高三數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 訓(xùn)練14 空間中的平行與垂直 理

常考問(wèn)題14空間中的平行與垂直(建議用時(shí)：50分鐘)1．(·無(wú)錫模擬)對(duì)于直線m，n和平面α，β，γ，有如下四個(gè)命題：①若m∥α，m⊥n，則n⊥α；②若m⊥α，m⊥n，則n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，則α∥γ；④若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥β.其中正確命題的序號(hào)是________．解析n有可能平行于α或在α內(nèi)，所以①不正確；n有可能在α內(nèi)，所以②不正確；α可以與γ相交，所以③不正確．答案④2．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，有下列四個(gè)命題：①若l⊥α，m?α，則l⊥m；②若l⊥α，l∥m，則m⊥α；③若l∥α，m?α，則l∥m；④若l∥α，m∥α，則l∥m.則其中正確命題的序號(hào)是________．解析根據(jù)線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可知①②正確．答案①②3．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC中點(diǎn)，則三棱錐B-B1EF解析VB-B1EF＝VE-B1FB＝eq\f(1,3)S△B1BF·EB＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×1＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)4．設(shè)a，b是兩條直線，α，β是兩個(gè)平面，則下列4組條件中所有能推得a⊥b的條件是________(填序號(hào))．①a?α，b∥β，α⊥β；②a⊥α，b⊥β，α⊥β；③a?α，b⊥β，α∥β；④a⊥α，b∥β，α∥β.解析由①a?α，b∥β，α⊥β可能得到兩直線垂直，平行或異面，②③④均能得到兩直線垂直，故填寫②③④.答案②③④5．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段解析∵EF∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC，又∵E是AD的中點(diǎn)，∴F是CD的中點(diǎn)，即EF是△ACD的中位線，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)＝eq\r(2).答案eq\r(2)6．設(shè)α和β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：①若α內(nèi)的兩條相交直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則α平行于β；②若α外一條直線l與α內(nèi)的一條直線平行，則l和α平行；③設(shè)α和β相交于直線l，若α內(nèi)有一條直線垂直于l，則α和β垂直；④直線l與α垂直的充分必要條件是l與α內(nèi)的兩條直線垂直．上面命題中，真命題的序號(hào)______(寫出所有真命題的序號(hào))．解析①②為課本上的結(jié)論，是真命題；③α和β不垂直時(shí)，α內(nèi)也有一組平行直線垂直于l；④l與α內(nèi)的兩條直線垂直不能得出l與α垂直，如α內(nèi)的兩條直線平行時(shí)，則不能推出l⊥α.答案①②7．(·泰州模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M，N分別在AB1，BC1上(M，N不與B1，C1重合)，且AM＝BN，那么①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN與A解析過(guò)M作MP∥AB交BB1于P，連接NP，則平面MNP∥平面A1C1，所以MN∥平面A1B1C1D1，又AA1⊥平面A1B1C1D1，所以AA1⊥MN.當(dāng)M與B1重合，N與C1重合時(shí)，則A1C1與答案①③8．(·蘇中四市調(diào)研)在正三棱錐P-ABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE，其中正確結(jié)論的序號(hào)是________．解析如右圖，設(shè)P在面ABC內(nèi)射影為O，則O為正△ABC的中心．①可證AC⊥平面PBO，所以AC⊥PB；②AC∥DE，可得AC∥面PDE；③AB與DE不垂直． 答案①②9．(·蘇州調(diào)研)如圖，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC.(1)求證：平面AEC⊥平面ABE；(2)點(diǎn)F在BE上．若DE∥平面ACF，求eq\f(BF,BE)的值．(1)證明因?yàn)锳BCD為矩形，所以AB⊥BC.因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面BCE.因?yàn)镃E?平面BCE，所以CE⊥AB.因?yàn)镃E⊥BE，AB?平面ABE，BE?平面ABE，AB∩BE＝B，所以CE⊥平面ABE.因?yàn)镃E?平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE.(2)解連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OF.因?yàn)镈E∥平面ACF，DE?平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF，所以DE∥OF.又因?yàn)榫匦蜛BCD中，O為BD中點(diǎn)，所以F為BE中點(diǎn)，即eq\f(BF,BE)＝eq\f(1,2).10．(·泰州學(xué)情調(diào)研)如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD為菱形，OA⊥平面ABCD，E為OA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，求證：(1)平面BDO⊥平面ACO；(2)EF∥平面OCD.證明(1)∵OA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以O(shè)A⊥BD，∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，又OA∩AC＝A，∴BD⊥平面OAC，又∵BD?平面OBD，∴平面BDO⊥平面ACO.(2)取OD中點(diǎn)M，連接EM，CM，則ME∥AD，ME＝eq\f(1,2)AD，∵ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵F為BC的中點(diǎn)，∴CF∥AD，CF＝eq\f(1,2)AD，∴ME∥CF，ME＝CF.∴四邊形EFCM是平行四邊行，∴EF∥CM，又∵EF?平面OCD，CM?平面OCD.∴EF∥平面OCD.11．(·鹽城模擬)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝4，CB＝2，AA1＝2，∠ACB＝60°，E、F分別是A1C1，(1)證明：平面AEB⊥平面BB1C(2)證明：C1F∥平面ABE(3)設(shè)P是BE的中點(diǎn)，求三棱錐P-B1C(1)證明在△ABC中，∵AC＝2BC＝4，∠ACB＝60°，由余弦定理得：∴AB＝2eq\r(3)，∴AB2＋BC2＝AC2，∴AB⊥BC，由已知AB⊥BB1，又BB1∩BC＝B，∴AB⊥面BB1C又∵AB?面ABE，∴平面ABE⊥平面BB1C(2)證明取AC的中點(diǎn)M，連接C1M，在△ABC，F(xiàn)M∥AB，而FM?平面ABE，AB?平面ABE，∴直線FM∥平面ABE在矩形ACC1A1中，E，M都是中點(diǎn)，∴C1E綉AM，四邊形AMC1B是平面四邊形，∴C1M而C1M?平面ABE，AE?平面ABE，∴直線C1M又∵C1M∩FM＝M，∴平面ABE∥平面FMC1，而CF1?平面FMC1故C1F∥平面AEB(3)解取B1C1的中點(diǎn)H，連接EH，則EH∥A1B1，所以EH∥AB且EH＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3)，由(1)得AB⊥面BB1C1C，∴EH⊥面∵P是BE的中點(diǎn)，∴VP-B1C1F＝eq\f(1,2)VE-B1C1F＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)S△B1C1F·EH＝eq\r(3).備課札記：