吉林省BEST學(xué)校聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省BEST學(xué)校聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷客觀題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，滿分40分.每小題給出的備選〖答案〗中，只有一個(gè)是符合題意的．1.“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗由，即，得到或，所以得不出，當(dāng)時(shí)，有，即可以得出，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：A.2.設(shè)集合是4與6的公倍數(shù)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意可知：，顯然24的倍數(shù)均為12的倍數(shù)，但12的倍數(shù)不一定是24的倍數(shù)，例如12，所以是的真子集，對(duì)比選項(xiàng)可知B正確，ACD錯(cuò)誤.故選：B.3.已知，則的最小值為（）A.8 B.10 C.12 D.14〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，即的最小值為12，故選：C4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在其定義域上是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，易知函數(shù)的定義域?yàn)?，又在上恒成立，得到的減區(qū)間為，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，由，得到，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為奇函數(shù)，又，得到在區(qū)間上恒成立，即在其定義域上是增函數(shù)，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不具有奇偶性，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由性質(zhì)知，在其定義域上不具有單調(diào)性，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：B.5.設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗，故，故選：C6.已知函數(shù)則下列說法正確的是（）A.是上的增函數(shù) B.的值域?yàn)镃.單調(diào)遞減 D.若關(guān)于的方程恰有一個(gè)實(shí)根，則〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋鋱D象如圖所示，對(duì)于選項(xiàng)A，由圖知，時(shí)，，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，由圖知，當(dāng)時(shí)，，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，由圖知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，由，得到，令，，因?yàn)殛P(guān)于的方程恰有一個(gè)實(shí)根，所以與的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，由圖知，故選：D.7.若，，，則正數(shù)大小關(guān)系是（

）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，則為與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，則為與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，即，則為與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出，，，的圖象如下所示，由圖可知，.故選：B8.已知，，則的值為（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗由，得到，令，得到所以為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，得到，所以為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，又與互為反函數(shù)，故它們的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，又關(guān)于對(duì)稱，由，得到，所以，得到，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，滿分18分.每小題給出的備選〖答案〗中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題意的．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，選錯(cuò)或不選得0分．9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)?，所以錯(cuò)誤；因?yàn)椋哉_；因?yàn)?，所以錯(cuò)誤；因?yàn)椋訢正確.故選：BD10.已知函數(shù)，的定義域均為，函數(shù)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的一個(gè)周期是B.函數(shù)的一個(gè)周期是C.若，則D.若當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，令，得到，即有，故可得，又為偶函數(shù)，所以，即有，所以，得到，所以，即函數(shù)的一個(gè)周期是，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，又，所以，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期是，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A和B知，，又，，所以，故選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，所以選項(xiàng)D正確，故選：BCD.11.已知數(shù)列滿足，，則（）A.是遞減數(shù)列 B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A：易知，否則與矛盾，由，得，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由選項(xiàng)A的判斷知，所以，由，得，所以，，即，故B正確；對(duì)于C：由，得，則所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由，得，即，所以，，故D正確.故選：BD第Ⅱ卷主觀題三、填空題：本題共3小題，每小題5分，滿分15分．12若，則__________.〖答案〗1〖解析〗因?yàn)?，所以，所?故〖答案〗為：1.13.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則________〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以函?shù)的周期，所以，又為偶函數(shù)，所以，所以.故〖答案〗為：.14.已知集合，A是M的子集，當(dāng)時(shí)，，則集合A元素個(gè)數(shù)的最大值為_______．〖答案〗1895〖解析〗先構(gòu)造抽屜：．使前100個(gè)抽屜中恰均只有2個(gè)數(shù)，且只有1個(gè)數(shù)屬于A，可從集合M中去掉前100個(gè)抽屜中的數(shù)，剩下個(gè)數(shù)，作為第101個(gè)抽屜．現(xiàn)從第1至100個(gè)抽屜中取較大的數(shù)，和第101個(gè)抽屜中的數(shù)，組成集合A，于是，滿足A包含于M，且當(dāng)時(shí)，．所以的最大值為．故〖答案〗為：1895.四、解答題：本題共5小題，滿分77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、計(jì)算過程、證明過程.15.已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由已知有，即，解得（舍），，；（2），.16.已知函數(shù)．（1）若，求在上的最值；（2）若在R上單調(diào)遞減，求a的值．解：由時(shí)，可得，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又由，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.（2）由函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，則滿足，整理得且，解得.17.醫(yī)生將一瓶含量的A藥在內(nèi)勻速注射到患者的血液中稱為A藥的一次注射．在注射期間，患者血液中A藥的注入量與注射用時(shí)的關(guān)系是，當(dāng)時(shí)，血液中的A藥注入量達(dá)到，此后，注入血液中的A藥以每小時(shí)的速度減少．（1）求k的值；（2）患者完成A藥的首次注射后，血液中A藥含量不低于的時(shí)間可以維持多少h？（精確到0.1）（3）患者首次注射后，血液中A藥含量減少到時(shí)，立即進(jìn)行第二次注射，首次注射的A藥剩余量繼續(xù)以每小時(shí)的速度減少，已知注射期間能保持患者血液中的A藥含量不低于，那么，經(jīng)過兩次注射，患者血液中A藥的含量不低于的時(shí)間是否可以維持？（參考數(shù)據(jù)：，，）解：（1）依題意，，解得，所以k的值為.（2）血液中的A藥含量達(dá)到后，經(jīng)過x小時(shí)患者血液中A藥含量為．由，得，兩邊取對(duì)數(shù)得：，解得，所以患者完成A藥的首次注射后，血液中A藥含量不低于的時(shí)間可以維持.（3）設(shè)第一次注射開始后經(jīng)過患者血液中A藥的含量為，即，記第二次注射完成后患者血液中A藥的含量為，其中為第一次注射開始后經(jīng)過的時(shí)間，則，由，得，即，兩邊取對(duì)數(shù)得：，解得，又，所以經(jīng)過兩次注射后，患者血液中A藥的含量不低于的時(shí)間可以維持．18.對(duì)任意正整數(shù)，定義的豐度指數(shù)，其中為的所有正因數(shù)的和．（1）求的值：（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和（3）對(duì)互不相等的質(zhì)數(shù)，證明：，并求的值．解：（1）因?yàn)榈乃姓驍?shù)為，所以，得到.（2）因?yàn)楣灿袀€(gè)正因數(shù)，它們?yōu)?，所以，得到，所以，令①，則②，由①②得到，所以，故.（3）因?yàn)槭腔ゲ幌嗟鹊馁|(zhì)數(shù)，則的正因數(shù)有個(gè)，它們是，的正因數(shù)均為個(gè)，分別為和，的正因數(shù)有個(gè)，分別為，所以，，因?yàn)?，所?19.已知函數(shù)在上的極小值點(diǎn)從小到大排列成數(shù)列，函數(shù)．（1）求在處切線方程；（2）求的通項(xiàng)公式；（3）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．解：（1）因?yàn)椋?，得到，又，所以在處的切線方程為.（2）因?yàn)?，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，在上遞減，在上遞增，又，，，，這里，結(jié)合的單調(diào)性知，當(dāng)時(shí)，，對(duì)，存在唯一的，使得，且在上取正值，在上取負(fù)值，對(duì)，存在唯一的，使得，且在上取負(fù)值，在上取正值，這表明對(duì)，在和上遞增，在和上遞增，從而上遞增，在和上遞減，從而，在上遞增，在上遞減，在上遞增，且，將以上討論與結(jié)合，即可得到在上全部的極小值點(diǎn)就是，且是遞增數(shù)列，所以，又注意到，，結(jié)合的定義，知一定有，所以的通項(xiàng)公式為.（3）由已知有，而，故，設(shè)，則我們只需要討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，又，令，則，由零點(diǎn)存在定理知存在唯一的，使得，故當(dāng)時(shí)，有，從而，當(dāng)，有，從而，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，則存在唯一的，使得，且當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在或上遞增，在上遞減，又，當(dāng)時(shí)，由于，，故，又因?yàn)?，所以根?jù)的定義可知此時(shí)，故在上遞增，在上遞減，再由，可知當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，