型號的螺絲釘,其中3只是壞的,現(xiàn)在從盒中不放回地依次抽取兩只,則在第一只是好的的條件下,第二只是壞的概率為(

)B123456789101112133.已知5%的男人和0.25%的女人患色盲,假如男人、女人各占一半,現(xiàn)隨機選一人,則此人恰是色盲的概率是(

)A.0.01245 B.0.05786 C.0.02625 D.0.02865C解析

用事件A,B分別表示隨機選一人是男人和女人,用事件C表示此人恰好患色盲,則Ω=A∪B,且A,B互斥,P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=123456789101112134.(多選題)甲罐中有5個紅球、2個白球和3個黑球,乙罐中有6個紅球、2個白球和2個黑球,先從甲罐中隨機取出一個球放入乙罐,分別以事件A1,A2,A3表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球,再從乙罐中隨機取出一個球,以事件B表示由乙罐取出的球是紅球,下列結(jié)論正確的是(

)A.事件B與事件A1不相互獨立B.A1,A2,A3是兩兩互斥的事件C.P(B)=D.P(B|A1)=ABD解析

對于A,由題意可知,事件A1發(fā)生與否影響事件B的發(fā)生,故事件B與事件A1不相互獨立,故A正確;對于B,A1,A2,A3兩兩不可能同時發(fā)生,故B正確;對于D,已知從甲罐中取出一個紅球放入乙罐,這時乙罐中有11個球,其中紅球有7個,因此,在事件A1發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率為P(B|A1)=,故D正確.故選ABD.12345678910111213123456789101112135.從1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2個數(shù),事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”,B為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”,則P(B|A)=(

)B解析

由題意得P(A)=,n(Ω)=9×8=72,事件AB為“第一次取到的是奇數(shù)且第二次取到的是3的整數(shù)倍”,若第一次取到的為3或9,第二次有2種取法;若第一次取到的為1,5,7,第二次有3種取法.故n(AB)=2×2+3×3=13,12345678910111213123456789101112136.某種元件用滿6000小時未壞的概率是,用滿10000小時未壞的概率是,現(xiàn)有一個此種元件,已經(jīng)用滿6000小時未壞,則它能用到10000小時的概率為

.

123456789101112137.有五瓶墨水,其中紅色一瓶,藍色、黑色各兩瓶,某同學(xué)從中隨機任取兩瓶,若取的兩瓶中有一瓶是藍色,則另一瓶是紅色或黑色的概率為

.

123456789101112138.某運動隊為評估短跑運動員在接力賽中的作用,對運動員進行數(shù)據(jù)分析.運動員甲在接力賽中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四個位置,統(tǒng)計以往多場比賽,其出場率與出場時比賽獲勝率如下表所示.比賽位置第一棒第二棒第三棒第四棒出場率0.30.20.20.3比賽勝率0.60.80.70.7(1)當(dāng)甲出場比賽時,求該運動隊獲勝的概率;(2)當(dāng)甲出場比賽時,在該運動隊獲勝的條件下,求甲跑第一棒的概率.12345678910111213解

(1)記“甲跑第一棒”為事件A1,“甲跑第二棒”為事件A2,“甲跑第三棒”為事件A3,“甲跑第四棒”為事件A4,“運動隊獲勝”為事件B.則P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=0.3×0.6+0.2×0.8+0.2×0.7+0.3×0.7=0.69,所以當(dāng)甲出場比賽時,該運動隊獲勝的概率為0.69.12345678910111213B級關(guān)鍵能力提升練9.某社區(qū)活動中心打算周末照看養(yǎng)老院的老人,現(xiàn)有4個志愿者服務(wù)小組甲、乙、丙、丁和有4個需要幫助的養(yǎng)老院可供選擇,每個志愿者小組只去一個養(yǎng)老院,設(shè)事件A=“4個志愿者小組去的養(yǎng)老院各不相同”,事件B=“小組甲獨自去一個養(yǎng)老院”,則P(A|B)=(

)A123456789101112131234567891011121310.把外形相同的球分裝在三個盒子中,每盒10個.其中,第一個盒子中有7個球標(biāo)有字母A,3個球標(biāo)有字母B;第二個盒子中有紅球和白球各5個;第三個盒子中有紅球8個、白球2個.試驗按如下規(guī)則進行:先在第一個盒子中任取一個球,若取得標(biāo)有字母A的球,則在第二個盒子中任取一個球;若第一次取得標(biāo)有字母B的球,則在第三個盒子中任取一個球.如果第二次取出的是紅球,則稱試驗成功,則試驗成功的概率為(

)A.0.59 B.0.41 C.0.48 D.0.64A解析

設(shè)事件A為“從第一個盒子中取得標(biāo)有字母A的球”,事件B為“從第一個盒子中取得標(biāo)有字母B的球”,事件R為“第二次取出的球是紅球”,則123456789101112131234567891011121311.一項血液化驗用來鑒別是否患有某種疾病,在患有此種疾病的人群中通過化驗有95%的人呈陽性反應(yīng),而健康的人通過化驗也會有1%的人呈陽性反應(yīng),某地區(qū)此種病患者占人口總數(shù)的0.5%,則:(1)某人化驗結(jié)果為