專(zhuān)題16.1 二次根式的化簡(jiǎn)求值（壓軸題專(zhuān)項(xiàng)講練）（人教版）（解析版）-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

專(zhuān)題16.1二次根式的化簡(jiǎn)求值思想方法思想方法整體思想：指把研究對(duì)象的某一部分（或全部）看成一個(gè)整體，通過(guò)觀察與分析，找出整體與局部的聯(lián)系，從而在客觀上尋求解決問(wèn)題的新途徑。整體是與局部對(duì)應(yīng)的，按常規(guī)不容易求某一個(gè)（或多個(gè)）未知量時(shí)，可打破常規(guī)，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，把一組數(shù)或一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)整體，從而使問(wèn)題得到解決。知識(shí)點(diǎn)總結(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、二次根式的定義形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，叫做二次根號(hào)，a二、二次根式有意義的條件1.二次根式中的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)；2.二次根式具有非負(fù)性：a≥三、判斷二次根式有意義的條件1.如果一個(gè)式子中含有多個(gè)二次根式，那么它們有意義的條件是：各個(gè)二次根式中的被開(kāi)方數(shù)都必須是非負(fù)數(shù)；2.如果所給式子中含有分母，則除了保證被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零．四、二次根式的性質(zhì)性質(zhì)1：a2=a（a性質(zhì)2：a2=a=a五、同類(lèi)二次根式把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類(lèi)二次根式．①同類(lèi)二次根式類(lèi)似于整式中的同類(lèi)項(xiàng)；②幾個(gè)同類(lèi)二次根式在沒(méi)有化簡(jiǎn)之前，被開(kāi)方數(shù)完全可以互不相同；③判斷兩個(gè)二次根式是否是同類(lèi)二次根式，首先要把它們化為最簡(jiǎn)二次根式，然后再看被開(kāi)方數(shù)是否相同．六、二次根式的加減法則二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．七、二次根式的乘除法則①二次根式的乘法法則：a?②積的算術(shù)平方根：a?③二次根式的除法法則：ab④商的算術(shù)平方根：ab八、最簡(jiǎn)二次根式我們把滿(mǎn)足①被開(kāi)方數(shù)不含分母；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．這兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．九、分母有理化1.分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式；2.兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式．一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè)．典例分析典例分析【典例1】閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題．①在進(jìn)行二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí)，我們有時(shí)會(huì)碰上如23+1一樣的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡(jiǎn)：23+1=2(3?1)②學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最重要的是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，其中一種數(shù)學(xué)思想叫做換元的思想，它可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算，比如我們熟悉的下面這個(gè)題：已知ab2，ab3，求a2+b2．我們可以把a(bǔ)b和ab看成是一個(gè)整體，令xab，yab，則a2（1）計(jì)算：13+1+15+（2）m是正整數(shù)，am+1?mm+1+m，bm+1（3）已知15+x2【思路點(diǎn)撥】（1）由題目所給出的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先求出a+b=2(2m+1),ab=1再由2a（3）先得到15+x2?26?【解題過(guò)程】解：（1）原式===2019（2）∵am+1?mm+1+m，∴a+b=(∵2a∴2(a∴a2∴4(2m+1)∴2m=±5?1，∵m是正整數(shù)，∴m=2．（3）由15+x2∴15+∵(15又∵15+∴15+學(xué)霸必刷學(xué)霸必刷1．（2023下·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）已知x=2?3,y=2A．32 B．34 C．3?1【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知，得到x+y=2【解題過(guò)程】解：∵x=2∴x+y=2∴x======3故選C．2．（2022下·廣西欽州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知x+1x=7(0<x<1)，則xA．?7 B．?5 C．7 【思路點(diǎn)撥】由0<x<1，得0＜x＜1x，故x＜【解題過(guò)程】解：∵0<x<1，∴0＜x＜1∴x＜∵(x?1∴(x∴x?1x=-5或x∵x＜∴x?∴x?1x=-5，x故選B．3．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤魓2+y2=1A．0 B．1 C．2 D．3【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)x2+y2=1得出?1≤x≤1，?1≤y≤1，根據(jù)x2?4x+4+xy?3x+y?3要有意義，得出x+1【解題過(guò)程】解：∵x2∴?1≤x≤1，?1≤y≤1，∵x2∴xy?3x+y?3≥0，整理得：x+1y?3∵y?3<0，∴x+1≤0，∴x=∴x===3+0=3，故D正確．故選：D．4．（2023上·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谥校┮阎獂＝12020?2019，則x6﹣22019x5﹣x4＋x3﹣22020x2＋2x﹣2020A．0 B．1 C．2019 D．2020【思路點(diǎn)撥】對(duì)已知進(jìn)行變形，再代入所求式子，反復(fù)代入即可．【解題過(guò)程】解：∵x=1∴x=x=x=x=x=x=?x+2x?2020=x?2020=2019故選：C．5．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a為3+5?3?5的小數(shù)部分，b為6+33A．6+2?1 B．6?2+1【思路點(diǎn)撥】首先分別化簡(jiǎn)所給的兩個(gè)二次根式，分別求出a、b對(duì)應(yīng)的小數(shù)部分，然后化簡(jiǎn)、運(yùn)算、求值，即可解決問(wèn)題．【解題過(guò)程】解：3+===∴a的小數(shù)部分為2-6+3===∴b的小數(shù)部分為6-2∴2b故選：B．6．（2022上·湖南益陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）設(shè)a1=1+112+122，a2=1+A．202020192020 B．202020202021 C．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意，先求出an【解題過(guò)程】解：∵n為正整數(shù)，∴a＝n＝[n(n+1)]＝(＝n＝1+1∴a＝（1+11×2）+（1+12×3）+（1+13×4＝2021+1﹣1＝2021+1﹣1＝20212021故選：D．7．（2023上·上海金山·八年級(jí)?？计谥校┤绻鸻=5?2，則1【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、完全平方公式是解題關(guān)鍵．先根據(jù)二次根式的分母有理化可得1a，從而可得1【解題過(guò)程】解：∵a=5∴1∴1∴===5故答案為：5+68．（2022上·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知x=5?1717?3，y=【思路點(diǎn)撥】先把x和y的值分母有理化得到x=17?14，y=17+14，則【解題過(guò)程】解：∵x=5?1717∴x=5?1717∴x?y=?12，∴原式=4(x?y)=4×=6．故答案為6．9．（2022下·浙江杭州·八年級(jí)校考期中）已知x+1x=2，那么【思路點(diǎn)撥】通過(guò)完全平方公式求出x+1x=2【解題過(guò)程】解：∵x+∴x+∴x+∴x+1∴x===5故答案為：5510．（2023下·廣東深圳·九年級(jí)深圳中學(xué)?？甲灾髡猩┮阎獂，y為正整數(shù)，xy+yx?【思路點(diǎn)撥】將等式進(jìn)行因式分解，得到x+y+【解題過(guò)程】解：∵xy∴xy∴xy∴x∴x∵x∴xy∴xy=7，又x，y為正整數(shù)，則x,y=1,7或從而x+y=8，故答案為：8．11．（2023下·黑龍江綏化·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）設(shè)x=3?2，則x【思路點(diǎn)撥】利用x+22=x2+4x+4【解題過(guò)程】解：∵x=3∴x+22又∵x+22即x2整理得x2x==?=?=3=3=?3=?3=14x+4，將x=3?2代入原式可得故答案為：14312．（2022下·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考自主招生）已知x=3+52，則代數(shù)式2【思路點(diǎn)撥】將已知條件x=3+52變形得，x【解題過(guò)程】解：已知x=3+∴2x=3+5，即2x?3=等式兩邊同時(shí)平方得，2x?32=52，整理得，∴x2∵2=2x(把x2=2x×=3=3=3(把x2=3×=2019，故答案為：2019．13．（2022上·上海閔行·八年級(jí)上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)?？计谥校┫然?jiǎn)，再求值：x?yx?y【思路點(diǎn)撥】首先對(duì)第一個(gè)式子的分子利用平方差公式分解，第二個(gè)式子利用完全平方公式分解，然后約分，合并同類(lèi)二次根式即可化簡(jiǎn)，然后代入數(shù)值計(jì)算即可．【解題過(guò)程】解：原式===2當(dāng)x=3,y=1原式=2=2=814．（2023·北京·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知x=3?23+【思路點(diǎn)撥】首先把x和y進(jìn)行分母有理化，然后將其化簡(jiǎn)后的結(jié)果代入計(jì)算即可．【解題過(guò)程】解：∵x=3?2∴原式====245?100=970．15．（2023下·山東威?！ぞ拍昙?jí)?？计谥校┮阎猘+b=?8，ab=12，求bb【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意可判斷a和b都是負(fù)數(shù)，然后二次根式的乘、除法公式和合并同類(lèi)二次根式法則化簡(jiǎn)并求值即可．【解題過(guò)程】解：∵a+b=?8，ab=12，∴a和b均為負(fù)數(shù)，ab=b=b========16．（2023上·上海楊浦·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知a?2ab?15b=0，求【思路點(diǎn)撥】討論：當(dāng)a>0，b>0，利用因式分解的方法得到a?5ba+3b=0，解得a=25b，當(dāng)a<0，b<0，則??a+5【解題過(guò)程】解：∵a?2ab?15b=0要有意義，即∴a>0且b>0或a<0且b<0當(dāng)a>0且b>0時(shí)，∵a?2ab∴a?5b解得：a=25b，把a(bǔ)=25b代入a+ab+2ba?2當(dāng)a<0且b<0∵a?2ab∴?a+5解得：a=9b，把a(bǔ)=9b代入a+ab+2ba?217．（2023上·四川成都·八年級(jí)成都市三原外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知x=110?3（1）求x2（2）求x2【思路點(diǎn)撥】（1）先將x、y進(jìn)行分母有理化，再代入式子計(jì)算可得；（2）先將式子化簡(jiǎn)再代入x、y進(jìn)行計(jì)算即可．【解題過(guò)程】（1）∵x=1y=1∴x+y=210，x?y=6∴x（2）∵x=10+3，∴x?2>0，y+1>0，∴=====?6．18．（2023上·河北衡水·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知x=2?3（1）求x+y和xy的值；（2）求x2（3）若x的小數(shù)部分是a，y的整數(shù)部分是b，求ax?by的值．【思路點(diǎn)撥】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算、利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算、無(wú)理數(shù)的估算，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）代入x=2?3，y=2+3即可求出（2）將原式變形為x+y2（3）先估算出1<3<2，從而得出a=2?3【解題過(guò)程】（1）解：∵x=2?3∴x+y=2?3+2+3（2）解：由（1）得：x+y=4，xy=1，∴（3）解：∵1<3<4，∴1<3∴?2<?3∴0<2?3∵x的小數(shù)部分是a，∴a=2?3∵3<2+3<4，y的整數(shù)部分是∴b=3，∴ax?by=2?19．（2023下·廣東江門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）有這樣一類(lèi)題目：將a±2b化簡(jiǎn)，如果你能找到兩個(gè)數(shù)m、n，使m2+n2=a且mn=b，a±2（1）例如，∵5+26∴5+26（2）仿照上面的例子，請(qǐng)化簡(jiǎn)4?23（3）利用上面的方法，設(shè)A=6+42，B=3?5，求【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)：a2（2）根據(jù)（1）中“5+26（3）根據(jù)題意，首先把A式和B式分別轉(zhuǎn)化為完全平方公式的結(jié)構(gòu)形式，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)把A式和B式的結(jié)果分別算出，最后把A式和B式再代入A＋B中，求出A＋B的值．【解題過(guò)程】（1）∵5+26∴5+2故答案為：3（2）∵4?2∴4?23（3）∵A=6+4∴A=∵B=3?∴B=∴把A式和B式的值代入A＋B中，得：A+B=2+20．（2023下·廣西欽州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）我們將a+b、a?b稱(chēng)為一對(duì)“對(duì)偶式”，