高考數(shù)學總復習（基礎知識+高頻考點+解題訓練）變量間的相關關系統(tǒng)計案例

變量間的相關關系—統(tǒng)計案例

基礎知識要打牢掌握程度

1強雙基I固本源I得基礎分I

［知識能否憶起］

一、變量間的相關關系

1.常見的兩變量之間的關系有兩類：一類是函數(shù)關系，另一類是相關關系；與函數(shù)關系不同，相關

關系是一種非確定性關系.

2.從散點圖上看，點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關關系稱為正相關，點

分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關關系為負相關.

二、兩個變量的線性相關

1.從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量

之間具有線性相關關系,這條直線叫回歸直線.

n____

￡XHLnxy

2.回歸方程為y=6x+a,其中6=---------------,

n

2-nx2

a-y-bx.

n

3.通過求。y「bx「a’的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的

1=1

距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.

EXi-xyt-y

4.相關系數(shù)

當r>0時，表明兩個變量正相關；

當r<0時，表明兩個變量負相關.

r的絕對值越接近于1,表明兩個變量的線性相關性越強了的絕對值越接近于。時，表期兩個變量之

間幾乎不存在線性相關關系.通常M大于。75時,認為兩個變量有很強的線性相關性.

三、獨立性檢，驗

1.2X2列聯(lián)表：假設有兩個分類變量X和匕它們的值域分別為｛孫吊｝和｛幾y2｝,其樣本頻數(shù)列

聯(lián)表（稱2X2列聯(lián)表）為：

%72合計

X1aba+b

A2Cdc+d

總計a+cb+d3+6+c+d

nad-be

Q―不一府方一^^（其中〃=&+8+0+”為樣本容量）-

2.用刀的大小可以決定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設法若方值較大，就拒絕場即拒絕事件/與6無

關.

3.當A*12>3.841時，則有95%的把握說事件A與3有關；

當*>6.635時，則有99%的把握說事件A與6有關；

當片>2.706時，則有90%的把握說事件A與6有關.

［小題能否全?。?/p>

1.（教材習題改編）觀察下列各圖形

O

①

OX

③

其中兩個變量X、P具有相關關系的圖是（）

A.①②B.①④

C.③④D.②③

解析：選C由散點圖知③④具有相關關系.

-1010

2.（教材習題改編）已知變量區(qū)P之間具有線性相關關系，其回歸方程為-3+公，若2>尸17,Ey

尸4,則6的值為（）

A.2B,1

C.-2D.-1

—17—4八——

解析：選A依題意知，才二行二1.7,y=4,而直線y=-3+6x一定經(jīng)過點（x,P）,所

以-3+6X1.7=0.4,解得￡=2.

3.在一次對性別與說謊是否相關的調(diào)查中，得到如下數(shù)據(jù)：

說謊不說謊合計

男6713

女8917

合計141630

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到如下結論中正確的一項是（）

A.在此次調(diào)查中有95%的把握認為是否說謊與性別有關

B.在此次調(diào)查.中有99%的把握認為是否說謊與性別有關

C.在此次調(diào)查中有99.5%的把握認為是否說謊與性別有關

D.在此次調(diào)查中沒有充分的證據(jù)顯示說謊與性別有關

030X6X9-7X82°

解析：選D由于福=「0-0。24,由于/很小，因此，在此次調(diào)查中沒有充分的

loA1/A14A10

證據(jù)顯示說謊與性別有關.故選D.

4.某考察團對全國10大城市的居民人均工資收入X（萬元/年）與居民人均消費了（萬元/年）進行統(tǒng)計

調(diào)查，發(fā)現(xiàn)y與X具有相關關系，且y對X的回歸方程為y=0.66x+1.562.若某城市居民人均消費為

7.675（萬元/年），估計該城市人均消費占人均工資收入的百分比約為.

-7.675-1.562

解析：因為當7.675時，x=——晨而——心9.262,

,7.675

則^829^83%.

答案：83%

5.已知工y之間的數(shù)據(jù)如表所示，則回歸直線過點—..

X12345

y1.21.82.53.23.8

解析：X=3,y.=2.5,

,樣本點中心為（3,2.5）,回歸直線過樣本點中心.

答案：（3,2.5）

L回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的

線性回歸方程才有實際意義，否則，求出的線性回歸方程毫無意義.

2.由回歸方程進行預報，僅是一個預報值，而不是真實發(fā)生的值.

3.使用下統(tǒng)計量作2X2列聯(lián)表的獨立性檢驗時，要求表中的4個數(shù)據(jù)都要大于5,在選取樣本容量

時一定要注意.

后高頻考點要通關抓考點|學技法|得拔高分|掌握程度

相關關系的判斷

**-

典題導入

［例1］（?新課標全國卷）在一組樣本數(shù)據(jù)（X1,71）,（X2,再），…，（為，力）（〃22,Xl,X2,",Xn

不全相等）的散點圖中，若所有樣本點（E,%）（/=1,2,…，A）都在直線y=（x+l上，則這組樣本數(shù)據(jù)的

樣本相關系數(shù)為（）

A-1B.0

1

D

2-

［自主解答］因為所有的點都在直線上，所以它就是確定的函數(shù)關系，所以相關系數(shù)為1.

［答案］D

由題悟法

1,相關關系的判斷方法一是利用散點圖直觀判斷，二是利用相關系數(shù)作出判斷.

2.對于由散點圖作出相關性判斷時，若散點圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個變量有一定的線性相關

性，若呈曲線型也是有相關性.

3.由相關系數(shù)r判斷時舊越趨近于1相關性越強.

以題試法

1.已知變量x,y之間具有線性相關關系，其散點圖如圖所示，則其回歸方

程可能為（

A.y-1,5x+2

B.y--1.5x+2

C.y-1.5x-2

D.y--1.5x-2

解析：選B設回歸方程為y=bx+a.由散點圖可知變量x、y之間負相關，回歸直線在y軸上的截距

為正數(shù)，所以6<0,a>0,因此其回歸直線方程可能為y=-1.5x+2.

3回.歸方程的求法及回歸分析

典題導入

［例2］(?福建高考)某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進

行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：

單價x(元)88.28.48.68.89

銷量y(件)908483807568

(1)求回歸直線方程6x+a,其中6=-20,a=y-bx；

(2)預計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠

獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應定為多少元？(利潤=銷售收入-成本)

一1,、

［自主解答］(1)由于x二衣(屈+為+毛+毛+益+益)=8.5,

--1/\

y=77(%+H+%+%+■+/)=80.

6

所以-bl=80+20X8.5=250,從而回歸直線方程為-20^+250.

(2)設工廠獲得的利潤為上元，依題意得

￡=x(-20x+250)-4(-20^+250)

=-20/+330^-1000

=-20。-吊)+361.25.

當且僅當x=8.25時，L取得最大值.

故當單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤.

由題悟法

1.最小二乘法估計的一般步驟.：

(1)作出散點圖，判斷是否線性相關；

(2)如果是，則用公式求a,b,寫出回歸方程；

(3)根據(jù)方程進行估計.

2.回歸直線方程必過定點（x,y）.

以題試法

2.（-長春模擬）已知X、y取值如下表：

X014568

y1.31.85.66.17.49.3

從所得的散點圖分析可知：y與X線性相關，且y=0.95x+a,貝(]a=()

A.1.30B,1.45

C.1.65D,1.80

一1一1

解析：選B依題意得，x=言(0+1+4+5+6+8)=4,y=-X(1.3+1.8+5.6+6.1+7.4+9.3)

oo

=5.25；又直線y=0.95x+a必過中心點(x,y),即點(4,5.25),于是有5.25=0.95X4+a,由此解

得a=1.45.

獨立性檢驗

典題導入

[例3]（?湖南衡陽第二次聯(lián)考）衡陽市第一次聯(lián)考后，某校對甲、乙兩個文科班的數(shù)學考試成績進

行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計成績后，得到如下的2X2列聯(lián)表，

3

且已知在甲、乙兩個文科班全部110人中隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為五.

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計

甲班10

乙班30

合計110

（1）請完成上面的列聯(lián)表；

（2）根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，若按99.9%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關系

,nad-be2

參考公式與臨界值表：代=a+bc+da+cb+d

戶心左）0.1000.0500.0250.0100._001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

［自主解答］(1)列聯(lián)表如下：

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計

甲班105060

乙班203050

合計3080110

110X10X30-20X502

⑵根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得至IJ片二60X50X30X80--?7.486<10.828.

因此按99.9%的可靠性要求，不能認為“成績與班級有關系”.

由題悟法

1.獨立性檢驗的一般步驟：

(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2X2列聯(lián)表；