2025年高考一輪復習-微專題5-等差數(shù)列、等比數(shù)列 【含解析】

微專題5等差數(shù)列、等比數(shù)列【原卷版】1已知各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=3,Sm=2023,則當m取最大值時,am的值為 ()A.10 B.61C.64 D.732記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知Sn,2n的等差中項為an.(1)求證{an+2}為等比數(shù)列.(2)數(shù)列1an+3的前n項和為Tn,是否存在整數(shù)k滿足Tn∈(k,k+1)?若存在,求出k的值;若不存在3已知數(shù)列{an}滿足a1=λ>0,an·an+1=27-2n.(1)當λ=132時,求數(shù)列{a2n}中的第10項(2)是否存在正數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等比數(shù)列?若存在,求出λ的值并證明;若不存在,請說明理由.4在當前市場經(jīng)濟條件下,私營個體商店中的商品所標價格a與其實際價值之間存在著相當大的差距.對顧客而言,總是希望通過還價來減少商品所標價格a與其實際價值的差距.設顧客第n次的還價為bn,商家第n次的討價為cn.有一種“對半討價還價”法如下:顧客第1次的還價為標價a的一半,即第1次的還價b1=a2,商家第1次的討價為b1與標價a的平均值,即c1=a+b12;…;顧客第n(n≥2)次的還價為上一次商家的討價cn-1與顧客的還價bn-1的平均值,即bn=cn-1+bn-12,商家第n(n≥2)次的討價為上一次商家的討價cn-1與顧客這一次的還價bn的平均值,即cn=cn-1+bn2.現(xiàn)有一件衣服標價1200元,A.4 B.5C.6 D.7微專題5等差數(shù)列、等比數(shù)列【解析版】1已知各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若a1=3,Sm=2023,則當m取最大值時,am的值為 (D)A.10 B.61C.64 D.73[解析]因為{an}為遞增數(shù)列且各項均為正整數(shù),所以an-an-1≥1(n≥2),當an-an-1=1(n≥2)時,數(shù)列{an}是首項為3,公差為1的等差數(shù)列,則an=3+n-1=n+2,Sn=3n+n(n-1)2×1=n(n+5)2,可得S60=1950<2023,S61=2013<2023,S62=2077>2023.若m的最大值為61,則可取a60=62,a61=2023-1950=73>62,符合題意;若m的最大值為62,又a61的最小值為63,則此時a62=2023-2013=10<63,不符合題意.綜上所述,當2記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,已知Sn,2n的等差中項為an.(1)求證{an+2}為等比數(shù)列.(2)數(shù)列1an+3的前n項和為Tn,是否存在整數(shù)k滿足Tn∈(k,k+1)?若存在,求出k的值;若不存在解:(1)證明:因為Sn,2n的等差中項為an,所以Sn+2n=2an,當n=1時,S1+2=2a1,又S1=a1,所以a1=2.由Sn+2n=2an,得Sn+1+2n+2=2an+1,所以an+1+2=2an+1-2an,即an+1=2an+2,即an+1+2=2(an+2),所以an+1所以{an+2}是等比數(shù)列,其首項為a1+2=4,公比為2.(2)由(1)知an+2=4×2n-1,可得an=2n+1-2,所以1an+3因為0<12n+1+1<12n+1,所以Tn=1a又Tn=1a1+3+1a2+3+…+1an+3<122+所以Tn∈(0,1),所以存在k=0滿足題意.3已知數(shù)列{an}滿足a1=λ>0,an·an+1=27-2n.(1)當λ=132時,求數(shù)列{a2n}中的第10項(2)是否存在正數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等比數(shù)列?若存在,求出λ的值并證明;若不存在,請說明理由.解:(1)由an·an+1=27-2n,得an·an-1=29-2n(n≥2),所以an+1an-1所以數(shù)列{a2n-1}和數(shù)列{a2n}均為公比為14的等比數(shù)列,又a1=132,a2·a1=25,所以a2=210,所以a20=210×149=(2)假設存在正數(shù)λ,使得數(shù)列{an}是等比數(shù)列,由a2·a1=25,得a2=32λ,由a2·a3=8,得a3=λ因為{an}是等比數(shù)列,所以a1·a3=a22,可得λ2=64,即λ=下面證明當λ=8時,數(shù)列{an}是等比數(shù)列.當λ=8時,a1=8,a2=4.由(1)知數(shù)列{a2n-1}和{a2n}均為公比為14的等比數(shù)列所以a2n-1=8×14n-1,a2n=所以當n為奇數(shù)時,an=24-n,當n為偶數(shù)時,an=24-n,所以對一切正整數(shù)n,都有an=24-n,所以anan-1=12(n≥2),故數(shù)列{a所以存在正數(shù)λ=8,使得數(shù)列{an}是公比為12的等比數(shù)列4在當前市場經(jīng)濟條件下,私營個體商店中的商品所標價格a與其實際價值之間存在著相當大的差距.對顧客而言,總是希望通過還價來減少商品所標價格a與其實際價值的差距.設顧客第n次的還價為bn,商家第n次的討價為cn.有一種“對半討價還價”法如下:顧客第1次的還價為標價a的一半,即第1次的還價b1=a2,商家第1次的討價為b1與標價a的平均值,即c1=a+b12;…;顧客第n(n≥2)次的還價為上一次商家的討價cn-1與顧客的還價bn-1的平均值,即bn=cn-1+bn-12,商家第n(n≥2)次的討價為上一次商家的討價cn-1與顧客這一次的還價bn的平均值,即cn=cn-1+bn2.現(xiàn)有一件衣服標價1200元,若經(jīng)過nA.4 B.5C.6 D.7[解析]依題意可知cn>bn,當n≥2時,cn-b