2.7 探索勾股定理（2）浙教版數(shù)學(xué)八年級上冊學(xué)案

2.7探索勾股定理(2)課題探索勾股定理（2）單元第二章學(xué)科數(shù)學(xué)年級八年級學(xué)習(xí)目標(biāo)理解勾股定理的逆定理；2.會運用勾股定理及其逆定理解決實際問題．重點勾股定理的逆定理難點根據(jù)勾股定理的逆定理判斷已知三邊的三角形是否為直角三角形學(xué)法探究法教法講授法教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖回顧舊知勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方1.若c為直角△ABC的斜邊，b，a為直角邊，則a，b，c的關(guān)系為_a2＋b2＝c22.在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，CD.CE分別是AB邊上的高和中線，若AC＝6，BC＝8，則DE＝_1.4_.回憶思考用已有知識做基礎(chǔ)來展開本節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)合作學(xué)習(xí)你能說出勾股定理的逆命題嗎？下面我們一起來探索這個逆命題（1）作一個三角形,使其三邊長分別為:3cm，4cm,5cm；1.5cm，2cm,2.5cm;5cm,12cm,13cm（2）算一算較短兩條邊的平方和與最長一條邊的平方是否相等（3）量一量所作每一個三角形最大邊所對角的度數(shù).由此你得到怎樣的結(jié)論?用命題的形式表述你的猜想.如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.動手操作學(xué)生自己動手得出結(jié)論講授新課勾股定理的逆定理：如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個三角形是直角三角形.符號語言：在△ABC中，∵a2+b2=c2（已知）∴△ABC是Rt△,且∠C=Rt∠聽課講授勾股定理的逆定理例題講解例3根據(jù)下列條件，分別判斷以a,b,c為邊的三角形是不是直角三角形（1）a＝7，b＝24，c＝25（2）a＝，b＝1，c＝解：（1）∵72+242=252，∴以7,24,25為邊的三角形是直角三角形.（2）∵（）2+（）2=≠12也就是較小兩邊的平方和不等于較大邊的平方，∴a,b,c中任何兩邊的平方和都不等于第三邊的平方，∴以，1，為邊的三角形不是直角三角形聽課思考講解例題，明白題型總結(jié)歸納利用勾股定理逆定理判斷是否為直角三角形的方法一找二算三判斷1.區(qū)分最長邊與較短兩邊，2.比較較短兩邊的平方和與最長邊的平方，3.若相等，則三角形是直角三角形，并且最長邊所對的角是直角，否則該三角形不是直角三角形即時演練已知三角形兩邊的長分別為3cm和4cm，第三邊的長是方程x2-6x+5=0的根．判斷這個三角形的形狀.解：方程x2-6x+5=0的根是1或5，由于1+3=4，不能構(gòu)成三角形，故第三邊的長是5cm，且32+42=52，根據(jù)勾股定理的逆定理，故此三角形為直角三角形.做練習(xí)及時做題，鞏固所學(xué)例題講解例4.已知△ABC三條邊長分別為a,b,c,且a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2＋n2(m>n，m,n是正整數(shù)).△ABC是直角三角形嗎？請證明你的判斷.解：∵a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整數(shù)）∴a2+b2=(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2=c2∴△ABC是直角三角形.聽課講解課本例題即時演練若△ABC的三邊長為a，b，c，根據(jù)下列條件判斷△ABC的形狀．（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c（2）a3-a2b+ab2-ac2+bc2-b3=0．解：（1）∵a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，∴（a2-12a+36）+（b2-16b+64）+（c2-20c+100）=0，即（a-6）2+（b-8）2+（c-10）2=0∴a-6=0，b-8=0，c-10=0，即a=6，b=8，c=10，而62+82=100=102，∴a2+b2=c2，∴△ABC為直角三角形．（2）（a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=0，a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0，∴（a-b）（a2+b2-c2）=0∴a-b=0或a2+b2-c2=0或（a-b）（a2+b2-c2）=0，∴此三角形ABC為等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．做練習(xí)及時做題，鞏固所學(xué)達(dá)標(biāo)測評1.如圖，明明散步從A到B走了41米，從B到C走了40米，從A到C走了9米，則∠A+∠B的度數(shù)是______度．解：∵從A到B走了41米，從B到C走了40米，從A到C走了9米，∴AB=41，BC=40，AC=9，由勾股定理的逆定理得：412=402+92，∴△ACB是直角三角形，AB是斜邊，∴∠A+∠B=90°．2.如圖點P是等邊三角形ABC內(nèi)部一點，且PA=2，PB=2，PC=4，則∠APC的大小是______度．解：∵△ABC為等邊三角形，則將△ABP繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ACP′，如圖，連PP′∴AB與AC重合，∠PAP′=60°，∴AP′=AP=2，P′C=PB=2，∴△APP′是等邊三角形，∴PP′=2，在△PPC中，PP′=2，P′C=2，PC=4，∴PP'2+P′C2=16=PC2∴∠PP′C=90°，∠P′CP=30°，∴∠P′PC=60°所以∠APC=∠APP′+∠P′PC=120°．3.已知a，b，c是△ABC的三邊，且a4-b4=a2c2-b2c2，請判斷△ABC的形狀．解：∵a4-b4=a2c2-b2c2∴a4-b4-a2c2+b2c2=0即：（a2+b2-c2）（a2-b2）=0則a2+b2-c2=0或a2-b2=0可得a2+b2=c2或a=b．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．4.如圖所示，BD=4，AD=3，∠ADB=90°，BC=13，AC=12，求陰影部分的面積．解：連接AB，在RT△ABD中，AB==5，∵BC=13，AC=12，∴AB2+AC2=BC2，即可判斷△ABC為直角三角形，陰影部分的面積=AC×BC-BD×AD=30-6=24．答：陰影部分的面積是24．5.如圖，分別以三角形三邊為直徑向外作三個半圓，如果較小的兩個半圓面積之和等于較大的半圓面積．求證：這個三角形是直角三角形．證明：設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，則以AC為直徑的半圓面積=以BC為直徑的半圓面積=以AB為直徑的半圓面積=∵較小的兩個半圓面積之和等于較大的半圓面積，∴+=即a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．做題通過做對應(yīng)的題目，來讓學(xué)生更深刻理解本節(jié)知識應(yīng)用拓展觀察下列勾股數(shù)組：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…A.B.c．你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請寫出：（1）當(dāng)a=19時，則b，c的值是多少（2）當(dāng)a=2n+1時，求b，c的值．你能證明所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎．解：（1）當(dāng)a=19時，設(shè)b=k，則c=k+1，觀察有如下規(guī)律：192+k2=（k+1）2，k=180，故b=180，c=181．（2）當(dāng)a=2n+1時，設(shè)b=k，則c=k+1，根據(jù)勾股定理：a2+b2=c2，即（2n+1）2+k2=（k+1）2解得k=2n（n+1），即b=2n（n+1），c=2n（n+1）+1．證明：a2+b2=（2n+1）2+[2n（n+1）]2=4n4+8n3+8n2+4n+1，[2n（n+1）+1]2=4n4+8n3+8n2+4n+1，所以a2+b