吉林省BEST學校聯(lián)合體2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1吉林省BEST學校聯(lián)合體2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試題第Ⅰ卷客觀題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，滿分40分.每小題給出的備選〖答案〗中，只有一個是符合題意的．1.“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，即，得到或，所以得不出，當時，有，即可以得出，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：A.2.設集合是4與6的公倍數(shù)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知：，顯然24的倍數(shù)均為12的倍數(shù)，但12的倍數(shù)不一定是24的倍數(shù)，例如12，所以是的真子集，對比選項可知B正確，ACD錯誤.故選：B.3.已知，則的最小值為（）A.8 B.10 C.12 D.14〖答案〗C〖解析〗因為,,當且僅當，即時取得等號，即的最小值為12，故選：C4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對于選項A，易知函數(shù)的定義域為，又在上恒成立，得到的減區(qū)間為，，所以選項A錯誤，對于選項B，由，得到，關于原點對稱，又，所以為奇函數(shù)，又，得到在區(qū)間上恒成立，即在其定義域上是增函數(shù)，所以選項B正確，對于選項C，因為的定義域為，不關于原點對稱，不具有奇偶性，所以選項C錯誤，對于選項D，由性質知，在其定義域上不具有單調性，所以選項D錯誤，故選：B.5.設等差數(shù)列的公差為，前項和為，若，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗，故，故選：C6.已知函數(shù)則下列說法正確的是（）A.是上的增函數(shù) B.的值域為C.單調遞減 D.若關于的方程恰有一個實根，則〖答案〗D〖解析〗因為，其圖象如圖所示，對于選項A，由圖知，時，，所以選項A錯誤，對于選項B，由圖知，當時，，所以選項B錯誤，對于選項C，由圖知，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞增，所以選項C錯誤，對于選項D，由，得到，令，，因為關于的方程恰有一個實根，所以與的圖象恰有一個交點，由圖知，故選：D.7.若，，，則正數(shù)大小關系是（

）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，則為與交點的橫坐標，由，則為與交點的橫坐標，由，即，則為與交點的橫坐標，作出，，，的圖象如下所示，由圖可知，.故選：B8.已知，，則的值為（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗由，得到，令，得到所以為函數(shù)與交點的橫坐標，由，得到，所以為函數(shù)與交點的橫坐標，又與互為反函數(shù)，故它們的圖象關于直線對稱，又關于對稱，由，得到，所以，得到，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，滿分18分.每小題給出的備選〖答案〗中，有多個選項是符合題意的．全部選對得6分，部分選對得3分，選錯或不選得0分．9.下列求導運算正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗BD〖解析〗因為，所以錯誤；因為，所以正確；因為，所以錯誤；因為，所以D正確.故選：BD10.已知函數(shù)，的定義域均為，函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的一個周期是B.函數(shù)的一個周期是C.若，則D.若當時，，則當時，〖答案〗BCD〖解析〗對于選項A，因為為奇函數(shù)，所以，令，得到，即有，故可得，又為偶函數(shù)，所以，即有，所以，得到，所以，即函數(shù)的一個周期是，所以選項A錯誤，對于選項B，因為為奇函數(shù)，所以，又，所以，即，所以函數(shù)的一個周期是，所以選項B正確，對于選項C，由選項A和B知，，又，，所以，故選項C正確，對于選項D，因為當時，，所以當時，，所以，所以選項D正確，故選：BCD.11.已知數(shù)列滿足，，則（）A.是遞減數(shù)列 B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對于A：易知，否則與矛盾，由，得，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故A錯誤；對于B：由選項A的判斷知，所以，由，得，所以，，即，故B正確；對于C：由，得，則所以，故C錯誤；對于D：由，得，即，所以，，故D正確.故選：BD第Ⅱ卷主觀題三、填空題：本題共3小題，每小題5分，滿分15分．12若，則__________.〖答案〗1〖解析〗因為，所以，所以.故〖答案〗為：1.13.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當時，，則________〖答案〗〖解析〗因為，所以函數(shù)的周期，所以，又為偶函數(shù)，所以，所以.故〖答案〗為：.14.已知集合，A是M的子集，當時，，則集合A元素個數(shù)的最大值為_______．〖答案〗1895〖解析〗先構造抽屜：．使前100個抽屜中恰均只有2個數(shù)，且只有1個數(shù)屬于A，可從集合M中去掉前100個抽屜中的數(shù)，剩下個數(shù)，作為第101個抽屜．現(xiàn)從第1至100個抽屜中取較大的數(shù)，和第101個抽屜中的數(shù)，組成集合A，于是，滿足A包含于M，且當時，．所以的最大值為．故〖答案〗為：1895.四、解答題：本題共5小題，滿分77分．解答應寫出必要的文字說明、計算過程、證明過程.15.已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.解：（1）設數(shù)列的公差為，由已知有，即，解得（舍），，；（2），.16.已知函數(shù)．（1）若，求在上的最值；（2）若在R上單調遞減，求a的值．解：由時，可得，則，當時，；當時，；當時，，所以函數(shù)在單調遞增，在上單調遞減，在單調遞增，又由，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.（2）由函數(shù)，可得，因為函數(shù)在上單調遞減，所以在上恒成立，則滿足，整理得且，解得.17.醫(yī)生將一瓶含量的A藥在內勻速注射到患者的血液中稱為A藥的一次注射．在注射期間，患者血液中A藥的注入量與注射用時的關系是，當時，血液中的A藥注入量達到，此后，注入血液中的A藥以每小時的速度減少．（1）求k的值；（2）患者完成A藥的首次注射后，血液中A藥含量不低于的時間可以維持多少h？（精確到0.1）（3）患者首次注射后，血液中A藥含量減少到時，立即進行第二次注射，首次注射的A藥剩余量繼續(xù)以每小時的速度減少，已知注射期間能保持患者血液中的A藥含量不低于，那么，經過兩次注射，患者血液中A藥的含量不低于的時間是否可以維持？（參考數(shù)據(jù)：，，）解：（1）依題意，，解得，所以k的值為.（2）血液中的A藥含量達到后，經過x小時患者血液中A藥含量為．由，得，兩邊取對數(shù)得：，解得，所以患者完成A藥的首次注射后，血液中A藥含量不低于的時間可以維持.（3）設第一次注射開始后經過患者血液中A藥的含量為，即，記第二次注射完成后患者血液中A藥的含量為，其中為第一次注射開始后經過的時間，則，由，得，即，兩邊取對數(shù)得：，解得，又，所以經過兩次注射后，患者血液中A藥的含量不低于的時間可以維持．18.對任意正整數(shù)，定義的豐度指數(shù)，其中為的所有正因數(shù)的和．（1）求的值：（2）若，求數(shù)列的前項和（3）對互不相等的質數(shù)，證明：，并求的值．解：（1）因為的所有正因數(shù)為，所以，得到.（2）因為共有個正因數(shù)，它們?yōu)?，所以，得到，所以，令①，則②，由①②得到，所以，故.（3）因為是互不相等的質數(shù)，則的正因數(shù)有個，它們是，的正因數(shù)均為個，分別為和，的正因數(shù)有個，分別為，所以，，因為，所以.19.已知函數(shù)在上的極小值點從小到大排列成數(shù)列，函數(shù)．（1）求在處切線方程；（2）求的通項公式；（3）討論的零點個數(shù)．解：（1）因為，所以，得到，又，所以在處的切線方程為.（2）因為，令，則，當時，，當時，，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，在上遞減，在上遞增，又，，，，這里，結合的單調性知，當時，，對，存在唯一的，使得，且在上取正值，在上取負值，對，存在唯一的，使得，且在上取負值，在上取正值，這表明對，在和上遞增，在和上遞增，從而上遞增，在和上遞減，從而，在上遞增，在上遞減，在上遞增，且，將以上討論與結合，即可得到在上全部的極小值點就是，且是遞增數(shù)列，所以，又注意到，，結合的定義，知一定有，所以的通項公式為.（3）由已知有，而，故，設，則我們只需要討論的零點個數(shù)，又，令，則，由零點存在定理知存在唯一的，使得，故當時，有，從而，當，有，從而，即在上單調遞增，在上單調遞減，又，，則存在唯一的，使得，且當或時，，當時，，所以在或上遞增，在上遞減，又，當時，由于，，故，又因為，所以根據(jù)的定義可知此時，故在上遞增，在上遞減，再由，可知當時，，而當時，