《數(shù)字信號(hào)處理-理論與實(shí)踐》課件第2章

第2章模擬信號(hào)的數(shù)字化2.1采樣2.2頻帶受限信號(hào)的無(wú)失真采樣2.3奈奎斯特采樣定理

2.4帶通信號(hào)采樣定理

2.5采樣信號(hào)的內(nèi)插

2.6量化2.7采樣和量化的工程實(shí)現(xiàn)

2.8

MATLAB實(shí)現(xiàn)習(xí)題

2.1采樣

首先請(qǐng)讀者思考兩個(gè)問(wèn)題：

1）從時(shí)間軸上看，模擬信號(hào)經(jīng)采樣后顯然會(huì)丟失大量時(shí)間點(diǎn)上的信號(hào)。那么，用采樣后的信號(hào)是否能完全表征原來(lái)的模擬信號(hào)？換言之，我們能否由采樣信號(hào)完全恢復(fù)出原始的模擬信號(hào)？

2）模擬信號(hào)幅度的量化同樣會(huì)導(dǎo)致原模擬信號(hào)在幅度上的損失，我們?nèi)绾伪M量減小這些損失，并使得這些損失能在我們可接受的范圍之內(nèi)呢？首先，讓我們看兩個(gè)簡(jiǎn)單的模擬信號(hào)采樣的例子。

例2-1對(duì)于一條連續(xù)的有無(wú)窮多點(diǎn)的直線信號(hào)，回答兩個(gè)問(wèn)題：

(1)是否可以通過(guò)有限的采樣點(diǎn)表征原直線信號(hào)？

(2)如果可以,如何采樣?

解一條直線可由任意不同的兩點(diǎn)完全確定，因此可以通過(guò)兩個(gè)不同的采樣點(diǎn)表征原直線信號(hào)。采樣時(shí)，隨機(jī)采集兩個(gè)不同的樣點(diǎn)即可，如圖2-1所示。圖2-1直線信號(hào)的采樣例2-2對(duì)于一個(gè)有無(wú)窮多點(diǎn)的圓周信號(hào)，回答兩個(gè)問(wèn)題：(1)是否可以利用有限的采樣點(diǎn)表征原圓周信號(hào)？

(2)如果可以,如何采樣?圖2-2圓周信號(hào)的采樣解(1)根據(jù)三個(gè)不同的點(diǎn)可以確定一個(gè)圓的原理，可以利用三個(gè)不同的采樣點(diǎn)來(lái)表征原圓周信號(hào)。

(2)采樣時(shí)，在圓上隨機(jī)采集三個(gè)不同的樣點(diǎn)即可，方法如圖2-2所示。

從上述兩個(gè)特例我們可以得出如下重要的啟示：當(dāng)對(duì)模擬信號(hào)加以某些限制時(shí)，我們就有可能用離散信號(hào)來(lái)表征原始的模擬信號(hào)。

例2-1的限制是信號(hào)為直線，也就是一次多項(xiàng)式；例2-2的限制是信號(hào)為圓周，也就是二次多項(xiàng)式。事實(shí)上，我們知道，對(duì)于任意n次多項(xiàng)式表示的模擬曲線信號(hào)，我們只需隨機(jī)采集n+1個(gè)不同的樣點(diǎn)即可完全表征原始的模擬曲線信號(hào)。2.1.1模擬信號(hào)的特性限制

我們先直觀分析一下能夠?qū)Σ▌?dòng)信號(hào)的哪些要素加以限制。以音樂(lè)會(huì)為例，坐在前排和后排的聽(tīng)眾感覺(jué)到的音樂(lè)是相同的，但是我們知道，到達(dá)前排和后排的音樂(lè)信號(hào)的音量（振幅）和到達(dá)的時(shí)間先后（相位）是不同的，也就是說(shuō)，不同范圍的振幅和相位并沒(méi)有影響聽(tīng)眾欣賞音樂(lè)。這個(gè)現(xiàn)象意味著：如果我們要對(duì)波動(dòng)信號(hào)的要素加以限制，振幅和相位范圍一定不是要加以限制的主要要素。如果要對(duì)信號(hào)的特性加以限制，最合理的做法是對(duì)信號(hào)的頻率范圍加以限制。事實(shí)表明，對(duì)待處理的模擬信號(hào)的頻率范圍加以限制是合理的。仍以音樂(lè)信號(hào)為例，大提琴和小提琴的基本形狀和發(fā)聲原理都是一樣的，但是聽(tīng)起來(lái)卻不同，這主要是因?yàn)榇筇崆俸托√崆佼a(chǎn)生聲音的振動(dòng)弦長(zhǎng)和共鳴腔大小是不同的，導(dǎo)致產(chǎn)生的樂(lè)聲的頻率范圍不同，所以?xún)烧咭羯煌?。?duì)不同的信號(hào)，的確具有不同的頻率范圍。如人耳能聽(tīng)到的音頻信號(hào)的頻率范圍為20Hz~20kHz；20kHz以上為超聲，20Hz以下為次聲，超聲和次聲都是人耳聽(tīng)不到的。事實(shí)上，不僅聲音信號(hào)，其他信號(hào)如無(wú)線電波、光、量子射線等，均具有不同的頻率范圍限制。由此我們可以得出如下結(jié)論：對(duì)模擬信號(hào)合理的限制是限制其頻率范圍。那么，對(duì)于一個(gè)頻率范圍受限的模擬信號(hào)，能否用離散的采樣信號(hào)來(lái)完全表征呢？2.1.2采樣信號(hào)的時(shí)頻特性

用離散的采樣信號(hào)完全表征原始的模擬信號(hào)，意味著在時(shí)間上原始模擬信號(hào)的連續(xù)時(shí)域波形可以由離散信號(hào)無(wú)失真地恢復(fù)，或等價(jià)地，原始模擬信號(hào)的連續(xù)頻譜可以由離散信號(hào)的頻譜無(wú)失真地恢復(fù)。既然是對(duì)模擬信號(hào)的頻率范圍進(jìn)行限制，我們就從頻域的角度來(lái)分析模擬信號(hào)的無(wú)失真采樣問(wèn)題。

假定圖2-3的(a)、(b)分別是原始模擬信號(hào)與其采樣后的信號(hào)的時(shí)域波形，圖2-3(a1)是原始信號(hào)的頻譜。問(wèn)：圖2-3中的(b1)、(b2)、(b3)哪個(gè)圖對(duì)應(yīng)于采樣信號(hào)的頻譜呢？其中fm表示原始信號(hào)的最大頻率,fs表示采樣周期頻率。圖2-3原始信號(hào)和采樣信號(hào)的時(shí)域波形和頻譜圖為了加深讀者的印象，在這里我們給出另外一條定性的思路來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題。必須牢記：信號(hào)在時(shí)域上和頻域上往往具有相反的特性，服從著名的測(cè)不準(zhǔn)原理:Δt·Δω≥1/2。測(cè)不準(zhǔn)原理定性的解釋是：如果信號(hào)在時(shí)域上具有“窄”的特性，則在頻域上一定具有“寬”的特性。從時(shí)域上看，采樣信號(hào)只保留了原始模擬信號(hào)在采樣點(diǎn)處的信號(hào)，把其他位置的信號(hào)完全舍棄。每個(gè)采樣點(diǎn)信號(hào)在時(shí)域上具有“無(wú)窮窄”的分布特性，因此在頻域上必然相反，采樣信號(hào)的頻譜具有“無(wú)窮寬”的分布特性。圖2-3(b1)、(b2)、(b3)中只有圖2-3(b3)滿足這一特性。因此，圖2-3(b3)對(duì)應(yīng)于采樣信號(hào)的頻譜。定性上，頻帶受限模擬信號(hào)和其采樣后的信號(hào)具有不同的時(shí)—頻特性，表現(xiàn)方式如下：

模擬信號(hào)：時(shí)域無(wú)限（連續(xù)時(shí)間），頻域的頻帶受限；采樣信號(hào)：時(shí)域受限（離散樣點(diǎn)），頻域無(wú)限（頻帶周期無(wú)限重復(fù)）。

下面我們討論如何對(duì)頻帶受限模擬信號(hào)進(jìn)行無(wú)失真采樣。2.2頻帶受限信號(hào)的無(wú)失真采樣

2.2.1理想采樣

設(shè)xa(t)是一個(gè)連續(xù)時(shí)間模擬信號(hào)，假定對(duì)其進(jìn)行理想采樣，在t=nTs時(shí)采樣得到的信號(hào)用表示，Ts是采樣周期，n取整數(shù)。

數(shù)學(xué)上，可以把采樣過(guò)程描述為連續(xù)時(shí)間信號(hào)xa(t)和一個(gè)由周期為T(mén)s的理想沖激函數(shù)δ(t)組成的周期沖激序列p(t)的乘積。這樣就可將理想采樣表示為(2.2-1)式中，p(t)為(2.2-2)注意，這里的采樣信號(hào)只是時(shí)間離散信號(hào)，其幅度還是連續(xù)的。所以信號(hào)還要經(jīng)過(guò)幅度量化編碼后才能成為數(shù)字信號(hào)。2.2.2理想采樣信號(hào)的頻譜

下面討論理想采樣信號(hào)與模擬信號(hào)xa(t)的頻譜之間的關(guān)系。記式(2.2-1)中各信號(hào)的傅里葉變換分別如下式(2.2-2)中周期沖激序列p(t)的傅里葉變換為(2.2-3)式中，Ωs=2π/Ts，稱(chēng)為采樣角頻率，單位為弧度/秒。根據(jù)傅里葉變換的卷積定理性質(zhì)：兩信號(hào)在時(shí)域相乘的傅里葉變換等于兩信號(hào)分別的傅里葉變換的卷積，利用式(2.2-1)可得出理想采樣信號(hào)的傅里葉變換為(2.2-4)式（2.2-4）表明，連續(xù)時(shí)間信號(hào)經(jīng)過(guò)理想采樣后，采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜Xa(jΩ)沿頻率軸每間隔采樣角頻率Ωs一次，或者說(shuō)采樣信號(hào)的頻譜是原模擬信號(hào)的頻譜Xa(jΩ)以Ωs為周期的周期擴(kuò)展，把這稱(chēng)為頻譜的周期延拓。也就是說(shuō)，采樣信號(hào)的頻譜包括原信號(hào)的頻譜和無(wú)限多個(gè)經(jīng)過(guò)平移的原信號(hào)頻譜，這些頻譜都乘以系數(shù)1/Ts，如圖2-4所示。

設(shè)原帶限信號(hào)xa(t)的最高角頻率為Ωc，其頻譜如圖2-4(a)所示，稱(chēng)為基帶頻譜。采樣信號(hào)的頻譜和采樣頻率之間存在怎樣的關(guān)系呢？什么時(shí)候采樣信號(hào)能夠完全不失真地恢復(fù)出原始信號(hào)呢？圖2-4采樣信號(hào)的頻譜由圖2-4可以看出:

(1)當(dāng)Ωs－Ωc>Ωc，即Ωs>2Ωc時(shí)，的周期延拓部分不會(huì)重疊，如圖2-4（b）所示。此時(shí)，在每個(gè)整數(shù)倍的Ωs上，仍保持一個(gè)與Xa(jΩ)完全一樣的副本（附加一個(gè)幅度因子1/Ts）。這樣，Xa(jΩ)就可以用一個(gè)理想低通濾波器從中恢復(fù)出來(lái)。

(2)當(dāng)Ωs－Ωc≤Ωc，即Ωs≤2Ωc時(shí)，的周期延拓部分會(huì)互相重疊，重疊部分的頻率成分的幅值與原信號(hào)的不同，這種現(xiàn)象稱(chēng)為混疊現(xiàn)象，如圖2-4(c)所示。這時(shí)，Xa(jΩ)就不能用理想低通濾波器從中恢復(fù)出來(lái)。由上述分析可知：

（1）模擬帶限信號(hào)經(jīng)理想采樣后信號(hào)的頻譜是原信號(hào)基帶頻譜的周期延拓，周期為Ωs，但頻譜的幅度有1/Ts的加權(quán)。因此除了幅度的區(qū)別外，每一個(gè)延拓的譜分量都和原基帶頻譜分量相同。

（2）對(duì)模擬帶限信號(hào)，其采樣信號(hào)的頻譜可能會(huì)發(fā)生混疊現(xiàn)象。如果原信號(hào)不是帶限信號(hào)，則混疊必然存在。

（3）對(duì)模擬帶限信號(hào)，只有在其采樣信號(hào)的頻譜不發(fā)生混疊時(shí)，才能夠從采樣信號(hào)頻譜中恢復(fù)原信號(hào)的頻譜。

由此引入了著名的奈奎斯特(Nyquist)采樣定理。2.3奈奎斯特采樣定理

奈奎斯特采樣定理：設(shè)模擬信號(hào)xa(t)是頻帶有限的信號(hào)，其信號(hào)譜的最高頻率為fc，則當(dāng)采樣頻率fs>2fc時(shí)，可由采樣信號(hào)完全不失真地還原出原信號(hào)xa(t)。

思考：當(dāng)采樣頻率fs>2fc時(shí)，從上節(jié)分析知，采樣信號(hào)的基帶頻譜的平移不會(huì)發(fā)生混疊。那么當(dāng)采樣頻率fs=2fc時(shí)，是不是也不會(huì)造成混疊呢？下面我們看一個(gè)例子。如圖2-5(a)所示，連續(xù)信號(hào)為，信號(hào)的最高頻率fc=f0，對(duì)其以頻率fs=2f0進(jìn)行采樣，采樣信號(hào)如圖2-5(b)所示，這時(shí)采樣的結(jié)果均為零值。顯然，由完全為零值的采樣信號(hào)是根本恢復(fù)不出原始信號(hào)的。因此，采樣頻率必須大于2fc才能保證由采樣信號(hào)無(wú)失真地恢復(fù)出原模擬信號(hào)。采樣頻率小于2fc的采樣通常稱(chēng)為欠采樣。一般情況下，欠采樣是不能由采樣信號(hào)無(wú)失真地恢復(fù)出原模擬信號(hào)的。圖2-5fs=2fc的采樣2.4帶通信號(hào)采樣定理

若模擬信號(hào)xa(t)的頻譜Xa(jΩ)是一窄帶信號(hào)，即信號(hào)的

頻譜范圍位于最高角頻率Ωh（或頻率fh）和最低角頻率Ωl（或頻率fl）之間，如圖2-6(a)所示，則把這樣的信號(hào)稱(chēng)為帶通信號(hào)。

思考：要從采樣信號(hào)中無(wú)失真地恢復(fù)出帶通信號(hào)，對(duì)信號(hào)的采樣頻率是否必須滿足Ωs>2Ωh?

圖2-6窄帶信號(hào)的采樣頻譜信號(hào)時(shí)域采樣造成信號(hào)基帶頻譜在頻域上的周期延拓，只要我們能保證采樣后信號(hào)的基帶頻譜在頻域的周期延拓不發(fā)生混疊，就可以恢復(fù)出原信號(hào)。原信號(hào)為實(shí)信號(hào)時(shí)，信號(hào)傅里葉變換的頻譜關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)，如圖2-6(a)所示。采樣后信號(hào)頻譜在±nfs上周期延拓，負(fù)半軸的頻譜經(jīng)延拓后，有可能與正半軸的頻譜發(fā)生混疊（或反之），這種情況是我們要避免的。若原信號(hào)的負(fù)半軸頻譜經(jīng)過(guò)(n－1)fs以及nfs延拓后靠近原信號(hào)頻譜的正半軸頻譜，則只有當(dāng)這兩個(gè)延拓部分分別位于原信號(hào)正半軸頻譜的兩邊且與原信號(hào)頻譜不相交（如圖2-6(b)所示）時(shí)，才能夠保證不發(fā)生混疊現(xiàn)象。因此不發(fā)生混疊的條件為－fl+(n－1)fs<fl

(2.4-1)

－fh+nfs>fh

(2.4-2)

由式(2.4-1)及式(2.4-2)可得(2.4-3)即(2.4-4)由此不難得出，n必須滿足(2.4-5)式(2.4-5)中，B=fh－fl，通常稱(chēng)為信號(hào)帶寬。由于n為整數(shù)，式(2.4-5)表明，n的最大取值如下(2.4-6)其中int(·)為取整函數(shù)。將n的最大值代入式(2.4-3)，可得出最小采樣頻率fs滿足(2.4-7)即只要采樣頻率fs滿足，就可以由采樣信號(hào)無(wú)失真地恢復(fù)出原帶通信號(hào)。

討論：

（1）若fh是帶寬B的整數(shù)倍，即，將此m值代入式(2.4-7)，可知

，即最低采樣頻率大于信號(hào)帶寬的兩倍。這意味著當(dāng)帶通信號(hào)的最大頻率fh很高而帶寬B很小時(shí)，采樣頻率fs只需滿足fs>2B即可，即fs遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于奈奎斯特采樣定理要求的2fh，大大降低了對(duì)采樣頻率的要求。這在實(shí)際情況中就意味著降低了采樣系統(tǒng)的成本。

(2)當(dāng)m=1時(shí)，式(2.4-7)表明fs的最小值要大于2fh才不會(huì)混疊，此時(shí)正好對(duì)應(yīng)奈奎斯特采樣定理。

由此我們得出帶通型信號(hào)的采樣定理:

對(duì)于頻譜范圍fl≤f≤fh(其中fl>0)的帶通型信號(hào)，當(dāng)采樣頻率滿足時(shí)，能保證信號(hào)采樣后不發(fā)生混疊。其中，fl為信號(hào)的最低頻率，

fh為信號(hào)的最高頻率，m為不超過(guò)fh/B的最大整數(shù)，B=fh－fl為信號(hào)帶寬。

實(shí)際中遇到的許多信號(hào)都是帶通信號(hào)。例如，一個(gè)蜂窩電話在900MHz頻段上占30kHz帶寬，根據(jù)以上推導(dǎo)，如果在采樣前對(duì)信號(hào)進(jìn)行窄帶帶通濾波，只需要比60kHz略高的采樣頻率而非1.8GHz，就可以恢復(fù)信號(hào)。窄帶信號(hào)的采樣與恢復(fù)過(guò)程如圖2-7所示。有兩種采樣方式:圖2-7(a)是對(duì)窄帶信號(hào)直接采樣，按照帶通型采樣定理確定采樣的最低頻率；圖2-7(b)是先對(duì)窄帶信號(hào)進(jìn)行頻域的頻移處理，把信號(hào)變換為基帶信號(hào)，然后利用奈奎斯特采樣定理確定采樣的最低頻率，對(duì)窄帶信號(hào)進(jìn)行采樣，這是一種間接方式。由于采樣方式的不同，信號(hào)重建過(guò)程中采用的濾波器也不相同。關(guān)于信號(hào)的內(nèi)插恢復(fù)原理就是下節(jié)要講的內(nèi)容。圖2-7窄帶信號(hào)的處理過(guò)程

2.5采樣信號(hào)的內(nèi)插

前面已經(jīng)指出，如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即采樣頻率大于模擬信號(hào)最高頻率的兩倍，采樣信號(hào)的頻譜就不會(huì)發(fā)生混疊，且采樣信號(hào)的頻譜與模擬信號(hào)xa(t)的頻譜之間具有如下關(guān)系(2.5-1)(2.5-2)故將采樣信號(hào)通過(guò)頻率特性為(2.5-3)的理想低通濾波器就可濾出原始模擬信號(hào)的頻譜，即(2.5-4)因此，在該濾波器的輸出端就能得到原始模擬信號(hào)

ya(t)=xa(t)(2.5-5)從而完成信號(hào)的恢復(fù)，通常把這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為信號(hào)的恢復(fù)或重建。下面討論如何由采樣值恢復(fù)原始模擬信號(hào)xa(t)，即信號(hào)恢復(fù)的時(shí)域描述。式(2.5-3)的理想低通濾波器的沖擊響應(yīng)為(2.5-6)由于

，因此理想低通濾波器的輸出ya(t)為(2.5-7)式(2.5-7)中的h(t－nTs)稱(chēng)為內(nèi)插函數(shù)，即(2.5-8)

h(t－nTs)的特點(diǎn)為：在采樣點(diǎn)nTs上，函數(shù)值為1，而在其余采樣點(diǎn)上，函數(shù)值為0。它的波形如圖2-8所示。式(2.5-7)就稱(chēng)為內(nèi)插公式，它表明只要采樣頻率高于兩倍信號(hào)的最高頻率，模擬信號(hào)就可以由它的采樣值代替，而不會(huì)丟掉任何信息，即模擬信號(hào)完全可以由它的采樣值來(lái)表述。注意，在內(nèi)插公式中的每一個(gè)采樣點(diǎn)上，只有該采樣值所對(duì)應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)為1，從而保證了重建信號(hào)在各采樣點(diǎn)上信號(hào)值不變，而采樣點(diǎn)之間的信號(hào)值則是由所有采樣值對(duì)應(yīng)的內(nèi)插函數(shù)的波形延伸疊加而成的，這實(shí)際上是不可能實(shí)現(xiàn)的，原因在于理想低通濾波器的沖擊響應(yīng)是非因果的，所以這里的內(nèi)插公式只具有理論意義。圖2-8內(nèi)插函數(shù)2.6量化

如圖2-9所示，模擬信號(hào)進(jìn)行采樣以后，其采樣值還是隨信號(hào)幅度連續(xù)地變化，即采樣值可以取無(wú)窮多個(gè)可能值。如果用b位二進(jìn)制數(shù)字信號(hào)來(lái)代表該樣值的大小，以進(jìn)行數(shù)字處理，那么b位二進(jìn)制信號(hào)只能同M=2b個(gè)電平樣值相對(duì)應(yīng)，而不能同無(wú)窮多個(gè)電平值相對(duì)應(yīng)。這樣一來(lái)，采樣值必須劃分成M個(gè)離散電平，此電平被稱(chēng)做量化電平。b稱(chēng)為量化比特，b越高，量化精度越高，但是由于數(shù)據(jù)的增加，實(shí)際處理難度也隨之增加。圖2-9量化示意圖信號(hào)的采樣是對(duì)時(shí)間進(jìn)行數(shù)字化,在采樣滿足一定條件下由采樣信號(hào)可以無(wú)失真地恢復(fù)原始信號(hào)；信號(hào)的量化是在幅度上對(duì)采樣信號(hào)進(jìn)行數(shù)字化，從而把信號(hào)幅度的任意取值轉(zhuǎn)換為有限值表示。因此，信號(hào)量化過(guò)程中引入的量化誤差，造成量化信號(hào)無(wú)法無(wú)失真地恢復(fù)采樣信號(hào)。

量化過(guò)程是模擬信號(hào)數(shù)字化處理的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，量化器的性能直接影響量化后數(shù)字信號(hào)的處理結(jié)果，且與量化的方法有關(guān)。量化方法通常有均勻量化和非均勻量化，不同的量化方法用量化誤差來(lái)衡量其性能。下面我們?cè)谑紫扔懻摿炕鞯哪Ｐ突A(chǔ)上，講述量化器的性能、常用的均勻量化方法和有關(guān)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題。2.6.1量化器的模型

量化是把信號(hào)在幅度域上的連續(xù)取值變換為幅度域上的離散取值的過(guò)程。量化過(guò)程是一個(gè)近似表示的過(guò)程，即把允許在無(wú)限多個(gè)數(shù)值中取值的模擬信號(hào)轉(zhuǎn)化為僅在有限個(gè)數(shù)值中取值的離散信號(hào)的近似過(guò)程。從信號(hào)數(shù)據(jù)取值的變化上看，量化器是把信號(hào)的變化從無(wú)限狀態(tài)轉(zhuǎn)換為有限狀態(tài)的過(guò)程。量化器的數(shù)學(xué)模型如圖2-10所示，圖中采樣后的信號(hào)經(jīng)過(guò)量化后輸出為yn，信號(hào)yn就是時(shí)間和幅度均離散的信號(hào)，即第3章討論的序列信號(hào)。圖2-10量化器的數(shù)學(xué)模型若信號(hào)x量化后形成的離散點(diǎn)用集合C={y1,y2,…,yM}表示，且滿足{y1<y2<…<yM}；采樣信號(hào)x的最大取值范圍為區(qū)間R=［xmin,xmax］，且

－∞≤xmin<xmax≤∞，則M點(diǎn)的量化就相當(dāng)于把區(qū)間［xmin,xmax］劃分為M個(gè)區(qū)段Ri，且Ri=(mi－1,mi］，i=1,2,…,M－1,M,即

Ri

為半開(kāi)半閉區(qū)間。顯然，區(qū)間的劃分要滿足

∪iRi=R,Ri∩Rj=(i≠j)(2.6-1)

不同的分段方法及采樣信號(hào)的樣值大小決定了量化器的輸出，因此我們采用記號(hào)Q={(yi,Ri),i=1,2,…,M}來(lái)表示這種

關(guān)系。一個(gè)正規(guī)的量化器還應(yīng)滿足如下條件:

（1）每個(gè)分段Ri都是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間，可以是開(kāi)的或半開(kāi)半閉的；

（2）每個(gè)區(qū)間上的量化值yi∈Ri=(mi－1,mi］。

我們把每個(gè)分段的邊界點(diǎn)mi稱(chēng)為分層電平或判決點(diǎn)。正規(guī)量化器的分層電平mi及量化輸出yi滿足如下關(guān)系

xmin=m0<y1<m1<y2<m2<…<yM<mM=xmax

（2.6-2）

圖2-11表示了這種關(guān)系。圖中的階梯曲線是量化的典型曲線，當(dāng)輸入信號(hào)在區(qū)間(mi－1,mi］內(nèi)時(shí)，量化輸出為yi，并且yi∈Ri=(mi－1,mi］。圖2-11正規(guī)量化器的典型量化曲線圖2.6.2量化器的性能

量化器的功能就是將輸入信號(hào)采樣值用有限精度的離散值來(lái)代替，因此不可避免地要引起信號(hào)失真。因?yàn)橐话懔炕瘶颖緔不同于樣本的真值x，量化是將一個(gè)區(qū)間上的所有數(shù)值近似用一個(gè)數(shù)代替，所以量化會(huì)引起量化誤差。由于這種誤差的影響相當(dāng)于干擾或噪聲，故又稱(chēng)為量化噪聲。

1.絕對(duì)誤差

測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量(約定)真值之差的絕對(duì)值稱(chēng)為絕對(duì)誤差。若用Q(x)表示量化后的數(shù)值，x表示它的精確數(shù)值，則絕對(duì)誤差就是|x－Q(x)|。量化器的性能還可以用失真度來(lái)衡量。最常用的失真測(cè)度是平方誤差，定義為

d(x,Q(x))=|x－Q(x)|2(2.6-3)

更為一般的失真測(cè)度是乘冪誤差，定義如下

dm(x,Q(x))=|x－Q(x)|m(2.6-4)

其中，m=1時(shí)式(2.6-4)即為絕對(duì)誤差，m=2時(shí)式(2.6-4)即為式(2.6-3)的平方誤差，這兩種情形應(yīng)用得最為廣泛。

通常輸入信號(hào)是一個(gè)隨機(jī)變量，相應(yīng)地每個(gè)輸入值的量化誤差也是一個(gè)隨機(jī)變量。量化器的性能指標(biāo)應(yīng)是描述所有輸入值的量化誤差引起的總的失真效應(yīng)，因此常采用統(tǒng)計(jì)平均的方法來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題。假設(shè)輸入信號(hào)用隨機(jī)過(guò)程X描述，其概率密度函數(shù)為p(x)，則輸入信號(hào)的量化誤差的數(shù)學(xué)期望為(2.6-5)式中的yi為區(qū)間Ri上的量化值，此時(shí)的性能測(cè)度又稱(chēng)為均方誤差，可寫(xiě)為(2.6-6)

2.相對(duì)誤差

測(cè)量的絕對(duì)誤差與被測(cè)量(約定)真值之比稱(chēng)為相對(duì)誤差。用Q(x)表示量化后的數(shù)值，x表示它的精確數(shù)值，即量化前的采樣信號(hào)值，則相對(duì)誤差就是|x－Q(x)|/x。信噪比是另一個(gè)常用的量化器性能測(cè)度，定義為(2.6-7)式中,E［(X－E(X))2］是信號(hào)方差，D是均方誤差，SNR的單位是分貝（dB）。式(2.6-7)也可寫(xiě)成(2.6-8)式中，σ2x為信號(hào)功率，σ2e=D為噪聲功率?？梢?jiàn)，SNR也是一種相對(duì)失真測(cè)度，它在實(shí)際應(yīng)用中更有意義。2.6.3均勻量化把輸入信號(hào)的取值域按等距離分割的量化稱(chēng)為均勻量化。

1.均勻量化的量化電平設(shè)采樣信號(hào)x∈Ri=(mi－1,mi］，信號(hào)x的概率密度函數(shù)為p(x)，則量化輸出為yi時(shí)的量化噪聲為為了使量化噪聲最小，令，得(2.6-9)進(jìn)一步，有(2.6-10)式(2.6-10)意味著，量化輸出yi應(yīng)是每個(gè)量化間隔的重心位置。若輸入信號(hào)x是均勻分布的，則根據(jù)式(2.6-10)，有(2.6-11)式(2.6-11)表明：輸入采樣信號(hào)均勻分布時(shí)，要使量化噪聲最小，則最佳量化值就是取各個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)。通常把每個(gè)量化值稱(chēng)為量化電平。

2.均勻量化的量化噪聲

均勻量化器是一個(gè)正規(guī)量化器。當(dāng)輸入信號(hào)位于區(qū)間

［a,b］的有界范圍內(nèi)，即xmin=a,xmax=b,區(qū)間大小為B=b－a時(shí)，假定信號(hào)量化電平數(shù)為M，則每個(gè)量化區(qū)間的長(zhǎng)度為Δ=B/M。所以，信號(hào)的概率密度函數(shù)為p(x)=1/B，信號(hào)的平均量化誤差為(2.6-12)將式(2.6-11)代入式(2.6-12)，可得D1=0，即均勻量化的平均量化誤差等于零。在均勻量化時(shí)的量化噪聲功率為(2.6-13)若量化電平M用b位的二進(jìn)制數(shù)表示，即M=2b，則有(2.6-14)由式(2.6-14)可見(jiàn)，在用二進(jìn)制數(shù)表示量化電平時(shí)，若量化樣本的字長(zhǎng)增加一位，則量化噪聲功率降低為原來(lái)的1/4，因此在信號(hào)功率相同的情況下，量化器的信號(hào)功率與量化噪聲功率的比值（稱(chēng)為量噪比）提高6dB。所以在實(shí)際應(yīng)用中，為了降低量化誤差的影響，通常選用高位的A/D轉(zhuǎn)換器。上述均勻量化的主要缺點(diǎn)是，無(wú)論采樣值大小如何，量化噪聲的均方根值，即噪聲功率都固定不變。因此，當(dāng)信號(hào)較弱時(shí)，信號(hào)的量噪比就很小。通常，把滿足量噪比要求的輸入信號(hào)取值范圍定義為信號(hào)的動(dòng)態(tài)范圍?？梢?jiàn)，均勻量化的信號(hào)動(dòng)態(tài)范圍將受到極大的限制。為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，實(shí)際中常常采用非均勻量化。

例2-3（量化效應(yīng)）在－2V和2V之間變化的采樣信號(hào)用b位量化。b取何值時(shí)可以保證量化誤差的均方根小于5mV?

解信號(hào)的動(dòng)態(tài)范圍是

B=2－(－2)=4V由式(2.6-13)可得信號(hào)量化的均方根誤差σ為若σ=0.005V，則由式(2.6-14)可得到

b=7.85對(duì)結(jié)果取整，得b=8。所以b至少為8時(shí)，量化器的量化誤差才滿足要求。2.7采樣和量化的工程實(shí)現(xiàn)

在諸如數(shù)字計(jì)算機(jī)和其他一些數(shù)字系統(tǒng)中，離散時(shí)間信號(hào)是以數(shù)字的形式給出的。用于實(shí)現(xiàn)A/D轉(zhuǎn)換的器件就稱(chēng)為模擬/數(shù)字(A/D)轉(zhuǎn)換器，它集成了采樣、量化和編碼，可以把模擬信號(hào)轉(zhuǎn)化為數(shù)字信號(hào)；而實(shí)現(xiàn)D/A轉(zhuǎn)換的器件就稱(chēng)為數(shù)字/模擬(D/A)轉(zhuǎn)換器。如圖2-12所示，實(shí)際模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)模擬/數(shù)字(A/D)轉(zhuǎn)換器，變成數(shù)字信號(hào)。數(shù)字信號(hào)通過(guò)數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)，得到想要轉(zhuǎn)換的數(shù)字信號(hào)后，再經(jīng)過(guò)數(shù)字/模擬(D/A)轉(zhuǎn)換器，把數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)化為模擬信號(hào)輸出。圖2-12采樣和量化的工程實(shí)現(xiàn)在實(shí)際處理系統(tǒng)中，選取A/D轉(zhuǎn)換器時(shí)，主要考慮的性能指標(biāo)有量化精度和轉(zhuǎn)換率。量化精度通常用A/D轉(zhuǎn)換器的位數(shù)衡量，即每個(gè)量化電平用多少二進(jìn)制比特?cái)?shù)來(lái)表示。目前，A/D轉(zhuǎn)換器常用的位數(shù)有8位、12位、16位，隨著位數(shù)的增加，量化誤差雖然減少了，但A/D轉(zhuǎn)換器的價(jià)格卻越來(lái)越貴。轉(zhuǎn)換率主要指轉(zhuǎn)換器單位時(shí)間內(nèi)完成數(shù)據(jù)采集并數(shù)字化的次數(shù)，從實(shí)時(shí)性考慮，一般希望轉(zhuǎn)換率越高越好，但同樣會(huì)增加轉(zhuǎn)換器的成本。所以實(shí)際應(yīng)用中，要綜合多方面要求選取。

一般信號(hào)在采樣時(shí)，由于需要滿足奈奎斯特采樣定理，這就決定了信號(hào)的轉(zhuǎn)換率必須大于采樣率。例如音樂(lè)信號(hào)的帶寬為20kHz，量化噪聲為48dB，那么我們?cè)趺催x取音樂(lè)信號(hào)數(shù)字化的A/D轉(zhuǎn)換器呢？首先根據(jù)采樣定理，我們選擇的轉(zhuǎn)換率必須大于40kHz，采樣時(shí)間要小于1/40ms。然后根據(jù)量化噪聲的限制，我們決定采用16位的A/D來(lái)量化信號(hào)。2.8MATLAB實(shí)現(xiàn)

2.8.1模擬信號(hào)的數(shù)字化

為了更好地理解采樣定理和模擬信號(hào)的數(shù)字化，下面我們舉一個(gè)例子。

例2-4已知模擬信號(hào)xa(t)=e-1000|t|，完成以下問(wèn)題：

(1)畫(huà)出其波形,求其連續(xù)傅里葉變換并畫(huà)圖。

(2)若采樣頻率fs=5000Hz，試畫(huà)出采樣信號(hào)x1(n)的波形及其傅里葉變換的頻譜圖。

(3)若采樣頻率fs=2500Hz，試畫(huà)出采樣信號(hào)x2(n)的波形及其傅里葉變換的頻譜圖,并同(2)進(jìn)行比較。

解

(1)嚴(yán)格地說(shuō)，MATLAB是數(shù)值計(jì)算軟件，所以用它來(lái)進(jìn)行模擬信號(hào)的分析計(jì)算存在困難。但是如果采用時(shí)間間隔足夠小的致密網(wǎng)格對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行分割，就可在足夠長(zhǎng)的時(shí)間區(qū)間內(nèi)得到一條平滑的曲線來(lái)逼近原來(lái)的模擬信號(hào)，這樣就可對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行高精度的近似計(jì)算和分析。

信號(hào)xa(t)=e－1000|t|的連續(xù)傅里葉變換為注意到當(dāng)t=0.005時(shí)，e－1000t≈0，故可用－0.005≤t≤0.005之間的有限長(zhǎng)信號(hào)來(lái)近似原來(lái)的模擬信號(hào)xa(t)，同時(shí)由上式可知,當(dāng)Ω≥2π×2000時(shí)，Xa(jΩ)=1.27×10－5≈0，故取有這樣就可以利用xa(mΔt)仿真xa(t)，m取整數(shù)。

MATLAB程序如下:

dt=0.00005;t=－0.005:dt:0.005;

xa=exp(－1000*abs(t));

wmax=2*pi*2000;K=500;k=0:1:K;W=k*wmax/K;

Xa=xa*exp(－j*t′*W)*dt;

Xa=real(Xa);

W=［－fliplr(W),W(2:501)］;

Xa=［fliplr(Xa),Xa(2:501)］;

figure(1);

subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);

xlabel(′tinmsec′);title(′analogsignal′);ylabel(′xa(t)′);subplot(2,1,2);plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000);

程序運(yùn)行結(jié)果如圖2-13所示。圖2-13模擬信號(hào)及其傅里葉變換的頻譜圖

(2)由(1)的分析可知，該模擬信號(hào)的帶寬是2000Hz,那么根據(jù)奈奎斯特采樣定律知道，采樣頻率至少應(yīng)為4000Hz，給定的采樣頻率顯然大于4000Hz，所以采樣后頻譜不會(huì)發(fā)生混疊的現(xiàn)象。

MATLAB程序如下：

ts=0.0002;n=－25:1:25;

x=exp(－1000*abs(n*ts));

K=500;k=0:1:K;w=pi*k/K;X=x*exp(－j*n′*w);X=real(x);

w=［－fliplr(w),w(2:k+1)］;X=［fliplr(X),X(2:k+1)］;

subplot(2,1,1);stem(n*t*100,x);

subplot(2,1,2);plot(n/(8*pi),X);

程序運(yùn)行結(jié)果如圖2-14所示。圖2-14fs=5000Hz時(shí)的采樣信號(hào)及其頻譜圖

(3)采樣頻率fs=2500Hz，顯然低于采樣定理要求的最低采樣頻率，采樣信號(hào)的頻譜發(fā)生混疊。MATLAB程序和(2)

的類(lèi)似，讀者自行去實(shí)驗(yàn)，這里只給出它的結(jié)果,如圖2-15所示。

比較(2)和(3)的運(yùn)行結(jié)果發(fā)現(xiàn)，采樣頻率不滿足采樣定理導(dǎo)致頻譜的混疊，信號(hào)的頻譜被展寬了。圖2-15fs=2500Hz時(shí)的采樣信號(hào)及其頻譜圖2.8.2由采樣信號(hào)重構(gòu)模擬信號(hào)

由采樣定理和例2-4可以清楚地看到，對(duì)有限帶寬信號(hào)xa(t)以高于它的奈奎斯特采樣頻率進(jìn)行采樣，就可以從采樣序列x(n)中重構(gòu)原來(lái)的模擬信號(hào)。重構(gòu)過(guò)程可以采用公式進(jìn)行，上式中x(n)為采樣序列，sinc(x)=sinx/x。

例2-5

對(duì)例2-4中已經(jīng)獲得的xa(t)的不同采樣率下的樣本x1(n)和x2(n)進(jìn)行重構(gòu)。

解

x1(n)是以采樣頻率fs=5000Hz對(duì)xa(t)采樣得到的，現(xiàn)在－0.0005s~0.0005s的時(shí)間區(qū)間內(nèi)采用柵格為0.00005s作內(nèi)插。相應(yīng)地，在－25~25的區(qū)間內(nèi)給出x2(n),用同樣的方法對(duì)x2(n)進(jìn)行重構(gòu)。相應(yīng)的重構(gòu)程序如下：

clear,closeall;

ts1=0.0002;fs1=1/ts1;n1=-25:1:25;nts1=n1*ts